第六章 立体表面的交线
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第六章 第六章 立体表面的交线 第六章 第六章 立体表面的交线 南昌理工学院
机械制图教研室
6.1 概 述 6.2 平面立体的截交线
6.3 回转体的截交线
本章小结
结束放映
目 录
6.2.1 平面与平面立体的截交线6.2.2 求平面立体斜截面的实形
6.3.1 圆柱的截交线6.3.2 圆锥截交线6.3.3 圆球的截交线6.3.4 综合举例
空间几何体分为平面立体和曲面立体。平面立体:表面由平面围成的几何体。
曲面立体:表面由曲面或者曲面与平面围成 的几何体。
平面立体
曲面立体
6.1 概 述
截 交 : 平面与立体相交,截去立体的一部分。
平面与立体、立体与立体两处相交形成不同的表面交线,可分为两大类:
截交线——截平面与立体表面的交线。
相 贯 : 两立体相交。相贯线——立体与立体表面的交线。
平面与立体、立体与立体相交形成不同的表面交线,可分为两大类:
6.2 平面立体的截交线6.2.1 平面与平面立体的截交线
2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。
3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点, 多边形的各边是截平面与立体各表面的交线。
截交线的性质:
1)截交线既在截平面上,又在立体表面上, 是截平面与立体表面的共有线。
平面与平面立体截交线的求法:
A. 求各棱线与截平面的交点→线面交点法B. 求各棱面与截平面的交线→面面交线法
求截交线的步骤:1) 空间及投影分析
2) 画出截交线的投影
a、截平面与立体的相对位置 :确定截交线的形状。
确定截交线的投影特性。b、截平面与投影面的相对位置:
分别求出截平面与棱面的交线,并连接成多边形。
[ 例 1]四棱锥被正垂面 P切割,求其截交线的投影 。
3
2
1
(4)3
●
2●4●
1●
3●
2●
4●
1) 空间分析
1●
2) 投影分析
3) 求截交线
4) 补全棱线的投影
检查 : 尤其注意检查截交线投影的相仿性
S
S S
截平面与体的几个棱面相交?
截交线的形状?
采用的是哪种解题方法?
四边形线面交点法
[ 例 2]求 P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。
1"
解题步骤1)分析 : 截平面为正垂面和水平面,正面投影积聚;2)求出点1 、 2 、 3 、 4;
S"
s
a´
a
a"b´(c´)
b"
b
cc"
Pv
Qv
3)顺次地连接各点,作出截交线,并且判别可见性;
S
(3)
2
2
3
1
4
3" 2"
4)补全轮廓线。
4
1
4"
[ 例 3]已知立体的 V、W投影,试求其 H投影。
单击立体模型区或此处可观看三维动画
主视图,试完成其俯、左视图。
[
例4]
已知上部开有通槽的四棱锥
[ 例 4]已知主视图和左视图,求俯视图。
6.2.2 求平面立体斜截面的实形
采用何种方法来求?
换面法
o
6.3 回转体的截交线
回转体截切的基本形式
平面与回转体表面相交,其截交线是封闭的平面图形。 截交线是由曲线围成,或者由曲线与直线围成,或者由直线段围成。 求回转体截交线,常利用积聚性或者辅助面以及投影变换的方法。
求平面与回转体截交线的一般步骤: ⒈ 空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置,以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置,明确截交线的投影特性,如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影,预见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时,其作图步骤为:
* 光滑连接各点,并判断截交线的可见性。 * 先找特殊点,补充中间点。
6.3.1 圆柱的截交线
平面与圆柱面相交时,根据平
面与圆柱轴线的相对位置不同,其截交线有三种情况:圆、椭圆和矩形。
圆柱的截交线
多个平面截切立体时,要分别对各截平面进行截交线的分析和作图。
[ 例 1]圆柱体被 P、 Q 两平面截切,试完成其三视图。
1)空间及投影分析
3)求截交线。2)分析圆柱体轮廓素线的投影。
截平面与立体的相对位置;截平面与投影面的相对位置;
解题步骤保留动
画
确定截交线形状为矩形和圆弧。
a
c
b
d
e
Pv
Qve
b(d)a(c)
e
a(b) c(d)
[ 例 2] 圆柱被正垂面截切,试画出三视图。
1 .分析:截平面为正垂面,截交线的正面投影积聚, 侧面投影和水平投影为椭圆;2 .求出截交线上的特殊点 a、 b、 c、 d;3 .求出若干个一般点 e、 e1 ;4 .光滑顺次连接各点,作出截交线,并判别可见性;5 .补全轮廓线。
解题步骤
截平面与圆柱轴线的倾角为 β,其交线的 H投影为椭圆,且椭圆的长、短轴随 β的变化而变化 。
截平面与圆柱轴线成 45° 时 , 投影为圆。
[ 例 3]已知顶部开有长方槽圆柱的主视图和俯视图,试画出其左视图。
[ 例 4]空心圆柱上部开有长方槽,若已知其 V、 H投影,试求W投影。
[ 例 4]空心圆柱上部开有长方槽,若已知其 V、 H投影,试求W投影。
6.3.2 圆锥截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位
置不同,截交线有五种形状。
圆锥的五种截交线
1.分析 : 圆锥被正垂面截切,截交线为椭圆,其水平和侧面两投影均为椭圆;
解题步骤
2.求出截交线上的各特殊点A、 B、 C、 D、 E、F; 3.求出一般点 1、 2; 4.光滑且顺次连接各点,作出截交线,并且判别可见性; 5.补全轮廓素线的投影。
[ 例 1]求正垂面与圆锥的截交线 , 并画出斜截面的实形。
b"f" e"
a"
d" c"2" 1"
a
1
2
c
d
e
f b
1'(2')c'(d')e'(f')
b'
a'
画出斜截面的实形
[ 例 2]P平面与圆锥面相交,求截交线的投影。
分 析
P平面为正平面且平行于圆锥的轴线,与圆锥面的交线为双曲线,其 H投影积聚在 PH上,W投影积聚在 PW上,求出交线的 V投影即可。
[ 例 3]圆锥被正垂面 P和侧平面 Q截切,已知其主视图,求作俯视图和左视图。
圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同,截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。
6.3.3 圆球的截交线
[ 例 1]P平面与球面相交,求其截交线的投影。
1.分析 : 圆球被正垂面截切,截交线为圆,其水平和侧面两投影均为椭圆;
解题步骤
2.求特殊点1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8; 3.求一般点a、 b、 c、 d ; 4.光滑且顺次连接各点,作出截交线,并且判别可见性; 5.补全轮廓素线的投影。
两个侧平面截切圆球,交线在左视图上为部分圆弧,在俯视图上积聚为直线。
[ 例 2] 已知上部开有通槽的半圆球的主视图,求其俯视图和左视图。
水平面截切圆球,交线在俯视图上为部分圆弧,在左视图上积聚为直线。
6.3.4 综合举例
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回转体的截交线,并依次将其连接。
保留动画
1球 2圆柱 3圆柱
[ 例 1]已知立体的俯、左视图,完成其主视图。
1球 2圆柱 3圆柱
[ 例 2]求连杆头部的截交线
球圆柱 圆环
解题步骤
3.在分界线的右侧作平面与球面的交线(圆弧);在左侧作平面与环面的交线(一段曲线)。
1.分析立体组成和截交线的组成,其水平和侧面两投影均为已知,正面投影未知;
2.作曲面的分界线;
球圆柱 圆环
本 章 结 束