Συστήματα αναφοράς και χρόνου
description
Transcript of Συστήματα αναφοράς και χρόνου
![Page 1: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Συστήματα αναφοράς και χρόνου
Σύνοψη βασικών εννοιών
![Page 2: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Κεφάλαιο 2
Βασικές έννοιες
![Page 3: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Ένα σημείο Ο που ονομάζεται «αρχή» και μία «βάση» στο Ο = = τρία μη συνεπίπεδα διανύσματα στο Ο (συνήθως ορθοκανονική βάση = μοναδιαία διανύσματα κάθετα μεταξύ τους
1 2 3( , , , )O e e e
(2) Στην περιγραφή τοπικών διανυσμάτων σε κάθε σημείο Ρ μέσω τωνσυνιστωσών τους ως προς μια τοπική βάση η οποία προκύπτει μέσω της παράλληλης μετάθεσης της βάσης του συστήματος αναφοράςαπό το σημείο Ο στο σημείο Ρ
Σε τι χρησιμεύει ένα σύστημα αναφοράς;
(1) Στην περιγραφή σημείων Ρ μέσω των καρτεσιανών συντεταγμένωνΚαρτεσιανές συντεταγμένες = συνιστώσες του διανύσματος θέσης ΟΡ
1 2 3 1 2 3( , , , ) ( , , , )O e e e P e e e
1 2 31 2 3x OP x e x e x e
ex
1 2 31 2 3v v e v e v e ev
Τι είναι ένα σύστημα αναφοράς;
Ένα σύστημα αναφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στη Νευτώνεια μηχανική - Χώρος τριών διαστάσεων = επίπεδος (μη καμπύλος)
![Page 4: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/4.jpg)
4
1 2 3( , , )q q qΤι είναι ένα σύστημα (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων;
Tρεις συναρτήσεις q1, q2, q3 οι οποίες σε κάθε σημείο Ρ του 3Δ χώρουαντιστοιχούν τρεις αριθμούς q1(P), q2(P), q3(P)
Σε τι χρησιμεύει ένα σύστημα (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων;
(1) Στην περιγραφή σημείων Ρ μέσω των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων
(2) (ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΑ – ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ)Στην περιγραφή τοπικών διανυσμάτων σε κάθε σημείο Ρ μέσω τωνσυνιστωσών τους ως προς μια τοπική βάση η οποία προκύπτει από τηνπαραγώγιση του διανύσματος θέσης ΟΡ ως προς τις συντεταγμένεςΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ: Οι εξισώσεις της φυσικής έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων
1 2 31 2 3, ,x x xe e eq q q
Ένα σύστημα συντεταγμένων και οι σχετικές βάσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί και πέρα από τη Νευτώνεια μηχανική, π.χ. στη γενική θεωρία της σχετικότητας (καμπύλος τετραδιάστατος χωροχρόνος)
![Page 5: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Τι είναι το εσωτερικό γινόμενο;
Απεικόνιση δύο διανυσμάτων σε αριθμό: ( , ) | || | cosa b a b a b
Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το εσωτερικό γινόμενο;
Το μήκος διανύσματος, η γωνία θ μεταξύ διανυσμάτων και η απόσταση σημείων
a a a cos
| | | |a ba b
Τι είναι το εξωτερικό γινόμενο;
Απεικόνιση δύο διανυσμάτων σε διάνυσμα:
| | | | ( ) ( )B A B A B AAB x x x x x x
( , )a b c a b
, , | | | || | sinc a c b c a b
Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το εξωτερικό γινόμενο;
Το εμβαδόν Α του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν 2 διανύσματα
| |A a b
![Page 6: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το μικτό γινόμενο;
Τι είναι το μικτό γινόμενο;
Απεικόνιση τριών διανυσμάτων σε αριθμό:
( , , ) [ , , ] ( )a b c a b c a b c
Ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν 3 διανύσματα τοποθετημένασε δεξιόστροφη σειρά(για αριστερόστροφη σειρά προκύπτει ο αρνητικός όγκος -V )
[ , , ] ( )V a b c a b c
![Page 7: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Πως αποδίδονται το εσωτερικό, το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο μέσω των συνιστωσών των σχετικών διανυσμάτων;
[ , , ] ( ) [ ]Ta b c a b c c a b
, ,a b c ea eb ec Ta b a b
[ ]a b a b
Αντισυμμετρικός πίνακας με αξονικό διάνυσμα a :3 2
3 1
2 1
0[ ] 0
0
a aa aa a
a
Aξονικό διάνυσμα a αντισυμμετρικού πίνακα A :
12 13
12 23
13 23
00 [ ]
0
A AA AA A
A a32 23
13 13
21 21
A AA AA A
a
![Page 8: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/8.jpg)
8
1
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2
3
k
k k k k k k
k
Re R e R e R e e e e R
R
er
1 2 3 1 2 3 1 2 3Te e e e er er er e r r r eR
1,2,3k
Δύο ορθοκανονικές βάσεις συνδέονται με έναν ορθογώνιο πίνακα
( )Ti k ik ike e e e
T e e I
( )Ti k ik ike e e e
T e e I
T T T e eR R R RR I
( ) ( )T T T T T T I e e eR eR R e eR R IR R R
![Page 9: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Στροφές γύρω από τους άξονες
1
1 0 0( ) 0 cos sin
0 sin cos
R
2
cos 0 sin( ) 0 1 0
sin 0 cos
R
3
cos sin 0( ) sin cos 0
0 0 1
R
γύρω από τον 1ο άξονα
γύρω από τον 2ο άξονα
γύρω από τον 3ο άξονα
![Page 10: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Παράγωγοι των πινάκων στροφής γύρω από τους άξονες
21 3
00
010
10
10
I ii i
1
0 0[ ] 0 1
0 0
00
1
i
1 1 1 1 1( ) [ ] ( ) ( )[ ]a
R i R R i
2 2 2 2 2( ) [ ] ( ) ( )[ ]
R i R R i
3 3 3 3 3( ) [ ] ( ) ( )[ ]
R i R R i
2
0 0[ ] 0 0
1 0
10
0
i 3
0 1[ ] 0 0
0 0
01
0
i
![Page 11: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Περιγραφή του πίνακα στροφής R με στροφές γύρω από τους έξονες
3 3 2 2 1 1( ) ( ) ( ) R R R R
2 2 3 3 1 1( ) ( ) ( ) R R R R
1 1 3 3 2 2( ) ( ) ( ) R R R R
3 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) R R R R
2 2 1 1 3 3( ) ( ) ( ) R R R R
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) R R R R
Γωνίες Cardan Γωνίες Euler
1 3 1( ) ( ) ( ) R R R R
1 2 1( ) ( ) ( ) R R R R
2 1 2( ) ( ) ( ) R R R R
2 3 2( ) ( ) ( ) R R R R
3 1 3( ) ( ) ( ) R R R R
3 2 3( ) ( ) ( ) R R R R
![Page 12: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Κεφάλαιο 3
Συστήματα καμπυλόγραμμωνσυντεταγμένων
![Page 13: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Η τοπική βάση ενός συστήματος (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων
1 1
xeq
2 2
xeq
3 3
xeq
1
0 20 0 0 0
1 2 3
3
( )
k
k k k k k
k
xq
x xe e e eq q q q
xq
e x xe
1,2,3k
0 0 0 0 01 2 3 1 2 3 1 2 3e e e
q q q q q q
x x x x x x xe e e e e eq
![Page 14: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Η τοπική βάση ενός συστήματος (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων
1 1
xeq
2 2
xeq
3 3
xeq
1
0 20 0 0 0
1 2 3
3
( )
k
k k k k k
k
xq
x xe e e eq q q q
xq
e x xe
1,2,3k
0 0 0 0 01 2 3 1 2 3 1 2 3e e e
q q q q q q
x x x x x x xe e e e e eq
Ιακωβιανός πίνακας
k στήλη Ιακωβιανού πίνακα
![Page 15: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Ιακωβιανός πίνακας
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
x x xq q q
x x xq q q
x x xq q q
xJq
Συνδέει την τοπική βάση των συντεταγμένων με την καρτεσιανή βάση
0 0
xe e e Jq
![Page 16: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Ο μετρικός πίνακας
