1

Σχεδιαση βελτιστου δεκτηΔεκτης συσχετισης

Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρουΠιθανοτητα σφαλματος

ΗΥ430 Ψηφιακες Επικοινωνιες

2

Συναρτησεις Βασης ενος συνολου σηματων

• Εχουμε ενα συνολο σηματων (κυματομορφων) {s1(t), s2(t),…,sM(t)}

πληθους Μ, και εκπεμπεται μια απο αυτες καθε φορα.

• Οι συναρτησεις {f1(t), f2(t),…fK(t)}, οπου Κ Μ, αποτελουν μια πληρη ορθοκανονικη βαση για το δοθεν συνολο των σηματων αν:

– Οι συναρτησεις βασης ειναι ορθογωνιες μεταξυ τους, δηλαδη:

– Οι συναρτησεις βασης ειναι κανονικοποιημενες:

– Καθε σημα μπορει να γραφτει σαν γραμμικος συνδυασμος

, ,1

( ) ( ), 1, 2,..., οπου ( ) ( )i

K b

i i k k i k kak

s t s f t i M s s t f t dt

jidttftfb

a ji ,0)()(

b

a k kdttf ,1)( 2

3

Συναρτησεις Βασης και χωρος σηματων

f1(t)f2(t)..fK(t)

s1(t)s2(t)...

sM(t)

Καθε μια απο τις κυματομορφες si(t)μπορει να παρασταθει σαν ενα σημειο στον K-διαστατο χωρο που αποτελουν οι συναρτησεις που μπορουν να περιγραφουν απο τις συναρτησεις βασης fj(t)

{f1(t), f2(t),…fK(t)}

{s1(t), s2(t),…,sM(t)}

, ,1

( ) ( ), 1, 2,..., οπου ( ) ( )i

K b

i i k k i k kak

s t s f t i M s s t f t dt

Χωρος σηματων

4

Εφαρμογη στις ψηφιακες επικοινωνιεςΟ Διαμορφωτης

• Σε ενα ψηφιακο τηλεπικοινωνιακο συστημα log2M bits πληροφοριας μεταδιδονται με μια απο τις Μ διαθεσιμες κυματομορφες του συνολου SM . Αν οι κυματομορφες αυτες ανηκουν σε χωρο σηματων με γνωστες συναρτησεις βασης τοτε μπορουμε να τις περιγραψουμε χρησιμοποιωντας:– Τον καταλογο των Κ συντελεστων του αναπτυγματος καθε συναρτησης

– Την γραφικη παρασταση του Κ-διαστατου αστερισμου σηματων οπου σημειωνεται η θεση καθε σηματος στον χωρο των σηματων.

• Η γραφικη παρασταση αυτη δινει πληθωρα πληροφοριων χρησιμων για την διαμορφωση και αποδιαμορφωση αυτων των σηματων

• Η εξισωση-κλειδι ειναι η εξισωση συνθεσης:

Διαμορφωση ειναι η διαδικασια υλοποιησης της εξισωσης αυτης

,1

( ) ( ), 1, 2,..., K

i i k kk

s t s f t i M

5

Εξισωση συνθεσηςΓενικη μορφη Διαμορφωτη

log2M – bits address συντελεστες

Αλλαγη συμβολισμουφk(t) fk(t)am,I sm,i

LUT= Look-up-table

6

Λειτουργια του διαμορφωτη

• Εν γενει, ενας διαμορφωτης με Μ σηματα Κ-διαστασεων χρειαζεται να αποθηκευσει τους K x M συντελεστες (Κ συντελεστες για καθε ενα απο τα Μ σηματα) και να παραγάγει τις Κ συναρτησεις βασης.

• Οι συντελεστες αποθηκευονται σε Κ look-up tables (LUTs)που εχουν log2M γραμμες διευθυνσεων και μια εξοδο

• Το δεδομενα εισοδου ομαδοποιουνται σε ομαδες των log2M bits και καθοριζουν το εκπεμπομενο συμβολο και την κοινη διευθυνση των LUTs.

• Οι εξοδοι των LUTs ειναι οι Κ συντελεστες του αναπτυγματος του επιθυμητου σηματος.

• Οι Κ συντελεστες πολλαπλασιαζουν τις Κ συναρτησεις βασης και τα Κ γινομενα αθροιζομενα δινουν το επιθυμητο σημα που αντιστοιχει στο συγκεκριμένο συμβολο.

7

Ανακεφαλαιωση

• Εξισωση συνθεσης (διαμορφωτης)

• Εξισωση αναλυσης (αποδιαμορφωτης):

• Ενεργεια σηματος:

,1

( ) ( ), 1, 2,..., K

i i k kk

s t s f t i M

, ( ) ( )i

b

i k kas s t f t dt

2 2,

1

| ( ) |Kb

m m iai

E s t dt s

8

Διαμορφωση

• Θελουμε με τα ψηφιακα δεδομενα να διαμορφωσουμε κυματομορφες που να ειναι:

– Φασματικα αποδοτικες, και

– Ενεργειακα οικονομικες

• Η παρασταση στον χωρο σηματων ειναι μια βολικη μεθοδος θεωρησης της διαμορφωσης η οποια μας επιτρεπει

– Να σχεδιαζουμε φασματικα και ενεργειακα αποδοτικους αστερισμους σηματων.

