超 声 层 析 成 像 的 理 论 与 实 现超 声 层 析 成 像 的 理 论 与 实 现 答辩人答辩人 : : 刘 超刘 超 指导教师指导教师 : : 汪元美 教 授汪元美 教 授

浙江大学生物医学工程系浙江大学生物医学工程系二○○三年九月二日二○○三年九月二日

浙江大学博士论文答辩浙江大学博士论文答辩

• 英国从事超声成像的专家英国从事超声成像的专家 P. N. T WellsP. N. T Wells 在在 20002000 年年的文章《的文章《超声成像技术的现状与未来超声成像技术的现状与未来》一文中指出：》一文中指出：“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。”且这种趋势还在继续增长。”• WellsWells 还指出：“目前成功地应用于医学领域的超还指出：“目前成功地应用于医学领域的超声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。”标。” ““ 未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。”声成像设备，即使是这种设备是不完美的。”

主要内容主要内容•一一 . . 超声层析成像技术的发展历史超声层析成像技术的发展历史•二二 . . 超声层析成像技术的基本模型及方法超声层析成像技术的基本模型及方法•三三 . . 问题的不适定性及其正则化问题的不适定性及其正则化•四四 . . 模型噪声的判断方法——模型噪声的判断方法—— PicardPicard 准则准则•五五 . . 静态正则化技术在超声层析技术中的应用静态正则化技术在超声层析技术中的应用•六六 . . 迭代正则化技术在超声层析技术中的应用迭代正则化技术在超声层析技术中的应用•七七 . . 总结与展望总结与展望

一一 . . 超声层析成像的发展历史超声层析成像的发展历史• 1. 1. 折射系数层析成像方法 折射系数层析成像方法 • 2. 2. 衰减系数层析成像方法 衰减系数层析成像方法 • 3. 3. 射线跟踪方法 射线跟踪方法 • 4. 4. 透射式衍射层析成像及反射式衍射透射式衍射层析成像及反射式衍射 层析成像方法层析成像方法• 5. 5. 基于精确场描述的层析成像方法基于精确场描述的层析成像方法

1.1. 折射系数层析成像方法折射系数层析成像方法

[1 ( , )]B

wAn x y ds c t

Refractive-index tomographyRefractive-index tomography

2.2. 超声衰减系数层析成像超声衰减系数层析成像 Attenuation tomographyAttenuation tomography • 衰减系数衰减系数 ( , , )x y f

• 综合衰减系数综合衰减系数 0 ( , )x y f

0 ( , )B

Ax y ds 2 1ln[ / ]E E

3.3. 射线跟踪方法射线跟踪方法 Ray Tracing MethodRay Tracing Method

4. 4. 透射式衍射层析成像及反射式衍透射式衍射层析成像及反射式衍 射层析成像方法 射层析成像方法

物体

傅里叶变换

频域空域 入射波

前向散射场

从不同方向照射物体时从不同方向照射物体时 ,, 前向散射场前向散射场数据的傅里叶变换数据的傅里叶变换

5. 5. 基于精确场描述的层析成像方法基于精确场描述的层析成像方法

二二 . . 超声层析成像技术的基本模型超声层析成像技术的基本模型 及方法 及方法

非齐次亥姆霍兹方程非齐次亥姆霍兹方程 (Helmholtz Equation)(Helmholtz Equation)2 2

0( ) ( ) ( ) ( )k p r o r p r

2 2 20( ) ( ) 1 ( ) / ( ) 1o r n r c r c r

0 sp r p r p r

•1. 1. 波动方程及其解波动方程及其解

全场方程全场方程 (Total Field Equation)(Total Field Equation)(( 第二类第二类 FredholmFredholm 积分方程积分方程 )) 0 Sp r p r G r r o r p r dr

散射场方程 (Scattering Field Equation)探测器方程 (Detector Equation)

s Sp r G r r o r p r dr

2. 2. 积分方程的离散化积分方程的离散化─矩量法─矩量法 ' '

0 ( ) ( )j ji i ijj

p r p r o r p r c

' '( ) ( )j js m mj

j

p r o r p r d

20 1 0

201 0 0 0 ( )

22( )

( )2

ij mj

i m j

j k aH k a j i = jc d

j k a i m jJ k a H k R

若

若

向量形式向量形式 :: ( ) ( ) ( )t in tP P COP

( ) ( )s tP DOP

3. 3. 波动方程的近似波动方程的近似 •① ① BornBorn 近似近似

0sp r p r ( ) ( )t inP P

( ) ( )s inP DOPBornBorn 逆解逆解 OO

应满足的条件应满足的条件 :: / 4an

② ② RytovRytov 近似近似 ( )( ) rp r e

0( ) ( ) ( )sr r r

2( ) ( )o r

2( )2

sn r

2（ ）应满足的条件应满足的条件 ::

' ' ' '

