1 、静矩与形心2 、惯性矩、极惯性矩和惯性积3 、平行移轴公式、转轴公式

静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴　

本章重点

关键概念

目录　

§ -1 静矩和形心

§ I-2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积§ -3 平行移轴公式§ -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 . 截面的

主惯性轴和主惯性矩

§ -1 静矩和形心

一、基本概念

1. 静矩（或一次矩）

Ox

d A

y

y

x

C

x

y

dAx —— 微面积对 y 轴的静矩dAy —— 微面积对 x 轴的静矩

AxSA

y d

AySA

x d

—— 整个平面图形对 y 轴的静矩—— 整个平面图形对 x 轴的静矩

2. 形心坐标公式

A

S

A

Ayy

A

S

A

Axx xAyA d

d

常用单位： m3 或 mm3 。

数 值：可为正、负或 0 。

3. 静矩与形心坐标的关系

yASxAS xy

推论：截面对形心轴的静矩恒为 0 ，反之，亦然。

1. 组合截面的静矩

根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：

n

iiix

n

iiiy yASxAS

11

和面积。个简单图形的形心坐标分别为第和　　式中： iAyx iii ,

二、讨论：

2. 组合截面的形心坐标公式

n

iiix

n

iiiy yASxAS

11

组合截面静矩

n

iiAA

1

组合截面面积

组合截面的形心坐标公式为：

n

ii

n

iii

xn

ii

n

iii

y

A

yA

A

Sy

A

xA

A

Sx

1

1

1

1

，

例 I—1 ：计算由抛物线、 y 轴和 z 轴所围成的平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩，并确定图形的形心坐标。

z hy

b

1

2

2

O y

z

解：S

zAy

A

2d

S y Az

A

d

1

21

0

22

2

2b

hy

byd

yh

y

by

b

0

2

21 d

4

15

2bh

b h2

4

O y

z

ydy

b

hA A

A

d

0

2

21

b

hy

byd

2

3

bh

形心坐标为:

5

2

3215

4

8

3

324

2

2

hbh

bh

A

Sz

bbh

bh

A

Sy

yC

zC

例 I—2 ：确定图示图形形心 C 的位置。

解：

yS

AC

z

A

Sz y

C

10 120 5 70 10 45

1200 70019 7. mm

mm7.397001200

510706012010

目录

§ I － 2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积

1. 极惯性矩（或截面二次极矩）

AIA

d2p

2. 惯性矩（或截面二次轴矩）

AyIAxIA

xA

y dd 22

222 xy 由于

所以 IIAxyAI yxAA

d)(d 222p

O x

y

y

x

dA

（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）

3. 惯性积

AxyIA

xy d

（其值可为正、为负或为零 )

结论：截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为 0 。

4. 惯性半径

AI

iAI

ix

xy

y （单位：长度的一次方）

O x

y

y

x

dA

例 I—3 ：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴） x 和 y 的惯性矩。

解： 取平行于 x 轴的狭长条

则 dA=b dy

12dd

32

2

22 bhybyAyI

h

hAx

同理12

3hbI y

y

h

C x

dyy

b

思考题 I—1 ：平行四边形对形心轴 x 的惯性矩应怎样计算？

5. 主惯性轴 : 当平面图形对某一对正交坐标轴 y0 、 z0 的惯性积 =0 时，则坐标轴 y0 、 z0 称为主惯性轴。推论：具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的 主惯性轴。

00zyI

7. 形心主惯性轴 : 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。可以证明 : 任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。

8. 形心主惯性矩 : 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形 心主惯性矩。

6. 主惯性矩 : 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

目录

§-3 平行移轴公式1. 平行移轴公式推导

左图是一面积为 A 的任意形状的平面， c 为其形心， xcyc 为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为 xy , 形心 c 在 oxy 坐标系下的坐标为(a , b)

任意微面元 dA 在两坐标系下的坐标关系为：

ayybxx CC

a

ycy

xc

x

C

O b

dAxc

yc

y

x

AaI

AaSI

AaAyaAy

AayAyI

c

cc

x

xx

AA cA c

A cAx

2

2

22

22

dd2d

dd

　　

