怎样有效地组织知识的复习怎样有效地落实思维能力的提高

一、知识的有效复习必须通过对知识的科学组织来实现1. 对组织知识复习的再认识⑴ 从知识的整个体系来看知识复习的组织⑵ 从知识的功能与作用来看知识复习的组织 ⑶从知识的用法与实施来看知识复习的组织2. 组织知识复习的例说

举例一 几何计算及其功能● 几何计算的两条基本途径：Ⅰ．通过解直角三角形；Ⅱ．通过相似三角形．● 几何计算的主要功能：Ⅰ．解决某些几何图形相关问题，特别是与数

量计算相关的问题；Ⅱ．解决可化为几何图形的实际问题；Ⅲ ．是解决各种类型几何与代数综合题的基

本工具．

题 1 ．如图，正方形纸片 ABCD 的边长为1，M、 N 分别是 AD、 BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 落在 MN 上，落点记为 A′ ，折痕交 AD 于点 E,若M、 N 分别是 AD、BC 边的中点，则 A′N= ; 若M、 N 分别是AD、 BC 边的上距 DC 最近的 n等分点（ n≥2,且 n 为整数），则 A′N= （用含有 n 的式子表示） .

（一） 关于解直角三角形1 ．直角三角形可解的条件及解法（略）2 ．可化为解直角三角形的数学问题

A'

N

M

BC

A DE

题 2 ．如图所示，已知：点　　　　　　　　　 在△ ABC 内依次作等边三角形，使一边在 x 轴上，另一个顶点在 BC 边上作出的等边三角形分别是第 1 个 ，第 2 个 ，第 3 个 … ，则第 n 个等边三角形的边长等于 ． 　　

(0 0), ( 3 0), (0 1)A B C， ， ，

1 1AAB△ 1 2 2B A B△ 2 3 3B A B△

O

y

x(A)

A1

C1

1 2B

A2

A3

B3B2B1

AB

D

C

题 3 ．公园里有一块形如四边形 ABCD 的草地，测得 BC=CD=10 米，∠ B=∠C=120° ，∠ A=45° 。请你求出这块草地的面积 .

3 ．可转化为解直角三角形的实际问题题 1 ．如图，某人在山坡角 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60° 沿山坡向上走到 P 处，再测得电视塔 C 的仰角为

45°, 已知 OA=100 米，山坡坡度为 （即 tan∠PAB=

），且 C、 O、 A、 P 在同一平面上，求电视塔 OC

的高度以及此人所在的位置 P 的垂直高度 ．

1

2

1

2

山坡P

AO

C

B

二、关于相似三角形

A BM

F G

D

E

C

1 ．相似三角形的基本图形（略）2. 相似三角形的判定题 1 ．如图， M 为线段 AB 的中点， AE与 BD 交于点

C ，∠ DME ＝∠ A ＝∠ B＝ α ，且 DM交 AC于F，ME交 BC于 G ．（ 1 ）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对

；（ 2 ）连结 FG ，如果 α＝ 45°， AB ＝　　， AF＝

3 ，求 FG 的长．4 2

3 ．相似三角形的计算功能题 1 ．如图，在边长为 8 的正方形 ABCD 中， P为

AD 上一点，且 AP=5， BP 的垂直平分线分别交正方形的边于点 E、 F， Q 为垂足，则 EQ︰ EF 的值是（ ）

A． 5︰ 8 　 B． 5︰ 13 　 C． 5︰ 16 　

D． 3︰ 8

A B

CD

QP

E

F

题 2 ．如图 1 、图 2 ，是一款家用的垃圾桶，踏板 AB （与地面平行）或绕定点 P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持 AP=A′P， BP=B′P ）．通过向下踩踏点A到 A′ （与地面接触点）使点 B 上升到点 B′ ，与此同时传动杆BH 运动到 B′H′ 的位置，点 H 绕固定点 D 旋转（ DH 为旋转半径）至点 H′ ，从而使桶盖打开一个张角∠ HDH′ ．如图 3 ，桶盖打开后，传动杆 H′B′ 所在的直线分别与水平直线 AB、 DH 垂直，垂足为点 M、 C ，设 H′C=B′M ．测得AP=6cm， PB=12cm， DH′=8cm ．要使桶盖张开的角度∠ HDH′ 不小于 60° ，那么踏

