第一单元 集合与常用逻辑用语

知识体系

1. 集合是高考的必考内容 .高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题 .其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起 .

2. 常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词 .本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题 .对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点 .

通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策：

1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算 ,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用 .

2. 涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的准备 .

3. 重视数学思想方法的复习 .本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用 .

第一节 集合

1. 集合的含义与表示（ 1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系 .（ 2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题 .

2. 集合间的基本关系（ 1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 .（ 2）在具体情境中，了解全集与空集的含义 .

3. 集合的基本运算(1) 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 .(2) 理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 .(3) 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算 .

1. 元素与集合（ 1）集合中元素的三个特征 : 确定性 、 互异性 、无序性 .

（ 2）集合中元素与集合的关系文字语言 符号语言属于 ∈

不属于

(4) 集合的表示法：列举法 、描述法 、 Venn 图法 .

数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集

符号 N N* 或 N+ Z Q R C

(3) 常见集合的符号表示

2. 集合间的基本关系表示 表示关系 文字语言 符号语言

子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素

相等 A 是 B 的子集且 B 是 A 的子集

真子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素， B 中至少有一个元素不是 A 中的元素

A B 或 B A

空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

BAAB

BA

且

,A B B Ø

A B B A 或

集合的并集 集合的交集 集合的补集

符号表示 A B∪ A∩B 若全集为 U ，则集合 A 的补集为 CUA

图形表示

意义{x|x A,∈或 x B} ∈

{x|x A,∈且 x B}∈ A}xU,x|{x

ACU

且

3. 集合的基本算法

1. (教材改编题 )用适当符号填空 . 0 {0 ， 1} ； {a,b} {b,a};0 ;

答案：

}.36x|{x }17{4

,,,

2. （ 2009·福州市高中毕业班单科质量检查）集合 A={x|x(x-1)＜ 0},B={y|y= ,x∈R}，则 A∩B是（ ）A. (0,2) B. (1,2) C. (0,1) D. (-∞,0)

解析 : 由已知得 A={x|0 ＜ x＜ 1}， B={y|y ＞ 0}.∴A∩B=(0,1)答案： C3. （ 2009·福州市高三第二次质检）设集合 A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a}.若 A B, 则 a的范围是（ ）A. a ＜ 1 B. a≤1 C. a ＜ 2 D. a≤2

2x

4. （ 2009·全国Ⅰ )设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9}, 全集 U=A∪B,则集合 （ A∩B）中的元素共有 ( )A. 3 个B. 4 个C. 5个D. 6个

UC

解析 : ∵U=A∪B={3,4,5,7,8,9},又∵ A∩B={4,7,9},∴ (A∩B)={3,5,8}.答案 : A

解析 : 集合 A、 B 如图所示：，∵ A B,∴a≤1.答案： B

UC

1. 集合中元素的三个基本性质的应用(1) 确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可 .如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合 .

5. 设全集 U={1,3,5,7}, 集合 M={1 ， |a-5|},M U, ={5,7}, 则 a的值为（ ）

A. 2 或 -8 B. -8或 -2 C. -2 或 8 D. 2 或 8

UC M

解析 : ∵ M={5,7},∴M={1,3},∴|a-5|=3,∴a=8或 a=2.答案 : D

UC

2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键即文字语言、符号语言、图象语言的互化 .

4. 进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算，运算时要借助于 Venn 图、数轴或函数图象等工具 .

3. 利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用 .

（ 3）无序性 .

（ 2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验 .

5. 注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中的应用 .

题型一 集合的基本概念【例 1】已知集合 A={m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq2}, 其中 m≠0,且 A=B, 求 q的值 .

解 由 A=B可知，

解（ 1）得 q=1;解（ 2）得 q=1, 或 又因为当 q=1 时， m=mq=mq2, 不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以

分析 由 A=B可知 A,B两个集合中的元素相同，观察 A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论 .

学后反思 本题考查集合元素的基本特征——确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少 .

2

2

m d mq, m d mq ,1 . 2 .

m 2d mq m 2d mq.

（） （ ）

2

1-q

2

1-q

1. 设 A={-4,2a-1, },B={9,a-5,1-a},已知 A∩B={9}，求实数 a的值 .

解析 : ∵A∩B={9},∴9∈A.(1)若 2a-1=9,则 a=5, 此时 A={-4,9,25},B={9,0,-4},A∩B={9,-4}, 与已知矛盾，舍去 .（ 2）若 a2=9,则 a=±3.当 a=3 时， A={-4,5,9},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为 -2, 与集合元素的互异性相矛盾，应舍去 ;当 a=-3 时， A={-4,-7,9},B={9,-8,4}，符合题意 .综上所述， a=-3.

举一反三2

a

解 先化简集合 A={-4,0}. 由 A∩B=B，则 B A，可知集合 B可为 ，或 {0}，或 {-4}，或 {-4,0}. (1)若 B=，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)＜ 0，解得 a ＜ -1 ； (2)若 0∈B，代入得 a2-1=0 a=1 或 a=-1 ， 当 a=1 时， B=A，符合题意； 当 a=-1 时， B={0} A ，也符合题意 . (3)若 -4∈B，代入得 a2-8a+7=0 a=7 或 a=1 ， 当 a=1 时，已经讨论，符合题意； 当 a=7时， B={-12 ， -4}，不符合题意 . 综上可得， a=1 或 a≤-1.

题型二 集合之间的关系

【例 2】设集合 A ={x| +4x=0}， B ={x| +2(a+1)x+a2-1=0， a∈R}，若 A∩B=B，求实数 a的取值范围 .

分析 根据 A、 B间的关系，对 B进行分类讨论，然后求解并验证 .

2x 2x

学后反思 解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求解，最后综合后得出答案 .

2. 设集合 A={x||x-a|≤2}，集合 B={x||4x+1|≥9}, 且 求 a的取值范围 .

解析： A={x|a-2≤x≤a+2},B=x|x≥2 或 x≤

∵ ,∴A∩B=A,如图所示 .

∴a+2≤ 或 a-2≥2,∴a≤ 或 a≥4.

BA

BA

2

5-

2

9-

2

5-

举一反三

题型三 集合的运算

【例 3】已知全集 I=R,A={x|x2>4}, ,

求 (CRA)∩(CRB).

}1x

2x

1x

3x|x{B

分析 解决本题的关键：(1) 集合 B的化简；

(2) (CRA)∩(CRB)=CR(A∪B)( 等价转化 ).解 A={x|x ＞ 2 或 x ＜ -2},

∴A∪B={x|x ＜ -2 或 x ＞ -1}.

∴ (CRA)∩(CRB)=CR(A∪B)={x|-2 ≤x ≤-1}

3}x-1|x{}01x

3x|x{B

学后反思 本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题 .解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算 .

