ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΦΙΛΤΡΑ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ-ΦΙΛΤΡΑ

Μιγαδικό Επίπεδο –Μοναδιαίος Κύκλος


Πόλοι & Μηδενισμοί-Συνάρτηση Μεταφοράς



Ποιά θα είναι η επίδραση του Φίλτρου πάνω στο σήμα;

Απόκριση Συχνότητας

Απόκριση Συχνότητας:

Απόκριση Μέτρου:

Απόκριση Φάσης:


Μη Αναδιπλωμένη Μορφή Αναδιπλωμένη Μορφή

Απόκριση Συχνότητας-ΙΙRΦίλτρο Πρώτης τάξης

Απόκριση Συχνότητας-Συνάρτηση ΜεταφοράςΙΙR Φίλτρο Πρώτης Τάξης (Συνέχεια)

Απόκριση Μέτρου: Απόκριση Φάσης:

Απόκριση Συχνότητας-ΙΙR Φίλτρο

π/30.9

Απόκριση Συχνότητας-ΙΙR Φίλτρο

Μεταβατικά Φαινόμενα – FIR

l

l

l

Υποθέσεις:1. Το μήκος της κρουστικής απόκρισης του αιτιατού συστήματος είναι Μ.

2. Το σήμα που θέλουμε να επεξεργαστούμε με το σύστημα έχει μήκος Ν

δείγματα, με Ν>Μ

]0[]0[]0[ xhy

]2[]0[]1[]3[]0[]2[]2[ MxhxMhxMhMy

]1[]0[]0[]1[]1[ xhxhy .

.

.

1-η Μεταβατική Περίοδος:



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

)8000

10002cos(][ nnx

0 π ω

)( jeD

1

ωco1

Ιδανικές Προδιαγραφές Φίλτρου Αποκοπής Ζώνης

Φίλτρα-Επιθυμητή Απόκριση Συχνότητας

ωco2


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-70

-54

-38

-22

-6

10

Frequency (kHz)

Mag

nitu

de (

dB)

Magnitude (dB) and Phase Responses

-9000

-7200

-5400

-3600

-1800

0

Pha

se (

degr

ees)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

102

Real Part

Imag

inar

y P

art

Pole/Zero Plot


0 2 4 6 8 10 12-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (mseconds)

Impulse Response

Am

plitu

de



0 50 100 150-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Μεταβατικά Φαινόμενα – IIR

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-140

-108

-76

-44

-12

20

Frequency (kHz)

Mag

nitu

de (

dB)

Magnitude (dB) and Phase Responses

-400

-320

-240

-160

-80

0

Pha

se (

degr

ees)


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

2

Real Part

Imag

inar

y P

art

Pole/Zero Plot


0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (mseconds)

Impulse Response

Am

plitu

de


0 50 100 150-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Τι καθορίζει την διάρκεια των μεταβατικών φαινομένων στα IIR φίλτρα;

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

2

Real Part

Imag

inar

y P

art

Pole/Zero Plot

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Μεταβατικά Φαινόμενα

)8000

8002cos()

8000

4002cos(][ nnnx

Μεταβατικά Φαινόμενα & Επίδραση Φάσης FIR

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Μεταβατικά Φαινόμενα & Επίδραση Φάσης IIR

-π 0 π ω

)( jeD

1

ωco-ωco

-π 0 π ω

)( jeD

1

ωco-ωco

Κατωπερατό

Υψηπερατό


Περιοχή Διάβασης Περιοχή Αποκοπής

-π 0 π ω

)( jeD

1

ωco1-ωco1

Ζωνοπερατό

Αποκοπής Ζώνης


-ωco2 ωco2

-π 0 π ω

)( jeD

1

ωco1-ωco1-ωco2 ωco2

-π 0 π ω

)( jeD

1

ωco-ωco

Κατωπερατό

Ζώνη Διάβασης Ζώνη Αποκοπής

Επιθυμητή Απόκριση Συχνότητας-Προσέγγιση

0

)( jeD

ωp ωs π ω

Ζώνη Μετάβασης

δp

δs

-π 0 π ω

)( jeD

1

ωco-ωco

Ιδανικό Κατωπερατό

Ζώνη Διάβασης Ζώνη Αποκοπής

Επιθυμητή Απόκριση Συχνότητας-Προσέγγιση

0

)( jeD

ωp ωs π ω

Ζώνη ΜετάβασηςΠρακτικές Προδιαγραφές Κατωπερατού

Σχεδίαση FIR Φίλτρων – Ιδανικές Προδιαγραφές

ύ

eD cj

,0

||,1)(

0 π ω

)( jeD

-π

1

ωc-ωc


0 π ω

)(~ jeD

-π

1

. . .. . .

