Тригонометрия на ЕГЭ
description
Transcript of Тригонометрия на ЕГЭ
Тригонометрия на ЕГЭ
Выполнила
ученица 11 «а» класса ГБОУ ЦО №1486
Поташева Виктория
Руководитель
учитель математики Соколина В.И.
ОГЛАВЛЕНИЕ Радианная мера угла
Угол поворота
Определение тригонометрических функций
Знаки тригонометрических функций
Значения тригонометрических функций
Свойства тригонометрических функций
ОГЛАВЛЕНИЕ Основные формулы тригонометрии
Формулы приведения
Формулы корней уравнений
Задачи группы В
Способы решения тригонометрических уравнений
Из материалов ЕГЭ
Единичной окружностью называется окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
RR
R0
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.
1 радиан = углу АОВ Длина дуги АВ = ОА =
1 рад
А
В
R
радиан180
10 0
0
57180
1
радиан
Радианная мера угла
Единичная окружность соответствует 2p радиан
+
-
Р (a >0)a
(a >0)Рa
У
х0
Угол поворота
Ро
Угол поворота радиуса ОР против часовой стрелки считается положительным, а по часовой --- отрицательным
о-
+
R=1II I
III IV
Начало отсчета углов - в точке (1;0)
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
4
0
6
6
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
4
3
3
3
2
6
5 4
3
6
5
4
3
3
2
2
1
2
радиан01
Через единичную окружность (радиус равен 1)
Через произвольную окружность
Через прямоугольный треугольник (для острых углов
Определение тригонометрических функций
А С
В
b
ca
х
у
0
0
Р (х;у)
Р (х;у)
х
у
у
xctg
х
ytg
R
xR
y
cos
sin
a
bctg
b
atg
c
bс
а
cos
sin
sin
coscos
sin
a
bctg
x
ytg
Sin = - ордината точки Р Соs = х - абсцисса точки Р
Синусом угла a называется абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат
Косинусом угла a называется ордината точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат.
У
Х
sin
cos0
А
(1;0)a
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
1
х
у
a
А(1;уА )
Р0
А - ось тангенсов
Р0
А ‖ ОУ Р0
cos
sintg
Aytg По общему определению- ордината соответствующей точки оси тангенсов
Тангенсом угла a называется отношение синуса угла a к его косинусу
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
У
Х0
a
С
В (хВ;1) СВ -- ось котангенсовСВ ‖ Ох
sin
cosctg
BXctg По общему определению
- абсцисса соответствующей точки оси котангенсов
Котангенсом угла a называется отношение косинуса угла a к его синусу
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
Знаки тригонометрических функций
_
+
+
_ +
_
+
_
+
+
_
_
II
IIII I
I
I
III
III
III
IV
IVIV
sincos
ctg
tg
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
Тригонометрический круг
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Свойства тригонометрических функций
Четность и нечетность
Косинус- четная функция
Синус, тангенс, котангенс – нечетные функции
Периодичность
cos)cos(
ctgctg
tgtg
)(
)(
sin)sin(
cos,sin
ctgtg ,
- период
- период
Znctgnctg
tgntg
,)(
)(
Znn
n
,sin)2cos(
sin)2sin(
2T
T
Основные формулы тригонометрии
1cossin 22
Znn
tg
,2
cos
sin
Znn
ctg
,sin
cos
Znn
ctgtg
,2
1
Znn
tg
,2
cos
11
22
Znn
ctg
,sin
11
22
2cos
2sin2sinsin
2
cos2
sin2sinsin
2cos
2cos2coscos
2sin
2sin2coscos
cossin22sin 22 sincos2cos
2cos22cos1 2sin22cos1
мнемоническое правило:• Если аргумент изменяется на угол, кратный p ,
название функции не меняется.
• Если аргумент изменяется на угол , кратный /p 2, название функции меняется на противоположное.
• Знак новой функции определяется знаком исходной, считая , что a ( 0 , О /2)p .
Аргумент tПриводимая
функция
п/2+t п +t 3/2п+t 2п-t
sint cost +sint -cost -sint
cost +sint -cost +sint cost
tgt +ctgt +tgt +ctgt -tgt
ctgt +tgt +ctgt +tgt -ctgt
Формулы приведения
Формулы решения уравненийsinx =а, cosx = а, tg х=а.
