Методы вычислений в Методы вычислений в экономическом моделированииэкономическом моделировании

Авторы Коврижных АЮ Конончук ЕА Лузина ГЕ

Кафедра вычислительной математики ГОУ ВПО УрГУ

2007

Методы вычислений в экономическом Методы вычислений в экономическом моделированиимоделировании

Использование математических методов в экономике восходит к работам ФКенэ (laquoЭкономическая таблицаraquo) А Смита (классическая макроэкономическая модель) ДРиккардо (модель международной торговли) Моделированию рыночной экономики посвящены работы ЛВальраса ОКурно ВПарето С применением математических методов связаны работы ВВ Леонтьева РСолоу ПСамуэльсона ДХикса ВС Немчинова ВВ Новожилова ЛВ Канторовича и многих других выдающихся ученых Примерами экономических моделей являются модели фирмы модели экономического роста модели потребительского выбора модели равновесия на финансовых и товарных рынках

Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов Сначала формулируется предмет и цель исследования Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели взаимосвязи между ними существенные факторы отвечающие цели исследования и отбрасывают то что несущественно для решения задачи На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения Именно на завершающем этапе применяются численные методы

В данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравнений систем алгебраических уравнений численного интегрирования и методов решения дифференциальных уравнений

Статические балансовые моделиСтатические балансовые моделиСистемы линейных алгебраических уравнений применяются в макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого хозяйства Цель балансового анализа mdash ответить на вопрос каким должен быть объем производства каждой из отраслей хозяйства чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли Предполагается что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого вида продукции и как потребитель продукции других (в том числе своей) отраслей Процесс производства рассматривается за некоторый период времени например за год

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

niyхxn

jiiji 1

1

Примем следующие обозначения

mdash общий объем продукции i ndash й отрасли (или её валовой объем) i=12hellipn

mdash объем продукции i ndash й отрасли потребляемый j ndash й отраслью в процессе

производства ij=12hellipn

mdash объем продукции i ndash й отрасли предназначенный к потреблению в

непроизводственной сфере (объём конечного потребления) iy

ijх

ix

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

njixx

aj

ijij 1

1

n

i ij j ij

x a x y

12i n

x Ax y

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели( )E A x y

1( )x E A y

0A 0x 1( )E A 2 E A A сходится к матрице

2 21 1 2 2( ) ij i j i j in njA a a a a a a q 1q

3 3( )ijA q Матрица A продуктивна

0y

Некоторые модели экономической динамики

Паутинообразная модель рынка Дифференциальные уравнения в

экономической динамике Модель экономического роста

Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода В настоящем разделе даются два примера такого моделирования Эти примеры являются абстрактными Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

)( )( 1st

dttt

dttt

st qqpdqpsq

)()( 1 tttt pspd

)()( pps Пусть заданы

epcpd )(

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Методы вычислений в экономическом Методы вычислений в экономическом моделированиимоделировании

Использование математических методов в экономике восходит к работам ФКенэ (laquoЭкономическая таблицаraquo) А Смита (классическая макроэкономическая модель) ДРиккардо (модель международной торговли) Моделированию рыночной экономики посвящены работы ЛВальраса ОКурно ВПарето С применением математических методов связаны работы ВВ Леонтьева РСолоу ПСамуэльсона ДХикса ВС Немчинова ВВ Новожилова ЛВ Канторовича и многих других выдающихся ученых Примерами экономических моделей являются модели фирмы модели экономического роста модели потребительского выбора модели равновесия на финансовых и товарных рынках

Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов Сначала формулируется предмет и цель исследования Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели взаимосвязи между ними существенные факторы отвечающие цели исследования и отбрасывают то что несущественно для решения задачи На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения Именно на завершающем этапе применяются численные методы

В данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравнений систем алгебраических уравнений численного интегрирования и методов решения дифференциальных уравнений

Статические балансовые моделиСтатические балансовые моделиСистемы линейных алгебраических уравнений применяются в макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого хозяйства Цель балансового анализа mdash ответить на вопрос каким должен быть объем производства каждой из отраслей хозяйства чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли Предполагается что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого вида продукции и как потребитель продукции других (в том числе своей) отраслей Процесс производства рассматривается за некоторый период времени например за год

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

niyхxn

jiiji 1

1

Примем следующие обозначения

mdash общий объем продукции i ndash й отрасли (или её валовой объем) i=12hellipn

mdash объем продукции i ndash й отрасли потребляемый j ndash й отраслью в процессе

производства ij=12hellipn

mdash объем продукции i ndash й отрасли предназначенный к потреблению в

непроизводственной сфере (объём конечного потребления) iy

ijх

ix

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

njixx

aj

ijij 1

1

n

i ij j ij

x a x y

12i n

x Ax y

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели( )E A x y

1( )x E A y

0A 0x 1( )E A 2 E A A сходится к матрице

2 21 1 2 2( ) ij i j i j in njA a a a a a a q 1q

3 3( )ijA q Матрица A продуктивна

0y

Некоторые модели экономической динамики

Паутинообразная модель рынка Дифференциальные уравнения в

экономической динамике Модель экономического роста

Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода В настоящем разделе даются два примера такого моделирования Эти примеры являются абстрактными Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

)( )( 1st

dttt

dttt

st qqpdqpsq

)()( 1 tttt pspd

)()( pps Пусть заданы

epcpd )(

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Статические балансовые моделиСтатические балансовые моделиСистемы линейных алгебраических уравнений применяются в макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого хозяйства Цель балансового анализа mdash ответить на вопрос каким должен быть объем производства каждой из отраслей хозяйства чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли Предполагается что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого вида продукции и как потребитель продукции других (в том числе своей) отраслей Процесс производства рассматривается за некоторый период времени например за год

