برای عوض شدن صفحات کلید اسپیس یا کلید اینتر را بفشارید

باسالم خدمت شما عزیزان وسروران گرامی خواهشمند است هر گونه انتقاد یا پیشنهادی دارید به دفتر مدرسه

منعکس نمایید ودر 3راهنمایی امام رضا )ع( واحد صورت نیاز به تکثیر لوح فشرده فرمولهای ریاضی از دفتر آموزشگاه مجوز کسب نمایید در غیر این صورت

تکثیر این لوح فشرده منع قانونی و شرعی داردبا احترام : مهدی عطاری

دبیر ریاضی آموزشگاه

24آدرس: مشهد بلوار سجاد ، خیابان فرهاد ، فرهاد مدرسه راهنمایی 3امام رضا)ع( واحد

05117684854 تلفن :

1389بهمن ماه

تهیه کننده: مهدی عطاری

دبیر ریاضی مدرسه راهنمایی امام رضا)ع( واحد 3

نکته های مهم ریاضی دوره راهنمایی

تفاضل + عدد بزرگتر=مجموع

2

تفاضل - - عدد 2مجموع

کوچکتر= 2

1 11 11 1

a Ba B

3 22 3A 4 32 1 3 12 1 3 1

15 26 1951 2

مجموع مقسوم علیه های یک عدد- 3

مثال

- روش پیدا کردن دو عدد وقتی مجموع و تفاضل 1معلوم باشد

:حاصل ضرب مقسوم علیه های یک عدد- 4

مثال:

اگر مجموع دو عدد اول عددی فرد باشد حتماZ یکی از 5 است.2آن دو عدد

  دو عدد اول عددی فرد باشد حتماZ یکی - اگر تفاضل6

است.2از آن دو عدد

100 1009 92 10

2n

a

چند لیتر اسید خالص اضافه کنیم تا 40 لیتر اسید %30-به 7 بدست آید. 60اسید %فرمول:

(30 40) 100 (30 ) 60x x

8-

9-

10-

11-

( 1)1 2 3

2n n

n

2 4 6 2 ( 1)n n n

21 3 5 2 1n n

5 ( 1)5 10 15 5

2n n

n

برای پیدا کردن حاصل عبارت زیر از فرمول- 12نیم. آnاس^تفاده می ک رج ه مخ رین پای خ

است.

برای پیدا کردن حاصل عبارت زیر از فرمول- 13

. آخرین پایه استnکنیم می استفاده

12nn

2 2 2

1 1 1 11(1 )(1 ) (1 )

2 3 10 20

212)n(n

22

3333 552

1101010321

)(

24 121 11

0 171

741

411

-برای بدست آوردن حاصل عبارت زیر به این 14ترتیب عمل می کنیم

1 =a4و=b124و=nمی باشد

naba

111

|برای پیدا کردن زاویه بین دو عقربه ساعت . از فرمول- 15Hm

|2

6011

mیک عدد صحیح aهرگاه داشته باشیم ) -16

رقمی است(و بخواهیم بدانیم این حاصل ضرب چند جمع می کنیم.bرا با aرقمی است.

مثال

-حاصل عبارت زیر برابر است با:17

.استفاده می کنیم

111

431

321

211

n

n

)n(n

اول Aکه نسبت بهA- تعداد اعداد کوچکتر از 18باشنداز فرمول زیر استفاده می شود

ba 10

153122751012

...cba

Apnm

11

11

11

nmmmnmn

mm aaaaaa 22

11

2222

121

b

aba baba

ba≠ba ba≠ba

اگر یک عدد مربع کامل باشد و بخواهیم به روش تجزیه - 19کافی است پایه ها را نوشته و جذر عدد را حساب کنیم

نماها را نصف کنیم.

20-

در تجزیۀk یک عدد به عاملهای اول، اگر نمای تمام -21 اگر نمای تمام وعوامل زوج باشند آن عدد مربع کامل است.

باشد آن عدد مکعب کامل است. 3عوامل مضربی از

1

1

-a

a-a mM

1333

333311

1021

-

1555

55525

432

-

aa

برای پیدا کردن حاصل عبارتهای زیر از فرمول- 22

ا ولین توان می باشد( m آخرین توان وM استفاده می کنیم )

عددی بزرگتر از واحد aاگر - 23باشد آنگاه:

aa عددی مثبت و کوچکتر از واحد باشد آنگاه:aاگر - 24

باشد آنگاه: یا اگر -25

اعداد منفی جذر حقیقی ندارند.- 26

ساعت و رضا و علی همان کار m کاری را در رضااگر - 27 ساعت nرا در

ساعت مدت انجام دهند رضا به تنهایی در همان کار را انجام می دهد.

