エージェントアプローチ人工知能　８章・９章

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エージェントアプローチ

人工知能　８章・９章B4 　片渕

08/07/24

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目次 (第２版 )

第８章　一階述語論理

第９章　一階述語論理による推論

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８章：一階述語論理目次論理ごとの相違一階述語論理一階述語論理の使い方まとめ

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論理ごとの相違オントロジ的立場　　－各論理が推論をする際に仮定する事項　　　　・命題論理では「事実」のみを扱う

認識論的立場　　－エージェントが事実に対しての認識方法　　　　・命題論理では「真 / 偽 / 不定」で認

識

部屋 [1,1] に穴はない etc

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形式言語（論理）ごとのオントロジ的立場と認識論的立場言語（論理）オントロジ的立

場認識論的立場

命題論理事実真 / 偽 / 不定一階述語論理事実、オブジェ

クト関係

真 / 偽 / 不定

時制論理事実、オブジェクト関係、時間

真 / 偽 / 不定

確率論事実信念の強さファジィ論理真偽の度合いを

持つ事実既知の区間値

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一階述語論理命題論理との相違オブジェクト　　－推論に影響を及ぼす要素（名詞）　　　　例：部屋、 wumpus 、穴 etc

関係　　－オブジェクト間の関係（動詞）　　　　例：「風が吹いている」、「隣接している」

etc 関数　入力からただ一つの値が求まるようなもの例：「最大の～」、「１つ上の～」 etc

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一階述語論理のモデル（一例）

brotherTom Bob

student

hat

right leg right leg

on head

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一階述語論理における統語論定数記号　オブジェクトを記述　　例：「 Tom 」、「 Bob 」

述語記号　関係を記述　　例：「 Brother 」「 OnHead 」「 Student 」 etc

関数記号　関数を記述　　例：「 Hat 」（ hat を被っているのは Bob のみ）　　　　「 Rightleg(Tom) 」 (Tom の右足 )

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一階述語論理における意味論前述の記号に厳密に「解釈」を規定　　例： Brother は兄弟関係　　　　 Onhead は帽子が人の頭上にある関

係　　　　 Student は学生かどうか　　　　 Human は人間かどうか etc

　　　　を規定　　　　 Brother(Tom,Bob) は

トムとボブが兄弟の時、真を返す

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論理結合子を用いた一階述語論理の表現例￢ Brother(Tom,Rightleg(Bob))

　　　－トムとボブの右足は兄弟ではない

Student(Tom)∨Student(Bob)

　　　－トムかボブのいずれかは学生である

￢ Student(Tom) 　⇒　 Student(Bob)

　　　－トムが学生でなければボブは学生である

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限量子全称限量 ( )∀　　－全てのオブジェクトに関する記述を表現　　例：∀ x Student(x) Human(x)⇒　　　　　「全ての学生は人間である」

存在限量 ( )∃　　－世界に存在するオブジェクトに関する記述を表

現　　例：∃ x Brother(x,Bob)　　　　　「ボブには兄弟が存在する」

x: 変数

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一階述語論理における表明と質問表明 (TELL) ：文を知識ベース (KnowledgeBase,KB) に追加

　　例： TELL(KB,Student(Bob))

　　　　－文「 Student(Bob) 」を KB に追加

質問 (ASK) ：文の真偽を知識ベースに質問　　例： ASK(KB,Student(Bob))

　　　　－ KB に文「 Student(Bob) 」があるので true を返す

注： ASK(KB, x∃ Student(x)) は {x/Bob} を返す

代入：条件を満たす x

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一階述語論理の使い方例： wumpus world

部屋に風が吹いていれば隣の部屋に穴が無ければならない

　　∀ s 　 Breezy(s) ⇒∃r Adjacent(r,s) Pit(r)∧

ちなみに命題論理の場合　 Bi,j P⇒ i-1,j-1 P∨ i-1,j+1 P∨ i+1,j-1 P∨ i+1,j+1

部屋 s で風が吹く

部屋 r は部屋 s の隣にある

部屋 r に穴がある

一階述語論理によって表現の幅が広がった

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診断規則・因果規則診断規則　　－観測された結果から原因を導くもの　∀ s 　 Breezy(s) r Adjacent(r,s) Pit(r)⇒∃ ∧

因果規則　　－想定された因果関係から結果が導かれる　∀ r 　 Pit(r) [ s Adjacent(r,s) Breezy(s)]⇒ ∀ ⇒

部屋に風が吹いていれば隣の部屋に穴が無ければならない

穴によって隣の部屋全てに風が吹く

モデルベース推論

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おまけ：知識ベースの構築（知識工学）タスクの特定関連知識の収集定数、述語、関数の語彙の決定問題領域に関する一般的知識の記述　　－例：「 America は国である」 etc 特定の問題例の記述　　－例：「風が吹いていれば隣の部屋に穴があ

る」 etc 推論手続きへの質問と答えの獲得知識ベースのデバッグ

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まとめ一階述語論理はオブジェクトとその関係を表現定数記号（オブジェクト）、述語記号（関係）、関

数記号一般則の表現：限量子（∀・∃）

一階述語論理によって表現力が増した

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ここまで８章

ここから９章

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９章：一階述語論理による推論目次命題論理化単一化前向き連鎖後ろ向き連鎖一階述語論理における融合法まとめ

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命題論理への帰着一階述語論理命題論理への変換ができれば　命題論理での推論が可能　　－命題論理化　　　　・限量子の無い文に変換

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命題論理化全称具現化：全称限量（∀）の無い文に変換　　例： ∀ x Student(x) Human(x)⇒　　　　・ Student(Tom) Human(Tom)⇒　　　　・ Student(Bob) Human(Bob)⇒

存在具現化：存在限量（∃）の無い文に変換　　例： ∃ x Brother(x,Bob)

　　　　　・ Brother(C1,Bob)

スコーレム定数

※C1 が知識ベースに無いことが条件

※ 知識ベースにある語彙

全てについて

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単一化 KB 内の２つの文を 1 つの文にまとめる技法　－ UNIFY(p,q)={ 代入 }

　例 1 ： UNIFY(Brothers(Tom,x),Brothers(Tom,Bob))

　　　　 ={x/Bob} （ Brothers(Tom,Bob) に単一化）

　例 2 ： UNIFY(Brothers(Tom,x),Brothers(y,Bob))

　　　　 ={x/Bob,y/Tom} （ Brothers(Tom,Bob) に単一化）

同じ述語記号（含 : 引数の数）であることが条件

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前向き連鎖できる限りの推論を行っていきゴールを目指す

例：「 (1) アメリカ人が敵対国に武器を売るのは犯罪」である。「 (2)Nono という国はアメリカの敵国」であり、「 (3) ミサイルを持っていて」、「 (4) その全てがアメリカ人の West により販売された」。

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知識ベースへの格納（例題）(1)American （ x ）∧ Weapon （ y ）　　 ∧ Sells （ x,y,z ）∧ Hostile(z) Criminal(x)⇒(2)Hostile(Nono)

(3)∃x Owns(Nono,x) Missile(x)∧命題論理化 (3.1)Owns(Nono,C1) (3.2)Missile(C1)

(4)Missile(x) Owns(Nono,x) Sells(West,x,Nono)∧ ⇒

※ 「ミサイルが武器」「 West はアメリカ人」という事実も格納

(5)Missile(x) Weapon(x) (6)American(West)⇒

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前向き連鎖での推論（例） KB より「 West が犯罪者である」ことを証

明

　　 (3.1)(3.2)(4) より　 (7)Sells(West,C1,Nono)

　　 (3.2)(5) より　　　　 (8)Weapon(C1)

　　 (1)(2)(6)(7)(8) より (9)Criminal(West)

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前向き連鎖の証明木 Criminal(West)

American(West)

Weapon(C1) Sells(West,C1,Nono)

Hostile(Nono)

Owns(Nono,C1)Missile(C1)

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後ろ向き連鎖ゴールが正しいことを KB の文を用いて証明して

いく

例：「 West が犯罪者である」ことを証明するには　 (1) より「 American(West) 」 KB に存在　　　　　「 Weapon(y) 」　　　　　「 Sells(West,y,z) 」　　　　　「 Hostile(Nono) 」 KB に存在　　　　　を証明する必要がある（以下同様）

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後ろ向き連鎖の証明木 Criminal(West)

American(West)

Weapon(y) Sells(West,C1,z)

Hostile(Nono)

Owns(Nono,C1)Missile(y)

{y/C1}

{z/Nono}

Missile(C1)

単一化により Missile(C1) と同等になる

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一階述語論理における融合法連言標準形（ conjunctive normal form:CNF ）への変換　　－命題論理における融合規則を利用

消去する相補リテラルについて　　－述語記号が同じで引数が異なる場合は単一化で消去　　　例： [P(Tom) Q(∨ Tom,Bob)] [∧ ￢ Q(x,y) R(Bob)]∨　　　　　 [P(Tom) R(Bob)] ({∨ x/Tom, y/Bob} で単一化 )

(l1 l∨ 2∨ ・・∨ lk) (m∧ 1 m∨ 2∨ ・・∨ mk) l1∨ ・・∨ li-1 l∨ i+1∨ ・・∨ lk m∨ 1 ∨ ・・∨ mi-1 m∨ i+1∨ ・・∨ mk

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CNFへの変換方法 (1/2) 条件文の消去　　－∀ x Missile(x) Weapon(x)⇒　　　　∀ x ￢ Missile(x) Weapon(x)∨

負リテラル ( ￢ ) を限量子の内部に移す　　－￢∀ x Criminal(x)　　　　∃ x ￢ Criminal(x)

変数標準化：変数の混同を回避　　－ ( x P(x) ) (∀ ∨ ∃x Q(x) )　　　　 ( x P(x) ) (∀ ∨ ∃y Q(y) )

ホーン節

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CNFへの変換方法 (2/2) スコーレム化：（「∃」の削除）　　－∀ x [ y Brother(x,y)]∃　　　　∀ x Brother(x,F(x))

全称限量子「∀」の削除　　－ ∀ x Brother(x,F(x))　　　 Brother(x,F(x))

∧ を∨に分配　　－ [P(x) ∧ 　 Q(x)] R(x)∨　　　 [P(x) R(x)]∨ ∧ [P(x) R(x)]∨

スコーレム関数

CNF

x に依存することを明示

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融合法での推論 (1/2)例：犯罪例題 KB 内の文を CNF に変換(1) ￢ American （ x ）∨￢ Weapon （ y ）　　 ∨ ￢ Sells （ x,y,z ）∨￢ Hostile(z) Criminal(x)∨(2)Hostile(Nono)

(3.1)Owns(Nono,C1) (3.2)Missile(C1)

(4)Missile(x) Owns(Nono,x) Sells(West,x,Nono)∧ ⇒(5) ￢ Missile(x) Weapon(x) (6)American(West)∨ ゴールの文の否定も追加（背理法で解く）　 (7) ￢ Criminal(West)

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融合法での推論 (2/2)例：犯罪例題融合規則により文を消去していく　 (1) (7) ∧ （ Criminal(West) と￢ Criminal(West) を消去）

　　 (8) ￢ American （ x ）∨￢ Weapon （ y ）∨ 　　　　￢ Sells （ x,y,z ）∨￢ Hostile(z)

　 (6) (8) ∧ （ American(West) と￢ American(West) を消去）

　　 (9) ￢ Weapon （ y ）∨ ￢ Sells （ x,y,z ）∨￢ Hostile(z)

最終的に Hostile(x)∧ ￢ Hostile(x) になる矛盾　

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まとめ命題論理化：一階述語論理を命題論理に変換単一化：同じ述語を一つにまとめる前向き連鎖： KB を基にできる限りの推論を

行う後ろ向き連鎖：ゴールから後ろ向きに証明す

る融合法を用いる時は連言標準形に変換　　－全ての一階述語論理は CNF に変換可能

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おまけ：Prolog

一階述語論理に基づいた推論を行うプログラム言語

Student(Bob).Human(x) := Student(x).

Student(Bob).Student(Tom).

Human(x) := Student(x).

?Human(Bob).true

?Human(x).x=Bob

;x=Tom

知識ベース質問と回答

Student(x) Human(x)⇒

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