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

niyхxn

jiiji 1

1

Примем следующие обозначения

mdash общий объем продукции i ndash й отрасли (или её валовой объем) i=12hellipn

mdash объем продукции i ndash й отрасли потребляемый j ndash й отраслью в процессе

производства ij=12hellipn

mdash объем продукции i ndash й отрасли предназначенный к потреблению в

непроизводственной сфере (объём конечного потребления) iy

ijх

ix

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

njixx

aj

ijij 1

1

n

i ij j ij

x a x y

12i n

x Ax y

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели( )E A x y

1( )x E A y

0A 0x 1( )E A 2 E A A сходится к матрице

2 21 1 2 2( ) ij i j i j in njA a a a a a a q 1q

3 3( )ijA q Матрица A продуктивна

0y

Некоторые модели экономической динамики

Паутинообразная модель рынка Дифференциальные уравнения в

экономической динамике Модель экономического роста

Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода В настоящем разделе даются два примера такого моделирования Эти примеры являются абстрактными Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

)( )( 1st

dttt

dttt

st qqpdqpsq

)()( 1 tttt pspd

)()( pps Пусть заданы

epcpd )(

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

niyхxn

jiiji 1

1

Примем следующие обозначения

mdash общий объем продукции i ndash й отрасли (или её валовой объем) i=12hellipn

mdash объем продукции i ndash й отрасли потребляемый j ndash й отраслью в процессе

производства ij=12hellipn

mdash объем продукции i ndash й отрасли предназначенный к потреблению в

непроизводственной сфере (объём конечного потребления) iy

ijх

ix

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

njixx

aj

ijij 1

1

n

i ij j ij

x a x y

12i n

x Ax y

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели( )E A x y

1( )x E A y

0A 0x 1( )E A 2 E A A сходится к матрице

2 21 1 2 2( ) ij i j i j in njA a a a a a a q 1q

3 3( )ijA q Матрица A продуктивна

0y

Некоторые модели экономической динамики

Паутинообразная модель рынка Дифференциальные уравнения в

экономической динамике Модель экономического роста

Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода В настоящем разделе даются два примера такого моделирования Эти примеры являются абстрактными Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

)( )( 1st

dttt

dttt

st qqpdqpsq

)()( 1 tttt pspd

)()( pps Пусть заданы

epcpd )(

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели

njixx

aj

ijij 1

1

n

i ij j ij

x a x y

12i n

x Ax y

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели( )E A x y

1( )x E A y

0A 0x 1( )E A 2 E A A сходится к матрице

2 21 1 2 2( ) ij i j i j in njA a a a a a a q 1q

3 3( )ijA q Матрица A продуктивна

0y

Некоторые модели экономической динамики

Паутинообразная модель рынка Дифференциальные уравнения в

экономической динамике Модель экономического роста

Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода В настоящем разделе даются два примера такого моделирования Эти примеры являются абстрактными Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

)( )( 1st

dttt

dttt

st qqpdqpsq

)()( 1 tttt pspd

)()( pps Пусть заданы

epcpd )(

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Статические балансовые моделиСтатические балансовые модели( )E A x y

1( )x E A y

0A 0x 1( )E A 2 E A A сходится к матрице

2 21 1 2 2( ) ij i j i j in njA a a a a a a q 1q

3 3( )ijA q Матрица A продуктивна

0y

Некоторые модели экономической динамики

Паутинообразная модель рынка Дифференциальные уравнения в

экономической динамике Модель экономического роста

Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода В настоящем разделе даются два примера такого моделирования Эти примеры являются абстрактными Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

)( )( 1st

dttt

dttt

st qqpdqpsq

)()( 1 tttt pspd

)()( pps Пусть заданы

epcpd )(

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Некоторые модели экономической динамики

Паутинообразная модель рынка Дифференциальные уравнения в

экономической динамике Модель экономического роста

Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода В настоящем разделе даются два примера такого моделирования Эти примеры являются абстрактными Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

)( )( 1st

dttt

dttt

st qqpdqpsq

)()( 1 tttt pspd

)()( pps Пусть заданы

epcpd )(

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

)( )( 1st

dttt

dttt

st qqpdqpsq

)()( 1 tttt pspd

)()( pps Пусть заданы

epcpd )(

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

1 00 0( ) c qp d q

e

1 01 0 0 0( ) ( ) ( ( )) c qq s p p d q

e

0

1 11 1( )

c qcc q ep d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка0

2 1( )

c qceq s p

e

0

1 22 2( )

c qcec

ec qp d q

e e

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Паутинообразная модель рынкаПаутинообразная модель рынка

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Модель экономического роста

)()( tpxtX

)()( tsItx

)()()( tmpxtmXtI

smpktkxtx )()(

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

)()( 0

0

ttsmxxp

dxx

x

0)( 0 )( xpxxxsmpx

)(xpx

dxdpxsmx

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

dpdx

xpxE p )(

1

)(1

xEpxsmx

p

0x

1)( xE p 0x

1)( xE p

спрос эластичен

спрос не эластичен

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Дифференциальные уравнения в Дифференциальные уравнения в экономической динамикеэкономической динамике

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Методы вычислений в финансовых Методы вычислений в финансовых расчетахрасчетах

Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики где требуется применение методов вычислений

Определение уровня процентной ставки

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере Rp денежных единиц (R ndash величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

1 2 1

1 1 1npm m m

p p pR R j R j R jSp p m p m p m

1

1 1 1 111

1 1 1 1

npmp mn

np

m mp p

j jmq R R mS x

q p pj jm m

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Определение уровня процентной Определение уровня процентной ставкиставки

( ) 0S R p m n j

1 1( )

1 1

mn

mp

jR mS R p m n j Sp j

m

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Вычисление наращенных сумм на Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставокоснове непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка характеризующая относительный прирост наращенной суммы Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

