Модели в виде систем одновременных уравнений
description
Transcript of Модели в виде систем одновременных уравнений
![Page 1: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/1.jpg)
Модели в виде Модели в виде систем систем
одновременных одновременных уравненийуравнений
![Page 2: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/2.jpg)
Оценка параметров Оценка параметров структурной формы моделиструктурной формы модели
Предполагаем, что модель идентифицируема.
Для иллюстрации этого метода, в котором каждое поведенческое уравнение модели оценивается отдельно от другого, выберем простейшую "паутинную" модель спроса-предложения товара:
σσ
σσ
0
21
2
21
2
11
110
10
vtt
utt
tttt
ttst
ttdt
pv
pu
pvMpuM
vpbby
upaay
(1.1)
Необходимо найти оценки параметров a0, a1, b0, b1, а также СКО этих оценок
![Page 3: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/3.jpg)
Оценка параметров Оценка параметров структурной формы моделиструктурной формы модели
Убедимся в том, что оба уравнения модели идентифицированы
Воспользуемся правилом ранга:
rk(ĀRiT)≥G-1, i=1,2
00100
00001
10000
00010
00
0
011
010
01
2
1
10
01
R
R
bb
aaA
![Page 4: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/4.jpg)
Оценка параметров Оценка параметров структурной формы моделиструктурной формы модели
2
01
1
00
01
1
00
10
00
00
01
00
00
0
011
010
01
1110
01
1
brkbbb
aa
RA T
Для первого уравнения системы (1.1) имеем:
Проверяем условие: rk(ĀR1T)≥G-1 2=3-1=2,
следовательно, первое уравнение точно идентифицированно
Соответственно для второго уравнения:
2
01
00
1
01
00
1
00
00
10
00
01
00
0
011
010
01 11
10
01
2
ark
a
bb
aa
RA T
rk(ĀR1T)≥G-1
2=3-1=2
![Page 5: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/5.jpg)
Оценка параметров Оценка параметров структурной формы моделиструктурной формы модели
Что доступно для наблюдения: (y*I, pi, pi-1)
Имеем уравнения наблюдений схемы Гаусса-Маркова:y1 = a0 + a1 · p1 + u1
y2 = a0 + a1 · p2 + u2
...................………. yn = a0 + a1 · pn + un
Однако, применить к ней МНК нельзя, т.к. COV(pi,ui)≠0Запишем приведенную форму модели для переменной pt
a
u,a
uvCOVu,pa
bCOVu,a
abCOVu,pCOV
a
uvpa
b
a
abp
ut
ttttttt
tttt
1
2
11
1
1
1
00
11
1
1
1
00
σ
(1.2)
![Page 6: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/6.jpg)
Оценка параметров Оценка параметров структурной формы моделиструктурной формы модели
Оценки параметров структурной формы модели оказываются смещенными и неэффективными даже при выборках большого объема
Это видно из следующих вычислений:
ux
nxx
na
uxn
xxn
axn
xxn
uaxxn
xxn
Yxxn
Yxxxa~
tTT
tTTTT
TTTTT
x11
1111
111
1
11
111
(1.2)
Из (1.2) видно, что вектор оценок параметров модели отличается от «истинных» значений на некоторую величину, которая делает оценки смещенными
![Page 7: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/7.jpg)
Оценка параметров Оценка параметров структурной формы моделиструктурной формы модели
Форма (1.2) оценок параметров линейной модели МНК полезна тем, что она позволяет сформулировать достаточные условия состоятельности
Условия состоятельности:
uun
limP.
xxn
limPM
матрицасуществует.
uxn
limP.
T
nu
T
nxx
T
n
1σ3
1
2
01
1
2
1
(1.3)
(1.4)
(1.5)
![Page 8: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/8.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае точной идентифицируемости уравнений модели
Алгоритм применения КМНК:
1. От структурной формы модели переходят к приведенной
2. Определяются МНК-оценки параметров приведенной формы модели
3. По МНК-оценкам приведенной формы вычисляют-ся оценки параметров структурной формы модели.
![Page 9: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/9.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
Мы знаем связь параметров структурной и приведенной форм моделей:
М=-АВ или АМ=-В или АМ+В=0 (2.1)
Это выражение с использованием расширенной матрицы коэффициентов Ā в матричной форме имеет вид:
0
I
MAi
(2.2)
где: I – единичная матрица размером kxk
Для оценки параметров i-го уравнения необходимо добавить априорные ограничения и условия нормализации
![Page 10: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/10.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
В результате получается система алгебраических уравнений относительно элементов матрицы Ā
10
0
aRA
I
MA
ii
Tii
i
(2.3)
Доказывается, что, если i-ое уравнение точно идентифицируемо и выполнено условие нормализации, то система (2.3) имеет единственное решение
![Page 11: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/11.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
Задача. Построить модель потребления свинины на душу населения у1 (в фунтах) в зависимости от цены на нее у2 (долл/фунт), располагаемого дохода х1 (в долл) и расходов по обработке мяса х2 (% от цены)
Известно:
1. Потребление свинины пропорционально ее цене при этом потребление падает с ростом цены, и пропорционально располагаемому доходу
2. Цена растет с ростом потребления свинины и ростом стоимости ее переработки
![Page 12: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/12.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
012
2221212
1112121
avxbyayuxbyay
tttt
tttt
Решение.