3. 设集合 A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则

CR(A∩B) 等于 ( )

A. R B. {x|x∈R,x≠0}C. {0} D.

解析： 由已知， A= ［ 0,4］ ,B= ［ -4,0 ］ ,∴A∩B={0},

∴CR(A∩B)={x|x∈R,x≠0}.答案： B

举一反三

题型四 利用 Venn 图解决集合问题

【例 4】设全集 U是实数集 R,M={x| ＞ 4},N={x|1＜ x＜3},则图中阴影部分所表示的集合是 ( )A. {x|-2≤x＜ 1}B. {x|-2≤x≤2}C. {x|1＜ x≤2}D. {x|x ＜ 2}

2

x

分析 首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简 .

解 依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是 N∩( M), 而 M={x| ＞ 4}={x|x ＞ 2 或 x ＜ -2}, 于是 M={x|-2≤x≤2}, 因此 N∩( M)={x|1＜ x≤2}.

2

x RC

学后反思 新课标特别指出“能使用 Venn 图表达集合的关系及运算”，将对 Venn 图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须注意 Venn 图在表达集合关系和运算中的重要作用 .应结合交集、并集、补集等的定义进行理解 .

RC

RC

举一反三

4. （ 2009·江西）已知全集 U=A∪B中有 m个元素，（ A)∪( B) 中有 n个元素 .若 A∩B非空，则 A∩B的元素个数为 ( )A. mnB. m+nC. n-mD. m-n

UC

解析 : 如图，∵ ( A)∪( B)= (A∩B). 而阴影部分就表示集合 (A∩B),∴阴影部分有 n个元素，而 U=A∪B中有 m个元素，∴ A∩B中有 m-n 个元素 .答案 : D

UC

UC UC UC

UC

题型五 新型集合的概念与运算【例 5】 (12 分 )对于集合 M,N ，定义 M-N={x|x∈M且 x N},M

N=(M-N)∪(N-M), 设 A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=- ,x∈R},求 A B.

分析 充分理解“ M-N”与“ M N” 两种运算法则 , 然后把 A,B两个集合化到最简，再代入进行计算 .

解 由 y=x2-3x(x∈R),即

得

3..........,.........4

9-

4

9-

2

3-xy

2

4..................}.........4

9-y|y{A

2x

∵y=-2x(x∈R),2x ＞ 0,∴-2x ＜ 0,∴y＜ 0,∴B={y|y ＜ 0},………………………..6′

9A-B {y|y 0},B-A {y|y - }....................10

49

A B (A-B) (B-A) (- , - ) [0, )4

...................................................................................12

U

学后反思 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题 .在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键 . 集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究 .

举一反三

5. （ 2008·江西）定义集合运算 :A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={1 ， 2}， B={0， 2}，则集合 A B 的所有元素之和为 ( )A. 0B. 2C. 3D. 6

解析 : 依题意， A*B={0,2,4},∴它的所有元素之和为 6.答案 : D

【例】已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A, 求实数 m的取值范围 .

错解 由 x2-3x-10≤0得 -2≤x≤5.

欲使 B A, 只需 , 解得 -3≤m≤3.

∴m的取值范围是 -3≤m≤3.

错解分析 因为 A∪B=A,即 B A, 又 A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需对 B= 与 B≠两种情况分别讨论，进而确定 m的取值范围 .

51-2m

1m2-

正解 ∵ A∪B=A,∴B A.

又∵ A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},

(1)若 B=，则 m+1＞ 2m-1,即 m＜ 2, 此时，总有 A∪B=A,故

m＜ 2.

(2)若 B≠，则 m+1≤2m-1,即 m≥2,由 B A 得

, 解得 -3≤m≤3,∴2≤m≤3.

综合 (1) 、 (2) 可知 ,m的取值范围是（ -∞,3］ .

51-2m

1m2-

1. （ 2009·福建）已知全集 U=R，集合 A={x| -2x ＞ 0}，则 A等于（ ）A. {x|0≤x≤2} B. {x|0 ＜ x＜ 2} C. {x|x ＜ 0或 x ＞ 2} D. {x|x≤0或 x≥2}

2

x UC

解析： 计算可得 A={x|x ＜ 0或 x ＞ 2}，∴ CuA={x|0≤x≤2}.答案： A2. （ 2009·泉州市一级达标中学高三期末联考）已知 a∈R，设集合 A={x||x-1|≤2a- -2}，则 A的子集个数共有（ ）A. 0个 B. 1 个C. 2 个 D. 无数个

2

a

解析： 设 u=- +2a-2,Δ=4-8=-4＜ 0，∴ u＜ 0,a∈R，∴ A={x||x-1| ＜ 0}，∴ A= . 其子集只有 .答案： B

3. (2009·广东 )已知全集 U=R，集合 M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩（ Venn) 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 无穷多

解析 : M={x|-1≤x≤3}，集合 N是正奇数集， M∩N={1,3}.答案 : B4. 已知集合 A={x|y= },B={y|y= ,x ＞ 0},R是实数集，则 ( B)∩A=（）A. ［ 0,1］ B. ［ 0,1) C. (-∞,0 ］ D. 以上都不对

22x x 2

x

RC

2

a

解析 : 集合 A={x|y= }表示的是函数的定义域，可得 A=［ 0,2］ ; 而集合 B={y|y= ,x ＞ 0}表示的是函数的值域，显然函数 y= ,x ＞ 0的值域为（ 1,+∞） ,所以 ( B)∩A=(-∞,1］∩［ 0,2］ =［ 0,1］ .答案 : A

RC

22x x

2x

2x

5. 集合 P={(x,y)|y=k,x∈R},Q={(x,y)|y= +1,x∈R,a ＞ 0且 a≠1},已知 P∩Q=，那么实数 k的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-∞,1］C. (1,+∞)D. (-∞,+∞)

x

a

解析 : P,Q 两个集合都表示点集，画出函数 y=k与 y= +1 的图象，由 P∩Q=知，两函数图象无交点，观察图象可得 k≤1.答案 : B

x

a

6. 设 A,B为两个非空集合，定义 :A+B={a+b|a∈A,b∈B}，若 A={0,2,5},B={1,2,6},则 A+B的子集的个数是（ ）

A. B. C. D. 9

28

27

26

2

解析 : 由题意 A+B={1,2,3,4,6,7,8,11}, 有 8个元素 ,故 A+B的子集的个数是 .答案 : B

8

2

7. 已知 M={x|x= +2a+4,a∈R},N={y|y= -4b+7,b∈R},则 M,N 之间的关系为 .

2

a2

b

解析 : ∵ +2a+4=(a+1)2+3≥3,∴M={x|x≥3}.又∵ -4b+7=(b-2)2+3≥3,∴N={y|y≥3}.∴M=N.答案 : M=N

2

a2

b

8. 已知 A={x| -2x-3 ＜ 0},B={x||x| ＜ a},若 B A,则实数 a 的取值范围是 .

2

x

解析 : ∵ B,∴B 为非空集合，即 a＞ 0,由 -2x-3＜ 0得 -1＜ x＜ 3,∴A=(-1,3).由 |x| ＜ a 得 -a ＜ x ＜ a.∴B=(-a,a).∵B A,∴ -a≥-1, a≤3, 即 a≤1.故综上得 -1<a≤1.答案 : (0,1]

2

x

9. 满足条件 {1,3}∪A={1,3,5}的所有集合 A的个数是 . 解析 : A有可能为 {5},{1,5},{3,5},{1,3,5}.答案 : 4

10. (2010·济宁模拟 )设全集 U={(x,y)|x,y∈R}，集合 M={(x,y) },N={(x,y)|y≠x-4}，那么 ( M)∩( N)= .2

12

y

x

UC

解析 : M： y=x-4(x≠2),M 代表直线 y=x-4 ，但是去掉点（ 2， -2 ）， M 代表直线 y=x-4外，但是包含点（ 2， -2 ）；N代表直线 y=x-4外， N代表直线 y=x-4 ，故 ( M)∩( N)={(2,-2)}.答案 : {(2,-2)}11. 已知函数 f(x)= 的定义域为集合 A，函数 g(x)=lg(- +2x+m) 的定义域为集合 B. 求当 m=3 时，求 A∩( B).R

61

1x

2

x

解析： A={x|-1＜ x≤5}.当 m=3 时， B={x|-1＜ x＜ 3},则 B={x|x≤-1 或 x≥3},故 A∩( B)={x|3≤x≤5}.

RC

UC

UC

UC UC UC

RC

12. （ 2010·广东联考）设集合 A={x|x2 ＜ 4},.

(1) 求集合 A∩B;

(2)若不等式 2x2+ax+b ＜ 0的解集是 B，求 a、 b的值 .

解析 : A={x|x2 ＜ 4}={x|-2＜ x＜ 2},

(1)A∩B={x|-2＜ x＜ 1}.

(2)∵2x2+ax+b ＜ 0的解集为 B={x|-3＜ x＜ 1},

∴-3 和 1为方程 2x2+ax+b=0的两根，

∴

}3x

41|x{B

1}x-3|{x0}3x

1-x|x{}

3x

41|x{B

-6.b4,a,

1-32

b

1,-32

a-

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

1. 理解命题的概念 .

2. 了解“若 p, 则 q” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 .

3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 .

1. 命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题 . 命题有真命题 与 之分 .

（ 1 ）四种命题

若 q，则 p逆否命题若 p，则 q否命题 若 q,则 p逆命题 若 p，则 q原命题

表述形式命题

假命题

(2) 四种命题之间的关系

3. 充分条件与必要条件（ 1）定义：对命题“若 p,则 q”而言，当它是真命题时， p是 q的充分条件 ; q是 p的必要条件 ; 当它的逆命题为真时， q是 p的充分条件，p是 q的必要条件 ;两种命题均为真时，称 p是 q的充要条件 .（ 2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论 ; 其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件 .

1. (教材改编题）下列说法：①2x+5>0；② ＜ 0；③如果 x＞ 2 ，那么 x就是有理数；④如果x≠0，那么 就有意义 .一定是命题的说法是 ( ) A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③

21

x

解析 : ②③④满足命题定义，只有①不能判断真假 .答案 : C

2. (教材改编题）给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；② =1 ；③如果 x+y是整数，那么 x,y 都是整数；④ <3 或 >3. 其中真命题的个数是（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

0

010 10

解析 : 正确的只有④ .答案 : C

3. (2010·广东汕头）与命题“若 a∈M,则 b M” 等价的命题是 ( )A. 若 a M ，则 b MB. 若 b M, 则 a∈MC. 若 a M, 则 b∈MD. 若 b∈M,则 a M

解析 : 原命题与其逆否命题是等价的 .答案 : D

4. (2009·浙江 )已知 a,b是实数，则“ a>0且 b>0”是“ a+b>0且 ab>0”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

解析 : a>0,b>0时显然有 a+b>0且 ab>0，充分性成立；反之，若 a+b>0且 ab>0，则 a,b同号且同为正，即 a>0,b>0, 必要性成立 .答案 : C

5. 下列各种说法中， p是 q的充要条件的是 ( )（ 1） p:m ＜ -2 或 m ＞ 6； q:y= +mx+m+3 有两个不同的零点；（ 2） p: =1;q:y=f(x) 是偶函数；（ 3） p:cos α=cos β;q:tan α=tan β ；（ 4） p:A∩B=A;q: A. (1)(2) B. (2)(3)C. (3)(4) D. (1)(4)

2

x

f x

f x

解析 :（ 2）中由 =1 可得 f(-x)=f(x) ，但 y=f(x) 的定义域不一定关于原点对称；（ 3）中 cos α=cos β是 tan α=tan β的既不充分也不必要条件 .答案 : D

f x

f x

.U UB Að ð

1. 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题” .

2. 四种命题真假关系原命题与它的逆否命题同真同假；原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假 .当一个命题不能直接判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假而得到原命题的真假 .

3. 判断命题的充要关系有三种方法(1) 定义法：直接判断若 p则 q、若 q则 p的真假 .(2) 等价法：即利用 A B 与 B A;B A 与 A B;A B 与 BA的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 .(3)利用集合间的包含关系判断：若 A B ，则 A是 B的充分条件或B是 A的必要条件 ; 若 A=B,则 A是 B的充要条件 .

4. 以下四种说法所表达的意义相同(1) 命题“若 p则 q”为真 ;(2)p q;

(3)p是 q的充分条件 ;(4)q是 p的必要条件 .

题型一 四种命题的关系及命题真假的判定【例 1】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 . (1) 内接于圆的四边形的对角互补； (2)已知 a、 b、 c、 d是实数，若 a＝ b， c ＝ d，则 a＋ c＝ b＋ d.

分析 首先应当把原命题改写成“若 p，则 q”形式，再设法构造其余的三种 形式命题 .

解 (1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆” . 四种命题都正确 .

对 (2)原命题：“已知 a、 b、 c、 d是实数，若 a＝ b， c ＝ d，则 a＋ c＝ b＋ d”，其中“已知 a、 b、 c、 d是实数”是大前提，“ a ＝ b，c ＝ d”是条件，“ a ＋ c＝ b＋ d”是结论 .显然原命题是正确的 .

否命题：“已知 a、 b、 c、 d是实数，若 a≠b或 c≠d，则 a＋ c≠b＋ d”(注意“ a ＝ b， c ＝ d”的否定是“ a≠b或 c≠d”，只需要至少有一个不等即可 )；此命题不正确， a=1,c=1,b=1.5,d=0.5,a≠b或 c≠d,但 a+c=b+d.

学后反思 要注意对大前提的处理以及等价命题之间的真假关系 . 试一试：写出命题“当 c＞ 0时，若 a＞ b，则 ac＞ bc”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假 .

逆命题：“已知 a、 b、 c、 d是实数，若 a＋ c＝ b＋ d，则 a＝ b， c＝ d”.此命题不正确，如 a+c=b+d=2, 可有 a=c=1,b=0.8,d=1.2,则 a≠b,c≠d.

逆否命题：“已知 a、 b、 c、 d是实数，若 a＋ c≠b＋ d则 a≠b或 c≠d”.

逆否命题还可以写成：“已知 a、 b、 c、 d是实数，若 a＋ c≠b＋ d,则 a＝ b， c ＝ d两个等式至少有一个不成立” ,由原命题为真得此命题显然正确 .

举一反三1. 写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的逆命题、否命题、逆否命题 .解析： 方法一：选取“两边乘同一个数”为前提原命题：若一个式子为等式，两边也乘以同一个数，所得的结果仍是等式；逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式；否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式；逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式 .方法二：选取“一个式子为等式”为前提原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式；逆命题：一个等式 ,若两边分别乘以一个数， 所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数；否命题：一个等式 ,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式；逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式，则两边乘的不是同一个数 .

题型二 两个命题之间充要条件的判定

【例 2】用“充分条件、必要条件、充要条件”填空 :(1)“a+b<0 且 ab>0”是“ a<0 且 b<0”的 ;(2)“x>1”是“ <1”的 ;(3)“(x-4)(x+1)≥0”是“ ≥ 0”的 ;(4)“x=2”是“ -7x+10=0”的 .

1

x4

1

x

x

2

x

分析 先把条件或结论化简，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件 ;反之，条件是结论的必要条件 .

解 （ 1）充要条件 (2) 充分条件 (3) 必要条件 (4) 充分条件

学后反思 判断充分、必要条件时 ,多与数学上其他知识内容相联系，要考查到其他内容掌握的程 .

举一反三

2. （ 2009·四川）已知 a,b,c,d为实数，且 c>d.则“ a>b”是“ a-c>b-d”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

解析 : 由 a-c>b-d,c>d两个同向不等式相加得 a>b,但 c>d,a>ba-c>b-d.例如 a=2,b=1,c=-1,d=-3 时， a-c<b-d.答案 : B

题型三 三个或三个以上命题之间充要条件的判定

【例 3】已知 p、 q 都是 r的必要条件， s是 r的充分条件， q是 s的充分条件，那么 s， r， p分别是 q的什么条件？

分析 画出关系图，观察求解 .

学后反思 图可以画得随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系 ,利用它们的传递性和对称性判断 .

解 s是 q的充要条件 ；r是 q的充要条件 ;p是 q的必要条件 .

),( sqqrs ),( rsqqr

)( qrsq

举一反三

3. 设 A、 B、 C三个命题，若 A是 B的充要条件， C是 B的充分不必要条件，则 C是 A的 条件 .

答案：充分不必要

解析： 画出关系图 ,由图可知， C是 A的充分不必要条件 .

【例 4】 (12 分 )已知 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m ＞ 0) ，若 的必要不充分条件，求实数 m的取值范围 .

学后反思 本题采用了等价转化的方法将原命题的条件转化为等价命题的形式，然后从集合的角度去解决此类问题，既简便又快捷 .

qp是

分析 可以有两个思路 :

(1) 先求出 ，然后依据 ， 求的 m的取值范围

（ 2）若原命题为“ ”，其逆命题是“若 p,则 q”.由于他们是等价的，可将是的必要不充分等价转化为求 p是 q的充分不不要条件来求解。

q和p p，则q若

p q pq

解 “ 必要不充分条件”的等价命题是：

p是 q的充分不必要条件 . 3′..................................qp是

∴

设 p:A={x|-2≤x≤10}， q:B={x|1-m≤x≤1+m,m ＞ 0}. 6′∵p是 q的充分不必要的条件，∴ A B. 10′ ....................

..............

101

)(,21

0

m

m

m

两个等号不能同时取到

∴ 9m ........................................... 12‘

题型四 利用充分、必要条件求实数的范围

举一反三

4. 本例把“ 的必要而不充分条件”改为“ 的充分而不必要条件”，求实数 m的取值范围 .

qp是 qp是

解析 : ∵“ 的充分而不必要条件”的等价命题是： q是 p的充分而不必要条件 ,∴B A.∴ m>0, 1-m≥-2, （等号不同时成立） 1+m≤10,解得 0<m≤3.

qp是

【例】写出命题“若 ，则实数 m， n， a， b全为零”的否定及否命题 .

错解分析 错解（ 1）混淆了命题的否定与否命题的概念，错解（ 2）“全为零”的否定是“不全为零”而不是“全不为零” .

02222 banm

错解（ 1）命题的否定：若 ，则实数 m,n,a,b不全为零 .命题的否命题：若 ,则实数 m,n,a,b不全为零 .（ 2）命题的否定：若 ,则实数 m,n,a,b全不为零 .命题的否命题：若 ,则实数 m,n,a,b全不为零 .

02222 banm

02222 banm

02222 banm

02222 banm

正解 命题的否定：若 ,则实数 m,n,a,b不全为零 .命题的否命题：若 ，则实数 m,n,a,b不全为零 .

02222 banm

02222 banm

1. 下面有四个命题：①集合 N中最小的数是 1；②若 -a不属于 N，则 a属于 N；③若 a∈N,b∈N,则 a+b的最小值为 2；④ 的解集可表示为 {1,1}.其中真命题的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

xx 212

解析：①假命题，集合 N中最小的数是 0；②假命题，如 时 ,命题不成立；③假命题，如 a=0,b=1,则 a+b=1 ；④假命题， {1,1}与集合元素的互异性矛盾，其解集应为 {1}.

2

1a

答案： A

2. （创新题）命题“若 ab=0,则 a=0或 b=0”的逆否命题是（）A. 若 ab≠0，则 a≠0或 b≠0B. 若 a≠0或 b≠0，则 ab≠0C. 若 ab≠0，则 a≠0且 b≠0D. 若 a≠0且 b≠0，则 ab≠0解析 : “或”否定后变为“且” .答案 : D3. 有下列四个命题：①“若 xy＝ 1 ，则 x、 y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若 b≤－ 1 ，则方程 有实根”的逆否命题；④“若 A∪B=B,则 A B” 的逆否命题 .其中真命题是 ( )A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④

0222 bbx bx

4. “α≠β”是“ cos α≠cos β”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

解析：

答案： B

答案： C

解析：写出相应命题并判定真假 .①“若 x， y互为倒数，则 xy＝ 1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程 没有实根，则 b＞－ 1”为真命题；④“若 A B ，则 A∪B≠B”为假命题 .

0222 bbx bx

cos cos , 0, 2 ,cos0 cos 2 ;

cos cos

因为当 时反之， 成立.

