Оценка стоимости портфеля для целей управления...
description
Transcript of Оценка стоимости портфеля для целей управления...
Октябрь 2008
Оценка стоимости портфеля для целей управления рисками
Косьяненко А.В.
Октябрь 2008Источник: www.sortino.com
Just because you got away with it doesn't mean you didn't take any risk !
Октябрь 2008
Факторы определяющие стоимость портфеля
• Состояние рынка
• Структура портфеля
• Задачи управления портфелем
• Действия по управлению портфелем
• Рынок достаточно ликвиден
• Рынок недостаточно ликвиден
Октябрь 2008
Галактика рисков
Источник: Capital Market Risk Advisors
Октябрь 2008
Часть I
Достаточная ликвидность рынка
Октябрь 2008
Апостериорная плотность
Функция правдоподобия
Априорная плотность
- параметры (случайные величины)
- наблюдаемые данные
Байесовский подход
Октябрь 2008
Количество сделок в январе-марте 2008
Октябрь 2008
Оборот в январе-марте 2008
Октябрь 2008
Модель динамики ценОтносительные цены облигаций удовлетворяют стохастическому
дифференциальному уравнению:
- независимые стандартные винеровские процессы
Tktttt WWWW ),...,,( 21
kttt WWW ,...,, 21
kkk RR , - параметры процесса
Как оценивать параметры ?
Октябрь 2008
Пополнение данных путём заполнения пропусков их условными математическими ожиданиями
Перерасчет мод совместного апостериорного распределения параметров
Моды совместного апостериорного распределения параметров и пропущенных данных
ЕМ алгоритм
;,,
,,
1
uiij
oldon
iij
oiijij
oldij
yyyyE
yyy
y
.,,,cov
,,0
случаепротивномвyyy
yyиyyc
oldoikij
okik
oiijold
ijk
n
i
oldij
newj djy
n 1
,...,1,1
dkjcyyn
newk
newj
n
i
oldijk
oldik
oldij
newjk ,...,1,,
1
1
Октябрь 2008
ЕМ алгоритм: источники
• Впервые предложен:
BAUM L. E. et al (1970).
ORCHARD T., WOODBURY M. A. (1972).
DEMPSTER A. P., LAIRD N. M., RUBIN D. B.(1977).
• Обзор:
MENG X. L., PEDLOW S. (1992).
• Использованная формализация:
GELMAN A. et al (2004)
Октябрь 2008
Байесовское оценивание – случай полных данных
Сопряжённые априорные распределенияСопряжённые априорные распределения
Аналитические решенияАналитические решения; ; высокая высокая скорость вычисленийскорость вычислений
Выборка из многомерного нормального распределения с неизвестным вектором средних и
матрицей ковариаций
Октябрь 2008
Байесовское оценивание – случай неполных данных
Отсутствие сопряжённых априорных семействОтсутствие сопряжённых априорных семейств
Численные решенияЧисленные решения;; низкая низкая скоростьскорость
Непостоянная размерность наблюдений (в зависимости от количества наблюдаемых цен)
Октябрь 2008
Методы Markov Chain Monte-Carlo
( , )all obs misX X X obsX
misX
allX - все данные (наблюдаемые+отсутствующие)
- наблюдаемые данные
- отсутствующие данные
( | )obsp X - сложное распределение
( | , )obs misp X X - простое распределение
Более подробно см. Косьяненко (2007)
Октябрь 2008
Imputation Step
Posterior Step
Генерация отсутствующих данных в наблюдениях
( ) ( 1)~ ( | , )t tmis mis obsX p X X
( ) ( )~ ( | , )t tobs misp X X
Генерация параметров из апостериорного распределения
Марковская цепь(1) (1) (2) (2)( , ), ( , ),... ( , | )dmis mis mis obsX X p X X
Методы Markov Chain Monte-Carlo
Октябрь 2008
Совместное апостериорное распределение тренда и волатильности
Октябрь 2008
Доверительные области максимального правдоподобия
Октябрь 2008
Тестовый пример
52 10
5025,001
0605,02
25,00523,0
05,0450
123,005
,
001,0
0002,0
0004,0
0
0008,0
• 50 случайных векторов.
• 30% случайно распределенных пропусков данных.
• Горизонт прогнозирования 10.
• 10 000 итераций Markov Chain Monte-Carlo.
• Условный портфель по 1 каждого актива.