1. Спецификация модели. С учетом отмеченных закономерностей спецификацию модели можно записать в виде
(2.4)
В приведенной форме модель (2.4) примет вид:
ζξ
2221212
2121111
tttt
tttt
xmxmyxmxmy (2.5)
![Page 13: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/13.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
2. Сбор исходной информации для оценки модели
ГодПотрбление
y1
Цена y2
Доход x1
Переработка
x2
1990 -3 0.6 -200 3
1991 -1 -0.4 -200 -1
1992 2 -0.2 0 -1
1993 -1 0.6 100 6
1994 3 -0.6 300 -7
![Page 14: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/14.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
3. Оценка МНК параметров приведенной формы модели
850
810
250028000060
ζ112000030
221130030
ξ26500060
22
21
212
211
.R
.R
...x.x.y
...x.x.y
tttt
tttt
(2.6)
![Page 15: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/15.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
b
b
a
aA
22
11
21
12
0
0
1
1
4. Вычисление параметров структурной формы модели
4.1 Для первого уравнения модели
Расширенная матрица коэффициентов Ā имеет вид
Система алгебраических уравнений (2.3) примет вид
00
10
0101 2221
1211
11121
mm
mm
baI
MA (2.7)
![Page 16: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/16.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
После перемножения матриц в системе (2.7) получим
m11 – a12m21 - b11=0
m12 – a12m22 = 0
Решив полученную систему относительно параметров aij получим искомые параметры для первого уравнения модели (2.4)
006700003036320060
36321120
2650
1121121111
22
1212
22
1212
....b~mamb
..
.
m~m~
a~m
ma
![Page 17: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/17.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
4.2 Рассматриваем второе уравнение моделей (2.4-2.5)
Структурные параметры для него есть решение системы уравнений:
1250265004801120
04800060
00030
00
00
10
0101
12212222
11
2121
22221121
211121
2221
1211
22212
....m~a~m~b~
..
.
m~m~
a~
bmmamma
mm
mm
baI
MA
![Page 18: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/18.jpg)
Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
В результате структурная форма модели (2.4) получила вид
vx.y.yux.y.y
tttt
tttt
212
121
12500480006703632
Остается проверить ее адекватность
![Page 19: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/19.jpg)
Двухшаговый метод Двухшаговый метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
В основе метода лежит понятие «инструментальных переменных»
Пусть имеем линейную модель множественной регрессии
0σσ
022
2211
UXCOVuuM
uxa...xaxay
t
t
tkkt
(3.1)
В модели (3.1) объясняющие переменные коррелируют со случайными возмущениями
![Page 20: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/20.jpg)
Двухшаговый метод Двухшаговый метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
Xzn
limPM
матрицавырожденанеиСуществует.
uzn
limP.
T
nzx
T
n
1
2
01
1
Определение. Переменные (z1t, z2t,…,zkt) называются инструментальными для модели (3.1), если они удовлетворяют двум требованиям:
Т.е. zit коррелируют в пределе с xit и не коррелируют в пределе со случайными возмущениями
Теорема. Процедура
(3.2)
(3.3)
yTa~
zxzT 1
доставляет состоятельные оценки параметров модели (3.1)
(3.4)
![Page 21: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/21.jpg)
Двухшаговый метод Двухшаговый метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
a
uvpa
b
a
abp tttt
11
1
1
1
00
ε110 ttt pp mm
Вопрос. Как построить инструментальные переменные?
Вернемся к уравнению (1.2)
(1.2)
Перепишем его в виде:
(3.5)
Если удастся избавиться от εt, т.е. найти переменную
εttt pz
то она могла бы выступить в качестве инструментальной переменной
![Page 22: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/22.jpg)
Двухшаговый метод Двухшаговый метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
Алгоритм оценки коэффициентов структурной формы уравнений ДМНК
1. Оценивание параметров приведенной формы модели для эндогенных переменных, включенных в правую часть уравнения модели с помощью МНК
2. Оцениваются параметры структурной формы уравнения модели, в правую часть которой вместо значений эндогенных переменных подставляются их оценки, рассчитанные по приведенным формам модели, которые получены на предыдущем шаге.
3. Оцениваются точностные характеристики модели
![Page 23: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/23.jpg)
Двухшаговый метод Двухшаговый метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
012
2221212
1112121
avxbyayuxbyay
tttt
tttt
Пример. Рассмотрим предыдущую задачу:
Оценить параметры структурной формы модели (2.4)
(2.4)
1. Оценка параметров первого уравнения
Приведенная форма уравнения для эндогенной переменной y2t имеет вид:
850250028000060
ζ11200003022
212.R...
x.x.y tttt
![Page 24: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/24.jpg)
Двухшаговый метод Двухшаговый метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
x.x.y~ ttt 212 112000030
Оценка эндогенной переменной ŷ2t соответственно есть
(3.6)
Исходные данные для оценки параметров первого уравнения модели (2.4)
ГодПот-ние
y1
Цена ŷ2
Доход x1
Переработка
x2
1990 -3 0.277 -200 3
1991 -1 -0.171 -200 -1
1992 2 -0.112 0 -1
1993 -1 0.702 100 6
1994 3 -0.696 300 -7
Здесь ŷ2t рассчитано по формуле (3.6)
![Page 25: Модели в виде систем одновременных уравнений](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56813b73550346895da47f76/html5/thumbnails/25.jpg)
Двухшаговый метод Двухшаговый метод наименьших квадратовнаименьших квадратов
218100302471
006703632 121
...ux.y.y tttt
00202181
00110030σ0251
2181
00112471σ
0011σσσσ
σ
1112
1
2
1
..
..~..
..~
.kn
y~y~~
~
ba
tui
u
ui
t
По данным столбцов 2, 3, 4 оцениваются структурные параметры первого уравнения модели (2.4)
2. Уточнение СКО структурных параметров
Окончательно первое уравнение модели (2.4) имеет вид
001100200251
006703632 121
...ux.y.y tttt