– Να καθοριζουμε την μορφη του βελτιστου δεκτη για δεδομενο διαγραμμα αστερισμου.

– Να αξιολογουμε τις επιδοσεις του δεδομενου τυπου διαμορφωσης

9

Αποδιαμορφωση σηματος

• Εκπεμπουμε ενα σημα s(t) {s1(t), s2(t),…,sM(t)}, οπου το s(t) ειναι μηδενικο για t [0,T]. Για παραδειγμα, εκπεμπουμε το sm(t) αν θελουμε να μεταδωσουμε το m-στο από Μ συμβολα.

• Τα διαφορα σηματα εκπεμπονται με πιθανοτητα

p1= Pr[s1(t)],…, pM=Pr[sM(t)]

• To λαμβανομενο σημα στον δεκτη ειναι αλλοιωμένο λογω θορυβου o οποιος υποτιθεται προσθετικος

r(t) = s(t) + n(t)

• Δοθεντος του r(t), ο δεκτης υπολογιζει μια εκτιμηση ŝ(t) του σηματος s(t), με στοχο την ελαχιστοποιηση της πιθανοτητας σφαλματος εκτιμησης ενος συμβολου Ps=Pr[ ŝ(t) s(t)]

10

To μοντελο του θορυβου

• Το σημα υφισταται στο καναλι αλλοιωση λογω προσθετικου Λευκου Gaussian Θορυβου

(Αdditive White Gaussian Noise – AWGN) n(t)

• O θορυβος n(t) εχει μεση τιμη 0, συναρτηση αυτοσυσχετισης Rnn(τ) = [N0/2]δ(τ) και πυκνοτητα φασματικης ισχυος Snn(f) = N0/2.

• Καθε γραμμικη συναρτηση του n(t) ειναι επισης Gaussian στοχαστικη διαδικασια.

Σs(t)

n(t)

r(t)Καναλι

11

Παρασταση στον χωρο των σηματων

• Το εκπεμπομενο σημα μπορει να παρασταθει ως εξης:

• Ο θορυβος μπορει να παρασταθει επισης με την βοηθεια των συναρτησεων βασης ως εξης:

• Η συνιστωσα n'(t) του θορυβου ειναι το μερος του θορυβου που δεν ανηκει στον χωρο που περιγραφουν οι συναρτησεις βασης (δεν μπορει να γραφει σαν γραμμικος συνδυασμος τους).

• Στο επομενο slide αποδεικνυεται οτι το n'(t) sm(t) m[0,…,M-1]

T

kmkm

K

kkkmm dttftsstfsts

0,

1, )()(),()(

K

kkk

T

kk

K

kkk

tfntntn

dttftnntfntntn

1

01

)()()(

,)()(),()()(

12

H συνιστωσα n'(t) ειναι ορθογωνια προς ολα τα σηματα sm(t)

• Πραγματι:

K

kkkm

K

kkkm

K

k

T

k

K

llkm

K

kkkm

K

kl

T

k

K

llkm

K

kk

T

km

K

lll

T K

kkkm

T K

lllm

T

m

nsns

dttflknsns

dttftfnsdttftns

dttfntntfs

dttfntntsdttnts

1,

1,

1 0

2

1,

1,

1 01,

1 0,

10 1,

0 10

0

)()(

)()()()(

)()()(

)()()()(')(

13

Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

• Το λαμβανομενο σημα μπορει λοιπον να παρασταθει ως εξης:

• οπου rk = sm,k + nk

)(')()(')()(

)()()(

111, tntfrtntfntfs

tntstr

k

K

kkk

K

kkk

K

kkm

f1(t)

f2(t)

[r1, r2]

n'(t)

14

O χωρος αποφασεων συρρικνώνεται σε χωρο πεπερασμενων διαστασεων

• Εκπεμπουμε ενα σημα το οποιο απεικονιζεται με το διανυσμα πληροφοριας Κ διαστασεων: s = [s1, s2,…, sK] {s1,s2,…,sM}

• Λαμβανουμε το διανυσμα r = [r1, r2,…,rK]= s+n, το οποιο ειναι το αθροισμα του εκπεμπομενου διανυσματος s και του διανυσματος του θερυβου n = [n1, n2,…nK].

• Δοθεντος του r θελουμε να βρουμε μια εκτιμηση ŝ του εκπεμπομενου διανυσματος s ωστε να ελαχιστοποιειται η πιθανοτητα σφαλματος Ps=Pr[ŝs]

Σs

n

rΚαναλιΔεκτηςr ŝ

15

Κανονας Αποφασης μεγιστης μεταπιθανοτητας MAP (Maximum a posteriory Probability)

• Υποθετουμε οτι τα διανυσματα {s1,s2,…,sM} με τα οποια μεταδιδονται τα Μ διαφορετικα συμβολα, εκπεμπονται με πιθανοτητες {p1, p2,…,pM} αντιστοιχα, και οτι λαμβανεται το διανυσμα r.

