二、平面上曲线积分与路径 无关的条件二、平面上曲线积分与路径 无关的条件

一、格林 (Green) 公式一、格林 (Green) 公式

第五节　格林公式　 平面上曲线积分与路径无

关的条件

第五模块　二重积分与曲线积分第五模块　二重积分与曲线积分

　　定理 ( 格林定理 ) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则

,ddd

LD

yQxPy

P

x

Q ①

一、格林 (Green) 公式一、格林 (Green) 公式

其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①称为格林公式 .

y

x a b O

A

B

C

D

L

E

y = 2(x)

y =1(x)

　　证明　假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 . 例如区域 D 为图所示，于是根据二重积分的计算法，有

xyy

P

y

P b

a

x

xD

ddd)(

)(

2

1

.d)]}(,[)](,[{ 12 xxxPxxPb

a

另一方面 . 由曲线积分计算，有

xxxPxxxPa

b

b

ad)](,[d)](,[ 21

.)]}d(,[)](,[{ 21 xxxPxxPb

a

BCAAEBL

xyxPxyxPxP d),(d),(d

所以.dd

D L

xPy

P

同理可证

D L

yQx

Q.dd

两式相加，即得

D L

yQxPy

P

x

Q.ddd

取 P(x, y) = - y ， Q(x, y) = x ，由格林公式得

.dddd2 D L

yxxyyx

上式左端是区域 D 的面积 A 的两倍，因此有

.dd2

1 L

xyyxA

　　例 1 求椭圆 x = acos t, y = bsin t 所围成的面积 A .

解 L

xyyxA dd2

1

2

0)cos(dsin)sin(dcos

2

1tatbtbta

.d)sin(cos2

1 2

0

22

abtttab

例 2 　计算　 ， L

xyxyxy dd 22 其中 L 为正

向圆周 x2 + y2 = R2.

解　因为 P(x, y) = - x2y ， Q(x, y) = xy2 ，

,, 22 yx

Qx

y

P

所以，由格林公式有

d)(dd 2222 D

Lyxxyxyxy

.2

πdd 4π2

0 0

3 RrrR

例 3 　计算曲线积分

AnO

xx ymyxmyy .d)cose(d)sine(

其中 AnO 为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 + y2 = ax(a > 0).

　　解　如果添加有向线段 OA ，则 AnO + OA =

L 是一条正向的封闭曲线 . 我们设由它围成的区域为 D.

　　因为 P(x, y) = exsin y – my,

Q(x, y) = excos y - m ，

所以

,cosecose mmyyy

P

x

Q xx

y

xO

D

n

A(a, 0)

则由格林公式得

L

xx ymyxmyy d)cose(d)sine(

.8

π

22

πd 2

2

ama

mmD

而

ymyxmyy x

AnO

x d)cose(d)sine(

L

xx ymyxmyy d)cose(d)sine(

OA

xx ymyxmyy d)cose(d)sine(

.8

π0d0

8

π 2

0

2 am

xam a

二、平面上曲线积分与路径　　无关的条件二、平面上曲线积分与路径　　无关的条件

设 D 是一个开区域， 如果对 D 内任意指定的两点 A 与 B ， 以及 D 内从点 A 到点 B

的任意两条不相同的分段光滑曲线 L1 、 L2 ，等式

21

ddddLL

yQxPyQxP

yQxPL dd

.dd B

AyQxP

恒成立，则称曲线积分 在 D 内与路径无关 . 这时，我们可将曲线积分记为

y

x O

L1

L2

DB

A

它也不是单连通域 .

　　如果区域 D 内的任意一条简单闭曲线所围成的区域完全属于 D ，则 D 称为单连通域 . 直观地说，单连通域就是没有空洞的区域 . (a) 图中的区域是单连通域，(b) 图中的两个区域都不是单连通域 .

(b) 图中右边的区域，仅在区域中挖去一个点，

(a) (b)

　　定理 1 　在区域 D 中，曲线积分

与路径无关的充要条件是：对 D 内任意一条闭曲

线 C ，有

L

yQxP dd

C

yQxP .0dd

证　先证必要性 .

设 AnBmA 是 D 内任意一条闭曲线 . 因为曲线积分　　　　　 在 D 内与路径无关，所以

LyQxP dd

AnB

yQxP dd ,dd AmB

yQxP

因此

AnBmAyQxP dd

BmAAnB

yQxPyQxP dddd

AmBAnB

yQxPyQxP dddd

.0

y

x O

BD

m

nA

再证充分性 .

