Квадраттық формалар

050601-математика (қаз.) мамандығында оқитын студенттерге арналған

Слайд - лекциянықұрастырған математика кафедрасының доцентіБуентинова Н.Ч.

Дәріс №1

Квадраттық форманың анықтамасы және оны матрицалық түрде жазу

Анықтама.

Квадраттық форма деп бірнеше (х1,х2,...,хn) белгісізді екінші дәрежелі біртектес көпмүшелікті айтамыз. Жалпы жағдайда квадраттық форма төмендегідей жазылады:

φ(х1,х2,...,хn)=c11x12+c12x1x2+c1nx1xn+

c22x2

2+…+c2nx2xn+

…………………….

+cnnxn2

Егер cijxixj=2aijxixj

мүшесін aijxixj+ajixjxi түрінде жіктеп жазатын болсақ, ондаквадраттық форма мына түрге келеді:

φ(х1,х2,...,хn)= а11x12+а12x1x2+...+а1nx1xn+

+ а21x2х1+а22x22+...+а2nx2xn+

…………………………. (1)

+an1xnx1+an2xnx2+…+annxn2

Квадраттық форманың осылай берілуін дұрыс жазылуы дейміз. Егер квадраттық форманың aij коэффиценттері нақты сандар болса, онда оны нақты квадраттық форма дейміз. Жалпы жағдайда комплекс сандар болуы да мүмкін. φ-квадраттық форманың коэффицентерінен құралған.

A=

матрицасын квадраттық форманың матрицасы, ол оның рангісін квадраттық форманың рангісі дейміз. А-симметриалы, яғни АТ=A.

nnnn

n

n

ааа

ааа

ааа

...

............

...

...

21

22221

11211

Квадраттық форманың матрицалық түрде жазылуын

көрсетейік (1) жазылуының бірінші жолынан х1-ді, екінші жолынан х2-ні, т.с.с.

соңғы жолдан хn-ді жақшаның сыртына шығарайық:

φ(х1,х2,...,хn)= x1 (а11x1+а12x2+...+а1nxn)+

+x2( а21х1+а22x2+...+а2nxn)+

… ………………………. (1)

+xn (an1x1+an2x2+…+annxn)=

алдық.

Белгілеулер жүргізейік: -десек, онда

ХТ =(х1,х2,...,xn) болады.

Демек квадраттық форманың матрицалық түрде жазылуы:

φ(х1,х2,...,хn)=ХТАХ (2) болады.

nnnnn

n

n

n

nnnnn

nn

nn

n

x

x

x

aaa

aaa

aaa

xxx

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xxx...

*

...

............................

...

...

),...,,(

...

............................

...

...

),...,,( 2

1

21

22221

11211

21

2211

2222121

1212111

21

nx

x

x

X...

2

1

Квадраттық формаға сызықтық түрлендіру қолдану

Матрицаның рангісі оның ретіне тең болса (|А|≠0), ондай матрица азғындалмаған болатындығы белгілі. Егер φ-квадраттық форманың

матрицасы азғындалмаған болса, онда оның өзі де азғындалмаған деп аталады. Матрицалар тарауынан (АВ)Т=ВТАТ екені белгілі.

Анықтама.

х1,х2,...,хn-белгісіздерін

y1,y2,...,yn-,белгісіздерінің сызықтық комбинациясы арқылы

өрнектейтін:

x1= b11y1+b12y2+...+b1nyn

x2= b21y1+b22y2+...+b2nyn (3)

…………………………

Xn=bn1y1+bn2y2+…+bnnyn

Түрлендіруін сызықтық түрлендіру дейміз.

Оны қысқаша: жазамыз.(3) сызықтық түрлендірудің коэффиценттерінен құралған

матрицасын сол сызықты түрлендірудің матрицасы деп атаймыз. х1,х2,...,хn және y1,y2,...,yn белгісіздерінің бағаналарынан

матрицаларын жазайық. Онда (3) сызықтық түрлендіруді матрицалық теңдеу түрінде былай жазамыз: Х=BУ (4) бұдан ХТ=УТВТ (5).

(4),(5)-өрнектеріндегі Х пен ХТ-тардың мәндерін φ-квадраттық форманың (2) теңдігіне апарып қойсақ: φ=УТВТАВУ=УТ(ВТАВ)У немесе φ=УТСУ, мұнда С= ВТАВ-симметриялы, себебі СТ= (ВТАВ) Т=(АВ)Т(ВТ) Т= ВТАТВТТ= ВТАВ=С Сонымен матрицасы А болатын квадраттық формаға матрицасы В болатын сызықтық түрлендіруді қолдансақ, матрицасы ВТАВ болатын тағыда n белгісізге тәуелді квадраттық форманы табамыз және оның матрицасы симметриялы болатынын көреміз.Енді сызықтық түрлендіру азғындалмаған болсын, яғни В матрицасының анықтауышы нольден өзгеше болсын. Онда ВТ матрицасыда азғындалмаған болады. Бұл жағдайда А матрицасы азғындалмаған болғандықтан ВТАВ матрицасы да азғындалмаған болады және оның рангісі А матрицасының рангісіне тең. Ендеше квадраттық формаға азғындалмаған сызықтық түрлендіру қолданғанда оның рангісі өзгермейді деген қортынды шығады.

 

n

jjij niybX

1

),...,2,1(

n

n

n

bbb

bbb

bbb

B

11211

11211

11211

...

............

...

...

nn y

y

y

x

x

x

X...

Y ...

2

1

2

1

Квадраттық форманы канондық түрге келтіру

n белгісізден тұратын φ квадраттық формасына оның әр түрлі белгісіздерінің көбейтінділерінің коэффициенттері нолге тең болатындай және белгісіздердің квадраттары ғана қатысатындай түрге келтіретін азғындалмаған сызықтық түрлендіру табуға бола ма?- деген сұрақ туады. Табылған жағдайда квадраттық форма мына

φ=b1z12+b2z2

2+…+bnzn2 (6)

түрге, ал матрицасы диоганальдық матрицаға келер

еді.Квадраттық форманың (6)-түрін оның канондық түрі дейміз.

Жоғарыдағы сұраққа квадраттық форманың негізгі теоремасы деп

аталатын төмендегі теорема жауап береді.

nb

b

b

...00

0...0

0...0

2

1

Теорема.

Кез келген квадраттық формаға ағзындалмаған сызықтық

түрлендіру қолданып канондық түрге келтіруге болады. Егер берілген

квадраттық форманың коэффициенттері нақты сандар болса, онда оны

канондық түрге келтіргенде шығатын квадраттық форманың да коэффициенттері де нақты сандар болады.

Теореманың дәлелдеуіне көмектесетін екі леммаға тоқталайық.

1-лемма.

Егер x12-ның алдындағы коэффициенті а11=0 болып , ал

бірақ қалған белгісіздердің тым болмағанда біруінің квадратының коэффициенті нольге тең емес болса, онда оған азғындалмаған сызықтық түрлендіру қолданып жаңа бірінші белгісізінің квадратының коэффициенті нольден өзгеше квадраттық форма алуға болады.Шынында да, акк≠0 болсын. Мынадай түрлендіру

қолданайық:x1=yk,x2=y2,…,xk=y1,…,xn=yn

Сонда біз y12-нің коэффициенті нольге тең емес квадраттық

форма аламыз.

2-лемма. Егер квадраттық форманың барлық белгісіздерінің

квадраттарының коэффициенттері нольге тең болып, ал бірақ форманың тым болмағанда бір коэффициенті нольден өзгеше болса, онда оған азғындалмаған сызықтық түрлендіру қолданып жаңа белгісізінің біреуінің квадратының коэффициенті нольден өзгеше квадраттық форма алуға болады.

Шынында да, a11=a22=…ann=0, бірақ аik≠0 болсын. Мынадай түрлендіру қолданайық:

x1=y1,x2=y2,…,xi=yi+yk,…,xk=yk,…,xn=yn

Сонда біз 2aik(yi+yk)yk=2aikyiyk+2aikyk2,мұнда yk

2-нің коэффициенті 2аik≠0

Бұдан кейін тағы 1-леммадағы сияқты түрлендіру жасап, бірінші белгісізінің квадратының коэффициенті нольден өзгеше квадраттық форма аламыз.