• H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν στον δεκτη η εκτιμηση ŝ ειναι το διανυσμα sm για το οποιο ισχυει:

Pr[sm |r] Pr[si |r], mi

(ΜΑΡ receiver)

• Ισοδυναμα (Bayes)

imppή

imp

p

p

p

iimm

iimm

,)Pr()()Pr()(

,)(

)Pr()(

)(

)Pr()(

ssrssr

r

ssr

r

ssr

16

Κανονας Αποφασης μεγιστης πιθανοφανειαςML (Maximum Likelihood)

• Αν p1=p2=…=pm =1/M, ή αν οι πιθανοτητες εκπομπης των συμβολων ειναι αγνωστες (οπότε υποτίθεται ισες), τοτε ο κανονας MAP ισοδυναμει με τον ML

• H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν επιλεξουμε ως εκπεμπομενο συμβολο το sm το οποιο ικανοποιει την σχεση :

p(r|sm) p(r|si), mi.

(ML receiver)

17

Υπολογισμος πιθανοτητων

• Για να εφαρμοσουμε τους κανονες αποφασης MAP και ML χρειαζεται ο υπολογισμος των πιθανοτητων p(r|sm).

• Επειδη r = sm + n, οπου το sm ειναι ενα σταθερο διανυσμα, αρκει να υπολογισουμε την p(n) = p (n1, n2,…,nK) που ειναι η από κοινου pdf των Κ τυχαιων μεταβλητων ni.

• Ο θορυβος n(t) ειναι μια Gaussian τυχαια διαδικασια– Επομενως η συνιστωσα του

ειναι μια Gaussian τυχαια μεταβλητη.– Κατα συνεπεια η p(n1, n2,…,nK) ειναι η απο κοινου pdf Κ

Gaussian μεταβλητων

T

kk dttftnn0

)()(

18

Υπολογισμος της pdf του θορυβου, p(n)

• Οι Gaussian μεταβλητες ni και nk ειναι ασυσχετιστες

Πραγματι:

kiNkiki

T T

ki

T T

kinn

T T

ki

T

ki

T

T

k

T

iki

kiN

dttftfN

dtdssftfstN

dtdssftfstR

dtdssftfsntnEdtdssftfsntnE

dssfsndttftnEnnE

,2,,0

0

0

0

0 0

0

0 0

0 00 0

00

0)(2

)()(2

)()()(2

)()()(

)()()]()([)()()()(

)()()()(][

19

Υπολογισμος της pdf του θορυβου, p(n) (2)

• Επειδη Ε[nink]=0 για ik, οι συνιστωσες του θορυβου ειναι ασυσχετιστες και επομενως ανεξαρτητες.

• Επειδη Ε[nk2] =N0/2, καθε συνιστωσα του θορυβου εχει

μεταβλητοτητα (variance) ιση με Ν0/2. Κατα συνεπεια:

01

22/0

10

2

0

2121

/exp)(

/exp1

)()...()(),...,,(

NnN

NnN

npnpnpnnnp

K

kk

K

K

kk

KK

p(n)=

20

Η υπο συνθηκη pdf του λαμβανομενου σηματος r, p(r|sm)

• Oι μεσες τιμες των συνιστωσων του λαμβανομενου σηματος είναι oι αντιστοιχες συνιστωσες του εκπεμπομενου διανυσματος,

nk=rk-sm,k και επομενως:

2, 0

1

( ) /

0

1( | ) e

( )

K

k m kk

r s N

Kp

N

mr s

21

Δομη του βελτιστου Δεκτη

• Κανονας αποφασης MAP:

•

•

•

)|(maxargˆ},...,,{ 21

msrs ppmsss M

K

kkmk

Km

sssNsrNp

M 10

2,

2/0

},...,,{/)(exp)(maxargˆ

21

s

K

kkmk

Km

sssNsrNp

M 10

2,

2/0

},...,,{/)(exp)(lnmaxargˆ

21

s

K

kkmkm

ssssr

NN

Kp

M 1

2,

00

},...,,{)(

1]ln[

2]ln[maxargˆ

21

s

22

Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

• Απο τα πιο πανω προκυπτει οτι επιλεγεται εκεινο η κυματομορφη sm(t) απο το σημειο της οποιας στον αστερισμο των σηματων εχει την μικροτερη ευκλείδεια αποσταση το σημειο προβολης του λαμβανομενου σηματος r(t).

f1(t)

f2(t)

[r1, r2]

n'(t)

K

kkmk

Km

sssNsrNp

M 10

2,

2/0

},...,,{/)(exp)(maxargˆ

21

s

[s1,1, s1,2]

23

Δομη του βελτιστου Δεκτη (συνεχεια)

• Απαλειφοντας ορους οι οποιοι ειναι κοινοι για ολες τις επιλογες εχουμε:

• Πολλαπλασιαζουμε και με το Ν0/2 και εχουμε την τελικη μορφη του MAP receiver

K

k

K

kkmk

K

kkmk

m

sss srsrN

NK

p

M

1 1,

1

2,

2

0

0

},...,,{ 21

]ln[2

]ln[

maxargˆ21

s

K

kkm

K

kkmkm

ssss

Nsr

Np

M 1

2,

01,

0},...,,{)(

12]ln[maxargˆ

21

s

K

kkm

K

kkmkm

sssssrp

N

M 1

2,

1,

0

},...,,{)(

2

1]ln[

2maxargˆ

21

s

24

Φυσικη ερμηνεια του αποτελεσματος

• Το (Ν0/2)ln[pm] δειχνει την σημασια της πιθανοτητας εκπομπης ενος συμβολου.