0( ) lim

t

Sf tS

0

( ) (0)exp ( )n

S S n S f t dt

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Далее изложен необходимый минимум Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу теоретического материала по курсу laquolaquoЧисленные методыЧисленные методыraquo raquo и рассмотрено и рассмотрено достаточное количество примеров что достаточное количество примеров что поможет студентам в самостоятельной поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных полезно при выполнении лабораторных работ работ

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Численные методыЧисленные методы Погрешность результата численного решения задачи

Основные этапы решения задачи с помощью компьютера Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Погрешность результата численного Погрешность результата численного решения задачирешения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами математическая модель дает приближенное описание задачи неточно заданы исходные данные получение точного результата невозможно тк оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций и поэтому приходится прибегать к приближенному методу при вводе данных в машину при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления

Погрешности соответствующие этим причинам называютbullнеустранимой погрешностьюbullпогрешностью методаbullвычислительной погрешностьюТаким образом полная погрешность результата решения задачи складывается из

неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешностиПроцесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на

несколько этапов Схематично это выглядит так

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Этапы решения задачиЭтапы решения задачи

объект

Неустранимая погрешность

Погрешность метода

Алгоритм

Вычислительное устройство

Математическая модель

результат

Неустранимая погрешность

Вычислительная погрешность

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Задача определения равновесной ценыЗадача определения равновесной ценыДля иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара Пусть спрос задается некоторой функцией

а предложение ndash функцией

Здесь равновесная цена ndash это решение нелинейного уравнения которое находим приближенно Графически решение ndash абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p)

110

p

D(p)

2

2pS(p)

D(p)

S(p)

Естественно эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно коэффициенты тоже даны с некоторой точностью Следствие этого ndash неустранимая погрешность результата решения задачи

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации

где i ndash номер приближения Если p0 = 1 то p1 = 3162278 p2 = 2192045 p3= 2503113 p4 = 2389395 p14 = 2418709 p15 = 2418711 p16 = 2418710 и тд (значения округлены до 6 знаков после запятой)Если процесс закончился вычислением pn то погрешность метода оценивается как |pn ndash p| кроме того при выполнении действий над вещественными числами (деление извлечение корня) возникает вычислительная погрешность Таким образом погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую метода и вычислительную)

120

1

ii p

p

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Абсолютная и относительная погрешностиАбсолютная и относительная погрешности Пусть x - приближенное значение x Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x) для которой справедливо неравенство |x - x|le А(x)Величина Δ(x) удовлетворяющая неравенству |x - x| |x| le Δ(x) называется относительной погрешностью xАбсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x Относительная погрешность ndash величина безразмерная иногда вычисляется в процентах Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением А(x) = |x| Δ(x) Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевойЗначащая цифра называется верной если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда соответствующего этой цифре Остальные цифры называются сомнительнымиТаким образом в числеx = a110n + a210n ndash 1 + hellip +am10n ndash m + 1 цифра ak считается верной если А(x) le 0510n ndash k + 1Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Отделение корнейМетод дихотомииМетод простой итерацииМетод НьютонаМетод хорд

Приближенные методы решения Приближенные методы решения нелинейных уравненийнелинейных уравнений

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Отделение корнейОтделение корней

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2-1

Sin(x)

Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0 Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π π)

Видно что уравнение имеет два корня на (minus1 0) и на (1 2 ) Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами Рассмотрим наиболее эффективные из них

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Метод дихотомииМетод дихотомииПусть мы нашли такие точки Пусть мы нашли такие точки aa и и bb что на отрезке что на отрезке [[aa bb]] лежит единственный лежит единственный корень уравнения Найдем середину отрезка корень уравнения Найдем середину отрезка cc = = ((aa++bb)2)2 и вычислим и вычислим ff((cc)) Из двух Из двух половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки половин отрезка выберем ту на концах которой функция имеет разные знаки тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам тогда корень лежит на этой половине Затем новый отрезок опять делим пополам и тди тдЕсли требуется найти корень с точностью Если требуется найти корень с точностью εε то продолжаем деление пополам до то продолжаем деление пополам до тех пор пока длина отрезка не станет меньше тех пор пока длина отрезка не станет меньше 22εε Тогда середина последнего Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень отрезка даст значение корня с требуемой точностью Дихотомия проста и очень надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций надежна к простому корню она сходится для любых непрерывных функций ff((xx)) при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика при этом она устойчива к ошибкам округления Скорость сходимости невелика за за kk итераций длина отрезка уменьшится в итераций длина отрезка уменьшится в 22kk раза (уточнение трех цифр требует раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций) Погрешность метода на шаге 10 итераций) Погрешность метода на шаге kk оценивается следующим образом оценивается следующим образом где ξ- точное решение уравнениягде ξ- точное решение уравнения xxkk mdash значение одного из концов отрезка на mdash значение одного из концов отрезка на шагешаге к к Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность Дихотомия применяется тогда когда требуется высокая надежность счета а скорость сходимости малосущественнасчета а скорость сходимости малосущественна

-05 0 05 1 15

ca bc1a1 b1

f(x)

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Метод простой итерацииМетод простой итерацииЗаменим уравнение Заменим уравнение ff((xx) = 0) = 0 эквивалентным ему уравнением эквивалентным ему уравнением х х = φ(= φ(хх)) где φ(где φ(хх) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например ) дифференцируемая функция Это можно сделать многими способами например положив положив φ(φ(хх) equiv ) equiv xx + ψ( + ψ(xx))ff((xx)) где ψ(где ψ(xx) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция ) mdash произвольная непрерывная знакопостоянная функция Выберем некоторое нулевое приближение Выберем некоторое нулевое приближение хх00 и вычислим дальнейшие приближения по формулам и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xxnn+1+1 = φ(= φ(xxnn) где ) где nn = 0 1 2 = 0 1 2 (1)(1)Исследуем условия сходимости Если φ(Исследуем условия сходимости Если φ(хх) имеет непрерывную производную то) имеет непрерывную производную то