板 AB 离地面的高度至少等于多少 cm？（结果保留两位有

效数字）（参考数据： 2 1.41 3 1.73≈ ， ≈

AP B

DH

H′

B′

A′（图 2 ）

AP B

DH

H′

B′

A′M

C

（图 3 ）（图 1 ）

A

C B DE

题 3 ．如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB， B是 CD 的中点， CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE留在坡上．已知铁塔底座宽 CD=12m ，塔影长 DE=18m ，小明和小华的身高都是 1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m和 1m ，求塔高 AB ．

三 .　 几何计算是几何与代数综合题的过渡桥梁题 1 ．如图 1， Rt△PMN 中，∠ P＝ 90°， PM＝PN，MN＝ 8cm ，矩形 ABCD 的长和宽分别为 8cm和 2cm， C 点和M 点重合， BC和MN 在一条直线上．令 Rt△PMN 不动，矩形 ABCD沿MN 所在直线向右以每秒 1cm 的速度移动（如图 2 ），直到 C 点与N 点重合为止．设移动 x秒后，矩形 ABCD 与△ PMN重叠部分的面积为 ycm2 ．

AG

D

BF C

OE

H

题 2 ．已知：如图，等边三角形 ABC 的边长为 6 ，点 D， E

分别在边 AB， AC 上，且 AD=AE=2.若点 F 从点 B 开始以每秒 1 个单位长的速度沿射线 BC 方向运动，设点 F 运动的时间为 t秒．当 t>0 时，直线 FD 与过点 A 且平行于 BC 的直线相交于点 G， GE 的延长线与 BC 的延长线相交于点H， AB与 GH 相交于点 O.

（ 1 ）设△ EGA 的面积为 S ，写出 S与 t 的函数关系式；（ 2 ）当 t 为何值时， AB⊥GH ；（ 3 ）请你证明△ GFH 的面积为定值；（ 4 ）当 t 为何值时，点 F和点 C 是线段 BH 的三等分点 .

举例二 关于函数 “函数”能力的三大支点：●真正领会函数的意义；●掌握并用好函数关系式的建立方法；● 运用好函数及其性质来解决实际与数学的相关问题．

一、领会好函数的意义题 1 ．如图（ 1 ）是某公共汽车线路收支差额 y （票价总收入减去运营成本）与乘客量 x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会．　　乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．　　公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．

　　根据这两种意见，可以把图⑴分别改画成图⑵和图⑶．　　⑴说明图⑴中点 A和点 B 的实际意义．　　⑵你认为图⑵和图⑶两个图象中，反映乘客意见的是　　

　　　，反映公交公司意见的是　　　　　　．

1

﹣1

B

O x( 万人 )A

y( 万元 )

图⑴

1

1.5

1

﹣11.5O x( 万

人 )

y( 万元 )

图⑵

1 1

﹣11.5O

y( 万元 )

图⑶

x( 万人 )

　⑶如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图⑴中画出符合这种办法的 y与 x 的大致函数关系图象．

二、掌握好函数关系式建立的方法Ⅰ．用好“待定系数法” （例子略）Ⅱ．用好“直接列式法” 题 1 ．抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、 B 两仓库．已知甲库有粮食 100吨，乙库有粮食 80吨，而A库的容量为 70吨， B库的容量为 110吨．从甲、乙两库到 A、B 两库的路程和运费如下表（表中“元 /吨 ·千米”表示每吨粮食运送 1千米所需人民币）．

路程（千米） 运费（元 /吨 ·千米）甲库 乙库 甲库 乙库

A库 20 15 12 12

B库 25 20 10 8

⑴若甲库运往 A库粮食 x吨，请写出将粮食运往 A、 B 两库的总运费 y （元）与 x （吨）的函数关系式．

⑵当甲、乙两库各运往 A、 B 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

Ⅲ ．用好等式导出法

题 1 ．有一种考试对选择题作答时规定：选对一题得 5 分，不选得 0 分，选错一题得－ 2 分，若共有选择题 30道，某考试者选择题共得 110 分，设他答对的题数为 x ，不选的题数为 y ，求 y与 x 的函数关系式．