– Αν ο θορυβος ειναι μεγαλος, η pm εχει μεγαλη βαρυτητα

– Αν ο θορυβος ειναι μικρος, το λαμβανομενο σημα θα μοιάζει πολυ με το εκπεμπομενο και η σημασια των pm ειναι μικρη.

• Το ειναι η συσχετιση του

εκπεμπομενου με το λαμβανομενο σημα.

• Το ειναι η ενεργεια του

εκπεμπομενου σηματος

T

m

K

kkmk dttstrsr

01, )()(, msr

2)(

2

1

2

1

2

1

0

2

1

22,

mT

m

K

kkm

Edttss

ms

25

Μια υλοποιηση του βελτιστου δεκτηΟ Correlation Receiver

2

]ln[2

)()(maxargˆ 0

0},...,,{ 21

mm

T

msss

Ep

Ndttstr

M

sΕιδαμε οτι

Χ Tdt

0)(r(t)

s1(t)

Σ Σ

-Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1)Επιλογη

τουμεγαλυτερου

Χ Tdt

0)(r(t)

sm(t)

Σ Σ

-Εm/2 (Ν0/2)ln(pm)

Χ Tdt

0)(r(t)

sM(t)

Σ Σ

-ΕM/2 (Ν0/2)ln(pM)

.

.

.

.

26

Απλοποιησεις για ειδικες περιπτωσεις

• Κριτηριο ML: Αν ολα τα σηματα ειναι ισοπιθανα (p1=p2=…=pM) οι πιθανοτητες εκπομπης pm μπορουν να αγνοηθουν.

• Αν ολα τα σηματα εχουν ιση ενεργεια (Ε1=Ε2=...=ΕΜ) οι οροι ενεργειας μπορουν επισης να αγνοηθουν.

• Τελικα το κριτηριο αποφασης απλοποιειται στο:

T

msss

dttstrM 0},...,,{

)()(maxargˆ21

s

Χ Tdt

0)(r(t)

s1(t)Χ T

dt0

)(r(t)

sm(t)

Χ Tdt

0)(r(t)

Επιλογη του

μεγαλυτερου

.

.

.

.

sΜ(t)

Δεκτης συσχετισηςCorrelation Receiver

27

Υλοποιηση μειωμενης πολυπλοκοτηταςi) Η βαθμιδα συσχετισης

• Μπορουμε να ελαττωσουμε τον αριθμο των συσχετιστων αν υλοποιησουμε την εκφραση του ŝ συναρτησει των συναρτησεων βασης

K

kkm

K

kkmkm

sssssrp

N

M 1

2,

1,

0

},...,,{)(

2

1]ln[

2maxargˆ

21

s

Χ Tdt

0)(r(t)

f1(t)

Χ Tdt

0)(r(t)

fK(t)

r1

rK

r=[r1,r2,…,rK]

συνιστωσες του λαμβανομενουσηματος στο συστημα τωνσυναρτησεων βασης

Προβολη του r(t) στις συναρτησεις βασης (υπολογισμος των rk)

28

Υλοποιηση μειωμενης πολυπλοκοτηταςii) Η βαθμιδα Επεξεργασιας

Χ

r=[r1,r2,…,rK]

S

KMK

M

ss

ss

,,1

1,1,1

...

.........

...

S

Σ

Σ

Σ

Σ

K

kkk rs

1,1

K

kkkM rs

1,

Επιλογητου

μεγαλυτερου

-Ε1/2

-ΕΜ/2

(Ν0/2)ln(p1)

(Ν0/2)ln(pM)

29

Ο Δεκτης Προσαρμοσμενου ΦιλτρουMatched Filter Receiver

• Υποθετουμε οτι οι συναρτησεις βασης fk(t) ειναι μη μηδενικες στο διαστημα [0,Τ], και οριζουμε την hk(t) = fk(T – t) fk(t) = hk(T – t)

• Τοτε

οπου το r(t)hk(t)|t=T συμβολιζει την τιμη της συνελιξης των σηματων r(t) και hk(t) κατα την στιγμη t=T.

• Μπορουμε δηλαδη να υλοποιησουμε την συσχετιση του r(t) με την συναρτηση βασης fk(t) περνώντας το r(t) μεσα απο ενα γραμμικο φιλτρο με κρουστικη αποκριση hk(t) = fk(T – t). To φιλτρο αυτο ονομαζεται "προσαρμοσμενο - matched"

Ttk

T

k

T

kk thtrdttThtrdttftrr )()()()()()(00

30

Υλοποιηση του correlator με προσαρμοσμενο φιλτρο

h1(t)

hK(t)

•••

r(t)

r(t)

r1

rK

t=T

t=T

r=[r1,r2,…,rK]

Προσαρμοσμενο φιλτρο

hk(t) = fk(T – t)

Βαθμιδαεπεξεργασιας

31

Υλοποιηση του correlator με προσαρμοσμενο φιλτρο (2)

• Χωρις προβολη στις συναρτησεις βασης

s1(Τ-t)r(t) Σ Σ

-Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1)Επιλογη

τουμεγαλυτερου

r(t) sm(Τ-t) Σ Σ

-Εm/2 (Ν0/2)ln(pm)

r(t) Σ Σ

-ΕM/2 (Ν0/2)ln(pM)

.