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
e e e e e ee e e e e ee e e e e e
G
Σχέση μετρικού πίνακα και Ιακωβιανού πίνακα
TG J J
0 0 0 0( ) ( ) ( )T T T T T T G e e e J e J J e e J J IJ J J
![Page 17: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Σφαιρικές συντεταγμένες
1
2
3
cos coscos sin
sin
x rx rx r
x
cos sin sin cos cos coscos cos sin sin cos sin
0 cos sin
r rr r
r
xJq
2 2
2
cos 0 00 00 0 1
T
rr
G J J
Ορθογώνιες συντεταγμένες επειδή ο G είναι διαγώνιος
![Page 18: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Κυλινδρικές συντεταγμένες
1
2
3
cossin
xxx z
x
cos sin 0sin cos 0
0 0 1
xJq
2
1 0 00 00 0 1
T
G J J
Ορθογώνιες συντεταγμένες επειδή ο G είναι διαγώνιος
![Page 19: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Γεωδαιτικές συντεταγμένες
Ορθογώνιες συντεταγμένες επειδή ο G είναι διαγώνιος
1
2
3 2
( )cos cos( )cos sin
[ (1 ) ]sin
x N hx N hx N e h
x
( )cos sin ( )sin cos cos cos( )cos cos ( )sin sin cos sin
0 ( )cos sin
N h M hN h M h
M h
xJq
2 2
2
( ) cos 0 00 ( ) 00 0 1
T
N hM h
G J J
![Page 20: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Κεφάλαιο 4
Συστήματα αναφοράςσε κίνηση
![Page 21: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/21.jpg)
21
T Ω Ω Ω ω
Η παράγωγος μιας περιστρεφόμενης βάσης έχει συνιστώσες ως προς την ίδια βάση τα στοιχεία ενός αντισυμμετρικού πίνακα ο οποίος εξαρτάται από τα στοιχεία του πίνακα στροφής και τις παραγώγους τους
0e 0 ( )Tte e R
= αδρανειακή = περιστρεφόμενη
[ ]ddt
e eΩ e ω
[ ]
Tddt
RΩ ω R
T
T T T Td d d ddt dt dt dt
R R IRR I RR R R Ω Ω 0
00 ,
T T TT T Td d d d d d
dt dt dt dt dt dt e e R R R RR e eR eΩ R Ω Ω R
= αντισυμμετρικός
T TT TT T Td d d
dt dt dt
R R RΩ R R R
![Page 22: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Οι συνιστώσες της παραγώγου διανύσματος ως προς περιστρεφόμενη βάσηδεν εξαρτώνται μόνο από τις παραγώγους των συνιστωσών αλλά εμφανίζεται ένας
πρόσθετος όρος ο οποίος εξαρτάται από τιςσυνιστώσες του διανύσματος περιστροφής
, , [ ]db dc c bdt dt
bec eb c ω b
( ) [ ] [ ]db d d d d dcdt dt dt dt dt dt
e b b beb b e e ω b e e ω b ec
[ ]dx dvdt dt
xv ω x
[ ]dv da
dt dt
va ω v
[ ] [ ] [ ]d d ddt dt dt
x xa ω ω x v ω x
22
2 [ ] 2[ ] [ ]d d ddt dt dt
x x ωa ω x ω x
22
2[ ] [ ] [ ] [ ]d d d ddt dt dt dt
x ω x xω x ω x ω
Παραδείγματα: ταχύτητα, επιτάχυνση
![Page 23: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Στις εξισώσεις κίνησης του Nεύτωνα (επιτάχυνση = δύναμη ανά μονάδα μάζας)εμφανίζονται πρόσθετοι όροι οι οποίοι εξαρτώνται από τις συνιστώσες του
διανύσματος περιστροφής, ως «ψευτοδυνάμεις» (ανά μονάδα μάζας):φυγόκεντρη p, Coriolis c, γυροσκοπική g
2
2
dxa fdt
2
002
ddt
x f
2
2
ddt
x f p c g
2[ ] p ω x 2[ ] ddt
xc ω d
dt ωg x
22
2 [ ] 2[ ] [ ]d d ddt dt dt
x x ωa ω x ω x f
22
2 [ ] 2[ ] [ ]d d ddt dt dt
x x ωf ω x ω x f p c g
![Page 24: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Άξονας περιστροφής στερεού σώματος
Θεμελιώδη ιδιότητα περιστροφής στερεού σώματος:
Όταν η θέση ενός στερεού σώματος μεταβάλλεται
έτσι ώστε ένα από τα υλικά σημεία του να παραμένει σταθερό,
τότε υπάρχει μία ευθεία η οποία διέρχεται από το σταθερό σημείο,
τα υλικά σημεία της οποίας παραμένουν επίσης στην ίδια θέση.
Η ευθεία αυτή ονομάζεται άξονας περιστροφής του σώματος.