题 2 ．预计用 1500元购买甲商品 x 个，乙商品 y 个，不料甲商品每个涨价 1.5元，乙商品每个涨价 1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少 10 个，总金额仍多用 29元．又若甲、乙商品每个均涨价 1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是 1563.5元．⑴求 x、 y 的关系式；⑵若预计购买甲商品的个数的 2倍与预计购买乙商品的个数的和大于 205 ，但小于 210 ，求 x、 y 的值．

三、恰当运用函数解决问题Ⅰ．实际问题背景题 1 ．某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有 264户村民，政府补助村里 34万元，不足部分由村民集资．修建 A 型、 B型沼气池共 20 个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：

AB

沼气池修建费用 (万元 /个 )

可供使用户数 (户 /个 )

占地面积 (m2/个 )

型 3 20 48

型 2 3 6

政府相关部门批给该村沼气池修建用地 708m2 ．设修建 A 型沼气池 x 个，修建两种型号沼气池共需费用 y

万元．⑴求 y与 x之间的函数关系式；⑵ 不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；⑶若平均每户村民集资 700元，能否满足所需费用最少的修建方案．

Ⅱ.　 从函数图象到实际问题题 1 ．某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时 6吨，下图是从早晨上班开始库存量 y

(吨 ) 与时间 x ( 小时 ) 的函数图象， OA 段只有甲、丙车工作， AB 段只有乙、丙车工作， BC 段只有甲、乙工作．

⑴ 从早晨上班开始，库存增加 2吨，需要几小时？⑵ 问甲、乙、丙三辆车，谁是进货车，谁是出货车？⑶若甲、乙、丙三车一起工作，一天工作 8 小时，仓库的库存量有什么变化？

题 2 ．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 x(h) ，两车之间的距离为y(mk) ，图中的折线表示 y与 x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取⑴甲、乙两地之间的距离为 km ；⑵ 请解释图中点 B 的实际意义；图象理解⑶ 求慢车和快车的速度；⑷求线段 BC 所表示的 y与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；问题解决⑸若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车

相同．在第一列快车与慢车相遇 30 分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

A

B

C

D

O

y/km

900

12 x/h4

题 1 ．如图，已知直角梯形 ABCD中， AD∥BC ，∠ B=90°， AB=12cm， BC=8cm， DC=13cm ，动点 P沿 A→D→C 的路线以 2cm/秒的速度向 C 运动，动点 Q沿 B→C 线路以 1cm/秒的速度向 C 运动． P， Q 两点分别从 A、 B 同时出发，当其中一点到达 C 点时，另一点也随之停止．设运动时间为 t秒，△ PQB 的面积为ycm ．⑴ 求 AD 的长及 t 的取值范围；⑵ 求 y 关于 t 的函数关系式，并具体描述在 P、 Q 运动过程中，△ PQB 的面积随 t变化而增大或减小的情况．

举例三　　几何与代数综合题一、 图形引入动点形成的函数与方程问题

A

B C

DP→

Q→

题 2 ．如图，在等腰梯形 ABCD中 AB∥DC AD=8cm， CD=2cm, AD=6cm ．点 P 从点 A 出发，以每秒2cm 的速度沿 AB 向终点 B 运动；点 Q 从点 C 出发，以每秒 1cm 的速度沿 CD,DA 向终点 A 运动（ P， Q 两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设 P， Q 同时出发并运动了 t秒．⑴ 当 PQ 将梯形 ABCD 分成两个直角梯形时，求 t 的值；⑵ 试问是否存在这样的 t ，使四边形 PBCQ 的面积是梯形 ABCD 面积的一半？若存在，求出这样的 t 的值；若不存在，请说明理由．

A B

CD Q

P

二、图形引入变换形成的数量关系（一）图形的平移变换形成的数量关系题 1 ．如图①所示，一张三角形纸片ABC ，∠ ACB=90°， AC=8， BC=6 ．沿斜边 AB 的中线 CD把这张纸片剪成△ AC1D1和△ BC2D2 两个三角形（如图②所示）．将纸片△ AC1D1 沿直线 D2B（ AB ）方向平移（点A， D1， D2， B 始终在同一条直线上），当点 D1 与点 B重合时，停止平移．在平移的过程中， C1D1与 BC2 交于点 E， AC1