.

.

.

s1(Τ-t)

t=T

Προσαρμοσμενα φιλτρα

2

]ln[2

)()(maxargˆ 0

0},...,,{ 21

mm

T

msss

Ep

Ndttstr

M

s

hm(t)=sm(T-t)

32

Παραδειγμα σχεδιασης Βελτιστου Δεκτη

• Το συνολο των σηματων μας ειναι οι ακολουθες κυματομορφες, Μ=4:

• s1(t) s2(t)

• s3(t) s4(t)

1

-11 2 t

1

1 2 t

1

1 2 t

1

1 2 t

2

1 1 2

T=2, E1=E2=E3=E4=2

33

Δεκτης συσχετισης (Correlation Rx)

Χ 2

0)( dtr(t)

s1(t)

Σ Σ

-Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1)Επιλογη

τουμεγαλυτερου

Χ 2

0)( dtr(t)

s4(t)

Σ Σ

-Ε4/2 (Ν0/2)ln(p4)

.

.

.

.

•••

Επειδη τα σηματα εχουν ισες ενεργειες μπορουμενα τις αγνοησουμε

34

Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου(Matched Filter Rx)

h1(t)

h4(t)

•••

r(t)

r(t)

t=2

t=2

hk(t) = sk(2 – t)

Σ

Σ

(Ν0/2)ln(p1)

(Ν0/2)ln(p4)

Επιλογη του

μεγαλυτερου

35

Σχεδιαση βελτιστου δεκτη μειωμενης πολυπλοκοτητας

• Το πιο κατω συνολο συναρτησεων αποτελει μια πληρη ορθοκανονικη βαση για τις 4 κυματομορφες του παραδειγματος:

• f1(t) f2(t)

• s1(t) = 1·f1(t) +1·f2(t), s2(t) = 1·f1(t) - 1·f2(t)

• s3(t) = -1·f1(t) +1·f2(t), s4(t) = -1·f1(t) -1·f2(t)

1 2-1

1

1 2-1

1

36

Δεκτης μειωμενης πολυπλοκοτηταςΒαθμιδα συσχετισμου

• Δεκτης Συσχετισης

• Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου

Χ 2

0)( dt

f1(t)

Χ 2

0)( dt

f2(t)

r(t)

r(t)

r=[r1 r2]

r1

r2

h1(t)r(t)

h2(t)r(t)

r1

r2

r=[r1 r2]

hk(t) = fk(2 – t)

1 2

h1(t)

1 2

h2(t)

t=2

37

Δεκτης συσχετισης μειωμενης πολυπλοκοτηταςΒαθμιδα Επεξεργασιας

Σ

Ν0ln(p1)/2

1·r1+1·r2

Σ

Ν0ln(p2)/2

1·r1-1·r2

Σ

Ν0ln(p3)/2

-1·r1+1·r2

Σ

Ν0ln(p4)/2

-1·r1-1·r2

Επιλογη του

μεγαλυτερου

Χ

r=[r1,r2]

S

1111

1111S

• •

• •

s1s3

s4 s2

f1

f2

38

Αναλυση λειτουργιας του δεκτη συσχετισης (Μονοδιαστατος χωρος σηματων)

r(t)

f(t)=(1/T) για 0≤t≤T = 0 αλλου

trigger at t=kT

Εκπεμπομενο σημα(ΝΤ)

39

Διαδοχικες αποφασεις του δεκτη συσχετισης

40

Λειτουργια δεκτη προσαρμοσμενου φιλτρου

r(t) h(t)=f(T-t)

trigger at t=kTΕδώ h(t)= 1/T για 0≤t≤T = 0 αλλου

(ΝΤ)

41

42

43

44

45

46

Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

• Απο τα προηγουμενα προκυπτει οτι ο δεκτης MAP επιλεγει εκεινη την κυματομορφη sm(t) η οποια εχει την μικροτερη ευκλείδεια αποσταση απο το σημειο προβολης του λαμβανομενου σηματος r(t) στον χωρο των σηματων.

f1(t)

f2(t)

[r1, r2]

n'(t)

K

kkmk

Km

sssNsrNp

M 10

2,

2/0

},...,,{/)(exp)(maxargˆ

21

s

[s1,1, s1,2]

47

Περιληψη της σχεδιασης του βελτιστου Δεκτη

• Ο βελτιστος συμφωνος (coherent) δεκτης για τον AWGN εχει τρια μερη:

– Το πρωτο μερος συσχετιζει το λαμβανομενο σημα με καθε ενα απο τα πιθανα να μεταδοθουν σηματα

– Το δευτερο κανονικοποιει την συσχετιση εισάγοντας την επιδραση της ενεργειας καθε σηματος.

– και το τριτο εισαγει την επιδραση της πιθανοτητας εκπομπης ενος συμβολου σε συναρτηση με την ισχυ του θορυβου.

• Αυτος ο δεκτης ειναι γενικης εφαρμογης για καθε συνολο σηματων.

• Απλοποιησεις ειναι δυνατες κατω απο διαφορες συνθηκες.

K

kkm

K

kkmkm

sssssrp

N

M 1

2,

1,

0

},...,,{)(

2

1]ln[

2maxargˆ

21

s

48

Κριτηρια επιδοσεων τηλεπικοινωνιακων συστηματων

• Η πιθανοτητα σφαλματος ειναι το βασικο κριτηριο επιδοσεων ενος συστηματος διαμορφωσης-αποδιαμορφωσης.