همان کار را در علی ساعت و mکاری را در رضااگر - 28n ساعت انجام

ساعت انجام می دهند دو نفر با هم کار را در دهند.

1aaaa

n-m

nm

nm

nm

ساعت و حسن n ساعت و علی در m کاری را در رضااگر - 29 ساعت pدر

انجام دهند سه نفر با هم کار را در ساعت انجام می دهند.

 

برود و با سرعت 1Vاگر متحرکی یک مسیر را با سرعت - 30

2V برگردد، سرعت

kبدست می آید متوسط متحرک از رابطۀ.

به ترتیب مسافت، سرعت و زمان باشند tو v , xاگر - 31آنگاه:

npmpmn

pnm

21212

VV

VVV

txνtx νν

xt

^والی %- 32 n و %mاگ^ر فروش^نده ای دو تخفی^ف متبرای کاالیی در نظر بگیرد

ۀk کاال را تخفیف برای دانیم چند درصد بهای اولی اینکه ب kزیرداده است از رابطۀ

:استفاده می کنیم

33 - kتعداد زیر مجموعه های یک مجموعۀn عضوی برابر است با

34 - kتعداد زیر مجموعه های محض یک مجموعۀn

عضوی برابر است با

)(-)( nmnm100100100100

n.2

12 -n

cbda⇒dc

ba

ac

bd⇒

dc

ba

cd

ab⇒

dc

ba d

bca⇒

dc

ba

ddc

bba⇒

dc

ba

dd-c

bb-a⇒

dc

ba

خواص تناسب: - 35

ترکیب نسبت در صورت:

تفضیل نسبت در صورت:

cdc

aba⇒

dc

ba

c-dc

a-ba⇒

dc

ba

ba

dbca⇒

dc

ba

dcd-c

baba⇒

dc

ba

ba

fdbeca⇒

fe

dc

ba

ترکیب نسبت در مخرج:

تفضیل نسبت در مخرج:

)Z∈k(12k)a-(

)Z∈k(k)a-( 2 kk a-≠)a-( 2222

2

244

164

164-≠)-(⇒

--

)-(

abbaab )x()x(x

bab-a xxx baba xxx

هر عدد منفی به توان فرد برسد، حاصل عددی منفی است.- 36

قواعد توان

برسد، حاصل عددی مثبت است.زوجهر عدد منفی به توان - 37

nmnm aaa

mbanm )(ba mmm )ba(ba

nmnm aaa

)a(ama

m 1 )a( a 1

mnnm a)a( mabm

ba )()(

nmnm )a(a

38-

39-

40-

abbaab )x()x(x

bab-a xxx baba xxx

1anm nm aa

1 anm nm aa

41-

42 -اگر

باشند آنگاه: و

باشند و اگر - 43 آنگاه:

a1anm

nm aa

nm aa )-,,≠a( 11

nm

mm ba ba

mm ba ba

و یا اگر- 44 باشند

آنگاه:

: باشند می توان گفت و اگر - 45

: عددی فرد باشد، می توان گفتm و اگر- 46

: عددی زوج باشد نمی توان گفتm و اگر - 47

مختصات و بردارمحورهای مختصات صفحه را به چهار ناحیه تقسیم - 48

می کنند. 

هر نقطۀk واقع در ناحیۀk اول طول- 49

و عرضش مثبت است.

هر نقطۀk واقع در ناحیۀk دوم طولش- 50 منفی و عرضش مثبت است.

هر نقطۀk واقع در ناحیۀk سوم طول و عرضش - 51منفی است.

هر نقطۀk واقع در ناحیۀk چهارم طولش مثبت و - 52عرضش منفی است.

ناحیه اول

ناحیه دوم

ناحیه سوم

ناحیه چهارم

هر نقطۀk واقع بر محور طول، عرضش صفر است - 53

و بالعکس.

ش صفر است طولهر نقطۀk واقع بر محور عرض، - 54

و بالعکس.X<

0

y>0

X>0

y>0X>0

y<0

X<0

y<0

وسط آن پاره M دو سر یک پاره خط و B و Aگر - ا55 خط باشد آنگاه:

داریم:ABCDدر متوازی االضالع - 56

57 -kنقطۀ kنسبت به محور طول قرینۀ kاست. نقطۀ

2BA

Myy

y

2

BAM

xxx

DBCA xxxx

DBCA yyyy

b

aA

b

aA

D C

BA

58 - kنقطۀ kقرینۀ kنسبت به محور عرض نقطۀ

است.

59 - kنقطۀ kقرینۀ kنسبت به مبدأ مختصات نقطۀ است.