Περιστροφή στερεού σώματος =
= κίνηση με ένα σημείο στην ίδια θέση (κέντρο της περιστροφής)
![Page 25: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Μέσο διάνυσμα περιστροφής στερεού σώματος από εποχή t σε εποχή t+Δt
= μέση κατεύθυνση περιστροφής (μοναδιαίο διάνυσμα)= άξονας περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt)
= γωνία περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt)),( ttt
),( ttnm
= μέση γωνιακή ταχύτητα περιστροφής για το διάστημα από t μέχρι t+Δt
( , )( , )mt t tt t t
t
Μέσο διάνυσμα της ταχύτητας περιστροφής (για το διάστημα από t μέχρι t+Δt ):
),(),(),( tttntttttt mmm
Διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής
απλά = διάνυσμα περιστροφής
),(),(lim),(lim)(00
tttnt
ttttttt mtmt
![Page 26: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler
[ ]Td
dt
Rω RΓενικές
Ειδικές για επιλογή γωνιών στροφής ( ) ( ) ( )k k m m n n R R R R
n mn k
km
d d ddt dt dt
ωω ωω
[ ]T
mm
Rω R[ ]
T
nn
Rω R [ ]
T
kk
Rω R
( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )k m nk m n
d d dt t t t t t tdt dt dt
ω ω
![Page 27: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Άξονες σχήματος παραμορφώσιμου σώματος
Τέτοιοι ώστε ο πίνακας αδράνειας να είναι διαγώνιος
11 12 13
12 22 23
13 23 33
0 00 00 0
C C C A F E AC C C F B D BC C C E D C C
C
Ροπές αδράνειας :
1 2 3( , ,x x x y x z
2 211( ) 0A y z dm C
2 222( ) 0B x z dm C
2 233( ) 0C x y dm C
Γινόμενα αδράνειας :
23 32 0D yz dm C C
13 31 0E xz dm C C
12 21 0F xy dm C C
: συντεταγμένες στοιχείου μάζας dm )
![Page 28: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Άξονες Tisserand παραμορφώσιμου σώματος
Τέτοιοι ώστε να μηδενίζεται η σχετική στροφορμήκαι ταυτόχρονα να ελαχιστοποιείται η σχετική κινητική ενέργεια
0xxh dmdtd
R ][σχετική στροφορμή
σχετική κινητική ενέργεια min21
dm
dtd
dtdT
T
Rxx
![Page 29: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Κεφάλαιο 6
Γεωδαιτικό datum
![Page 30: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/30.jpg)
30
γεωδαιτικό datum = σύστημα αναφοράς
+ παράμέτροι a και b (ημιάξονες)
ελλειψοειδούς εκ περιστροφής με κέντρο την αρχή του συστήματος αναφοράς
και μικρό ημιάξονα (άξονα περιστροφής) τον 3ο άξονα του συστήματος.
Γεωδαιτικό Datum
![Page 31: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum
P
x
y
![Page 32: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum
P
x
y
![Page 33: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum
P
x
y
x
y
![Page 34: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum
),,( Hyx
),,( h ),,( ZYX
datum AΧαρτογραφική προβολή Α
)~,~,~( h
)~,~,~( HHyx
)~,~,~( ZYX
datum ΒΧαρτογραφική προβολή Β
~
P
E
E~
γεωειδές
ελλειψοειδές Α
ελλειψοειδές Β
HH ~
1 2 3[ , , , , , ]X Y Z [ ]
[ , ]a e
[ , ]a e
[ ]
![Page 35: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Αρχικά: 6 μοντέλα (RST, RTS, SRT, STR, TRS, TSR).
ίδιο αποτέλεσμα s (R x) = R (s x)αν μεταβληθεί αμοιβαία η σειρά διαδοχικής περιστροφής και κλίμακας (RS = SR):ταύτιση των μοντέλων RST = SRT και TRS = TSR.
Τελικά: μόνο 4 μοντέλα μετασχηματισμού ομοιότητας
RST = SRT:
RTS:
STR:
TRS = TSR:
cRxx s
)( RTScRxx s
)( STRcxRx s
)( TRScxRx s
Διαφέρουν μόνο οι όροι μετάθεσης
ccs1
RTS STR1 T
sc R c cRc T
s1
TRS
συνήθως χρησιμοποιείται το πρώτο μοντέλο (RST = SRT)
RTScx ssR
STRRcRx ss
TRSRcRx ss
cRx s
Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας(αλλαγή συστήματος αναφοράς με στροφή R, μετάθεση c και συντελεστή κλίμακας s)
![Page 36: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Κεφάλαιο 7
Συστήματα αναφοράςγια την περιστρεφόμενη γη
![Page 37: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Σε ποια μέρη χωρίζεται η περιστροφή της γης μέσω του διανύσματος περιστροφής;
Σε τρία μέρη:
(1) Τη μεταβολή της διέθυνσης του διανύσματος περιστροφής ως προς τοναδρανειακό χώρο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται μετάπτωση-κλόνιση.