00

1 ( ) ( ) ( )( )s G r r p r o r dr

p r

4. 4. 基本方法基本方法•BornBorn 迭代算法迭代算法 (BI)(BI)

•Levenberg-MarquardtLevenberg-Marquardt 和和 NeNewton-Kantorovichwton-Kantorovich 方法 方法

•变形变形 BornBorn 迭代方法迭代方法 (DBI)(DBI)

BornBorn 迭代算法迭代算法 (BI)(BI) 求 Born 逆解O由全场方程 确定全场

( ) ( ) ( )t in tkP P CO P

( )tkP

由散射场方程求散射场 , 并计算

( ) ( )s tk k kP DO P

( ) ( ) ( )s s sk kP P P

( )skP

由方程求改变量

( ) ( )s tk k kP D O P

kO

求 1k k kO O O

求 Born 逆解O由全场方程 确定全场 ( ) ( ) ( )t in t

kP P CO P ( )tkP

由散射场方程求散射场 , 并计算

( ) ( )s tk k kP DO P

( ) ( ) ( )s s sk kP P P

变形变形 BornBorn 迭代算法迭代算法 (D(DBI)BI)

根据最新求得的 Ok 改变散射方程的系数矩阵 D( )skP

求 1k k kO O O

由方程求改变量

( ) ( )s tk k kP D O P

kO

Levenberg-MarquardtLevenberg-Marquardt 和和Newton-KantorovichNewton-Kantorovich 方法方法 ( ) ( ) ( )t in tP P COP

( ) ( )s tP DOP

代入

( ) ( ) ( )[ ]s in tP DO P COP

三三 .. 问题的不适定性及其正则化问题的不适定性及其正则化• 适定性适定性问题是指：问题是指： 对于连续算子方程对于连续算子方程 KxKx==yy ，如果解，如果解 xx 满足： 满足： (1). (1). 存在；存在； (2). (2). 唯一；唯一； (3). (3). 连续地依赖于数据连续地依赖于数据 yy 。 。 否则，即上述三个条件有一个不满足，则否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为称其为不适定的（不适定的（ Ill-posedIll-posed ））。。

离散不适定问题离散不适定问题(Discrete Ill-Posed Problem)(Discrete Ill-Posed Problem)

2min b Ax

若若 :: (1). (1). 矩阵矩阵 AA 的条件数非常大，或者说矩的条件数非常大，或者说矩 阵阵 AA 的最大奇异值和最小奇异值之比的最大奇异值和最小奇异值之比 非常大；非常大； (2). (2). 矩阵矩阵 AA 的奇异值逐渐下降趋于零。的奇异值逐渐下降趋于零。

对于线性方程组对于线性方程组 AxAx==bb 或最小二乘问题或最小二乘问题 ::

TikhonovTikhonov 正则化正则化 2 22

02 2min ( )Ax b L x x

L=In ， x0=0 时，称为 Tikhonov 正则化的标准形式 , 其解可表示为 : 2

2 21

,( )

nii

ii i i

u bx v

四四 .. 模型噪声的判断方法模型噪声的判断方法 : Picard: Picard 准准则则• 离散离散 PicardPicard 准则：准则： 若方程组若方程组 AxAx==bb 的傅里叶系数 趋于零的傅里叶系数 趋于零的速度在平均意义下快于矩阵的速度在平均意义下快于矩阵 AA 的奇异值趋的奇异值趋于零的速度的话，则称该方程组满足离散于零的速度的话，则称该方程组满足离散 PicPic

ardard 准则准则 (( 条件条件 )) 。。 1

,ni

ls ii i

u bx v

,iu b

2

2 21

,( )

nii

tik ii i i

u bx v

最小二乘解 :Tikhonov 正则化解 :

受噪声污染和无噪声污染的受噪声污染和无噪声污染的 PicardPicard图图

污染严重污染严重 污染较轻污染较轻

A

对比度为 30％时

对比度为 20％时

对比度为 10％时

五五 . . 静态正则化技术静态正则化技术• 1.1. 截断奇异值分解正则化方法截断奇异值分解正则化方法 Truncated Singular Value DecoTruncated Singular Value Decomposition (TSVD)mposition (TSVD)

• 2.2.截断完全最小二乘正则化方法截断完全最小二乘正则化方法 Truncated Total Least SquaresTruncated Total Least Squares (TTLS)(TTLS)

1.1.截断奇异值分解正则化方法截断奇异值分解正则化方法 (TSVD)(TSVD) 对于线性方程组对于线性方程组 AxAx==bb 或最小二乘问或最小二乘问题题 2

min b Ax

1

,ni

ls ii i

u bx v

2

2 21

,( )

nii

tik ii i i

u bx v

最小二乘解 :Tikhonov 正则化解 :

1

,ki

tsvd ii i

u bx v

TSVD 正则化解 :

正则化参数的选取方法正则化参数的选取方法 • 离差原理离差原理 (Discrepancy Principle)(Discrepancy Principle) 方法 方法 • 广义交叉验证广义交叉验证 (GCV)(GCV) 方法 方法 • LL曲线曲线 (L-Curve)(L-Curve) 方法方法