60 -kنقطۀ kاول و قرینۀ kنسبت به نیمساز ناحیۀ

kاست. سوم نقطۀ

61 -kنقطۀ kدوم و قرینۀ kنسبت به نیمساز ناحیۀ kچهارم نقطۀ

است.

62 - kنقطۀ kقرینۀ kنسبت به نقطۀ

kاست. نقطۀ

b

aA

b

aA

b

aA

b

aA

b

aA

a

bA

b

aA

a

bA

b

aA

M

b

aA

2

2

63 - kنقطۀ kنسبت به خط قرینۀ kاست. نقطۀ

64 - kنقطۀ kنسبت به خط قرینۀ kاست. نقطۀ

باشند آنگاه: و اگر - 65

b

aA

b

aA

b

aA

b

aA

2

b

A

2

d

cB

bd

acAB

y

x

مختصات یک بردار باشد، با توجه y و xبه جهت انتقال عالمت اگر - 66

نمودار زیر مشخص می کند.

y

x

 هر برداری که موازی محور طول باشد، عرضش صفر است - 67

و بالعکس عرض باشد، طولش صفر است رهر برداری که موازی محو- 68

و بالعکس

یک عدد حقیقی باشد دربارۀm kیک بردار و اگر - 69می توان گفت و بردارهای

هم جهتند. و بردار باشد آنگاه بردار - 1

مختلف و بردار باشد آنگاه بردار اگر -2الجهتند.

:باشد آنگاه اگر -3

باشد آنگاه: اگر -4

→a

→a

→am

m→am

→a

m→am

→a

m→→oam

1m→→aam

قرینۀk باشد آنگاه بردار اگر - 5 است. بردار

باشد آنگاه اندازۀk یا اگر - 6 از اندازۀk بردار بزرگتر است. بردار

باشد آنگاه اندازۀk بردار اگر - 7 کوچکتر است. اندازۀk بردار از

باشد آنگاه اندازۀk یا اگر - 8با اندازۀk بردار مساوی است. بردار

m 1→am

→a

1m1m→am

→a

→am

→a

1m1-m→am

→a

11 m

عددی حقیقی باشد آنگاه:kو اگر - 70

مساویند و باشند دو بردار و اگر - 71

.b=dو a=cورتیکه صدر

نشان می دهند. اگر را با نماد اندازۀk بردار - 72

باشد

آنگاه:   73 - kبرای اینکه سه نقطۀA و B و C بر روی یک خط راست قرار

گیرند،کافی است داشته باشیم:

b

aV→

kb

kaV.k→

b

au→

d

cV→→

u→V

→u|u|

→

b

au→

22 ba|u|→

)R∈k( BC.KAB→

→

nm

→DCBD

→→→AD)nm(AB.nAC.m

AM

→→→AMACAB 2

DC

B

Aa

باشد آنگاه:در شکل زیر اگر - 74

باشد آنگاه:ABC از مثلثBCمیانه نظیر ضلع اگر - 75

میانه مساحت مثلث را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. - 76

MC

B

A

→→BCMN

21MN

C B

A باشند آنگاه:ABC از مثلث AC و ABوسط های اضالع N و Mاگر- 77

نیز می باشدBC موازی M Nضمنا

78 -kرا اگر نقطۀ k بار با بردار kانتقال دهیم، نقطۀ

بدست می آید.

b

aA

n

mu

knb

kmaA

→a

→b →

c→→→abc

→→→→→oODOCOBOA

a

b a-b

a-b

ab

79 - برداری است مانند a-b دو بردار باشند حاصل تفریق واگر

که داشته باشیم

باشد آنگاه: ABCD محل تالقی قطرهای متوازی اضالع Oاگر - 80

: باشد آنگاهABC محل برخورد میانه های اضالع مثلث G اگر- 81→→→→oGCGBGA

A

CB

NGp

MBNBG,AMAG,CPCG

32

32

32

O

D C

BA

-اگردو عدد گویا باشندعدد گویای واقع بین این دو عدداز فرمول زیر82

بدست می آید.