(2)Τη μεταβολή της διέθυνσης του διανύσματος περιστροφής ως προς τη γη.Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται κίνηση του πόλου.
(3)Τη μεταβολή του μεγέθους του διανύσματος περιστροφής δηλαδή της γωνιακήςταχύτητας περιστροφής της γης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται μεταβολή της διάρκειας της ημέραςεπειδή όταν η γη περιστρέφεται ταχύτερα ελαττώνεται η διάρκεια της ημέραςκαι αντίστροφα.
![Page 38: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Ποια τα κύρια χαρακτηριστικά της μετάπτωσης-κλόνισης;
Η μετάπτωση είναι η κίνηση του άξονα περιστροφής ώστε να διαγράφει κώνομε άξονα κάθετο στο επίπεδο της εκλειπτικής (δηλαδή της τροχιάς της γης)σε κλίση 23ο 27 (γωνία μεταξύ άξονα περιστροφής και καθέτου στην εκλειπτική) με περίοδο 25800 έτη.Η κλόνιση είναι μια πρόσθετη κίνηση του άξονα περιστροφής γύρω από τη θέση του λόγω της μετάπτωσης. Η κυρίαρχη συνιστώσα της είναι η διαγραφή πεπλατυσμένου κώνου με περίοδο 18.6 έτη με ημιάξονες διατομής περίπου 9 και 7.Κατά την μία πλήρη περιστροφή στα 18.6 έτη ο άξονας της μετάπτωσης μετατοπίζεται κατά 15 περίπου
Ποια τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης του πόλου;
Ο άξονας περιστροφής μετακινείται ως προς τη γη με ακανόνιστο τρόπο διαγράφοντας κύκλους μεταβαλόμενης ακτίνας της τάξης των 6 μέτρων (πάνω στην επιφάνεια της γης) με περίοδο 14 μηνών η οποία ονομάζεταιπερίοδος Chandler.
![Page 39: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Πως περιγράφεται η περιστροφή της γης ώστε να διαχωρίζεται η συνολική περιστροφή στην μετάπτωση-κλόνιση, στην κίνηση του πόλου και στην μεταβολήτης διάρκειας της ημέρας;
Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας εκτός από το ουράνιο (αδρανειακό) σύστημα και το επίγειο σύστημα αναφοράς δύο ενδιάμεσα συστήματα τα οποία έχουν τον 3ο άξονα στην κατεύθυση του άξονα περιστροφής:(α) το ενδιάμεσο ουράνιο σύστημα το οποίο δεν ακολουθεί τη γη στην ημερήσια περιστροφή της και(β) το ενδιάμεσο επίγειο σύστημα το οποίο ακολουθεί τη γη στην ημερήσια περιστροφή της. Με τον τρόπο αυτό ο συνολικός πίνακας στροφής R από το ουράνιο στο επίγειοσύστημα διαχωρίζεται σε 3 μέρη
R = W D Q(1) τον πίνακα μετάπτωσης-κλόνισης Q της στροφής από το ουράνιο στο ενδιάμεσο ουράνιο σύστημα
(2) τον πίνακα ημερήσιας περιστροφής D της στροφής από το ενδιάμεσο ουράνιο στο ενδιάμεσο επίγειο σύστημα και
(3) τον πίνακα της κίνησης του πόλου W της στροφής από το ενδιάμεσο επίγειο στο επίγειο σύστημα
![Page 40: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Πως ορίζονται οι θέσεις των αξόνων των δύο ενδιάμεσων συστημάτων;
Οι 3οι άξονες των ενδιαμέσων συστημάτων έχουν την κατέυθυνση του άξοναπεριστροφής. Οι θέσεις των 2ων αξόνων προκύπτουν από τη θέση των 1ων.Οι συνιστώσες ω του διανύσματος περιστροφής (από το ουράνιο στο επίγειο)ορίζονται από τις σχέσεις
[ ]Td
dt
Rω R
Παρόμοια μπορούμε να ορίσουμε δύο διανύσματα σχετικής περιστροφής:
ωIC από το ουράνιο στο ενδιάμεσο ουράνιο (πίνακας Q)
ωIT από το επίγειο στο ενδιάμεσο επίγειο (πίνακας WT)
[ ]T
ICddt
Qω Q
[ ] TIT
ddt
Wω W
H θέση των 1ων αξόνων των ενδιαμέσων συστημάτων ορίζοντα με βάση τοκριτήριο της μη περιστρεφόμενης αρχής (NRO = Non Rotating Origin):τα σχετικά διανύσματα περιστροφής να μην έχουν 3η συνιστώσα.
Η θέση του 1ου άξονα του ενδιάμεσου ουράνιου (ουράνια ενδιάμεση αρχή, CIO = Celestial Intermediate Origin) από τη σχέση
Η θέση του 1ου άξονα του ενδιάμεσου επίγειου (επίγεια ενδιάμεση αρχή, TIO
= Terrestrial Intermediate Origin) από τη σχέση
3 0IC
3 0IT
![Page 41: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Κεφάλαιο 8
Συστήματα χρόνου
![Page 42: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Ποια είναι τα είδη χρόνου σε σχέση με το χρησιμοποιούμενο «ρολόι»;
(1) Ο αστρικός και ο παγκόσμιος χρόνος που ορίζονται με βάση την περιστροφή της γης
(2) Ο δυναμικός χρόνος που ορίζεται με βάση τις τροχιές των πλανητών γύρω από τον ήλιο
(3) Ο ατομικός χρόνος που ορίζεται με βάση τις ταλαντώσεις του ατόμουτου στοιχείου Καίσιο 133 σε ένα σύνολο ατομικών ρολογιών
![Page 43: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Ποια είναι τα είδη χρόνου που ορίζονται με βάση την περιστροφή της γηςκαι πως ακριβώς ορίζονται αυτά;
Για τον προσδιορισμό χρόνων με βάση την περιστροφή της γης χρειάζονται- ένα επίπεδο αναφοράς που να διέρχεται από τον άξονα περιστροφής της γης και να ακολουθεί τη γη στην περιστροφή της. Το επίπεδο αυτό ήταν ιστορικά ο (αστρονομικός) μεσημβρινός του Greenwich. Σήμερα είναι το επίπεδο των αξόνων 1 και 2 του επίγειου συστήματος αναφοράς.- μία διεύθυνση αναφοράς η οποία να μην ακολουθεί τη γη στην περιστροφή της.Ο χρόνος μεταξύ δύο διαβάσεων του επιπέδου από την διεύθυνση αναφοράςορίζει την ημέρα η οποία χωρίζεται σε 24 x 60 x 60 = 86400 δευτερόλεπτα.
Για τον αστρικό χρόνο GST η διεύθυνση αναφοράς είναι το εαρινόισημερινό σημείο δηλαδή η τομή του ισημερινου (επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής) με το επίπεδο της εκλειπτικής (επίπεδο της τροχιάς της γης).
Για τον παγκόσμιο χρόνο UT η διεύθυνση αναφοράς είναι ο μέσος ήλιος,ένας φανταστικός ήλιος που περιστρέφεται (φαινομενικά) γύρω από τη γη με τηνίδια γωνιακή ταχύτητα. Ο πραγματικός ήλιος έχει μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα όταν η γη βρίσκεται στο περιήλιο και μικρότερη όταν βρίσκεται στο αφήλιο (2ος νόμος Κέπλερ: η ακτίνα γης-ήλιου διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους).
![Page 44: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Πως ορίζεται ο δυναμικός χρόνος;
Ως η παράμετρος t που εμφανίζεται στις εξισώσεις κίνησης του ηλιακού συστήματος
Πραγματικό νόημα: Όταν παρατηρούμε ένα σώμα του ηλιακού συστήματος (τη γη, ή τη σελήνη) να βρίσκεται σε μία ορισμένη θέση, αποδίδουμε στην αντίστοιχη χρονική στιγμή την τιμή t, κατά την οποία προβλέπεται, από τις εξισώσεις κίνησης, να βρίσκεται το σώμα αυτό στη συγκεκριμένη θέση.
Αποτελεί πρακτική υλοποίηση του Νευτώνειου χρόνου
Ο δυναμικός χρόνος διαφέρει από το Νευτώνειο χρόνο λόγω σφαλμάτων στη λύση των εξισώσεων κίνησης
![Page 45: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Πως ορίζεται ο ατομικός χρόνος, πως υλοποείται και ποια είδη ατομικού χρόνου υπάρχουν;
Η μονάδα είναι το δευτερόλεπτο ατομικού χρόνου TAI που ορίζεται ίσο με ένασυγκεκριμένο αριθμό ταλαντώσεων του ατόμου του στοιχείου Καίσιο 133, έτσι ώστε να προσεγγίζει το δευτερόλεπτο του παγκόσμιου χρόνου UT1.Η αρχή του συστήματος ορίζεται έτσι ώστε την 1-1-1958: ΤΑΙ = UT1.
