内 容 简 介 本书分上、下两册。上册内容包括函数、极限与连续、导数与微分、 中值定理与导数的应用、积分及其应用 ...
第二章 导数与微分
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高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
求导法则求导法则
基本公式基本公式导 数导 数
x
yx
0
lim
微 分微 分
xydy
关
系 dx
dy
dx
dy微商导数可微可导
求导方法求导方法
高阶导数高阶导数
微分法则微分法则
导数与微分关系图导数与微分关系图导数与微分关系图导数与微分关系图
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
第二章 导数与微分
1. 导数定义
2. 基本求导公式
3. 求导法则
4. 求导方法
5. 高阶导数
6. 微分定义
7. 7. 基本微分公式基本微分公式8. 微分法则
9. 典型例题
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
1. 1. 导数定义导数定义
x
yxfxy
dx
xdf
dx
df
dx
dyx
xxxxxx Δ
Δlim)()(
)(0Δ
00000
的导数:在 0)( xxxfy
左导数:x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx
)()(lim
)()(lim)( 00
00
0
00
0
右导数:x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx
)()(lim
)()(lim)( 00
00
0
00
0
x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx Δ
)()Δ(lim
)()(lim)( 00
0Δ0
0
0
导数:
)(xf 在 0x 可导 )( 0xf 和 )( 0xf 都存在且相等
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
(常数和基本初等函数的导数公式)
2
2
2
1
1)(arctan
1
1)(arcsin
ln
1)(log
ln)(
sec)(sec
sec)(tan
cos)(sin
0)(
xx
xx
axx
aaa
xtgxx
xx
xx
C
a
xx
2
2
2
1
11
)cot(
1
1)(arccos
1)(ln
)(
csc)(csc
csc)(cot
sin)(cos
)(
xx
xx
xx
ee
xctgxx
xx
xx
xx
xx
arc
2. 2. 基本求导公式基本求导公式
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
(1) vuvu )( , (2) uccu )( (c是常数 )
(3) vuvuuv )( , (4) )0()(2
vv
vuvu
v
u
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(3) 反函数的求导法则
)(
1)(,)()(
xxfyxxfy
则的反函数是设
3. 3. 求导法则求导法则
(2) 复合函数的求导法则
).()()( xufxydx
du
du
dy
dx
dy 或
)( )]([)( xfufy
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
(1) 隐函数求导法用复合函数求导法则直接对方程两边求导
)(
)(
ty
tx
;)()(tt
dtdxdtdy
dxdy
)(
)()()()(32
2
t
tttt
dx
yd
(3) 参变量函数的求导法
(2) 对数求导法
先在方程两边取对数 , 然后利用隐函数求导法求出导数适用范围 : 的情形数多个函数相乘和幂指函 )()( xvxu
4. 4. 求导方法求导方法
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
])([)()(2
2
2
2
2
2
xfxfyxfdx
d
dx
fd
dx
yd二阶导数
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
5. 5. 高阶导数高阶导数
xt
xftf
x
xfxxfxtx
)()(lim
)()(lim
0
])([)()(3
3
3
3
xfxfyxfdx
d
dx
yd三阶导数
])([)()( )1()()( xfxfyxfdx
d
dx
ydn nnn
n
n
n
n
阶导数
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
定义
.
),(,
)(,
)(),(
)()()(
,
,)(
0
0 0
00
00
00
xAdy
xdfdyx
xxfyxAx
xfyxA
xoxAxfxxfy
xxxxfy
xx
xx
即或记作的微分于自变量增量
相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ( 微分的实质 )
6. 6. 微分定义微分定义
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
xdxxxdxdxxxd
xdxxdxdxxd
xdxxdxdxxd
dxxxdCd
cotcsc)(csctansec)(sec
csc)(cotsec)(tan
sin)(coscos)(sin
)(0)(
22
1
dxx
xddxx
xd
dxx
xddxx
xd
dxx
xddxax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
11
)cot(1
1)(arctan
1
1)(arccos
1
1)(arcsin
1)(ln
ln1
)(log
)(ln)(
arc
7. 7. 基本微分公式基本微分公式
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
.)(,)()( dxxfdyxxfxxf 这时处可导在可微在
导数与微分关系
8. 8. 微分法则微分法则
函数和、差、积、商的微分法则
2)(
)()(
v
udvvdu
v
ududvvduuvd
CduCuddvduvud
微分形式的不变性
的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论 )(, xfyx dxxfdy )(
)( )(xfy
dx
dydxdyxf
dx
dy的商与微分微分微商导数 )(
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
例 1
).0(
),100()2)(1()(
f
xxxxxf
求设
解0
)0()(lim)0(
0
x
fxff
x
)100()2)(1(lim0
xxxx
!100
9. 9. 典型例题典型例题
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
.
,11
11ln
41
1arctan21
2
22
yx
xxy
求
设
解 ,1 2xu 设 ,11
ln41
arctan21
uu
uy则
)1
11
1(
41
)1(21
2
uuuyu 41
1u
,2
142 xx
)1( 2 xux ,1 2x
x
.1)2(
123 xxx
yx
例 2
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
.,45
202
tdx
dy
ttty
ttx求设
解 分析 : ,,0 不存在时当 tt
,,,0 不存在时当dtdy
dtdx
t 不能用公式求导 .