• Σφαλμα εχουμε οταν η εκτιμηση ενος συμβολου ειναι διαφορετικη απο το πραγματικο συμβολο d. – Ο λογος που εχουμε σφαλματα φαινεται στα πιο κατω διαγραμματα προβολης

των λαμβανομενων σηματων στις συναρτησεις βασης

d̂

49

Περιοχες Αποφασης

• Βελτιστος κανονας αποφασης:

• Εστω οτι η ειναι η περιοχη οπου

jm

• Τοτε η περιοχη Rm ειναι η m-οστη "περιοχη αποφασης" (= η περιοχη οπου αν πεσει το r αποφασιζεται ότι σταλθηκε το m-οστο συμβολο)

K

kkm

K

kkmkm

sssssrp

N

M 1

2,

1,

0

},...,,{)(

2

1]ln[

2maxargˆ

21

s

KmR

K

kkj

K

kkjkj

K

kkm

K

kkmkm ssrp

Nssrp

N

1

2,

1,

0

1

2,

1,

0 )(2

1]ln[

2)(

2

1]ln[

2

50

Παρατηρησεις για τις περιοχες αποφασης

• Τα ορια των περιοχων αποφασης ειναι καθετα στην γραμμη που συνδεει δυο σημεια του χωρου σηματων.

• Αν τα σηματα ειναι ισοπιθανα, τα ορια αποφασης ειναι ακριβως στο μεσον της αποστασης μεταξυ δυο σημειων.

• Αν τα σηματα δεν ειναι ισοπιθανα, η περιοχη του λιγωτερου πιθανου σηματος συρρικνώνεται.

51

Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου

• Η Ps(e) = Pr[ŝs] ειναι η μεση πιθανοτητα σφαλματος συμβολου, δηλαδη:

– οπου Pr[ŝsi|s=si ]=P(E|si) ειναι η υπο συνθηκη πιθανοτητα να μην αποφασισει ο δεκτης οτι σταλθηκε το si οταν πραγματι στελνεται το si. Ειναι:

P(E|si)=

• Εχουμε πολλαπλή ολοκληρωση στην περιοχη Ri διοτι η pdf ειναι Κ διαστασεων

M

iiiis eP

1]|ˆPr[]Pr[)( sssss

rsrssss dp iR

ii

i

]|[1]|ˆPr[

K

kkik

Ki NsrNp

10

2,

2/0 /)(exp)()|( sr

1

Pr[ ] ( | )M

ii

P E

is s

52

Υπολογισμος πιθανοτητας σφαλματος

• Επειδη η πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου εξαρταται απο το μεγεθος της περιοχης αποφασης και οι περιοχες αποφασης ειναι εν γενει διαφορετικες για καθε σημειο του αστερισμου, θα υπολογισουμε την πιθανοτητα σφαλματος υποθετωντας οτι εκπεμφθηκε το συμβολο sm. Οι υπολογισμοι θα γινουν για m=1,…,M και θα χρησιμοποιησουμε το θεωρημα της ολικης πιθανοτητας για να συνδυασουμε τα αποτελεσματα.

• Για δυαδικες διαμορφωσεις η διαδικασια εχει ως εξης:

1. Υποθετουμε οτι στελνεται το s1 και υπολογιζουμε την πιθανοτητα σφαλματος P(E|s1).

2. Υποθετουμε οτι στελνεται το s2 και υπολογιζουμε την πιθανοτητα σφαλματος P(E|s2).

3. Χρησιμοποιουμε το θεωρημα της ολικης πιθανοτητας για να υπολογισουμε την μεση πιθανοτητα σφαλματος:

P(E) = P(E|s1 )Pr{σταλθηκε το s1}+ P(E|s2 )Pr{σταλθηκε το s2}4. Κανουμε την λογικη υποθεση οτι

Pr{σταλθηκε το s1}=Pr{σταλθηκε το s2}=1/2

οποτε P(E) =(1/2)P(E|s1) + (1/2)P(E|s2)= (1/2)[P(E|s1) + P(E|s2)}

53

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμβολου για το BPSK

• Δυο σηματα αντιθετου προσημου Μ=2: (Ρ = η ισχυς του σηματος)

• Μια συναρτηση βασης:

• Παρασταση στον χωρο των σηματων:

• Pr[s1] = Pr[s2] = 0.5 (ισοπιθανα συμβολα)

Tc

Tc tfPtstfPts 0201 |)2cos(2)(,|)2cos(2)(

Tctf

Ttf

01 )2cos(2

)(

)()(),()()( 12111 tfEtstfEtfPTts bb bitEEsEs bbb ,, 21

Χ Χs2 s1

-EbEb

54

Ορια των περιοχων αποφασης για το BPSK

• Συμφωνα με τον ΜΑΡ κανονα αποφασης επιλεγεται το s1 αν:

• p(r|s1)Pr(s1) p(r|s2)Pr(s2)

0

expexp

exp1

2

1exp

1

2

1

22

0

2

0

2

0

2

00

2

0

rErEr

N

Er

N

Er

N

Er

NN

Er

N

bb

bb

bb

s2= - Ebs1 = Eb r

R2 R1

0

55

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το BPSK

20

2 2 200

22

0 00 0 0

1ˆ( | ) Pr[ | ] 1 exp

1 1exp exp ,

b

b

b

b

E

r EP E s s s s s dr

NN

r E ydr dy y r E

N NN N

2,

2exp

2

1

02

2

0

Nyxdx

x

NEb

2 2 2 0

2

ˆ( | ) Pr[ | ] 2 / ,

1( ) exp

22

b

u

P E s s s s s Q E N

xQ u dx

Δηλαδη:

56

57

Πιθανοτητες σφαλματος για το BPSK

• Στο προηγουμενο slide ειδαμε οτι:

• Λογω συμμετριας:

• Μολονοτι το αποτελεσμα εξηχθη για την περιπτωση του BPSK, το ιδιο αποτελεσμα ισχυει για καθε συνολο σηματων με το ιδιο διαγραμμα αστερισμου.

Ps(e)= Q(di,j / 2N0) οπου di,j ειναι η ευκλειδεια αποσταση των σημειων i και j

dxx

uQ

NEQssss

u

b

2exp

2

1)(

,/2]|ˆPr[

2

022

),(/2]|ˆPr[]|ˆPr[ 02211 ePNEQssssssss sb

58

Γραφικη παρασταση της πιθανοτητας σφαλματος για το BPSK

59

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο (coherent) FSK

• Δυο ορθογωνια σηματα (Μ=2):

– τα σηματα ειναι ορθογωνια για f1-f2=k/2T, οπου k = σταθ. (γιατι??).

• Δυο συναρτησεις βασης:

• Παρασταση στον χωρο των σηματων:

TT tfPtstfPts 022011 |)2cos(2)(,|)2cos(2)(

TT tfT

tftfT

tf022011 )2cos(

2)(,)2cos(

2)(

]0[],0[

)()(),()(

21

2211

bb

bb

EE

tfEtstfEts

ss

60

Περιοχες αποφασης για το δυαδικο συμφωνο FSK

bE

bEf2(t)

f1(t)

R1

R2 •

•

s2

s1

Με περιστροφη και μετακινηση των αξονων εχουμε:

• •s2'= - Eb/2 s1'= Eb/2

R2 R1

61

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο (coherent) FSK

• Καθε μεταθεση, περιστροφη ή ανακλαση των συντεταγμενων, που δεν αλλαζει την αποσταση μεταξυ των σηματων δεν επηρρεαζει την πιθανοτητα σφαλματος.

• Επαναλαμβανοντας τους υπολογισμους για το BFSK με αντικατασταση του Εb με το Eb/2 βρισκουμε οτι:

0

)(N

EQeP b

s

62

Διαγραμμα του BER (bit error rate) για το BPSK και FSK

To FSK ειναι κατά 3db χειροτερο του BPSK (χρειαζεται διπλασια ενεργεια ανα bit για την ιδια πιθανοτητα σφαλματος)

3db

63

Υπολογισμος πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο ASK

• Δυο κυματομορφες (Μ=2):

• Μια συναρτηση βασης:

• Παρασταση στον χωρο σηματων:

– οποτε

• Το διαγραμμα αστερισμου ειναι ιδιο με του FSK οποτε:

TTc tstfPts

0201 0)(,)2cos(2)(

Tctf

Ttf

01 )2cos(2

)(

0)(),(2)( 211 tstfEts b

0,2 21 sEs b

Χ Χ s2=0 Eb/2 s1=2Eb

R2 R1

X XR2 R1

s2=-Eb/2 0 s1=Eb/2

μετα απο μεταθεσηαξονων =>

)()( 0NEQeP bs

64

Διαμορφωση πολλαπλων επιπεδων

• Εστω m(t) το μηνυμα πληροφοριας

• Δυαδικη σηματοδοσια: m(t) {0,1}

• M-ary σηματοδοσια : m(t) {0, 1,…,M-1}

– To σημα πληροφοριας παιρνει μια απο Μ τιμες

– Μ=2k

– k= αριθμος bits/symbol.

• Παραδειγμα:

– Μ διαφορετικες φασεις (M-ary PSK)

– Μ διαφορετικα πλατη (M-ary ASK)

– συνδυασμοι οπως η τετραγωνικη διαμορφωση πλατους (Quadrature Amplitude Modulation – QAM)

65

Βασικο πλεονεκτημα της διαμορφωσης πολλαπλων επιπεδων: Οικονομια φασματος

• Εστω:

– Τb η διαρκεια ενος bit

– Ts η διαρκεια ενος συμβολου

• Τοτε

– Rb = 1/Tb ειναι ο ρυθμος μεταδοσης bits

– Rs = 1/Ts ειναι ο ρυθμος μεταδοσης συμβολων

• Η πληροφορια μεταδιδεται με τον ρυθμο μεταδοσης των bits

• Το ευρος φασματος ειναι αναλογο του ρυθμου μεταδοσης συμβολων

– ενας μονο παλμος μεταδιδεται για καθε συμβολο

66

M-ary PSK (MPSK)

• Παρασταση μετρου και φασης:

–

– m(t) {0, 1,…,M-1}

– To Ac ειναι μια σταθερα και συμβολιζει το πλατος του σηματος.

• Ειδικη περιπτωση: Μ=2 που αντιστοιχει στο BPSK

)(

22cos)( tm

MtfAts cc

0)(),2cos(

1)(),2cos()2cos()(tmtfA

tmtfAtfA

cc

ccccts

67

M=4: Quadrature PSK (QPSK)

• QPSK:

• Διαφορετικη φαση για καθε συμβολο

• Χρησιμοποιειται ευρυτατα

• Παρασταση I/Q:

0)(),2cos(

1)(),2sin()2

2cos(

2)(),2cos()2cos(

3)(),2sin()2

32cos(

)(

tmtcfcA

tmtcfcAtcfcA

tmtcfcAtcfcA

tmtcfcAtcfcA

ts

)2sin(2

)(sin)2cos(

2

)(cos)( tf

tmAtf

tmAts cccc

68

Διαγραμμα αστερισμου του QPSK

•

••

•Αc

Αc

- Αc

- Αc

y(t)

x(t)

Παρατηρηση: Διαφορετικες μετατοπισεις φασης μπορουν να παραγουν διαγραμμα αστερισμου που προκυπτει απο το πιο πανω δια περιστροφηςΠαραδειγμα:

42

)(2cos)(

tmtfAts cc

69

Φασματικα χαρακτηριστικα του MPSK

• Η πυκνοτητα φασματικης ισχυος υπολογιζεται ευκολα αν θεωρησουμε το MPSK ως αθροισμα M σηματων ASK.

)(sin

)()(sin1

)())(|(1

])(Pr[))(|()(

22

1

0

22

1

0

1

0

ssc

M

issc

M

is

M

isss

fTcTA

PSDfTcTAM

itmfSM

itmitmfSfS

70

Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου για το QPSK

• Τα 4 σηματα του QPSK ειναι τα ακολουθα:

• Τα σηματα αυτα μπορουν να παρασταθουν με τις συναρτησεις βασης:

• Αυτη η παρασταση δινει τα ακολουθα διανυσματα πληροφοριας:

• οπου Εs = PT= η ενεργεια ενος συμβολου

Tc

Tc

Tc

Tc

tfPtstfPts

tfPtstfPts

040

0201

)2sin(2)(,)2cos(2)(3

,)2sin(2)(,)2cos(2)(

Tc

Tc tf

Ttftf

Ttf

0201 )2sin(2

)(,)2cos(2

)(

]0[],0[

],0[],0[

43

21

ss

ss

EE

EE

ss

ss

71

Το διαγραμμα αστερισμου του QPSK και οι περιοχες αποφασης

s1

s2

s3

s4

f1

f2

]0[],0[

],0[],0[

43

21

ss

ss

EE

EE

ss

ss

72

To διαγραμμα αστερισμου του QPSK μετα απο περιστροφη 450

s1s2

s3 s4

f1

f2

s1=[Es/2, Es/2 ]

s2=[-Es/2, Es/2 ]

s3=[-Es/2, -Es/2 ]

s4=[Es/2, -Es/2 ]

73

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμολου για το QPSK

1

2 2

0 0

2 2

0 0

1 1 1

2 2

00 0

2 2

ˆPr[ | ] 1 ( | )

11

1 11

2 2

s s

s s

R

E Ex N y N

x y

E E

N N

p d

e e dxdyN

e e

s s s s r s r

74

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμολου για το QPSK (2)

0 0

2

0 0

2

0 0

2

0

1 1 1

2

2 22 ( 2 )

22 ( ( ) ( ) )

s s

s s

b bs b

b

E EQ Q

N N

E EQ Q

N N

E EQ Q E E

N N

EQ Q x Q x

N

75

Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου για το QPSK

• H υπο-συνθηκη πιθανοτητα σφαλματος και για τα 4 σηματα ειναι ιδια, δηλαδη:

• Η πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβόλου του QPSK ειναι σχεδον διπλασια εκεινης του BPSK:

• Οταν μιλήσουμε πιο κατω για το BER (Bit Error Rate) θα δουμε οτι ειναι τα BPSK και QPSK εχουν ιδιο BER.

...]|ˆPr[]|ˆPr[)( 2211 ssssssssePs

0

22)(

N

EQeP b

s

76

ΒΕR διαγραμματα για το QPSK και το BPSK

77

Παρατηρησεις επι της διαδικασιας υπολογισμου των πιθανοτητων σφαλματος

• Η πιθανοτητα σφαλματος ευρισκεται ολοκληρωνοντας την υπο-συνθηκη πιθανοτητα σφαλματος στην περιοχη αποφασης.

– Ο υπολογισμος αυτος γινεται δυσκολα αν εχουμε χωρο πολλων διαστασεων

– Με την καταλληλη περιστροφη, μεταφορα και ανακλαση των συντεταγμενων, μπορουμε να απλοποιησουμε τους υπολογισμους

• Η συμπεριφορα ενος αστερισμου σηματων ως προς την πιθανοτητα σφαλματος εξαρταται αποκλειστικα απο τις αποστασεις των σημειων του αστερισμου

• Η μεθοδος του “Union Bound” μας επιτρεπει να ελαττωσουμε τους υπολογισμους της πιθανοτητας σφαλματος σε μια σειρα υπολογισμων δυαδικων σφαλματων