5. 已知不等式 |x-m| ＜ 1成立的充分不必要条件是 ＜ x＜ ，则 m的取值范围是 ( )A. {m|- ≤m≤ }B. {m|m ＜ }C. {m|- ≤m≤ }D. {m|m≥- }

1

3

1

2

4

3

1

21

21

24

34

3

解析 : |x-m| ＜ 1 -1+m ＜ x＜ 1+m，∵ ＜ x＜ 时， |x-m| ＜ 1 ，∴(-1+m,1+m) .∴-1+m≤ ，且 1+m≥ ,由此得 - ≤m≤ .答案 : C

1

31

2 1 1,

3 2 1

31

2

1

2

4

3

6. （ 2009·福建）设 m， n是平面 α内的两条不同直线， l1， l2是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分不必要条件是 （ ）A. m//β且 l1//α B. m//l1且 n//l2

C. m//β且 n//β D. m//β且 n//l2

7. (2010·宁夏银川模拟 )原命题：“设 a、 b、 c∈R，若 a >b ，则 a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有个 .

2

c2

c

解析 : 由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确 .答案 : 18. 命题“若 x,y是奇数，则 x+y是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题 .

解析：原命题是真命题 ,所以其逆否命题也是真命题 .答案：若 x+y不是偶数，则 x,y不都是奇数 真

解析： 因 m α,l 1 β ，若α∥β，则有 m∥β且 l1∥α，故α∥β的一个必要条件是 m∥β且 l1∥α,排除 A. 因 m， n α,l1,l2 β且 l1与 l2相交，若 m∥l1且 n∥l2，因 l1与 l2相交，故 m与 n也相交，∴α∥β；若α∥β，则直线 m与直线 l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是 m∥l1且 n∥l2，应选 B.答案： B

9. （ 2008·全国）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：① ;充要条件 :② .（写出你认为正确的两个充要条件）解析：本题为开放性填空题，下面给出了四个充要条件，任写两个即可，写出其他正确答案也可 .

答案： 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形

10. (x-1)(x+2)＜ 0的一个必要不充分条件是 .

解析：这是一道开放题，答案不唯一，只要满足 x＞ -2 或 x ＜ 1均可，但不可以是 -2＜ x＜ 1.

答案： x ＞ -2( 或 x ＜ 1)

11. 写出命题“若 m＞ 0，则方程 +x-m=0有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明 .

解析：原命题的逆否命题是：“若方程 +x-m=0没有实数根，则 m≤0”.它是真命题 .

x2

x2

证明：∵方程 +x-m=0没有实数根，∴Δ=1+4m ＜ 0，

∴m＜ ，∴ m≤0成立 .(也可以证明原命题正确 )

x2

4

1

12. 已知 p: ,q: ≥0. 求 p是 q的什么条件 .1 3

22 4

x 21 3

33 2

xx

解析： p:A= ;

q:B= ,

由图知 A B, 故 p是 q的充分不必要条件 .

1 3 7 132

2 4 2 2

xx x x

21 3 33 0 6

3 2 2x x x x xx

或

第三节 简单的逻辑结构、全称量词与存在量词

1. 了解逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义 .2. 理解全称量词与存在量词的意义 .3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 .

1. 命题 p∧q,p∨q, 的真假判断p

p q p∧q p∨q  

真 真 真 真 假真 假 真 假 假假 真 真 假 真假 假 假 假 真

p

2. 全称量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示 .（ 2）含有全称量词的命题，叫做全称命题 .（ 3）全称命题“对 M中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为 : x∈M,p(x) ，读作“对任意 x属于 M, 有 p(x)成立” .

3. 存在量词（ 1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示 .（ 2）含有存在量词的命题，叫做特称命题 .（ 3）特称命题“存在 M中的元素 , 使 成立”可用符号简记为 : ,读作“存在 M中的元素 ” .

)(,00 xx pM 成立使 )(,

00 xx p

)(, xpMx

4. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定

命题的否定命题

)(, xpMx

)(,00 xx pM

)(,00 xx pM

x0 )(0xp

1.设集合 M={x|x ＞ 2},P={x|x ＜ 3},那么“ x∈M或 x∈P”是“ x∈M∩P”的 （ ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析 : “x∈M或 x∈P”不能推出“ x∈M∩P”，反之可以 .答案 : A

2. (教材改编题 )已知命题 p且 q为假命题，则可以肯定( )A. p为真命题B. q为假命题C. p,q中至少有一个是假命题D. p,q 都是假命题解析 : 利用真值表判断 .答案 : C

3. 下列命题中正确的是（）A. 对所有正实数 t，有 ＜ tB. 不存在实数 x，使 x ＜ 4 ，且 +5x-24=0C. 存在实数 x，使 |x+1|≤1 且 x2＞ 0D. 不存在实数 x，使 +x+1=0

t2

x

3

x

解析 : A不正确，如 t= ，有 ＞ t;B不正确，如 x=3＜ 4,而 x2+5x-24=0;D不正确 .令 f(x)= +x+1,则 f(-1)=-1<0,f(0)=1>0, 又因为函数 f(x) 的定义域为 R,所以 f(x)= +x+1 在 (-1,0)上必存在零点，即存在实数 x使 +x+1=0.答案 : C

1

4 t2

x3

x 3

x3

x

4. （ 2009·福建省普通高中毕业班单科质量检查）命题：“ x∈R, -x+2≥0”的否定是（ ）A. x∈R, -x+2≥0 B. x∈R, -x+2≥0 C. x∈R, -x+2 ＜ 0 D. x∈R, -x+2 ＜ 0

2

x2

x2

x

2

x2

x

解析： 全称命题的否定是特殊命题 .答案： C

p1. 命题：“ p∧q”,“p∨q”,“ ”的真假判断方法（ 1）“ p∧q”形式复合命题判断真假的方法是：“一假必假” .(2)“p∨q”形式复合命题判断真假的方法是 :“一真必真” .(3)“ ”形式复合命题判断真假的方法是 :“真假相对” .

p

5. （ 2009·泉州市一级达标中学高三期末联考）有关命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若 -3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 ， 则 -3x+2≠0”；B. 命题“ sinx≥1”是一个复合命题，而且是个真命题；C. 若 ( p)∨( q) 为真命题，则命题 p、 q 至少有一个为真命题；D. 对于命题 p∶ x∈R ，使得 +x+1＜ 0.则 p∶ x∈R ，均有 +x+1≥0

2

x2

x

2

x 2

x解析： C中若（ p）∨ ( q) 为真命题，则命题 p、 q至少有一个为假命题 .答案： C

2. 判断复合命题真假的步骤（ 1）首先确定复合命题的结构形式 ;（ 2）判断其中简单命题的真假 ;（ 3）根据其真值表判断复合命题的真假 .3. 含有一个量词的命题的否定（全称命题与特称命题） ,常见 的有 : “对所有 x 成立”的否定是“存在某 x不成立” ; “对任意 x不成立”的否定是“存在某 x成立” ; “至少有一个”的否定是“没有一个” ; “至多有一个”的否定是“至少有两个” ; “至少有 n个”的否定是“至多有 n-1 个” ; “至多有 n个”的否定是“至少有 n+1 个” .4. 复合命题的否定（ 1）“ p”的否定是“ p”.（ 2）“ p或 q”的否定是“ p且 q”.（ 3）“ p且 q”的否定是“ p或 q”.