ххn n + 1+ 1 ξ = φ( ξ = φ(ххnn) ) φ(ξ) = ( φ(ξ) = (ххпп ξ)φ(θ) ξ)φ(θ)где точка θ лежит между точками где точка θ лежит между точками ххnn и ξ Поэтому если всюду и ξ Поэтому если всюду |φ(|φ(хх)| le )| le q q lt 1lt 1 то значения І то значения Іххпп ξІ ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем qq lt 1 и lt 1 и последовательность последовательность ххпп сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу сходится при любом нулевом приближении Если |φ(ξ)| gt 1 то в силу непрерывности |φ(непрерывности |φ(хх)| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации )| больше единицы и в некоторой окрестности корня в этом случае итерации не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(не могут сходиться Если |φ(ξ)| lt 1 но вдали от корня |φ(хх)| gt 1 то итерации сходятся если )| gt 1 то итерации сходятся если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше приближении сходимости может не быть Очевидно что чем меньше qq тем быстрей сходимость тем быстрей сходимость Погрешность метода можно оценить соотношением Погрешность метода можно оценить соотношением ххkk ξ le ξ le qqkkхх00 ξ ξгде ξ точное решение уравнения где ξ точное решение уравнения xxkk значение итерации на шаге значение итерации на шаге kk Тогда количество Тогда количество итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства итераций необходимых для достижения точности ε можно определить из неравенства qqkkхх00 ξ ξ lt εlt ε

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Метод НьютонаМетод НьютонаПусть на Пусть на [[aa bb]] существует единственный корень уравнения существует единственный корень уравнения ff((xx) = 0) = 0 ff((xx) ndash ) ndash функция непрерывная вместе с первой производной на [функция непрерывная вместе с первой производной на [aa bb] Заменим ] Заменим ff((xx) ) линейной функцией линейной функцией ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn)) выражением для касательной в точке выражением для касательной в точке xxnn принадлежащей отрезку [принадлежащей отрезку [aa bb] Тогда точка пересечения графика этой функции с ] Тогда точка пересечения графика этой функции с осью осью OXOX (решение уравнения (решение уравнения ff((xxnn) + ) + ffprime(prime(xxnn)()(x x x xnn) = 0) очередное приближение к ) = 0) очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона решению уравнения по методу Ньютона Отсюда Отсюда (2)(2))(

)( 1n

nn n xf

xf xx

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже

a

x1x2 x0

b

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Теорема Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия1Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a b]2Отрезку [a b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b) lt 0)3Производные f(х) f(х) сохраняют знак на [a b] и f(х) не обращается в 04Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)middotf(х0) ge 0

Тогда последовательностьxn монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0

Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная|xk+1 ξ| le C∙|xk ξ|2где

2

)(max][ bax

C

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Оценка погрешностиОценка погрешности При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образомпусть f(х) m на [a b] это справедливо тк f(х) 0 и она непрерывна на [a b]Из f(xn) f(ξ) = fprime(θ)∙xn ξ следует что

mxf

x nn

)(

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Метод хордМетод хордВ методе Ньютона требуется вычислять производную функции что не всегда

удобно Можно заменить касательную хордой один из концов которой неподвижен

Это прямая проходящая через точки (x0 f(x0)) (xn f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже

)()()()(

0

01 xfxf

xfxxxxn

nnnn

a b

x0x1x2

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Решение задач линейной алгебрыРешение задач линейной алгебры

Точные методы Метод Гаусса Пример

Приближенные методы

Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

в матричной форме Ax = b где A mdash матрица коэффициентов b x mdash столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы точные и приближенные

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Точные методыТочные методы Точными методами называются такие методы которые в предположении что вычисления ведутся точно (без округлений) приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями то и значения неизвестных полученные точным методом неизбежно будут содержать погрешности Если матрица А невырожденная т е det(A) ne 0 то система имеет единственное решение В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда Значения неизвестных xi (i = 1 2 n) могут быть получены по известным формулам Крамера

К точным методам относится например метод Гаусса

)det()det(

AAx i

i

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиПусть a11 ne 0(ведущий элемент) Разделив первое уравнение системы на a11 Пользуясь первым уравнением можно исключить неизвестное х1 из второго третьего и четвертого уравнений системы Далее первое уравнение полученной системы делим на a22

(1) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т д Таким образом исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей

откуда последовательно находим x3 x2 x1

Итак решение системы распадается на два этапапрямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ход определение неизвестных

)4(44

)3(34

)3(343

)2(24

)2(243

)2(232

)1(44

)1(143

)1(132

)1(121

bxbxaxbxaxaxbxaxaxax

Метод ГауссаМетод Гаусса

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

ПримерПример

163310231642

321

321

321

xxxxxxxxx

3288

1001010

2211

78288

26001010

2211

8148

1210

5210

2211

161016

331123412

)3()3()2()2(

)1()1()0()0(

bAbA

bAbA

Методом Гаусса решить систему

Прямой ход реализуется с помощью преобразований

Обратный ход решаем систему с треугольной матрицей начиная с последнего уравнения

3288

1001010

2211

3

2

1

xxx

x3 = 3 x2 = 28 + 10x3 = 2 x1 = 8 05x2 2x3 = 1

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Приближенные методыПриближенные методы

Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример

Приближенными методами называются такие методы которые даже в предположении что вычисления ведутся без округлений позволяют получить решение системы (х1 х2 хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса К приближенным методам относятся метод простой итерации метод Зейделя и др Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Метод простой итерацииМетод простой итерацииПростейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации Система уравнений