10log b Ax

10log x

减小时

增加时

由由 LL曲线方法确定曲线方法确定 k’k’

采用一维搜索的方法采用一维搜索的方法确定更精确的确定更精确的 kk

TSVDTSVD 方法的数值仿真结果方法的数值仿真结果 BA C D E

对比度为 10％时

对比度为 20％时对比度为 30％时

原始图像

迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线

迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线

2.2.截断完全最小二乘正则化方法截断完全最小二乘正则化方法满足：满足：

2min Ax b Ax b

最小二乘问题：最小二乘问题：

min ( , ) ( , )F

A b A b

完全最小二乘问题：完全最小二乘问题：满足：满足： Ax b

截断完全最小二乘的步骤截断完全最小二乘的步骤 1. 1. 首先，计算增广矩阵首先，计算增广矩阵 ((AA ，， bb)) 的奇异值分解：的奇异值分解：

1

1

( , )n

Ti i i

i

A b U V u v

2．确定截断参数 k≤min(n ， rank(A ， b))使得： 1k k 22 1, 1 1, 1( , ) 0n k n nV v v

3. 记 q=n-k+1,将矩阵分块 11 12

21 22

V VV

V V

4. 则完全最小二乘问题的解为： 2

12 22 12 22 22 2T

kx V V V V V

TTLSTTLS 方法的数值仿真结果方法的数值仿真结果 原始图像

对比度为 10％时

对比度为 20％时

对比度为 30％时

迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线

六六 . . 迭代正则化技术迭代正则化技术1.1. 求解最小二乘问题的共轭梯度方法求解最小二乘问题的共轭梯度方法 (cgls)(cgls)

2. LSQR2. LSQR 方法方法

1.1. 求解最小二乘问题的共轭梯度求解最小二乘问题的共轭梯度 方 法 方 法 (cgls)(cgls)

将共轭梯度法应用于法方程将共轭梯度法应用于法方程 T TA Ax A b

1

0 0 0 0( ; ) , , ,kT T T T T T T

k A A A r span A r A AA r A A A r

相当于在 Krylov子空间：

产生的序列 xk ，使得：2 2

* 2( ) Tk k kA Af x x x Ax b

cglscgls 方法的解可表示为方法的解可表示为 ::2 2

11

( )Tn

ik i k i i

i i

b ux q v

1( )kq 2 的 k-1次多项式，其系数的确定是 其中： 依赖于： (1).方程的右侧项 b 的特征； (2).矩阵 A的奇 异值的分布； (3). 迭代的次数

迭代次数增加，残差变化不大，迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大但解的范数受影响较大

正则化参数对迭代的影响正则化参数对迭代的影响

cglscgls 方法的数值仿真结果方法的数值仿真结果BA C D E

对比度为 10％时原始图像

对比度为 20％时对比度为 30％时

迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线

LSQRLSQR 迭代方法迭代方法 Lanczos 三对角过程 Lanczos

TA A应用于

将矩阵 A双对角化

Golub 和 Kahan(1965)

Paige 和Saunders(1982)

2min b Ax线性方程组线性方程组 AxAx==bb 和和应用于

LSQRLSQR 方法的优点方法的优点 :: 1. 1. 速度快速度快 2. 2. 对不适定性问题数值稳定对不适定性问题数值稳定 3. 3. 从迭代过程很容易求得数值分析的数值 从迭代过程很容易求得数值分析的数值

BA C D E

原始图像

LSQRLSQR 方法的数值仿真结果方法的数值仿真结果

对比度为 10％时

对比度为 20％时对比度为 30％时

七七 . . 总结与展望总结与展望• 首先利用首先利用 PicardPicard 理论，分析了超声层析成理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。判断方法。• 采用了两类四种正则化方法对超声层析成像问采用了两类四种正则化方法对超声层析成像问题中的不适定性问题进行了研究，通过对正则题中的不适定性问题进行了研究，通过对正则化参数选择的修正，完成了较大对比度物体的化参数选择的修正，完成了较大对比度物体的成像问题。成像问题。• 结论：静态正则化方法数值稳定，但速度慢；结论：静态正则化方法数值稳定，但速度慢；迭代正则化方法速度快，但数值稳定性不如迭代正则化方法速度快，但数值稳定性不如静态方法。静态方法。

今后需要进一步研究的工作今后需要进一步研究的工作1. 1. 前向散射问题的研究（波动方程的精确程度）前向散射问题的研究（波动方程的精确程度）

2. 2. 离散化方法离散化方法 有限元法、边界元法 有限元法、边界元法 矩量法中基函数的确定 矩量法中基函数的确定3. 3. 正则化问题正则化问题 基于非对成方程的 基于非对成方程的 KrylovKrylov 子空间方法 子空间方法

谢 谢！谢 谢！