Zkkax
aгдеaxk
,arcsin)1(
;1;1 ,sin.1
Zkkax
aгдеax
,2arccos
1;1 ,cos.2
Zkkarctgax
Raгдеatgx
,
,.3
Задачи группы В. Задания В5
Решите уравнение .
В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
3
3
2
.375,0:
.375,08
3,2;5,0,2
;,8
6
8
9;,
4
31
;,6278;,6178
3;,23
2
3
78;,2
3
1
3
78
:;,23
2
3
)78(;,2
33
)78(
Ответ
xnxn
ZnnхZnnх
ZnnxZnnx
Znnx
Znnx
Znnx
Znnx
Решение
2
3
3
)78(sin
x
Задачи группы В. Задания В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=25,АС=20. Найдите sinA .
.6,0:
6,025
15
25
400625sin
.
22
ОтветAB
ACAB
AB
BCA
Решение
A
BC
Задачи группы В. Задания В7
Найдите значение выражения .312
5cos12 2
.5,1:
.5,12
33
6
5cos3
112
5cos231
12
5cos433
12
5cos12
.
222
Ответ
Решение
Задачи группы В. Задания В7
Найдите .5,2,3cos5sin2
15sin4cos10
tgесли
.5:
.53
15
3cos5cos5
15cos10cos10
3cos5cos5,22
15cos5,24cos10:
.cos5,2sin,,5,2cos
sin,5,2
.
Ответ
Получим
значиттоtgЕсли
Решение
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
Тригонометрия на ЕГЭ Задания В12Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где t — время в секундах. Кинетическая энергия
груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле ,
где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая
энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
ttv sin5,0)(
2
2mvE
3105
.105
2
sin5,008,0:
.1052
sin5,0;105
2;105
.
32
32
32
3
tонеравенствПоличим
tmmvЕ
Решение
.02cos;02cos
;01sin2;1sin2;1sin25,08
100;10sin25,008,02;1052
sin5,008,0
222
2232
tt
ttt
tt
2
2
3
0
.5,0:
.5,01
5,0:
.5,02
1
4
2
4
1
4
3,
.4
3
4
1;2:;
2
32
2
:,
Ответ
Получим
секtЗначит
tt
имеемтодвиженияначала
послесекундыпервойизвремени
долюнайтинеобходимокакТак
Найдите точку минимума функции ,
принадлежащую промежутку .
xxху sincos)5,0(
)2
;0(
.)2
;0()2
;0(5,0
0sin05,0
.0sin)5,0(,0.sin)5,0(
cossin)5,0(coscos))(cos5,0(cos)5,0(
.)(,sincos)5,0(
/
///
нетx
промежуткенарешенийxилих
xxеслиyxx
xxxxxxхxхy
RyDxxху
Решение
у'
у
2
0,50 - +
.5,0:
.5,0min
Ответ
х
Задачи группы В. Задания В14
min
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
342 xtgxу
3;
3
2
1cos
2
1cos
;2
1cos;04
cos
2,0
.4cos
2.0cos:)(,342
.
22
/
2/
xилиx
xx
еслиу
xyxyDxtgxу
Решение
3
3
0
4
4
.5:
.33
432
3;3
3
432
3
;214
;54
Ответ
tgtg
tgtg
Задачи группы В. Задания В14
1. Алгебраический метод. ( метод замены переменной и подстановки ).
.,,26
-3
;26
:
.,263
;,22
1arccos
6;
2
1)
6cos(
.,26
;,26
;1)6
cos(
.2
1;1
;0132;)6
cos().6
cos()3
sin(:
01)3
sin(3)6
(
21
2
ZkZnknОтвет
ZkkxZkkxx
ZnnxZnnxx
yy
yyyxxxРешение
xx
22сos:Пример
2. Разложение на множители.
Пример. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1
.,,4
;:
,4
x
1 tgx ,
0cos|0sincos 0sin
;0)sin(cossin;0sincossin
;0sincoscossincos;01cossincos2
2222
ZkZnknОтвет
Zkk
Znnx
xxxx
xxxxxx
xxxxxxxx
Решение
3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg
4. Введение вспомогательного угла
/,31818
)1(:
.,31818
)1(
,33
1
663
1)1( .,
6)1(3
6
2
1)
63sin(
2
13cos
6sin3sin
6cos
2
13cos
2
13sin
2
3
213 на части обе делимпоэтому ,1;3 уравнении данном В
.cossin вида Уравнение.