Октябрь 2008
Тестовый пример
Октябрь 2008
Результаты оценки параметров распределения (средние значения)
Октябрь 2008
Результаты оценки параметров распределения (дисперсии)
Октябрь 2008
Результаты оценки параметров распределения (коэффициенты ковариации)
Октябрь 2008
Результаты оценки параметров распределения (коэффициенты корреляции)
Октябрь 2008
Эмпирическая плотность совместного апостериорное распределение тренда и
волатильности
Октябрь 2008
Применение методов восстановления данных для прогнозирования цен
Октябрь 2008
Распределение прогнозируемых относительных потерь условного
портфеля
Октябрь 2008
Ожидаемая стоимость портфеля и уровни соответствующие различным
уровням значимости VaRReal process
Markov Chain Monte-Carlo
EM алгоритм
Уровень значим
ости
Ож
идаемая стоим
ость
Относительны
й VaR
Квантиль стоим
ости портф
еля
Ож
идаемая стоим
ость
Относительны
й VaR
Квантиль стоим
ости портф
еля
Частота превы
шения потерь
Ож
идаемая стоим
ость
Относительны
й VaR
Квантиль стоим
ости портф
еля
Частота превы
шения потерь
5% 515,95 3,45 512,47 516,56 3,68 512,88 0,0676 516,12 2,95 513,16 0,0873
1% 515,95 4,86 511,10 516,56 5,26 511,29 0,0101 516,12 4,15 511,88 0,0253
Октябрь 2008
Часть II
Недостаточная ликвидность рынка
Октябрь 2008
Многомерная природа ликвидности
BLACK (1971), KYLE (1985)
Октябрь 2008
Понятие стоимости портфеля
• “Номинальная” стоимость (marking-to-market)
• Скорректированная стоимостьLiquidity Adjusted VaR BANGIA et al. (1998)
• Ликвидационная стоимостьНауменко (2007)
Октябрь 2008
Стратегии ликвидации портфеля
• Мгновенная ликвидация (сильно двигает рыночные цены в неблагоприятном направлении).
• Постепенная ликвидация одинаковыми порциями (накапливает потери от колебаний цен).
• Другие стратегии.
Смирнов (2004), ALMGREN R., CHRISS N.A. (1999), JORION (2000)
Октябрь 2008
Функция издержек выполнения операций
Октябрь 2008
Литература• ALMGREN R., CHRISS N.A. (1999) Optimal Execution of Portfolio
Transactions. University of Chicago, Department of Mathematics.• BAUM, L. E., PETRIE, T., SOULES, G., and WEISS, N. (1970). “A
maximization technique occurring in the statistical analysis of probabilistic functions of Markov chains.” Annals of Mathematical Statistics vol. 41,pp. 164-171.
• BAGNIA A., DIEBOLD F.X., SCHUERMANN T., STROUGHAIR J.D. (1998) Modeling Liquidity Risk, With Implications for Traditional Merket Risk Measurement and Management, Warton.
• BLACK F. (1971) Towards a Fully Automated Exchange, Part I. Financial Analysts Journal, vol. 27, pp. 29-34.
• DEMPSTER, A. P., LAIRD, N. M., and RUBIN, D. B. (1977). “Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm (with discussion).” Journal of the Royal Statistical Society B vol. 39, pp. 1-38.
• GELMAN, A., CARLIN, J.B., STERN,H.S., RUBIN, D.B. (2004) “Bayesian Data Analysis.” Second edition. A CRC Press Company, Boca Raton, Florida.
• JORION P. (2000) Value-at-Risk: the New Benchmark for Managing Financial Risk. 2 edition. McGraw-Hill.
• KYLE (1985) Continuous Auctions and Insider Trading, Econometrica, vol. 53, No. 6. pp. 1315-1336.
Октябрь 2008
Литература• MENG, X. L., and PEDLOW, S. (1992). EM: a bibliographic review with
missing articles. Proceedings of the Statistical Computing Section, American Statistical Ass ociation, 24- 27.
• ORCHARD, T., and WOODBURY, M. A. (1972). A missing information principle: theory and applications. In Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium, ed. L. LeCam, J. Neyman, and E. L. Scott, 697-715. Berkeley: University of California Press. Orchard, Woodbury, 1972
• Косьяненко А.В. (2007) Опыт восстановления пропущенной рыночной информации на основе байесовского подхода. Препринт WP16/2007/02. — М.: ГУ ВШЭ, 2007.
• Науменко В.В. (2007) Моделирование риска рыночной ликвидности с учетом глубины рынка. Препринт WP16/2007/04. — М.: ГУ ВШЭ, 2007.
• Смирнов С.Н. (2004) Риски рыночной ликвидности: измерение и управление. http://www.riskconference.ru/presentation/2004/plenary/Smirnov.pdf
Октябрь 2008
Благодарю за внимание!
Косьяненко Антон ВалерьевичМладший научный сотрудник, Лаборатория по финансовой инженерии и риск-менеджменту, Государственный университет Высшая школа экономики[email protected]://fermlab.hse.ru