جبرd

c,

b

a

d

c

db

ca

b

a

-نماد علمی هر عدد به صورت نوشته می 83k < 10شود که در آن

یک عدد صحیح استnو

nk 10

84-)cb(acba

c)ba(≠cba

)ca)(ba(≠)cb(a

acab)cb(a

acab)cb(a

--

22

2

22

2cb-ac-b

-a

c-b-a≠

c-b-a

cb-a)c-b(-a

c-b-a≠)c-b(-a

1

-برای بدست آوردن تعداد مقسوم علیه های طبیعی یک 85عدد به صورت زیر عمل می کنیم .ابتدا عدد را به عوامل اول تجزیه می کنیم . سپس به توان هر عامل یک واحد

اضافه کرده توانها ی بدست آمده را در هم ضرب می 2400کنیم . مثال عدد

تعداد مقسوم علیه های اول هرعدد برابر است با تعداد سه مقسوم علیه اول 2400پایه های اول آن عدد مثال:

داردتعداد مقسوم علیه های مرکب برابر است با:

تعداد -تعداد مقسوم علیه های اول (+ 1 )مقسوم علیه های طبیعی

تعداد مقسوم علیه های زوج برابر است با : به توان تمام عوامل اول آن عدد یک واحد اضافه میکنیم

سپس اعداد بدست آمده را در هم ضرب 2غیر از توان رویمی کنیم.

برابر است با :3تعداد مقسوم علیه های مضرب به توان تمام عوامل اول آن عدد یک واحد اضافه میکنیم

سپس اعداد بدست آمده را در هم ضرب 3غیر از توان روی می کنیم.

25 5322400 36326

321336 )(

30325

18316

222

222

2 baba)ba(

ba≠)ba(

)d-c-()b-a()dc(-)b-a(

)d-c-)(b-a(≠)dc(-)b-a(

88 -b-a و a-b kقرینۀ یکدیگرباشند

kk )a-b()b-a( )Z∈k( 22

86-

87-

222 2 baba)ba(

222 2 baba)ba( --

22 ba)ba)(b-a(

چند اتحاد

89-

abx)ba(x)bx)(ax( 2

33 ba

)baba)(ba( 22 33 ba

)baba)(ba( 22

32233

32233

33

33

babbaa)ba(

babbaa)ba(

نیست. 2همواره مساوی حاصل - 90 2بلکه در صورتی مساوی

باشد. یا است که

اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد مثبت - 91

ضرب کنیم جهت نامساوی عوض نمی شود.

اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد منفی - 92

ضرب کنیم جهت نامساوی عوض می شود.

)x(

)x(

112

-

-

≠x 1-1≠x

ab)ba(ba

ab)ba(ba

2

2222

222

-

- 93-

94 - kمعادلۀax=b :را در نظر می گیریم

باشد معادله فقط یک جواب دارد و اگر - 1

است. جواب آن

باشند معادله جواب ندارد و آنرا و اگر - 2

معادلۀk غیرممکن می نامند.

باشند معادله بیشمار جواب دارد و اگر - 3

و آنرا معادلۀk مبهم می نامند.

≠aabx

a≠b

ab

اگر 222 cba : باشد آنگاه cba 96-

222

222

2 baba)ba(

ba)ba(

95-

معادله خطمعادلۀk کلی خطوطی که از مبدأ مختصات می گذرند و - 97

می باشد. y=axاست. به صورت aشیبشان

بوده و محور aمعادلۀk کلی خطوطی که شیبشان - 98

قطع می کنند بصورت bعرض را در نقطه ای به عرض

y=ax+b .می باشد

به y=ax+bشیب، عرض از مبدا و طول از مبدا خط - 99

و a، bترتیب

می باشند.

ab-

کلیۀk خطوطی که شیبشان مساوی و عرض از -100

مبداءشان مختلف باشند با هم موازیند.

کلیۀk خطوطی که شیبشان مساوی و عرض از -101

مبداءشان نیز برابر باشند بر هم منطبقند.

کلیۀk خطوطی که عرض از مبداء شان مساوی باشد -102در نقطه ای واقع بر محور عرض یکدیگر را قطع می کنند.

کلیۀk خطوطی که طول از مبداء شان مساوی باشند. -103در نقطه ای واقع بر محور طول یکدیگر را قطع می کنند.

معادلۀk عمومی خطوطی که موازی محور طول می -104است. y=bباشند به صورت

است. معادلۀk محور طول به صورت - 105

معادلۀk عمومی خطوطی که موازی محور عرض - 106است. صورت به میباشند

می باشد. معادلۀk محور عرض به صورت - 107

معادلۀk خطی که طول از مبداء و عرض از مبداء - 108 باشد به صورت q و pآن

1 است. qy

px

x

kx

y

CByAx اگر معادله خط به صورت - 109 باشد

آنگاه:

110 -: kدر معادلۀ

مخالف صفر باشند، خط در نقاطی C و B و A( اگر 1غیر از مبداء محورها را قطع می کند.

( اگر و و باشند، خط 2از مبداء مختصات می گذرد.

باشند، خط موازی و ( اگر 3محور عرض یا منطبق برآن است.

باشند، خط موازی ( اگر و 4محور طول یا منطبق بر آن است.

CByAx

≠A≠BC

≠AB

A≠B

و دو خط - 111را در نظر بگیرید.

( و موازیند در صورتیکه و 1

باشند.

( و بر هم منطبقند در صورتیکه و 2

باشند.

( و بر هم عمودند در صورتیکه یا 3

باشد.

112 - kخطی که از نقطۀ kو شیب بگذردمعادلۀ باشد از رابطۀk زیر بدست می آید. aآن

113 - kو شیب خطی که از دو نقطۀ می گذرد از رابطۀk زیر بدست می آید.

baxy:d bxay:d

dd

aa b≠b

aa bb d d

d d1-aa a

-a

1

1

1y

xA

)x-x(ay-y 11

1

1y

xA

2

2y

xB

21

21x-x

y-ya

و خطی که از دو نقطۀk - معادله114می گذرد از رابطۀk زیر

بدست می آید.

115 - kنقطۀ kاز مبداء مختصات از فاصلۀkرابطۀ

می آید. بدست

116 - kدو نقطۀ kرا می و فاصلۀتوان از فرمول زیر حساب کرد.

1

1y

xA

2

2y

xB

21

21

1

1xx

yy

xx

yy

1

1

y

xA2

121 yxOA

1

1

y

xA

2

2

y

xB

221

221 )yy()xx(AB

1

1

y

xA CByAx:D

2211

BA

|CByAx|d

CByAx:D

22 BA

|c|d

117 - kنقطۀ kاز خط فاصلۀ

به صورت زیر محاسبه می شود.

فاصلۀk مبداء مختصات از خط - 118

از فرمول زیر محاسبه می شود.

مساحت مثلثی که یک خط با محورهای مختصات - 119می سازد، نصف

است )بدون مبدأو عرض از حاصلضرب طول از مبدأ توجه به عالمت(

و دو خط - 120را در نظر بگیرید:

موازیند در صورتیکه: ( دو خط1

  منطبقند در صورتیکه : بر هم ( دو خط 2

 

بر هم عمودند در صورتیکه: ( دو خط 3  

- دستگاه جواب ندارد در 121

صورتیکه

CByAx:D CyBxA:D

CC

BB

AA

B.BA.A

CyBxA

CByAx

CC

BB

AA

:بیشمار جواب دارد در صورتیکه

:فقط یک جواب دارد در صورتیکه

CC

BB

AA

D,D

D,D

D,D

CC

BB

AA

AA

BB

هندسهدر ه^ر دای^ره اگ^ر دو وت^ر مس^اوی باش^ند کمانه^ای - 122

نظیرشان نیز مساوی است و بالعکس. 

ابلش - 123 ان مق ا کم زی ب ۀk مرک دازۀk زاوی ره ان ر دای در همساوی است.

 

ا نص^ف کم^ان - 124 ۀk مح^اطی ب دازۀk زاوی ره ان در ه^ر دایمقابلش

مساوی است.

 

^ا نص^ف کم^ان - 125 ^ۀk ظلی ب ^دازۀk زاوی ^ره ان در ه^ر دایمقابلش

مساوی است.

A

B

C

D

CDABCDAB

B

E

C

2

ECB

2

ABA

A

B

t

2

CDABM

2

CDABM

2

ABACBM

M

B

C

D

A

B D

M

CA

C

A

B

M0

126-

127-

-نسبت اندازه زاویه محاطی به مرکزی روبه رو به 128 می باشد2به1یک کمان

129-

در هر دایره وتری که به مرکز دایره نزدیکتر باشد - 130بزرگتر است.

هر دو وتری که به مرکز دایره نزدیکتر باشد بزرگتر - 131است.

هر دو وتری که مساوی باشند، از مرکز دایره به یک - 132فاصله اند.

اگر قطری از یک دایره بر وتری از آن عمود شود، آن - 133وتر و کمانهای نظیرش نصف می کند.

اگر قطری از یک دایره به وسط کمانی از آن دایره - 134را نصف بر وتر نظیر آن کمان عمود است و آن وصل شود،

می کند.

کمانهای محصور بین دو وتر موازی مساویند و - 135بالعکس.

 

نقطه و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:- 136 1 kنقطه داخل دایره است که در این صورت فاصلۀ )

نقطه تا مرکز دایره از شعاع کوچکتر است. 2 kنقطه روی دایره است که در این صورت فاصلۀ )

نقطه تا مرکز دایره با شعاع مساوی است. 3 kنقطه خارج دایره است که در این صورت فاصلۀ )

نقطه، تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است.

خط و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:- 137( خط دایره را در دو نقطه قطع می کند که در این 1

صورت فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع کوچکتر است.