题型一 判断含有逻辑联结词的命题的真假

【例 1】分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假 .(1)5或 7是 30的约数 ;(2)菱形的对角线互相垂直平分 ;(3)8x－ 5 ＜ 2 无自然数解 .

分析 由含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的形式及其真值表直接判断 .

学后反思 判断含有逻辑联结词的命题的真假的一般步骤 :(1 ）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（ 2）判断简单命题的真假；（ 3）根据真值表判断复合命题的真假 .

解析 : (1)p或 q， p： 8是 30的约数 (假 ) ， q： 6是 30的约数(真 ). 为真命题 . (2)p且 q， p：矩形的对角线互相垂直 (假 ) ， q：矩形的对角线互相平分 (真 ). 为假命题 . (3)非 p, p： － 2x ＋ 3＝ 0有实根 (假 ). 为真命题 . x

2

举一反三

1. 分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假 . (1)8或 6是 30的约数；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3) 方程 -2x ＋ 3＝ 0没有实数根 . x

2

题型二 全称命题、特称命题及其真假判断

【例 2】判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是特称命题 ,以及真假情况，并用符号“ ”或“ ”来表示 .(1) 有一个向量 a， a的方向不能确定 ;(2) 存在一个函数 f(x) ，使 f(x) 既是奇函数又是偶函数 ;(3) 对任意实数 a,b,c, 方程 都有解 ;(4) 在平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗 ?分析 根据语句中所含联结词判断其是何命题 .

02 cbxax

解 (1)(2)都是真命题， (3) 是假命题， (4) 不是命题 .其中 (1)(2) 是特称命题， (3) 是全称命题 .上述命题用符号“ ”或“ ”表示为： （ 1） a∈{ 向量 }，使 a的方向不能确定；（ 2） f(x)∈{函数 }, 使 f(x) 既是奇函数又是偶函数；（ 3） a,b,c∈R, 方程 都有解 .

02 cbxax

学后反思 含有“所有的”、“任意一个”、“任意的”、“一切的”、“每一个”、“任给”等全称量词的命题，叫做全称命题 .含有“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”、“存在着”等存在量词的命题，叫做特称命题 . 要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合 M中每个元素 x, 证明 p(x)成立；如果在集合 M中找到一个元素 , 使得 不成立，那么这个全称命题就是假命题 .要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合 M中找到一个元素 , 使 成立即可 ; 如果在集合 M中，使 p(x)成立的元素 x不存在，则特称命题是假命题 .

x0 )(

0xp

x0)(

0xp

举一反三

2. 用符号“ ”与“ ”表示含有量词的命题 , 并判断真假 .（ 1）实数的平方大于等于 0;（ 2）存在一对实数，使 2x ＋ 3y ＋ 3>0 成立 .

解析：（ 1） x∈R， ≥ 0，真命题 ;(2 ） x∈R， y∈R， 2x ＋ 3y ＋ 3>0，真命题 .

x2

题型三 全称命题、特称命题的否定

【例 3】写出下列命题的否定并判断真假 .（ 1） p: 对任意的正数 x， >x-1 ；（ 2） q: 三角形有且仅有一个外接圆 ;（ 3） r: 存在一个三角形，它的内角和大于 180°;（ 4） s: 有些质数是奇数 .

x

分析 以上这几个命题中（ 1）（ 2）是全称命题，（ 3）（ 4）是特称命题，在否定时既要对结论否定，又要对量词否定 .

学后反思 含有全称量词（或存在量词）的命题的否定与命题的否定有着一定的区别，含有全称量词（或存在量词）的命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可 .从命题形式上看，含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题 .

解（ 1） : 存在正数 x， x≤x-1,真命题 .（ 2） : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，假命题 .（ 3) :所有三角形的内角和小于或等于 180°，真命题 . （ 4） :所有的质数都不是奇数，假命题 .

q

sr

p

举一反三3. 下列命题的否定表述正确的有 .

①p : 面积相等的三角形是全等三角形； ：面积相等的三角形不是全等三角形 .②p ：有些质数是奇数； ：所有的质数都不是奇数 .③④

pp

.122,:;122,: 2222 xxxRxpxxxRxp .1sin,:;1sin,: xRxpxRxp

① 应为：有些面积相等的三角形不是全等三角形；③ 应为：.122, 22 xxxRx 解析： p p

答案：②④

题型四 对复合命题真假判断的综合应用

【例 4】 (12 分 )已知命题 p：方程 +ax-2=0在［ -1,1］上有解；命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 +2ax+2a≤0，若命题“ p或 q”是假命题，求实数 a的取值范围 .

2 2

a x2

x

分析 首先对所给命题进行化简，然后再通过对含逻辑联结词的命题的真假判断的知识给予讨论解决 .

解 由 +ax-2=0, 得 (ax+2)(ax-1)=0,…………………2′显然 a≠0,∴x=- 或 x= .………………………………4′∵x∈［ -1,1］，故 ≤ 1 或 ≤ 1,∴|a|≥1.……………………………………………………6′“只有一个实数 x 满足 +2ax+2a≤0”，即抛物线 y= +2ax+2a与 x 轴只有一个交点，∴Δ=4 -8a=0,∴a=0或 2.…………8′∴命题“ p或 q”为真命题时 ,|a|≥1 或 a=0.…………………10′∵命题“ p或 q”为假命题 ,∴a的取值范围为 -1＜ a＜ 0或 0 ＜ a＜ 1.……………………12′

2 2

a x 1

a2

a 2

a1

a

2

x2

x2

a

学后反思 解决这类问题时，关键在于对所给命题的等价转化 .它所涉及的命题往往是方程根的问题或不等式解的问题，所以首先要熟知它们的等价转化，化到最简后，再应用真值表以及数轴或函数图象进行分析 .

(3)当 q和 p 都是真命题时，得 -3＜ m＜ -2.综上， m的取值范围是 m ＜ -1.

解析 :“p或 q”为真命题，则 p为真命题，或 q为真命题，或 p和 q 都是真命题 .(1)当 p为真命题时，则 得 m ＜ -2;

01

0

04

21

21

2

xxxxm

m

(2)当 q为真命题时，则 , 得 -3＜ m＜ -1;016)2(162

m

举一反三

4. 命题 p: 方程 +mx+1=0有两个不等的正实数根，命题 q: 方程 4 +4(m+2)x+1=0无实数根 .若“ p或 q”为真命题，求 m的取值范围 .

x2

x2

【例】若 p: -2x-3>0;q: >0，则 p是 q的什么条件 . 2

x2

1

6xx

错解 p: -2x-3≤0 -1≤x≤3. q: ≤0 -2<x<3∴ p是 q的既非充分又非必要条件 .