Ах = b (1)преобразуется к виду

х = Вх + с (2)и ее решение находится как предел последовательности

x(n + 1) = Вх(п) + с (3)Теорема 2 (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если ||В|| lt 1 то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии (для ||bull|| это условие эквивалентно условию диагонального преобладания матрицы А) Погрешность метода

)1()()(

1

kkk xx

BB

xx

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Метод ЯкобиМетод Якоби

1)(11

)(22

)(11

)1(

2122)(

323)(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

Итерационный процесс будет иметь вид

Можно показать что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы

Диагональное преобладание в матрице А означает что

для любого i = 1 2 hellip n

n

ijj

ijii aa)(

1

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Метод ЗейделяМетод Зейделя Итерационный процесс имеет вид

Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R где L ndash левая треугольная матрица R ndash правая треугольная матрица D ndash диагональная матрица Тогда итерационный процесс можно записать в виде(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b отсюда имеемx(k + 1) = (L+D)minus1 Rx(k) + (L+D)minus1 b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1

1)1(

11)1(

22)1(

11)1(

2122)(

323)1(

122)1(

2

111)(

1)(

313)(

212)1(

1

)(

)()(

nnk

nnnk

nk

nk

n

nnkkk

knn

kkk

abxaxaxax

abxaxaxaxabxaxaxax

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

ПримерПримерИсследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом2x1 x2 + x3 = 33x1 + 5x2 2x3 = 1x1 4x2 + 10x3 = 0Построим итерационный процесс следующим образомx1

(k + 1) = 15 + 05 x2(k) 05 x3

(k)

x2(k + 1) = 02 06 x1

(k + 1) + 04 x3(k)

x3(k + 1) = 01 x1

(k + 1) + 04 x2(k + 1)

Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0λ1 = 0 λ2 3 - комплексные числа по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится

000200

110

1000050002

041003000

RDL

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

ИнтерполяцияИнтерполяцияПусть известны значения некоторой функции f в п + 1 различных точках х0 х1 хп которые обозначим следующим образом f0 f1 fп Эти значения могут быть получены например из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени n

который в точках xi принимает заданные значения т еLn(xi) = fi i = 0 1 п Этот многочлен называется интерполяционным

Точки xi называются узлами интерполяции Интерполяционный многочлен записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа

n

i

iin xa(x)L

0

n

ji ji

jn

iin xx

xxxfxL )()(

0

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Численное интегрированиеЧисленное интегрированиеПостановка задачиФормулы прямоугольниковФормула трапецийФормула СимпсонаПогрешность составных формулПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Постановка задачиПостановка задачи

n

kkk

b

an

b

a

xfAdx(x)Ldxxf0

)( )(

b

a

dxxfI )(Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f(x) непрерывная на [a b] функция Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу которая называется квадратурной

где xkndash узлы интерполяцииAkndash коэффициенты квадратурной формулы называемые весамизависящие только от выбранных узлов но не от вида функции f(x)Обозначим через R[f] ndash погрешность или остаточный член формулы тогда

Таким образом где

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой

b

an dxxLxffR ))()((][

n

kkk

b

a

xfAdxxf0

)()( dxxxxxA

b

a ik ik

ik

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Формулы прямоугольниковФормулы прямоугольниковЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа нулевой степени с

одним узлом x0 ndash константой f(x0) Тогда искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a

В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулыФормула левых прямоугольников (x0 = a)Формула правых прямоугольников (x0 = b)Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)2)

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Формула левых прямоугольниковФормула левых прямоугольников

b

a

afabdxxf )()()(

2)()(max][

2

][

abxffRba

Геометрический смысл формулы левых прямоугольников

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Формула правых прямоугольниковФормула правых прямоугольников

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Геометрический смысл формулы правых прямоугольников

24)()(max][

3

][

abxffRba

b

a

bfabdxxf )()()(

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Формула средних прямоугольниковФормула средних прямоугольников

Геометрический смысл формулы средних прямоугольников

b

a

bafabdxxf )2

()()(

24)()(max][

3

][

abxffRba

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Формула трапецийФормула трапецийЗаменим функцию на отрезке [a b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a x1 = b Графически это соответствует замене кривой на секущую Таким образом искомый интеграл равный площади криволинейной трапеции будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a и основаниями f(a) и f(b) Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций

12)()(max][

3

][

abxffRba

))()((2

)( bfafabdxxfb

a

Геометрический смысл формулы трапеций

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Формула СимпсонаФормула СимпсонаФормула Симпсона (формула парабол) может быть получена

при интерполировании по трем узлам x0 = a x1 = (a+b)2 x2 = b

Она имеет вид

Погрешность вычисляется по формуле

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

2880)()(max][

5)4(

][

abxffRba

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Погрешность составных формулПогрешность составных формулРассмотренные формулы называют простыми На практике поскольку длина отрезка [a b] может быть велика пользуются составными формулами с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью Для получения этих формул разобьем отрезок [a b] узлами a = x0 lt x1 lt x2 lt hellip ltxn = b предположим что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними узлами равно h Тогда Для вычисления интеграла по каждому отрезку [xi - 1 xi] применим какую-либо простую формулу Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формулФормула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула средних прямоугольников

Формула трапеций

2)()(max][)()(

][

1

0

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

2

)()(max][)()(][

1

habxffRxfhdxxfba

n

ii

b

a

24)()(max][)

2()(

2

][1

1 habxffRxx

fhdxxfba

n

i

iib

a

12

)()(max][)(2

)()()(2

][

1

1

habxffRxfbfafhdxxfba

n

ii

b

a

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Составная формула СимпсонаСоставная формула СимпсонаВ этих формулах