( خط بر دایره مماس است که در این صورت 2 فاصله خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است.

( خط در خارج دایره است که در این صورت فاصله 3 خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است.

خط مماس در نقطۀk تماس بر شعاع دایره عمود - 138است.دو دایره نسبت به هم سه حالت دارند:- 139

د. در این ( 1 دیگر را در دو نقط^ه قط^ع می کنن ره یک دو دایصورت طول خط

المرکزین از مجموع دو شعاع کوچکتر و از تفاضل دو شعاع بزرگتر است.

 

(دو دایره بر هم مماسند.2 الف( مماس داخلی: در این صورت طول خط المرکزین

با تفاضل دو شعاع مساوی است.

ب( مماس خارجی: در این صورت طول خط المرکزین با مجموع دو شعاع مساوی است.

dOO RRdRR

00o

RRd

RRd

O00

R

0 0

دو دایره هیچ نقطۀk مشترکی ندارند. - 140

الف( متداخل: در این صورت طول خط المرکزین از تفاضل دو شعاع کوچکتر است.

 ب( متخارج در این صورت طول خط المرکزین از مجموع دو

شعاع بزرگتر است.   

- طول دو مماسی که از نقطۀk واقع در خارج دایره، بر آن 141دایره رسم می شوند برابرند.

  

RRd

ooR R

RRd

MBMA

که- دایره محاطی یک چند ضلعی، دایره ای است 142

بر اضالع چند ضلعی مماس است.

که- دایره محیطی یک چند ضلعی، دایره ای است 143

از رئوس چند ضلعی می گذرد.

- مرکز دایره محاطی هر مثلث محل تالقی نیمساز144

برابر فاصلۀk زوایای مثلث است و شعاع دایره محاطی

مرکز دایره تا هر ضلع مثلث

می باشد.

0

- مرکز دایره محیطی هر مثلث محل تالقی عمود 145

منصفهای اضالع مثلث

برابر فاصلۀk مرکز تا رئوس است و شعاع دایره محیطی

ثمثل

می باشد.

- مرکز دایره محاطی و مرکز دایرۀk محیطی مثلث 146

متساوی االضالع بر هم منطبقند.

شعاع دایرۀk محیطی مثلث متساوی االضالع دو - 147

برابر شعاع دایرۀk محاطی آن مثلث است. ضلعی منتظم برابر است با:n- مساحت هر 148

نصف ×سهم محیط

149 -M.نقطه دلخواه داخل مستطیل است

که در - شعاع دایرۀk محاطی هر مثلث برابر است با 150

نصف محیط مثلث است.p مساحت و Sآن

برابر است با ABCشعاع دایرۀk محیطی مثلث - 151

مساحت آن است. s طول اضالع مثلث و c و b و aکه در آن

مرکز دایرۀk محیطی مثلث قائم الزاویه وسط وتر و - 152

شعاع آن نصف وتر است.

یک چهار ضلعی در صورتی که در یک دایره محاط می - 153

شود که هر دو زاویۀk مقابل آن مکمل یکدیگر باشند.

PS

cabc4

2222 MCMAMDMB

یک چهار ضلعی در صورتی بر یک دایره محیط می شود که در - 154

آن مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل دیگر مساوی

باشد.

هر ذوزنقه محاط در یک دایره، متساوی الساقین است.- 155

دو وتر مساوی که از دو سر یک قطر می گذرند موازیند. - 156

دو وتر موازی که از دو سر یک قطر می گذرند مساویند. - 157

شعاع دایرۀk محیطی یک شش ضلعی منتظم با ضلع شش - 158

ضلعی مساوی است. از رابطۀk زیر که به c و b و aمساحت مثلثی که به اضالع - 159

رابطۀk هرون مشهور است بدست می آید.

-شعاع دایره عمود بر وتر دایره،وتر وکمان مقابل آن را نصف 160می کند

)p( cba2)cp)(bp)(ap(pS

A

CB

D

M6

3

48

525

41252 r22222 86434 r

RR

RR 200R

R

22 )RR(dCD 2 2( )AB d R R

0

A

BD

C

R R

RR

در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع - 164دیگر برابر است.

در هر مثلث قائم الزاویه میانۀk وارد بر وتر نصف وتر است. - 165

166 - kدرجه 30در هر مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویۀ

نصف وتر است.

167 - kمساویدرجه 45درهرمثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویۀ

وتر است.

مساوی درجه 60زاویۀk درهرمثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به- 168

وتر است.

درجه 75 درجه یا 15- درمثلث قائم الزاویه ای که یک زاویه 169

داشته باشیم ارتفاع وارد بر وتر ربع وتر است.

-در مثلث قائم الزاویه مقابل داریم170

2322

HB

a

A Cb

c HCBHAH 2

642564

)()nm(S 22224

12204

12CD20AB

A B0

D C

aS 8118184

24

18AB

A B

0

قسمت رنگیمساحت برابر است با:

قسمت -الف:مساحت 171 برابر است با:رنگی

ب-

23)n(n

2a

22 ba

3a

222 cba

ضلعی nتعداد قطرهای- 172برابراست با

برابر است باaقطر مربعی به ضلع - 173

و aقطر مستطیلی به ابعاد - 174b:برابر است با

برابر است با: aقطر مکعبی به ضلع - 175

برابر است با: c و b و aقطر مکعب مستطیلی به ابعاد - 176

a23

243a

a33

a63

برابر است با:aارتفاع مثلث متساوی االضالع به ضلع - 177

برابر است با: a- مساحت مثلث متساوی االضالع به ضلع 178

برابر است با:aشعاع دایرۀk محیطی مثلث متساوی االضالع به ضلع - 179

برابر است با: aشعاع دایرۀk محاطی مثلث متساوی االضالع به ضلع - 180

شعاع دایره محیطی هر مثلث قائم الزاویه نصف وتر است.- 181

cbabc

2233 a

)cbap( 2)ap(p)cp)(bp(S

ca

C

B

A b

182 - kمحاطی مثلث قائم الزاویۀ kشعاع دایرۀABC:برابر است با

سه عدد طبیعی که در رابطۀk فیثاغورس صدق - 183کنند اعداد فیثاغورسی نامیده می شوند.

برابر است با:a- مساحت شش ضلعی منتظم به ضلع 184

:c و b و به اضالع زاویۀkقائمه a- مثلث قائم الزاویه به وتر 185

21 SSS 242

86

321 SSS

- مجموع مساحتهای هاللین بقراط با مساحت مثلث قائم الزاویه مساوی است.186

مثال مثلث

مثلثها متساوی االضالعند - شکلهای زیر 187

86

8

S 3

S 1S 2

21

21

21

cbh

a23

baba

24 22

HB

a

A Cb

c

h اضالع مجاور به زاویۀk قائمه و c و b- اگر 188ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم الزاویه باشند

آنگاه:

.a برابر است باa- شعاع دایرۀk محیطی یک شش ضلعی منتظم به ضلع 189

برابر است با: a- شعاع دایرۀk محاطی یک شش ضلعی منتظم به ضلع 190

فرمول محاسبۀk ارتفاع وارد بر ساق مثلث - 191 به صورت زیر a و قاعدۀbkمتساوی الساقین به ساق

است:

فاصلۀk نقطۀk تقاطع میانه های هر مثلث از یک - 192

رأس دو برابر فاصلۀk این نقطه تا پای میانه است.

ضلعی منتظم بااستفاده از nتعداد اضالع یک - 193

اندازه یک زاویه داخلی آن:

ضلعی منتظم برابر است با:nاندازه هر زاویۀk یک - 194

وتر یک مثلث قائم a ارتفاع وارد بر وتر و hاگر - 195

الزاویۀk متساوی الساقین باشد می توان گفت:

 

nA

180

360

n)n( 1802

2hS 241aS

2a

a22

BC||DE

BC

DE

AC

AE

AB

AD

EC

AE

DB

AD

BC

DE

EC

AE

DB

AD

AC

CE

AB

BD

CB

D E

A

برابر است با: aشعاع دایره محاطی مربعی به ضلع - 196

برابر است با: aشعاع دایرۀk محیطی مربعی به ضلع - 197

در هر متوازی االضالع مجموع مربعات قطرها با - 198 مجموع مربعات اضالع برابر است.

ضلعی را متشابه گویند در صورتیکه زاویه nدو - 199 هایشان دو بدو مساوی بوده و اضالعشان متناسب باشند.

باشد آنگاه: اگرABCدر مثلث - 200

MDMCMBMA

MDMCMBMA

M

D

C

B

A

MD

A

C

دو لوزی که یک زاویۀk مساوی داشته باشند متشابهند.- 203

متشابه نیستند. دلخواهدو مستطیل- 204

201-

202-

دو مثلث متساوی الساقین که یک زاویۀk برابر داشته باشند همواره - 206

متشابه نیستند.

در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاعهای متناطر با نسبت اضالع)نسبت - 207

تشابه( برابر است.

در دو مثلث متشابه نسبت نیمسازهای متناظر با نسبت تشابه برابر - 208

است.