Мысал. φ(х1,х2,х3,х4)= х1х2+х1х3-х1х4- х2х3+ х2х4+ х2х4

квадраттық формасын канондық түрге келтіріп, азғындалмаған сызықтық түрлендірудің формула сын

жазайық.

Шешуі. Бұл берілген квадраттық формада белгісіздердің квадраты болмағандықтан,алдымен: у1

2–ның коэффициенті нольге те емес түрге

келтіреміз:

φ= у1(у1+ у2)+ у1у3- у1у4-(у1+ у2)у3+ (у1+ у2)у4+ у3у4=

= у12+у1 у2- у2 у3+ у2 у4+ у3 у4=( у1+)2-- у2 у3+ у2 у4+ у3 у4=

=( у1+)2-( у22+4 у2 у3-4 у2 у4) + у3 у4=

=( у1+)2-( у2+2 у3-2 у4)2+(2 у3-2 у4)

2+ у3 у4=

=( у1+)2-( у2+2 у3-2 у4)2+ у3

2- у3 у4+ у42=

=( у1+)2-( у2+2 у3-2 у4)2+( у3- у4)

2+ у42

Бұл соңғы квадраттық формаға

Сызықтық түрлендіруін қолданып, төменгі канондық түрге келтіреміз:

φ=

Берілген квадраттық форманы канондық түрге келтіретін азғындалмаған сызықтық түрлендіруінің формуласын табайық:

0,

10002

1100

12102

11

2

11

,

,2

1

,2

,2

1

2

1

2

1

222

1

44

433

4322

43211

44

343

2432

121

ВВ

zу

zzу

zzzу

zzzzу

zу

zуу

zууу

zуу

24

23

22

21 4

3

4

1zzzz

4

3

2

1

4

3

2

1

10002

1100

12102

11

2

11

1000

0100

0011

0001

z

z

z

z

х

х

х

х

44

433

43212

43211

4

43

4321

4321

2

12

1

2

12

1

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

zх

zzх

zzzzх

zzzzх

z

zz

zzzz

zzzz

Квадраттық форманы нормаль түрге келтіру

Егер квадраттық форманың канондық түрінің әрбір қосылғышының коэффициенттері 1 немесе-1-ге тең болса, ондай квадраттық форманы нормаль түрдегі квадраттық форма дейміз. Нормаль түрдегі квадраттық форманың матрицасының бас диагоналындағы элементтері 1 немесе -1-ге тең диагональдық матрица болады.

Енді квадраттық форманы нормаль түрге келтіруді қарастырайық. Негізгі теорема бойынша кез келген квадраттық форманы канондық түрге келтіруге болады .Сондықтан канондық түрге келтірілген квадраттық форманы нормаль түрге келтіру жолын көрсету жеткілікті .

Квадраттық форманың φ=b1x12+b2x

22+…+brxr

2 канондық теңдеуі берілсін. Мұндағы bi (i=1,2,…,r) коэффициенттерінің кейбіреулері оң, ал кейбіреулері теріс болуы мүмкін. Оң коэффициенттерінің саны t≤r болсын . Олар b1, b2,...,bt делік. Онда теріс коэффициенттерінің саны r-t -ға тең, оларды bt+1bt+2,…., br арқылы белгілейік .

сызықтық түрлендіруін қолдансақ, онда квадраттық форма нормаль түріне келеді

Анықтама.

r

t

t

t

t

t

t

bху

bху

bх

уb

хуb

хуb

х

1,...,

1,

1

,1

,...,1

,1

r2

2

2t1

1

1t

t2

2

21

1

1

2r

21

2t

22

21 ...... ууууу t

Мысал.

φ=

канондық теңдеуге сызықтық

түрлендіруін қолдансақ, оның

нормаль теңдеуін табамыз.

24

23

22

21 4

3

4

1zzzz

443322113

2z,z,2z,z uuuu

24

23

22

21 uuuu