2π 3πωc-ωc

Περιοδική Επέκταση Ιδανικών Προδιαγραφών Φίλτρου


n

jnj endeD ][)(~

Σχεδίαση με Χρήση Σειρών Fourier

Z

ndeeDnd jnj ,)(~

2

1][

Εξίσωση Σύνθεσης

Εξίσωση Ανάλυσης


Σχεδίαση με Χρήση Σειρών Fourier

. . .. . .

n

][nd

0 12

3-1-2

-3

n

jnj endeD ][)(~

. . .. . .n0 1

23-1

-2-3 N-N

. . . . . .

Περιορισμός της ακολουθίας με παραθύρωση για να πετύχου- με το επιθυμητό μήκος της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου.

][nd

0

,1][

NnNnw

][][][ˆ nwndnd

Σχεδίαση FIR Φίλτρων με Χρήση των Ιδανικών Προδιαγραφών

. . .. . .n0 N+1

N+2N 2N

N

n

jnjN enheH

2

0

][)(

Σχεδίαση FIR Φίλτρων με Χρήση των Ιδανικών Προδιαγραφών

Εισαγωγή καθυστέρησης, με δεξιά ολίσθηση της ακολουθίας κα-τά Ν δείγματα, για αιτιατότητα

][ˆ nd

][ˆ][ Nndnh


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Ν=5Ν=10Ν=20Ν=40

Σχεδίαση FIR Φίλτρων


-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n

nnd

)2/sin(][

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Σχεδίαση FIR ΦίλτρωνΣυνέλιξη Στο Πεδίο της Συχνότητας

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1)2/sin(

)2/sin()(

N

NR

Ν=5Ν=10Ν=20Ν=40

Σχεδίαση FIR Φίλτρων – Φαινόμενο Gibbs

Σχεδίαση FIR Φίλτρων με Χρήση Παραθύρων

. . .. . .n0 1

23-1

-2-3 N-N

. . . . . .

ύ

NnNN

nnw

,0

),||

1][

][][][ˆ nwndnd

0

,1][

NnNnw

Τετραγωνικό Παράθυρο:

Τριγωνικό (Bartlett):

Hanning:

Hamming:

Blackman:

Kaiser:



Η Σχεδίαση σαν Πρόβλημα Βελτιστοποίησης

ddeDeD

deDeDdeDeDdE

jN

j

jN

jjN

j

2

2

|),(~

)(|2

1

),(~

)(),,(~

)()(

)(min 2 dEd

)( jeD1

Σχεδίαση FIR Φίλτρων με Χρήση των Πρακτικών Προδιαγραφών

0 π ω-π ωc-ωc

ωsωp

s

pjeD

||,0

||,1)(

n

jnj endeD ][)(~

Χρησιμοποίηση της εξίσωσης Ανάλυσης των Σειρών Fourier ;

Z

ndeeDnd jnj ,)(~

2

1][


Εξίσωση Σύνθεσης

Εξίσωση Ανάλυσης

)( jeD

1


0 π ω-π ωc-ωc

s

pjeD

||,0

||,1)(

1+δp

1-δp

δs

-δs

cp cs


To Πρόβλημα της Σχεδίασης FIR Φίλτρων σαν Πρόβλημα Βελτιστοποίησης

pddeDeD

deDeDdeDeDdE

pjN

j

pj

Njj

Njp

1

)( |),(~

)(|

),(~

)(),,(~

)()(


Δίνεται το πολυώνυμο

12

0

1||,)(N

n

nn xxaxD

Προσεγγίστε το παραπάνω πολυώνυμο με ένα FIR φίλτρο μήκους 2Ν+1

Με την έννοια:• των ελαχίστων τετραγώνων • του ελάχιστο-μέγιστου

Για κάθε μια από τις παραπάνω προσεγγίσεις, υπολο-γίστε το μέγιστο σφάλμα προσέγγισης.


Πολυώνυμα Chebyshev

1||)),(coshcosh(

1||)),(coscos()(

1

1

xxn

xxnxCn

Αναδρομική σχέση ορισμού των πολυωνύμων:

2),()(2)(

)(

1)(

11

1

0

nxCxxCxC

xxC

xC

nnn

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΦΙΛΤΡΑ

Documents

Transcript of ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΦΙΛΤΡΑ