АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
description
Transcript of АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
![Page 1: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/1.jpg)
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ
![Page 2: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/2.jpg)
Содержание • Организационный момент.• Исторические сведения о прогрессиях.• Прогрессии в жизни и быту.• Тестовые задания.• Исторические задачи.• Самостоятельная работа.• Итог урока.• Задание на дом.
![Page 3: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/3.jpg)
Зная формулы n- члена и суммы n- первых членов прогрессии, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.
![Page 4: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/4.jpg)
НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
Понятие числовой последо -вательности возникло и раз- вивалось задолго до соз - дания учения о функциях.
На связь между прогрессиями первым обратил внимание великийАРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)
![Page 5: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/5.jpg)
Прогрессии в древности
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
![Page 6: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/6.jpg)
Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:
Древний Египет
2
)1(......321
nnn
)1(2......642 nnn
![Page 7: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/7.jpg)
Древний Египет
n
baS
dn
n
Sa
22)1(
Формула, которой пользовались египтяне:
Задача из египетского папируса Ахмеса:«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»
8
1
![Page 8: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/8.jpg)
Англия XVIII век
В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:
Арифметическая
Геометрическая
![Page 9: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/9.jpg)
Германия
Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы.
1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950
Решение
КАРЛ ГАУСС(1777 – 1855)
![Page 10: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/10.jpg)
Прогрессии в жизни и быту
Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий.
![Page 11: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/11.jpg)
Задача легенда
Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?
![Page 12: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/12.jpg)
Решение задачи - легенды
,11 b ,2g n = 64
?64 S
126464 S
Ее сумма равна
18 446 744 073 709 551 615
Дано ; 1, 2, 4, 8, 16…
![Page 13: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/13.jpg)
ВыводЕсли бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.
Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
![Page 14: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/14.jpg)
Задача из арифметики Магницкого
Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:"Если по-твоему цена лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“ Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.
![Page 15: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/15.jpg)
Решение задачи из арифметики Магницкого
1. Составим последовательность чисел .2;2;2;1;2
1;4
1 212
2. Данная последовательность является геометрической
прогрессией со знаменателем q =2, n = 24. 4
11 b
3. Попытаемся подсчитать сумму .2;2;2;1;2
1;4
1 212
5. Имеем pS 420004
34194303
4
12
4
12
2
1
124
12
4
12224
2
24
24
111
q
bqbS
n
n4. Зная формулу
![Page 16: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/16.jpg)
НАСЛЕДСТВО
Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?
![Page 17: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/17.jpg)
Решение ?10;50;100 101 anda
Применив формулу )1(1 ndaan ,получаем:
$550)110(5010010 a
42340003652
)1365(50200365
S
?;365;50;1001 nSnda
nnda
Sn
2
)1(2 1Применив формулу
![Page 18: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/18.jpg)
Заключение
Закончился двадцатый век.Куда стремится человек? Изучен космос и моря,Строенье звезд и вся земля.Но математиков зовет Известный лозунг
«Прогрессия — движение вперед».
![Page 19: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/19.jpg)
Домашнее задание
1.Найти сумму первых 8 членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -4, а разность равна -3.
2.Первый член арифметической прогрессии равен -5, а разность равна 6. Сколько надо взять членов прогрессии, чтобы их сумма была равна 35?
3.Найти сумму 5 первых членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 2, а знаменатель равен 3.
4.Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 150.
![Page 20: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813a32550346895da21beb/html5/thumbnails/20.jpg)