.13cos3sin3
Zkk
Ответ
Zkk
x
Zkk
xZkkx
x
xx
xx
ba
cxbxaРешение
xxуравнениеРешить
k
k
kk
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
5. Преобразование произведения в сумму.
.,24
:
.,24
;2
2
;02cos
;02cos
;4cos2cos4cos
.
.4cos3sinsin2
Zkk
Ответ
Zkk
x
kx
x
x
xxx
суммувчастьлевуюмПреобразуеРешение
xxxуравнениеРешить
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
6. Универсальная подстановка
.,23
7562:
уравнение. исходное в значения данного ойподстановк - япроверкойпроверяетс что
яет,удовлетвор не 22
.,23
756-2arctg xчто ,
.3
756
2
3
756
.013123
,2
5
1
)1(4
1
6
.2
2 cos sin .
.2
5cos4sin3
.
21
21
cos,
21
22
sin
2,1
2
2
2
2
2
2
2
ZnnarctgОтвет
x
уравнениюnиисходномarctgвидаxЗначение
ZnnНаходим
xtg
уравненийпростейшихдвухрешениюксводитсяУравнение
числаbявляютсяуравненияэтогоКорнями
bbквадратноев
тсяпреобразуекотороеb
b
b
bуравнениеоерациональнПолучаем
bx
gобозначимtи
xчерезtgвыражениеихнаxиxЗаменимРешение
xxнениеРешитьурав
xtg
xtg
xx
tg
xtg
xформулыИспользуем
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
.,2;,5
4:
.,2
,,5
4,
.2
,5
4,08145
:Получим
xcos на уравнения части обе Разделим
.0cos8cossin14sin5
,0cos4sin4cos4cossin14sin
вид примет
уравнение то),cos4(sin4Поскольку
.
2
2
22
2222
22
ZkkarctgxZnnarctgxОтвет
Zkkarctgx
ZnnarctgxЗначит
tgx
tgxxtgxtg
xxxx
xxxxxx
xx
Решение
Решить уравнение: .04cos4cossin14sin 22 xxxx
.5,0cos
,05,0cos
,05,1sin2cossin21
:.0sin,,0sin2
:
22
x
x
xxx
Получимxзначитx
Решение
Решить уравнение:
3
.,23
:
.,23
,0sin
ZnnОтвет
Znnx
тоxкакТак
.0sin2
5,1sin2cos2cos 2
x
xxx
3
.3sinsin3 xtgxtgxxРешите уравнение:
.3
5,
3
2,
3;,
3:
.3
5,2;
3
2,1;
3,0,
.12
25
12
2;211246;
12
4
7
32
:4
7;
2,)3
.,3
,0cos,1sin3
;0)1)(sin3(;0)3()3(sin)2
.0cos)1
:
.4
7;
2,
ZnnОтвет
хпхпхптоZпкакТак
пnn
отрезкущиепринадлежауравнениякорниОтберем
Znnх
нетрешенийтоxкактакxилиtgx
xtgxtgxtgxx
x
Решение
промежуткущиепринадлежакорниУкажите
.08)sin4sin9)( 3 ctgxxxаРешите уравнение:.
4
5;,)
отрезкущиепринадлежауравнениякорниНайдитеб
Zmm, x ,)3
2arcsin(
03
2sin ,
0804sin90sin
;08)sin4sin9()2
.0sin
,0
;0sin
,08)1
) .
2
3
Zkk(-1)хОДЗ тпринадлежине
ctgxxZnnх
ctgxилиxилиx
ctgxxx
x
ctgx
x
ctgx
аРешение
n
3
2arcsin
3
2arcsin
3
2arcsin
3
2arcsin
.
,4
5;,)
кругарическоготригонометпомощьюс
отрезкущиепринадлежауравнениякорниНайдёмб
Znnx ,2
3
2arcsin2
3
2arcsin
Znnx ,3
2arcsin
3
4
5
2
5
2
3
.3
2arcsin,
2
3
,3
2arcsin2,
2
5
;,2
;,3
2arcsin:
Znn
ZnnОтвет
Интернет ресурсы
1. http://www.fipi.ru
2. http://reshuege.ru
3. http://alexlarin.net/