设 A 、 B 是 D 内的任意两点，

AnB 与 AmB

是 D 内的任意两条路径 . 因为对 D 内任意一条闭曲线 C ， 所以由题设有恒有 ,0dd

L

yQxP

,0dd AnBmA

yQxP

因此

AnB

yQxP dd .dd AmB

yQxP

y

x O

BD

m

nA

这就说明了曲线积分 与路径无关 . L

yQxP dd

　　定理 2 　设函数 P(x, y) 、 Q (x, y) 在单连

通域 D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分

与路径无关的充要条件是

L

yQxP dd

y

P

x

Q

Dyx ),(

证　先证充分性 .

(x, y) D ，所以对 D 内任

意一条正向封闭曲线 L1 及其围成的区域 D1 ，

因为 D1 D ，所以 D1 是单连域，由格林公式有

因为 ,y

P

x

Q

1

ddL

yQxP .0d1

D y

P

x

Q

于是由定理 1 知，曲线积分 在 D 内与路径无关 .

L

yQxP dd

必要性证明从略 .

例 4 　计算 ,dsin3

1d)e3( 32 yyyxxxyxI

L

x

其中 L 是摆线 x = t – sin t, y = 1- cos t ，从点 A(2,

0) 到点 O(0, 0) 的一段弧 .

解　显然，用这段路径来计算是很复杂且困难 .

能否换一条路径呢？ .,x

Q

y

P

为此计算 其中 P(x, y) =

x2y + 3xex, 得yyxyxQ sin3

1),( 3

.2

x

Qx

y

P

再选一条路径 L1 ：由 A(2, 0) 沿 x 轴到原点 .

审查一下： 由 L 与 L1 所围的平面域是否单连通域 .P(x, y) 与 Q(x, y) 偏导数是否连续， 现在是连续的 .

所围的域是单连通域， 这样可以换为在 L1

上求曲线积分，即

x

y

O L1

L

A

yyyxxxyxL

x d)sin3

1(d)e3( 32

,d)sin3

1(d)e3(

1

32 yyyxxxyxL

x

因为 L1 上 dy = 0 ， y = 0 所以上式为

yyyxxxyxL

x d)sin3

1(d)e3(

1

32

,3)π21(e3de3 π20

π2 xx x

即 yyyxxxyxL

x dsin3

1d)e3( 32

.3)π21(e3 π2

例 5 　计算

　　解　如果不换路径，计算非常困难，为了换路径，先要计算 P 、 Q 的偏导数 .

,dd22

L yx

xyyx 其中 L 由点 A(- -

) 经曲线 y = cos x 到点 B(- ) ( 如图 ).

,),(22 yx

yyxP

22),(

yx

xyxQ

则 .)( 222

22

x

Q

yx

xy

y

P

y

x

L

O

A

xy cosπ

B

　　再考虑换一条路径 .

以 为半径的圆周，由 A 经大半圆到 B 为 L1 ，

π2

　　 如果换成由 A 经直线到 B 为 L1 ，则 L 与 L1 所围的平面域内函数 P(x,

y) 与 Q(x, y) 在原点处偏导数不存在 .　　 这就是说它们所围的域不是单连通域 . 所以不满足将 L 换为 L1 的条件， 作一个以原点为圆心， 　　　则此时， L 与 L1

所围的平面域内函数 P(x, y) ， Q(x, y) 的偏导就连续了 .　　　　即 L 与 L1 所围的平面域为单连通域 .

这就可以将 L 换为 L1. L1 的参数方程为

代入，得

L yx

xyyx22

dd

1

22

dd

L yx

xyyx

π.2

3d4

π

π4

5

t

,inπ2

,cosπ2:1

tsy

txL

　　从例 4 ，例 5 中我们可以归纳一下换积分路径的步骤：

则可进行下一步，否则就是积分与路径有关 .

1. 计算 是否相等 . 如果x

Q

y

P

.x

Q

y

P

2. 选一条路径 ( 与原路径同起、终点 )L1 ， 使与原路径 L 所围平面域上函数 P(x, y) 与 Q(x, y) 偏导数连续，即所围的区域为单连通域， 　则可将路径 L

换为 L1.