2

x2

1

6xx

错解分析 q的求解是错误的，产生错误的原因在于对命题的否定的概念理解错误，误认为： q: ≤0，事实上当 -x-6=0也属于 q的一部分，这样导致了不等价变换引起失误 .

2

1

6xx 2

x

正解 ∵ p: -2x-3>0 x<-1 或 x>3,∴ p:-1≤x≤3. q: >0 x<-2 或 x>3,∴ q:-2≤x≤3.∴ p q, 但 q / p,∴ p是 q 成立的充分不必要条件 .

2

x2

1

6xx

1. 若命题 p∧q为假，且 为假，则 ( )A. p或 q为假 B. q 假C. q 真 D. p 假

p

答案： B

解析： 为假，则 p为真，而 p∧q为假，得 q为假 .p

2. 若条件 p:x∈A∩B,则 是 ( )A. x∈A且 x B B. x A 或 x BC. x A 且 x B D. x∈A∪B

答案： B

p

解析： :x A∩B,∴x 至少不属于 A,B中的一个 .p

3. （ 2009·福州市高中毕业班单科质量检查）下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若 =1 ，则 x=1”的否命题为：“若 =1 ，则 x≠1”.B. “x=-1”是“ -5x-6=0”的必要不充分条件 .C. 命题“ x∈R”使得“ +x+1＜ 0”的否定是：“ x∈R，均有“ +x+1＜ 0”.D. 命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 .

2

x2

x2

x

2

x 2

x

解析： A中命题的否命题应为“若 ≠ 1 ，则 x≠1 ，” A错； B中x=-1 是 -5x-6=0的充分条件 B错； C中命题的否定应为“ x∈R，有 +x+1≥0”.C错 .答案： D

2

x 2

x

2

x

4. 如果命题“非 p或非 q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“ p且 q”是真命题；②命题“ p且 q”是假命题；③命题“ p或 q”是真命题；④命题“ p或 q”是假命题 .其中正确的结论是 （）A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④

解析 : “非 p或非 q”是假命题 “非 p”与“非 q”均为假命题 ,即 p和 q 均为真命题 .故“ p或 q”和“ p且 q”都是真命题 .答案 : A5. （ 2009·厦门一中）若命题“ x∈R, +(a-1)x+1＜ 0”是假命题，则实数 a的取值范围是（ ）A. ［ -1 ， 3］ B. ［ 1 ， 4］C. （ 1， 4） D. (-∞,1］∪［ 3,+∞)

2

x

解析： 原命题即对“ x∈R，有 +(a-1)x+1≥0，”即Δ= -4≤0.∴-1≤a≤3.答案： A

2

x 2

1a

答案：必要 充分

8. “末位数字是 0或 5的整数能被 5整除”的否定形式是 ；否命题是 .

答案：至少存在一个末位数是 0或 5的整数，它不能被 5整除所有末位数不是 0且不是 5的整数，不能都被 5整除

7. 用“充分、必要、充要”填空：(1)p∨q为真命题是 p∧q为真命题的 条件；(2) 为假命题是 p∨q为真命题的 条件 . p

6. （ 2010·潍坊模拟）已知命题 p: x∈R, 使 tan x=1, 命题 q: -3x+2<0的解集是 {x|1<x<2}, 下列结论：①命题“ p∧q”是真命题 ;②命题“ p∧ q”是假命题； ③命题“ p∨q”是真命题 ;④命题“ p∨ q”是假命题 .其中正确的是（）A. ②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

解析 : 命题 p: x∈R ，使 tan x=1 正确，命题 q: -3x+2<0的解集是 {x|1<x<2}也是真命题，∴①命题“ p∧q”是真命题 ;②命题“ p∧ q”是假命题；③命题“ p∨q”是真命题 ;④命题“ p∨ q”是假命题 .答案 : D

2

x

2

x

9. 命题“ -3x+2=0的两根是 1或 2”是 的形式，此命题是 (真、假 ) 命题 .

答案： p∨q 真

x2

10. 已知 p(x): +2x-m>0，如果 p(1) 是假命题， p(2) 是真命题，则实数 m的取值范围是 .

2

x

解析 : 因为 p(1) 是假命题，所以 1+2-m≤0，解得 m≥3, 又因为 p(2) 是真命题，所以 4+4-m>0，解得 m<8，故实数 m的取值范围是 3≤m<8.答案 : ［ 3,8)11. 写出下列命题的否定，并指出真假 .(1)p: x∈R, -x+ ≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形 ;(3)r: x∈R, +2x+2≤0;(4)s:至少有一个实数 x，使 +1 0.

2

x

2

x3

x

1

4

12. 给定两个命题 , P：对任意实数 x 都有 恒成立； Q：关于 x的方程 有实数根 .如果 P与 Q中有且仅有一个为真命题，求实数 a的取值范围 .

012 axax

02 axx

解析：对任意实数 x 都有 恒成立 a=0或

;关于 x的方程 有实数根 .如果 P真 Q假，有 0≤a＜ 4,

且 a ＞ ,∴ ＜ a＜ 4; 如果 Q真 P假，有 a ＜ 0或 a≥4, 且 a≤ ,∴a＜ 0.所以实数 a的取值范围为 .

012 axax

02 axx

400

0

aa

4

1 a

4

1

4

1

4

1

解析：（ 1 ） p: x∈R, -x+14<0, 假命题 ;(2) q:至少有一个正方形不是矩形，假命题 ;(3) r: x∈R, +2x+2>0, 真命题 ;(4) s: x∈R, +1≠0, 假命题 .

2

x

2

x3

x

1,0 ,4

4

一、对集合的理解以及集合思想的应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想在函数与方程、不等式中的运用 .通过复习 ,考生应树立运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用 .

【例 1】设 A={(x,y)| － x－ 1=0},B={(x,y)|4 +2x－ 2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b}, 是否存在 k、 b∈N, 使得 (A∪B)∩C=，证明此结论 .

2

x2

y

分析 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题 .解决此题的关键是将条件 (A∪B)∩C=转化为 A∩C=且 B∩C=，这样难度就降低了 .由集合 A与集合 B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到 b、 k的范围，又因 b、 k∈N, 进而可得值 .