O TAI υλοποιείται από σύνολο ατομικών ρολογιών καισίου στο γεωειδές, με ευθύνη του Διεθνούς Γραφείου Μέτρων και Σταθμών BIPM (Bureau International des Poids et Mesures).
Εκτός από τον ΤΑΙ υπάρχουν άλλα 2 είδη ατομικού χρόνου:Ο χρόνος GPS υλοποιείται από σύνολο ατομικών ρολογιών με ευθύνη τουΝαυτικού Αστεροσκοπείου των Η.Π.Α. (USNO =United States Naval Observatory)Ο χρόνος UTC, ο οποίος έχει την ίδια μονάδα χρόνου με τον ΤΑΙ, αλλά χαρακτηρίζεται από άλματα 1 δευτερολέπτου σε κατάλληλες χρονικές στιγμέςέτσι ώστε η διαφορά με τον ΤΑΙ να είναι λιγότερη από δευτερόλεπτο
|UTCUT1| < 0.9 sec.Συνδέονται με τη σχέση UTC = TAI n(1 sec), (n = ακέραιος).Από 1-1-2009 η διαφορά είναι n = 34 sec.
![Page 46: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Κεφάλαιο 11
Συστήματα αναφοράςστη γεωδαισία δορυφόρων
![Page 47: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/47.jpg)
47
df
Ποιοι είναι οι νόμοι του Kepler;
(1) H τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες της.
(2) Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους.
Για δύο σημεία της τροχιάς σε αποστάσεις r1, r2 από τον ήλιοοι «επιφανειακές» ταχύτητες είναι ίσες αλλά οι γωνιακές ταχύτητες διαφέρουν
(3) Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων της περιστροφής τους γύρω
από τον ήλιο.
Για δύο πλανήτες3 2
1 1
2 2
a Ta T
2 21 1 2 21 2
1 12 2
dS df dS dfr rdt dt dt dt
2
1 2 22
1
df r dfdt r dt
21 1 1( )2 2 2
dS base height rdf r r df rdfdSr
![Page 48: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Ένα πλανήτης στο περίγειο διαγράφει σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt γνωστή γωνία ΔθΠ. Ποια είναι η αντίστοιχη γωνία ΔθΑ που θα διαγράψει μέσα στο ίδιοχρονικό διάστημα στο αφήλιο;
s r μήκος τόξου
εμβαδόν 21 1 12 2 2
S base height s r r
212
S r 212
S r στο περήλιο στο αφήλιο
2ος νόμος Kepler: S S 2 21 12 2
r r 2r
r
B
EF O
s s
d d
b
s FB BE d FO O
Έλλειψη = γεωμετρικός τόπος σημείων με σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες Ε,F:
r E O OE a d
r AE AO OE a d FB BE F E ( )s s FO OE E E
2 ( )s d d r r ( )s d r d a d a 2 2 2 2s d b a 2 2 2 2 2d a b a e d ae
(1 )r a d a e (1 )r a d a e
2 2 2(1 ) 1(1 ) 1
r a e er a e e
![Page 49: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Ένα πλανήτης έχει μεγάλο ημιάξονα τροχιάς k φορές μαγαλύτερο από τη γη.Σε πόσα γήινα χρόνια συμπληρώνει ο πλανήτης αυτός μια περιστροφήγύρω από τον ήλιο;
Γη: ,E Ea T Πλανήτης: ,P E Pa ka T
3ος νόμος Kepler:3 2
P P
E E
a Ta T
2 33P E
E E
T ka kT a
3P
E
T kT
3 3P ET k T k γήινα χρόνια
![Page 50: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Ποια είναι η μορφή της τροχιάς δορυφόρου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων και πως καθορίζεται η θέση της στο χώρο;
Είνα μια έλλειψη με άξονα του μεγάλου ημιάξονα που ονομάζεταιευθεία των αψίδων και βρίσκεται σε επίπεδο το οποίο τέμνει τον ισημερινόκατά την ευθεία των συνδέσμων.Η θέση της έλλειψης καθορίζεται από 3 γωνίες
- Ορθή αναφορά του συνδέσμου ανάβασης Ω :γωνία ανάμεσα στον 1 άξονα του ουράνιου συστήματοςκαι την ευθεία των συνδέσμων (σύνδεσμος ανάβασης)
- Κλίση i : δίεδρη γωνία του ισημερινού και του επιπέδου της τροχιάς
- Όρισμα του περιγείου ω : γωνία ανάμεσα στην ευθεία των συνδέσμων (σύνδεσμος ανάβασης)και την ευθεία των αψίδων (περίγειο)
Ο σύνδεσμος ανάβασης είναι η διεύθυνση του δορθφόρου όταν αυτός περνάαπό το νότιο στο βόρειο ημισφαίριο (ο σύνδεσμος κατάβασης το αντίθετο)
Το περίγειο είναι το κοιντινότερο προς τη γη σημείο της τροχιάς πάνω στην ευθεία των αψίδων (το απόγειο είναι το πλέον απομακρυσμένο)
![Page 51: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Ποια είναι τα στοιχεία Kepler της τροχιάς δορυφόρου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων και τι καθορίζει κάθε τι από αυτά;
Είναι τα 6 στοιχεία Ω, i, ω, a, e και M(t).