与 C2D2， BC2 分别交于点 F， P ．

A D B

C

图①A D1 D2

B

C1C2

图②A D1D2

E

C1C2

图③

PF

B

x

⑴ 当△ AC1D1 平移到如图③所示的位置时，猜想图中 D1E与D2F 的数量关系，并证明你的猜想；

⑵ 设平移距离 D2D1为 x ，△ AC1D1 与△ BC2D2重叠部分的面积为 y ，请写出 y与 x 的函数关系式，以及自变量 x 的取值范围；

⑶ 对于⑵中结论是否存在这样的 x ，使得重叠部分面积等于原△ ABC 纸片面积的　，若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由．

1

4

（二）图形的轴对称变换形成的数量关系题 1 ．如图，在锐角△ ABC 中， BC=9， AH⊥BC 于点

H ，且 AH=6 ，点 D为 AB 边上的任意一点，过点 D作DE∥BC ，交 AC 于点 E ．设△ ADE 的高 AF为 x(0<x<6) ，以 DE 为折线将△ ADE翻折，所得的△ A′DE 与梯形DBCE重叠部分的面积记为 y （点 A 关于 DE 的对称点 A′

落在 AH 所在的直线上）．⑴ 分别求出当 0<x<6 时， y与 x 的函数关系式；⑵当 x取何值时， y 的值最大？最大值是多少？

A

EFD

A′

B CH

题 1 ．如图，桌面内，直线 l 上摆放着两个大小相同的直角三角板，它们中较小的直角边的长为 6cm ，较小锐角的度数为 30° ．

⑴ 将△ ECD 关于直线 AC 对称到图形（ a ）的位置， ED′与 AB 相交于点 F ，请证明： AF=FD′ ；

⑵ 将△ ECD 沿直线 l 向左平移到图 (b) 的位置，使 E点落在 AB 上，你可以求出

平移的距离，试试看；⑶ 将△ ECD 绕点 C逆时针方向旋转到图 (c) 的位置，使 E点落在 AB 上，请求出旋转角的度数．

（三）图形的旋转变换形成的数量关系

B C

A

D

E

l

B C

A

D

E

l D′

F

图 (a)

B C

A

D

E

l C′

F

图 (b)D′

E′

B C

A

D

E

l

图 (c)

E′

题 1 ．如图，直角坐标系中，已知点 A（ 2， 4 ）， B（ 5， 0 ），动点 P从 B 点出发沿 BO 向终点 O 运动，动点 Q从 A点出发沿 AB 向终点 B 运动．两点同时出发，速度均为每秒 1 个单位，设从出发起运动了 xs ．

⑴ 求 Q 点的坐标；（用含 x 的代数式表示）⑵若记△ APQ 的面积为 S ，请写出 S与 x 的函数关系式；⑶当 x 为何值时，△ APQ 是一个以 AP 为腰的等腰三角形？

三、图形置于坐标系形成的数量关系问题（一）坐标系里的图形引入动点形成的数量关系

y

xBPO

A

Q

（二）坐标系里的图形变换形成的数量关系例 1 ．如图，等腰直角三角形纸片 ABC 中， AC＝ BC＝4 ，∠ ACB＝ 90º ，直角边 AC在 x 轴上， B 点在第二象限， A（ 1， 0 ）， AB交 y 轴于 E ，将纸片过 E 点折叠使 BE与 EA 所在直线重合，得到折痕 EF（ F在 x 轴上），再展开还原沿 EF剪开得到四边形 BCFE ，然后把四边形 BCFE从 E 点开始沿射线EA 平移，至 B 点到达 A 点停止 . 设平移时间为 t（ s ），移动速度为每秒 1 个单位长度，平移中四边形 BCFE 与△ AEF重叠的面积为 S ．　⑴求折痕 EF 的长；　⑵是否存在某一时刻 t 使平移中直角顶点 C经过抛物线 y=x2+4x+3 的顶点？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由；　⑶直接写出 S与 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围 .