同理，有：

abAII

AbII

cc

c

yxxy

yy2

注： 式中的 a 、 b 代表坐标值，有时可能取负值。

例 I—4 ：求图示直径为 d 的半圆对其自身形心轴 xc 的惯性矩。

（ 1 ）求形心坐标

222)( yRyb

12d2

d)(d

3222

0

2

0

dyyRy

yybyAySd

d

Ax

π3

2

8π

122

3 d

d

d

A

Sy x

c

解：

x

y

b(y)

yc

C

d

xc

y

（ 2 ）求对形心轴 xc 的惯性矩

128

π

2

64π 44 ddI x

π18128

π

8

π)(

4422 ddd

yII cxxc

由平行移轴公式得：

例 I—5 ：求图示平面图形对 y 轴的惯性矩 Iy

y

z

a

a

d

y

z

a

a

d

解： Id a

y ( )2

12

3

2128

4 d

d d2 2

8

2

3

d da

2 2

8

2

3

思考题 I—2 ： O 为直角三角形 ABD 斜边上的中点， x 、 y 轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案 ( 已知 b>a) ： （ A ） Ixy ＞０　　　　 （ B ） Ixy< ０ ( C ) Ixy= ０ 　　　　 （ D ） Ix=Iy

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

x

A

B D

y

O

a

b

（思考题 I—2 ）

思考题 I—3 ：等腰直角三角形如图所示， x 、 y 轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的 :(1) 惯性积 Ixy ＝＿＿ (2) 惯性矩 Ix ＝＿＿ 、 Iy ＿＿＿。

y

xa

a

（思考题 I—3 ）

目录

§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 . 截面的主惯性轴和主惯性矩

1. 转轴公式 新坐标系 ox1y1

旧坐标系 o x y

sincos

sincos

1

1

xyy

yxx

将上述关系代入平面图形对 x1 轴的惯性矩：

AyIAx d2

11 x

y

O x

y

x

y

1

1

A

B

C

D

E

dA

x

y 1

1

cossin2sincos

dcossin2 dsindcos

22

2222

1

xyyx

AAAx

III

AxyAxAyI

利用三角函数整理上式，得转轴公式 ：

2cos2sin2

2sin2cos22

11

1

xyyx

yx

xyyxyx

y

III

I

IIIII

I

2sin2cos221 xy

yxyxx I

IIIII

同理得：

规定：上式中的 的符号为：逆时针为正，顺时针为负。

yxyx IIII 11

即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。

将上述转轴公式中的前两式相加可得：讨论：

从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积将随着角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度 0 ，使截面对与该角对应的新坐标轴 x0 、 y0 的惯性积为零。依此进行如下定义：

2. 截面的主惯性轴和主惯性矩

(1) 主惯性轴 : 截面对其惯性积等于 0 的一对坐标轴。

(2) 主惯性矩 : 截面对于主惯性轴的惯性矩。

(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。

(4) 形心主惯性矩 : 截面对于形心主惯性轴的惯性矩。

3. 主惯性轴位置的确定 设坐标轴转动角度为 0 ，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得：

02cos2sin2 00

xyyx I

II

经整理，得

yx

xy

II

I

2

2tan 0

4. 主惯性矩的确定 由上面 tan20 的表达式求出 cos20 、 sin20 后，再代入惯性矩的转轴公式 ，化简后可得主惯性矩的计算公式如下：

IIIII

I

IIIII

I

xyyxyx

y

xyyxyx

x

22

22

42

1

2

42

1

2

0

0

结论： 若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。 若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。 若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。

例 I—6 ：计算截面的形心主惯性矩。

解：作形心坐标轴 xcyc 如

图所示。（ 1 ）求形心坐标：

),( 、 ),( ⅡⅡⅠⅠ baba

（ 2 ）求对自身形心轴的惯性矩。

、 , 、 2211 cccc yxyx IIII

（ 3 ）由平行移轴公式求整个截面的

、 、 cc yxycxc III

x

y

C

10

b

10

b40

120

a20

80

C

C

a

Ⅰ

Ⅱ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅰ

Ⅱ

（ 4 ）由转轴公式得

093.12

2tan 0

cc

cc

yx

yx

II

I

8.113 6.2272 00

4422max mm103214

2

1

2

0

III

IIII

cccc

cc

c yxyxyx

x

4422min mm104.574

2

1

2

0

III

IIII

cccc

cc

c yxyxyx

y

xc0

yc0

° =113.8

x

y

C

10

b

10

b40120

a20

80C

C

a

Ⅰ

Ⅱ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅰ

Ⅱ

目录