در هر دو مثلث متشابه نسبت میانه های متناظر با نسبت تشابه - 209

برابر است.

در دو مثلث متشابه نسبت محیطها با نسبت تشابه برابر است.- 210

در دو مثلث متشابه نسبت مساحتها با مجذور نسبت تشابه برابر - 211

است.

CHab 2 CHBHAH 2

BHac 2C

Ha B

205-b

c

A

ضلعی متشابه nبه طور کلی نسبت محیطهای دو - 212

با نسبت اضالع مساوی است.

ضلعی متشابه nبطور کلی نسبت مساحتهای دو - 213

با مجذور نسبت اضالع مساوی است.

نسبت قطرهای متناظر دو چند ضلع متشابه با - 214

.نسبت اضالع مساوی است

MBMAMC 2

ACAB

C

M

AB

D

A

216 - اگر

AEADAB:باشد آنگاه 2

DBE

215-

مربع است.MENF- چهارضلعی 217

.3a برابر است با aحجم مکعب به ضلع - 218

برابر است باaمساحت جانبی مکعب به ضلع - 219

برابر است باaمساحت کل مکعب به ضلع - 220

برابر c و b و aحجم مکعب مستطیل به ابعاد - 221

.abcاست با

مساحت جانبی مکعب مستطیل به طول و عرض - 222

a و b و ارتفاع cبرابر است با

FCBEEF 2

24a26a

bcac 22

B

A

M N

E CF

برابر است c و b و aمساحت کل مکعب مستطیل به ابعاد - 223

. با:

حجم منشور =ارتفاع×مساحت قاعده- 224

محیط قاعده مساحت جانبی منشور = ارتفاع×- 225

=مساحت دو قاعده + مساحت جانبی منشورمساحت کل- 226

حجم استوانه=ارتفاع× مساحت قاعده- 227

محیط قاعده ارتفاع× مساحت جانبی استوانه=- 228

- حجم هرم= ارتفاع × مساحت قاعده×229

- حجم مخروط= ارتفاع × مساحت قاعده×230

×شعاع قاعده × مولد - مساحت جانبی مخروط=231

bcacab 222

31

31

حجم کره = - مساحت کره =232

2m برابر کنیم مساحت آن mاگر شعاع کره ای را - 233

برابر می شود. 3mبرابر و حجم آن

برابر 3m برابر کنیم حجم آن mاگر ضلع مکعبی را - 234

برابر می شود.2mو مساحت جانبی آن

برابر کنیم mاگر ابعاد یک مکعب مستطیل را - 235

برابر می شود. 3mحجم آن

اگر مستطیل را حول طول آن دوران دهیم - 236

استوانه ای پدید می آید که طول مستطیل ارتفاع

استوانه و عرض آن شعاع قاعده می باشد.

24 r334 r

237 - kاگ^ر مثلث ق^ائم الزاوی^ه ای را ح^ول ی^ک ض^لع زاوی^ۀ

د ک^ه ارتف^اع آن د می آی قائم^ه دوران دهیم، مخ^روطی پدی

ول آن دوران داده ه ح لعی ک ان ض ول هم ا ط ت ب ر اس براب

ه ۀk قائم ر زاوی ر ض^لع دیگ روط براب ده مخ ایم و ش^عاع قاع

می باشد.

اگ^ر مثلث ق^ائم الزاوی^ه ای را ح^ول و ت^رش دوران - 238

دهیم دو مخروط پدید می آید.

اگ^ر مثلث متس^اوی االض^العی را ح^ول ی^ک ض^لع آن - 239

دوران دهیم دو مخروط مساوی پدید می آید.

ا دوران یک ربع دایره حول شعاعش یک نیمکره و - 240 ب

با دوران یک نیمدایره حول قطرش یک کره پدید می آید.

از دوران ی^ک ذوزنق^ه ق^ائم الزاوی^ه ح^ول س^اق - 241

^د ک^ه حجم آن از ^د می آی ^ائم، مخ^روط ناقص^ی پدی ق

دستور زیر قابل محاسبه است.

نیم قطر مکعب اگرمکعبی رادر یک- 242 کره محاط ک

با قطر کره مساوی است.

ا اگرکره- 243 ای در یک مکعب محاط شود قطرکره ب

مکعب مساوی استضلع اگ^ر ک^ره ای در ی^ک اس^توانه مح^اط ش^ود ارتف^اع - 244

استوانه برابر قطر کره و شعاع قاعدۀk استوانه با شعاع کره مساوی است.

)RRRR(h

22

3

B

D

A

C

HR

اگر استوانه ای داخل کره ای محاط شود وسط - 245ارتفاع استوانه بر مرکز کره قرار می گیرد.