Τη θέση του επιπέδου της τροχιάς καθορίζουν τα Ω (ορθή αναφορά του συνδέσμου ανάβασης), i (κλίση) και ω (όρισμα του περιγείου).
Το σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς ορίζουν ο μεγάλος ημιάξονας aκαι η εκκεντρότητα e.
Tη θέση στην τροχιά κατα τη στιγμή t ορίζει η μέση ανωμαλία Μ(t), η οποία είναι ουσιαστικά οχρόνος ttP που πέρασε από την προηγούμενη διέλευση από το περίγειο (στιγμή tP) εκφρασμένος ως γωνία (Τ = περίοδος της τροχιάς):
Δύο εναλλακτικές της μέσης ανωμαλίας γωνίες είναι η έκκεντρη ανωμαλία Ε καιη αληθής ανωμαλία f, oι οποίες συνδέονται μονοσήμαντα μεταξύ τους και ορίζονταιστο σχήμα 1 (κεφ. 11). Η μέση ανωμαλία συνδέεται με την έκκεντρη μέσω της εξίσωσης του Kepler
2( ) ( ) ( )P PM t n t t t tT
MEeE sin
![Page 52: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/52.jpg)
52
L
Ποιο είναι το σύστημα αναφοράς της τροχιάς δορυφόρου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων πως συνδέεται με το ουράνιο σύστημα και πως με το επίγειο σύστημα;
Το σύστημα αναφοράς έχει τους άξονες q1, q2 στο επίπεδο της τροχιάς, τον q3 κάθετο σε αυτό και τον q1 προς το περίγειο.Η σύνδεση με τις ουράνιες συντεταγμένες x δίνεται από τις σχέσεις
RxxRRRq )()()( 313 i
3 1 3( ) ( ) ( )i x R R R q
xRx )(3 WΟι επίγειες συντεταγμένες xW συνδέονται με τις ουράνιες x μέσω:
Οι συντεταγμένες q στό σύστημα της τροχιάς είναι: 3 1( )r f q R i
Επομένως:
3 1 3 1
3 1 3 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )W i f r
L i u r
x R R R i
R R R i
u f
= επίγειο μήκος του συνδέσμου ανάβασης
= όρισμα του πλάτους
fr
1q
2q 1s2s
![Page 53: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Πως υπολογίζονται οι επίγειες συντεταγμένες του δορυφόρου στο GPS;
3 1 3 3 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )W L i u r L i x R R R i R R x
3 1
cos( ) sin
0 0
r u xu r r u y
x R i
3 1
cos sin cos( ) ( ) sin cos cos
sinW
X L x L i yY L i L x L i yZ i y
x R R x
, , ,L i u r από τα στοιχεία της μεταδιδόμενης εφημερίδας
![Page 54: Συστήματα αναφοράς και χρόνου](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042519/56813a97550346895da29149/html5/thumbnails/54.jpg)
54
0 3
G Mna
21 sinarctancos
Ef eeE
00 ( ) ( )e etL tL t t
00 ,u f
0 0 0cos2 sin 2rc rsr r u C uC
0 (1 cos ),a er E
0 0 0( ) cos2 sin 2e ic isi i t C Ci t u u
0 0 0cos2 sin 2uc usu u u C uC
sineM E E
Τελικές σχέσεις υπολογισμού των επίγειων συντεταγμένων (X, Y, Z) του δορυφόρου
00 ( )( )eM n n ttM Eεξίσωση Kepler
με βάση τα στοιχεία της μεταδιδόμενης εφημερίδας
Πως υπολογίζονται οι επίγειες συντεταγμένες του δορυφόρου στο GPS;