Составная формула Симпсона

Здесь

Легко получить выражение для погрешности

nabh

))()(4)(2

)(2)(4)((6

)(

212

12

10

nnn

b

a

xfxfxf

xfxfxfhdxxf

221

hxx ii

2880)()(max][

4)4(

][

habxffRba

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

ПримерПримерВычислить по формулам левых прямоугольников трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

Точное значение этого интеграла равно 1

Sлев прям =

Sтрапеций =

SСимпсона =

2

0

sin

xdxI

05553604πsin

22πsin0sin

4π

94805904πsin

22πsin0sin

4π

10001352πsin

8π3sin4

4πsin2

8πsin40sin

24π

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Численное решение задачи КошиЧисленное решение задачи Коши

Постановка задачиМетоды основанные на разложении ре

шения в ряд ТейлораМетоды Рунге - Кутты Разностные методыПример

Постановка задачиПостановка задачи

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка найти решение уравнения y = f(x y) на отрезке [x0 x0 + L] удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0 (1)Если функция f(xy) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в некоторой окрестности начальной точки x0 то можно указать такой отрезок [x0 x0 + L] на котором решение задачи существует и единственно Численные методы позволяют приближенно вычислить искомое решение y(x) в некоторых точках xi [x0 x0 +L] Решение ищется в виде последовательности значений y0 y1 y2 yn где yi ndash приближенное значение точного решения y(x) в точке xi

Методы основанные на разложении Методы основанные на разложении решения в ряд Тейлорарешения в ряд Тейлора

Пусть f(x y) имеет в рассматриваемой области непрерывные и ограниченные частные производные Тогда можно записать для решения (1) разложение в ряд Тейлора

где y(x0) = f(x0 y0) y(x0 ) = fx(x0 y0) + fy(x0 y0)f(x0 y0)и тд Оборвем разложение на слагаемом содержащем (x minus x0)kМожно записать приближенное равенство

)(

)()(

2 0

)(2

00

000

kk

xxk

yxx

)(xy

)x)(x(xy yy(x)

ik i

xxixyxy )()()( 0

0

)(0

Возьмем k = 1 Полученный метод имеет вид yj+1 = yj + h f(xj yj) и называется методом Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера представлена на рисунке

Геометрическая интерпретация метода Геометрическая интерпретация метода ЭйлераЭйлера

xk

yk

xk+1

yk+1

y(xk+1)

Методы Рунге ndash КуттыМетоды Рунге ndash Кутты

Пусть известно значение решения задачи (1) в некоторой точке x и требуется вычислить его в точке x + h Справедливо следующее равенство (1)

если вычислять по формуле трапеций то

Заменяя в этой формуле неизвестное y(x+h) приближенным значением полученным по методу Эйлера получим метод Эйлера с пересчетом

dttxyxyhxyh

)()()(0

dttxyh

)(0

)()))(()((2

)()( 3hOhxyhxfyxfhxyhxy

)))(()((2 11 hyxfyxfyxfhyy jjjjjjjj

Если вычислять по формуле средних прямоугольников то получим метод Коши ))(

2

2(1 jjjjjj yxfhyhxhfyy

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге ndash Кутты второго порядка общий вид которых

yi+1 = yi + P1k1 + P2k2 где k1 = hf(xi yi) k2 = hf(xi

+ h yi + k1)Параметры P1 P2 находят из условия совпадения разложения в ряд точного

и приближенного решения до слагаемого порядка О(h3) Выполнение этого требования достигается если P2 = P2 = 05 P1 + P2 = 1

Таким образом методу Эйлера с пересчетом соответствуют значения = = 1 P1 = P2 = 05

а методу Коши значения = = 05 P1 = 0 P2 = 1Наиболее часто используется метод Рунге ndash Кутты четвертого порядка точности

этом методе yi minus приближенные значения y(xi) вычисляются по формуламyi + 1 = yi + yi yi = (K1

(i) + 2K2(i) + 2K3

(i) + K4(i))6 где

K1(i) = hf(xi yi) K2

(i) = hf(xi + h2 yi + K1(i)2) K3

(i) = hf(xi + h2 yi + K2(i) 2)

K4(i) = hf(xi + h yi + K3

(i))Одношаговая погрешность этого метода О(h5) Погрешность на всем

промежутке О(h4)

Разностные методыРазностные методыПусть известны значения ym - k ym ndash k + 1 ym в равноотстоящих узлах xm - i i = 0 1 k так что xm ndash i + 1 = xm - i + h Для функции f(x y(x)) по значениям fm - i= f(xm - i ym - i) i = 0 1 k можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени k Заменив в интегральном представлении уравнения (1)подынтегральную функцию f(x y(x)) интерполяционным многочленом Lk (x) получим формулу метода Адамса O(h3) O(h4) O(h5)

k

iimimlm fhyy

0

]3[

2 11 mmmm ffhyy

]51623[12 211 mmmmm fffhyy

]9375955[24

321 1 mmmmmm ffffhyy

ПримерПримерДана задача Коши

Найти приближенные значения решения в точках 01 02 03 по методу Эйлера Эйлера с пересчетом и по методу Коши сравнить с точным решением Проиллюстрировать графическиНайдем точное решение этой задачи

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера по методу Эйлера c пересчетом методу Коши в точках 01 02 03 y(0) = y0 = 2 для каждого метода Чтобы сравнить результаты занесем их в таблицу

2 y(0)1x

3yy

3)1(2

x

y

x ТочноеМетод Эйлера

Метод Эйлера с пересчетом

Метод Коши

0 2 2 2 2

01 1503 14 1509 1514

02 1157 1018 1166 1173

03 091 0764 0919 0927

По таблице можно построить следующий график

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04

Точное

Метод Эйлера

Метод Эйлера спересчетомМетод Коши

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

Методы основанные на разложении Методы основанные на разложении решения в ряд Тейлорарешения в ряд Тейлора