OC xAC1 F1

E1

B1

B

F

E

y

四、图象与图形相结合形成的数量关系问题（一）函数图像与几何图形结合形成的数量关系

例 1 ．在平面直角坐标系中，直线 　　　　　与 x 轴、 y

轴分别交于 B、 C 两点． 　　　

16

2y x

⑴ 直接写出 B、 C 两点的坐标；⑵ 直线 y=x 与直线 　　　　　交于点 A ，动点 P 从点 O

沿 OA

方向以每秒 1 个单位的速度运动，设运动时间为 t秒（即OP

= t） . 过点 P作 PQ∥轴交直线 BC 于点 Q ．

16

2y x

xO

C

B

AP Q

MN

y

x

① 若点 P 在线段 OA 上运动时（如图），过 P、 Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 N、M ，设矩形 PQMN 的面积为 S ，写出 S和 t之间的函数关系式，并求出 S 的最大值．② 若点 P经过点 A 后继续按原方向、原速度运动，当

运动时间 t 为何值时 ,过 P、 Q、 O 三点的圆与 x 轴相切 .

xO

C

B

AP Q

MN

y

（二）函数图象与几何图形变换结合形成的数量关系题 2 ．如图 17—21 所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边 BO在 x 轴的负半轴上，边 OC在 y 轴的正半轴上，且 AB=1 ， 　　　 ，矩形 ABOC 绕点 O按顺时针方向旋转 60° 后得到矩形 EFOD ．点 A 的对应点为点 E ，点 B 的对应点为点 F ，点 C 的对应点为点 D ，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A， E， D ．

3OB

⑴ 判断点 E 是否在 y 轴上，并说明理由；⑵ 求抛物线的函数表达式；⑶在 x 轴的上方是否存在点 P ，点 Q ，使以点 O， B， P， Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面积的 2倍，且点 P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

y

xO

D

E

CF

A

B

二、思维能力的提高必须通过科学的引导过程来落实题 1 . 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 三个顶点的坐标

分别为 A(−6,0)， B(6,0)， C(0, ）延长 AC 到点 D,使CD= AC ，过点 D作 DE∥AB交 BC 的延长线于点 E.

4 31

2

（ 1 ）求 D 点的坐标；（ 2 ）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F, 分别连结 DF、 EF ，若过 B 点的直线 y＝ kx＋ b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（ 3 ）设 G为 y 轴上一点，点 P 从直线 y＝ kx＋ b与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2倍，试确定 G点的位置，使 P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）

B

CAE1 E2 E3

D4

D1

D2D3

题 2 ．如图，已知 Rt△ABC， D1 是斜边 AB 的中点，过 D1作 D1E1⊥AC于 E1 ，连结 BE1交 CD1于 D2 ；过D2作 D2E2⊥AC于 E2 ，连结 BE2交 CD1于 D3 ；过 D3

作 D3E3⊥AC于 E3，…，如此继续，可以依次得到点 D4，

D5，…， Dx ，分别记△ BD1E1 ，△ BD2E2 ，△ BD3E3… ，△ BDn En 的面积为 S1， S2， S3，… Sn.则 Sn =________ S△ABC （用含 n

的代数式表示） .

题 3 ．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠ NBA的平分线交于点 C，过点 C作一条直线 l与两条直线MA、 NB分别相交于点 D、 E．⑴如图 1所示，当直线 l与直线MA垂直时，猜想线段 AD、 BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；⑵如图 2所示，当直线 l与直线MA不垂直且交点 D、 E都在AB的同侧时，⑴中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；⑶当直线 l与直线MA不垂直且交点 D、 E在 AB的异侧时，（ 1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段 AD、 BE、 AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

A B

ED C

M N

l A B

ED C

M N

l

A B

C

M N

A B

C

M N

图 1 图 2 备用图 备用图

题 4 ．如图，已知射线 DE与 x 轴和 y 轴分别交于点 D(3,0)

和点 E(0,4) ．动点 C 从点 M(5,0) 出发，以 1 个单位长度 /秒的速度沿 x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 P 从点 D 出发，也以 1 个单位长度 /秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动．设运动时间为 t秒． （ 1 ）请用含 t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标；　（ 2 ）以点 C 为圆心、　个单位长度为半径的⊙ C与 x 轴交于

A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），连接 PA、 PB ．　　①当⊙ C 与射线 DE 有公共点时，求 t 的取值范围；　　②当△ PAB 为等腰三角形时，求 t 的值．

1

2t

Ox

y

E

P

DA BMC