Дифференциальное исчисление функции одной...
description
Transcript of Дифференциальное исчисление функции одной...
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Определение производной
x
yx
0lim
x
yx
0lim
Производной функции y=f(x) в точке х0
Называется , если этот предел существует. Производная обозначается или . Таким образом, =.)( 0xy)( 0xf
)( 0xf
Таблица производных
С´=0, где С – константа.
(sinx)´=cosx.
(xn)´=n.xn-1 где n – натуральное число
(cosx)´=-sinx
(ax)´=ax∙lna, где a>0, a≠1. В частности, (ex)´=ex
(logax)´=
, где a>0, a≠1. В частности, (lnx)´=.
ax ln
1
x
1
xtgx
2cos
1)(
xctgx
2sin
1)(
(arcsinx)´= (arctgx)´=
(arccosx)´=- (arcctgx)´=-
21
1
x
21
1
x
21
1
x
21
1
x
Правила Дифференцирования
Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u∙v, . Последнее при условии, что v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´, .
v
u
2v
vuvu
v
u
Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x))
называется сложной функцией от х. Теорема. Если функция u=φ(x) имеет
производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, причем .xux uyy
1. с´=0 8.
2. (un)´=nun-1∙u´ 9.
3. (au)´=au∙lna.u´ 10.
3a. (eu)´=eu∙u´ 11.
4. 12.
4a. 13. (chu)´=shu∙u´
5. (sinu)´=cosu∙u´ 14. (shu)´=chu∙u´
6. (cosu)´=-sinu∙u´ 15.
7. 16.
uu
ctgu 2sin
1)(
uau
ua ln
1)(log
uu
u 1
)(ln
uu
tgu 2cos
1)(
uu
u
21
1)(arcsin
uu
u
21
1)(arccos
uu
arctgu
21
1)(
uu
arcctgu
21
1)(
uuch
thu 2
1)(
uush
cthu 2
1)(
Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y от х задана
параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t (α;β).
t
tx x
yy
Пример
x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´.
ttxt sincos3 2 ttyt cossin3 2 поэтому
ttgtytgt
tt
tty ttxx 22
2
cos
1)()(
sincos3
cossin3
tttt
tyx 42
2
cossin3
1
sincos3
cos1
Дифференцирование функций, заданных неявно.
Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0. Продифференцируем обе части по х.
Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и
xy
yxy
45
2
Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx)x.
Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х: ∙y´=lnsinx+x∙ctgx
отсюда y´=y∙(lnsinx+x∙ctgx) или y´=(sinx)x∙(lnsinx+x∙ctgx).
y
1
Дифференциал функции
dy=f´(x)∙dx
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!
Теорема Ферма
Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f´(c), то f´(c)=0
Теорема Ролля
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее производная f´(х) обращается в ноль хотя бы в одной точке c (a;b).
Теорема Лагранжа
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует хотя бы одна точка c (a;b), для которой выполняется условие:
)()()(
cfab
afbf
Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и φ(x) – функции,
непрерывные на [a;b], дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0 при всех х (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда если существует , то существует причем :
)(
)(lim
x
xfax
)(
)(lim
x
xfax
)(
)(lim
x
xfax )(
)(lim
x
xfax
Пример
02
lim2
limlim2
xxxxxx ee
x
e
x
Применение производной к исследованию функций
Экстремумы функции.
Необходимо условие монотонности функции
Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех х(a;b) f´(x)≥0 (f´(x)≤0)
Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на интервале функция
y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках этого интервала, за исключением, может быть, критической точки с, принадлежащей этому интервалу, и если f´(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция в точке с имеет максимум (минимум)
Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой функции
называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале
Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция y=f(x) имеет вторую
производную f´(x) во всех точках интервала (a;b). Если во всех точках этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то график на (a;b) выпуклый (вогнутый).
Достаточный признак существования точки перегиба
Если вторая производная f´(x) непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x)
называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
План исследования функции и построение графика
1. Область определения функции.2. Точки пересечения графика функции с осями
координат.3. Четность, нечетность функции.4. Исследование функции на непрерывность.
Вертикальные асимптоты.5. Невертикальные асимптоты.6. Интервалы монотонности и экстремумы.7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки
перегиба.8. Дополнительные точки, , периодичность
(по мере необходимости).9. Построение графика.
)(lim xfx
Пример Исследовать функцию и построить ее график.
1. Область определения:
так как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби обращается в ноль.
42
2
x
xy
042
x
x
(-∞;-2) (-2;2) (2;+∞),
2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда , откуда х=0.
(0;0) – точка пересечения графика с осями координат
3.
- функция четная.
)(4
)(2
2
xyx
xxy
4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.
, ,
, ,
следовательно, х=-2 и х=2 – точки разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 – вертикальные асимптоты.
4
lim2
2
2 x
xx
4
lim2
2
2 x
xx
4
lim2
2
2 x
xx
4
lim2
2
2 x
xx
5.Невертикальные асимптоты
следовательно, прямая у=1 – асимптота.
04
1
1
lim4
lim)4(
lim
2
22
2
x
xx
x
xx
xk
xxx
14
1
1lim
4lim
2
2
2
xx
xb
xx
6.
у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 – критические точки.
На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция возрастает, а на интервалах (0;2) и (2;+∞) – убывает.
Уmax(0)=0.
2222
22
)4(
8
)4(
2)4(2
x
x
x
xxxxy
7.
у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка.
На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график функции вогнутый, а на интервале (-2;2) – выпуклый. Точек перегиба нет
32
22
42
222
)4(
32)4(8
)4(
2)4(28)4(8
x
xx
x
xxxxy
32
2
32
22
)4(
3224
)4(
32328
x
x
x
xx