tt
ttt
xy
tx
2
4)(5limlim
2
00 )sgn(2)]sgn(45[
lim0 t
ttt
.0.00 tdx
dy故
例 3
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
.,
)0,0()(
2
2
dxyd
yxxyxfy yx
求所确定
由方程设函数
解 两边取对数 ,ln1
ln1
xy
yx
,lnln xxyy 即
,1ln)ln1( xyy ,ln1
1lny
xy
2)ln1(
1)1(ln)1(ln
1
y
yy
xyx
y
3
22
)1(ln)1(ln)1(ln
yxy
xxyy
例4
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
).(,)2()( xfxxxxf 求设
解 先去掉绝对值 ,
2),2(
20),2(
0),2(
)(2
2
2
xxx
xxx
xxx
xf
,0时当 x ,0)0()0( ff ;0)0( f
,20 时当 x
;43)( 2 xxxf ,02 时或当 xx
;43)( 2 xxxf
例 5
,2时当 x ),2(44)2( ff .2)( 处不可导在 xxf
,20,43
,0,0
0,2,43
)(2
2
xxx
x
xxxx
xf
或
所以
所以
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
.,)(sin cos yxxy x 求设
解 )(ln yyy )sinlncos(ln xxxy
)sin
cossinlnsin
1()(sin
2cos
xx
xxx
xx x
例6
.,114 )(
2
2ny
xx
y 求设
解1
344114
2
2
2
2
xx
xx
y )1
11
1(
23
4
xx
,)1(
!)1()
11
( 1)(
n
nn
xn
x ,
)1(!)1(
)1
1( 1
)(
n
nn
xn
x
].)1(
1)1(
1[!)1(
23
11)(
nn
nn
xxny
例7
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
一、 选择题: 1、函数 )(xf 在点 0x的导数 )( 0xf 定义为( )
(A)x
xfxxf
)()( 00 ;
(B)x
xfxxfxx
)()(lim 00
0
;
(C)x
xfxfxx
)()(lim 0
0
;
(D)0
0)()(lim
0 xx
xfxfxx
;
2、若函数 )(xfy 在点 0x处的导数 0)( 0 xf ,则 曲线 )(xfy 在点( )(, 00 xfx )处的法线( ) (A)与x轴相平行;(B)与x轴垂直; (C)与y轴相垂直;(D)与x轴即不平行也不垂直:
测验题
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
3 、 若 函 数 )( xf 在 点 0x 不 连 续 , 则 )( xf 在 0x ( ) ( A ) 必 不 可 导 ; ( B ) 必 定 可 导 ; ( C ) 不 一 定 可 导 ; ( D ) 必 无 定 义 . 4 、 如 果 )( xf = ( ) , 那 么 0)( xf .
( A ) xx arccos2arcsin ;( B ) xx 22 tansec ;( C ) )1(cossin 22 xx ;( D ) xarctan arc xcot .
5 、 如 果
0),1(
0,)(
2 xxb
xexf
ax
处 处 可 导 , 那 末 ( )
( A ) 1 ba ; ( B ) 1,2 ba ; ( C ) 0,1 ba ; ( D ) 1,0 ba .
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
6、已知函数 )(xf 具有任意阶导数,且 2)()( xfxf ,则当n为大于2的正整数时, )(xf 的n阶导数 )()( xf n 是( ) (A) 1)](![ nxfn ; (B) 1)]([ nxfn ; (C) nxf 2)]([ ; (D) nxfn 2)](![ .7、若函数 )(txx , )(tyy 对t可导且 0)( tx ,又
)(txx 的反函数存在且可导,则dx
dy=( )
(A))(
)(
tx
ty; (B)
)(
)(
tx
ty
;
(C))(
)(
tx
ty; (D)
)(
)(
tx
ty
.
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
8、若函数 )(xf 为可微函数,则dy( ) (A)与 x 无关; (B)为 x 的线性函数; (C)当 0x 时为 x 的高阶无穷小; (D)与 x 为等价无穷小.
9、设函数 )(xfy 在点 0x处可导,当自变量x由 0x 增加到 xx 0 时,记 y 为 )(xf 的增量,dy为 )(xf 的
微分,x
dyyx
0
lim 等于( )
(A)-1; (B)0; (C)1; (D).
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
10、设函数 )(xfy 在点0x处可导,且 0)(0xf ,
则 x
dyyx
0lim 等于( ).
(A)0; (B)-1; (C)1; (D) .
二、求下列函数的导数: 1、 2lnsinxxy ; 2、xaycosh (0a); 3、 xxy sec2)1( ; 4、 )]310ln[cos(2xy ;
5、设y为x的函数是由方程x
yyx arctanln 22 确
定的;
6、设 yyx 2, 2
32 )( xxu ,求du
dy.
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
三 、 证 明 tex t sin , tey t cos 满 足 方 程
)(2)(2
22 y
dx
dyx
dx
ydyx .
四 、 已 知
0,
0,cos)(
)(xa
xx
xxgxf 其 中 )( xg 有 二 阶 连
续 导 数 , 且 1)0( g , 1、 确 定 a 的 值 , 使 )( xf 在 0x 点 连 续 ; 2、 求 )( xf 五 、 设 ,ln xxy 求 )1()( nf .六 、 计 算 3 02.9 的 近 似 值 .
七、一人走过一桥之速率为 4公里/小时,同时一船在此人底下以 8公里/小时之速率划过,此桥比船高200米,问 3分钟后人与船相离之速率为多少?
高等数学( XAUAT)高等数学( XJD)
一 、 1 、 D ; 2 、 B ; 3 、 A ; 4 、 D ; 5 、 D ;6 、 A ; 7 、 C ; 8 、 B ; 9 、 B ; 1 0 、 A ;
二 、 1 、x
xxx
sin2lncos 2 ;
2 、 xxaa coshsinhln ;
3 、 xx
xxxx x sec]
1
2)1ln([tan)1(
22sec2
;
4 、 )310tan(6 2xx ;
5 、yx
yx
;
6 、xxxy 2)12)(12(3
1.
测验题答案