Пусть f(x y) имеет в рассматриваемой области непрерывные и ограниченные частные производные Тогда можно записать для решения (1) разложение в ряд Тейлора

где y(x0) = f(x0 y0) y(x0 ) = fx(x0 y0) + fy(x0 y0)f(x0 y0)и тд Оборвем разложение на слагаемом содержащем (x minus x0)kМожно записать приближенное равенство

)(

)()(

2 0

)(2

00

000

kk

xxk

yxx

)(xy

)x)(x(xy yy(x)

ik i

xxixyxy )()()( 0

0

)(0

Возьмем k = 1 Полученный метод имеет вид yj+1 = yj + h f(xj yj) и называется методом Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера представлена на рисунке

Геометрическая интерпретация метода Геометрическая интерпретация метода ЭйлераЭйлера

xk

yk

xk+1

yk+1

y(xk+1)

Методы Рунге ndash КуттыМетоды Рунге ndash Кутты

Пусть известно значение решения задачи (1) в некоторой точке x и требуется вычислить его в точке x + h Справедливо следующее равенство (1)

если вычислять по формуле трапеций то

Заменяя в этой формуле неизвестное y(x+h) приближенным значением полученным по методу Эйлера получим метод Эйлера с пересчетом

dttxyxyhxyh

)()()(0

dttxyh

)(0

)()))(()((2

)()( 3hOhxyhxfyxfhxyhxy

)))(()((2 11 hyxfyxfyxfhyy jjjjjjjj

Если вычислять по формуле средних прямоугольников то получим метод Коши ))(

2

2(1 jjjjjj yxfhyhxhfyy

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге ndash Кутты второго порядка общий вид которых

yi+1 = yi + P1k1 + P2k2 где k1 = hf(xi yi) k2 = hf(xi

+ h yi + k1)Параметры P1 P2 находят из условия совпадения разложения в ряд точного

и приближенного решения до слагаемого порядка О(h3) Выполнение этого требования достигается если P2 = P2 = 05 P1 + P2 = 1

Таким образом методу Эйлера с пересчетом соответствуют значения = = 1 P1 = P2 = 05

а методу Коши значения = = 05 P1 = 0 P2 = 1Наиболее часто используется метод Рунге ndash Кутты четвертого порядка точности

этом методе yi minus приближенные значения y(xi) вычисляются по формуламyi + 1 = yi + yi yi = (K1

(i) + 2K2(i) + 2K3

(i) + K4(i))6 где

K1(i) = hf(xi yi) K2

(i) = hf(xi + h2 yi + K1(i)2) K3

(i) = hf(xi + h2 yi + K2(i) 2)

K4(i) = hf(xi + h yi + K3

(i))Одношаговая погрешность этого метода О(h5) Погрешность на всем

промежутке О(h4)

Разностные методыРазностные методыПусть известны значения ym - k ym ndash k + 1 ym в равноотстоящих узлах xm - i i = 0 1 k так что xm ndash i + 1 = xm - i + h Для функции f(x y(x)) по значениям fm - i= f(xm - i ym - i) i = 0 1 k можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени k Заменив в интегральном представлении уравнения (1)подынтегральную функцию f(x y(x)) интерполяционным многочленом Lk (x) получим формулу метода Адамса O(h3) O(h4) O(h5)

k

iimimlm fhyy

0

]3[

2 11 mmmm ffhyy

]51623[12 211 mmmmm fffhyy

]9375955[24

321 1 mmmmmm ffffhyy

ПримерПримерДана задача Коши

Найти приближенные значения решения в точках 01 02 03 по методу Эйлера Эйлера с пересчетом и по методу Коши сравнить с точным решением Проиллюстрировать графическиНайдем точное решение этой задачи

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера по методу Эйлера c пересчетом методу Коши в точках 01 02 03 y(0) = y0 = 2 для каждого метода Чтобы сравнить результаты занесем их в таблицу

2 y(0)1x

3yy

3)1(2

x

y

x ТочноеМетод Эйлера

Метод Эйлера с пересчетом

Метод Коши

0 2 2 2 2

01 1503 14 1509 1514

02 1157 1018 1166 1173

03 091 0764 0919 0927

По таблице можно построить следующий график

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04

Точное

Метод Эйлера

Метод Эйлера спересчетомМетод Коши

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

Геометрическая интерпретация метода Геометрическая интерпретация метода ЭйлераЭйлера

xk

yk

xk+1

yk+1

y(xk+1)

Методы Рунге ndash КуттыМетоды Рунге ndash Кутты

Пусть известно значение решения задачи (1) в некоторой точке x и требуется вычислить его в точке x + h Справедливо следующее равенство (1)

если вычислять по формуле трапеций то

Заменяя в этой формуле неизвестное y(x+h) приближенным значением полученным по методу Эйлера получим метод Эйлера с пересчетом

dttxyxyhxyh

)()()(0

dttxyh

)(0

)()))(()((2

)()( 3hOhxyhxfyxfhxyhxy

)))(()((2 11 hyxfyxfyxfhyy jjjjjjjj

Если вычислять по формуле средних прямоугольников то получим метод Коши ))(

2

2(1 jjjjjj yxfhyhxhfyy

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге ndash Кутты второго порядка общий вид которых

yi+1 = yi + P1k1 + P2k2 где k1 = hf(xi yi) k2 = hf(xi

+ h yi + k1)Параметры P1 P2 находят из условия совпадения разложения в ряд точного

и приближенного решения до слагаемого порядка О(h3) Выполнение этого требования достигается если P2 = P2 = 05 P1 + P2 = 1

Таким образом методу Эйлера с пересчетом соответствуют значения = = 1 P1 = P2 = 05

а методу Коши значения = = 05 P1 = 0 P2 = 1Наиболее часто используется метод Рунге ndash Кутты четвертого порядка точности