解 ∵ (A∪B)∩C=，∴ A∩C=且 B∩C= .∵ =x+1, y=kx+b,∴ +(2bk－ 1)x+ － 1=0,∵A∩C= ,∴Δ1= <0,∴4 － 4bk+1<0, 此不等式有解的充要条件是 16 － 16>0, 即 >1;①∵ 4 +2x-2y+5=0, y=kx+b,∴4 +(2－ 2k)x+5-2b=0.∵B∩C= ,∴Δ 2= － 4(5－ 2b)<0,∴ － 2k+8b－ 19<0, 从而 8b<20,即 b<2.5.②由①②及 b∈N, 得 b=2,代入由Δ1<0和 Δ2<0组成的不等式组，得 4 -8k+1＜ 0, -2k-3＜ 0且 k∈N,∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2, 使得 (A∪B)∩C= .

2

y 2 2

k x 2

b

2 2 24 12 1bk k b

2

k 2

b2

b2

x2

x

2

1 k2

k

2

k2

k

二、数形结合思想在集合问题中的应用在解决一些集合问题时，求数集常用的方法为数轴法 ,取交并集，如果是点集 ,常常通过画出函数的图象，观察图象的交点以及位置关系来解决问题 .Venn 图法在解决有限集之间的关系时也会经常用到 .

【例 2】向 50名学生调查对 A、 B两事件的态度，有如下结果：赞成 A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成 B的比赞成 A的多 3人，其余的不赞成；另外，对 A、 B 都不赞成的学生数比对 A、 B 都赞成的学生数的三分之一多 1人 , 问 :对 A、 B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

分析 解答本题的关键是考生能由题目中的条件画出 Venn 图，形象地表示出各数量关系间的联系 .

记 50 名学生组成的集合为 U，赞成事件 A的学生全体为集合 A,赞成事件 B的学生全体为集合 B.设对事件 A、 B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、 B 都不赞成的学生人数为 ,赞成 A而不赞成 B的人数为 30－ x，赞成 B而不赞成 A的人数为 33－ x.

解 赞成 A的人数为 50× =30，赞成 B的人数为 30+3=33 ，如图，5

3

依题意 (30－ x)+(33－ x)+x+ +1=50, 解得 x=21.所以对 A、 B 都赞成的同学有 21人，都不赞成的有 8人 .

三、充要条件的理解与判定方法充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 p和结论 q之间的关系 ,力求通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系 .

3

x

【例 3】已知数列 的前 n项和 , 求数列 是等比数列的充要条件 .

an an)1,0( ppqpSn

n

分析 本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性 .以等比数列的判定为主线，本题的关键在于抓住数列前 n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定 .

由关系式 去寻找 与 的比值，但同时要注意充分性的证明 .

)2(

)1(

1

1

n

n

SSSa

nnn

an an 1

解 ,当 n≥2 时， ,

∵p≠0,p≠1,∴ ,

若 为等比数列，则 ,∴ ,

∵p≠0，∴ p-1=p+q，∴ q=－ 1.这是 { }为等比数列的必要条件 .

qpSa 11

)1(1

1

ppSSa

n

nnn

pp

p

ppn

n

)1(

)1(1

an paa

aa

n

n 1

1

2p

qp

pp

)1(

下面证明 q=－ 1 是 为等比数列的充分条件 .

当 q=－ 1 时， , .当 n≥2 时， ,

∴ ∵ 为常数 ,

∴q=－ 1 时，数列 为等比数列 .即数列 是等比数列的充要条件为 q=－ 1. an

an

an

)1,0(1 pppSn

n1

11 pSa

)1(1

1

ppSSa

n

nnn

pan

np

1)1(

pp

p

pp

aa

n

n

n

n

2

1

1 )1(

)1(

na

四、逻辑用语在描述数学问题中的应用 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力而设置的 .关于逻辑用语的知识较为抽象，在高考命题中较少单独考查这一方面知识，更多会作为一种描述数学问题的语言出现 .所以 ,结合实际问题对逻辑用语进行理解是掌握这方面知识的关键 .

分析 首先对命题进行等价转化，然后运用真值表判断题目中复合命题与简单命题的真假关系 .

【例 4】已知 c ＞ 0，设命题 P：函数 为减函数 ;命题 Q：当 时，

函数 恒成立 .如果 P或 Q为真命题， P且 Q为假命题，求 c的取值范围 .

]2,2

1[x

cxxxf

11)(

cx

y

解 由 为减函数 ,得 0 ＜ c＜ 1.

当 时，因为 ,故函数 f(x) 在 上为减函数，在 (1,2］上为增函数 .

故 在 上的最小值为 f(1)=2.

xxf 2

11)(' ]2,

2

1[x

cx

y

]2,2

1[

xxxf

1)( ]2,

2

1[x

当 时 ,由函数 恒成立，

得 , 解得 .

如果 P真，且 Q假，则 0＜ c≤ .

如果 P假，且 Q真，则 c≥1.

所以 c的取值范围为 (0, )∪［ 1,+∞).

]2,2

1[x

cxxxf

11)(

c

12

2

1c

2

1

2

1

1. (2008·浙江 )已知 U=R,A={x|x>0},B={x|x≤-1},则 (A∩ B)∪(B∩ A)=( )A. B. {x|x≤0}C. {x|x>-1}D. {x|x>0或 x≤-1}

UC UC

解析： A={x|x>0}， A={x|x≤0};B={x|x≤-1}, B={x|x>-1}.A∩ B={x|x>0},B∩ A={x|x≤-1},故 (A∩ B)∪(B∩ A)={x|x>0或 x≤-1}.答案： D

UC

2. （ 2008·湖北 )若非空集合 A， B， C 满足 A∪B=C，且 B不是 A的子集，则 ( )A. “x∈C”是“ x∈A”的充分条件但不是必要条件B. “x∈C”是“ x∈A”的必要条件但不是充分条件C. “x∈C”是“ x∈A”的充要条件D. “x∈C”既不是“ x∈A”的充分条件也不是“ x∈A”的必要条件解析： 由集合的运算特点知 x∈A x∈C, 反之不一定成立 .答案： B

UC

UCUCUC

3. (2009·宁夏、海南）有四个关于三角函数的命题：p1: x∈R, ;p2: x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y;p3: x∈ ［ 0,π ］ , =sin x;p4:sin x=cos y x+y= .其中的假命题是 ( )A. p1,p4

B. p2,p4

C. p1,p3

D. p2,p3

2 2 1

2 2 2sin cosx x

1 cos 2

2

x

2

解析： =1恒成立 ,p1错；当 x=y=0时， sin(x-y)=sin x-sin y,p2对；∵ ,当 x∈［ 0,π］时， sin x≥0,∴ =sin x,p3对；当 x= ,y= 时， sin x=cos y成立，但 x+y≠ ,p4错 .答案： A

2 2

2 2sin cosx x

2

3

6

2

21 cos 2

2 sinx

x

1 cos 2

2

x

4. （ 2009·上海）已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a}, 且 A∪B=R,则实数 a的取值范围是 .

解析： A为 (-∞,1］， B为［ a,+∞), 要使 A∪B=R，只需 a≤1.答案： (-∞,1］