этом методе yi minus приближенные значения y(xi) вычисляются по формуламyi + 1 = yi + yi yi = (K1

(i) + 2K2(i) + 2K3

(i) + K4(i))6 где

K1(i) = hf(xi yi) K2

(i) = hf(xi + h2 yi + K1(i)2) K3

(i) = hf(xi + h2 yi + K2(i) 2)

K4(i) = hf(xi + h yi + K3

(i))Одношаговая погрешность этого метода О(h5) Погрешность на всем

промежутке О(h4)

Разностные методыРазностные методыПусть известны значения ym - k ym ndash k + 1 ym в равноотстоящих узлах xm - i i = 0 1 k так что xm ndash i + 1 = xm - i + h Для функции f(x y(x)) по значениям fm - i= f(xm - i ym - i) i = 0 1 k можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени k Заменив в интегральном представлении уравнения (1)подынтегральную функцию f(x y(x)) интерполяционным многочленом Lk (x) получим формулу метода Адамса O(h3) O(h4) O(h5)

k

iimimlm fhyy

0

]3[

2 11 mmmm ffhyy

]51623[12 211 mmmmm fffhyy

]9375955[24

321 1 mmmmmm ffffhyy

ПримерПримерДана задача Коши

Найти приближенные значения решения в точках 01 02 03 по методу Эйлера Эйлера с пересчетом и по методу Коши сравнить с точным решением Проиллюстрировать графическиНайдем точное решение этой задачи

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера по методу Эйлера c пересчетом методу Коши в точках 01 02 03 y(0) = y0 = 2 для каждого метода Чтобы сравнить результаты занесем их в таблицу

2 y(0)1x

3yy

3)1(2

x

y

x ТочноеМетод Эйлера

Метод Эйлера с пересчетом

Метод Коши

0 2 2 2 2

01 1503 14 1509 1514

02 1157 1018 1166 1173

03 091 0764 0919 0927

По таблице можно построить следующий график

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04

Точное

Метод Эйлера

Метод Эйлера спересчетомМетод Коши

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

Методы Рунге ndash КуттыМетоды Рунге ndash Кутты

Пусть известно значение решения задачи (1) в некоторой точке x и требуется вычислить его в точке x + h Справедливо следующее равенство (1)

если вычислять по формуле трапеций то

Заменяя в этой формуле неизвестное y(x+h) приближенным значением полученным по методу Эйлера получим метод Эйлера с пересчетом

dttxyxyhxyh

)()()(0

dttxyh

)(0

)()))(()((2

)()( 3hOhxyhxfyxfhxyhxy

)))(()((2 11 hyxfyxfyxfhyy jjjjjjjj

Если вычислять по формуле средних прямоугольников то получим метод Коши ))(

2

2(1 jjjjjj yxfhyhxhfyy

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге ndash Кутты второго порядка общий вид которых

yi+1 = yi + P1k1 + P2k2 где k1 = hf(xi yi) k2 = hf(xi

+ h yi + k1)Параметры P1 P2 находят из условия совпадения разложения в ряд точного

и приближенного решения до слагаемого порядка О(h3) Выполнение этого требования достигается если P2 = P2 = 05 P1 + P2 = 1

Таким образом методу Эйлера с пересчетом соответствуют значения = = 1 P1 = P2 = 05

а методу Коши значения = = 05 P1 = 0 P2 = 1Наиболее часто используется метод Рунге ndash Кутты четвертого порядка точности

этом методе yi minus приближенные значения y(xi) вычисляются по формуламyi + 1 = yi + yi yi = (K1

(i) + 2K2(i) + 2K3

(i) + K4(i))6 где

K1(i) = hf(xi yi) K2

(i) = hf(xi + h2 yi + K1(i)2) K3

(i) = hf(xi + h2 yi + K2(i) 2)

K4(i) = hf(xi + h yi + K3

(i))Одношаговая погрешность этого метода О(h5) Погрешность на всем

промежутке О(h4)

Разностные методыРазностные методыПусть известны значения ym - k ym ndash k + 1 ym в равноотстоящих узлах xm - i i = 0 1 k так что xm ndash i + 1 = xm - i + h Для функции f(x y(x)) по значениям fm - i= f(xm - i ym - i) i = 0 1 k можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени k Заменив в интегральном представлении уравнения (1)подынтегральную функцию f(x y(x)) интерполяционным многочленом Lk (x) получим формулу метода Адамса O(h3) O(h4) O(h5)

k

iimimlm fhyy

0

]3[

2 11 mmmm ffhyy

]51623[12 211 mmmmm fffhyy

]9375955[24

321 1 mmmmmm ffffhyy

ПримерПримерДана задача Коши

Найти приближенные значения решения в точках 01 02 03 по методу Эйлера Эйлера с пересчетом и по методу Коши сравнить с точным решением Проиллюстрировать графическиНайдем точное решение этой задачи

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера по методу Эйлера c пересчетом методу Коши в точках 01 02 03 y(0) = y0 = 2 для каждого метода Чтобы сравнить результаты занесем их в таблицу

2 y(0)1x

3yy

3)1(2

x

y

x ТочноеМетод Эйлера

Метод Эйлера с пересчетом

Метод Коши

0 2 2 2 2

01 1503 14 1509 1514

02 1157 1018 1166 1173

03 091 0764 0919 0927

По таблице можно построить следующий график

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04

Точное

Метод Эйлера

Метод Эйлера спересчетомМетод Коши

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

Если вычислять по формуле средних прямоугольников то получим метод Коши ))(

2

2(1 jjjjjj yxfhyhxhfyy

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге ndash Кутты второго порядка общий вид которых

yi+1 = yi + P1k1 + P2k2 где k1 = hf(xi yi) k2 = hf(xi

+ h yi + k1)Параметры P1 P2 находят из условия совпадения разложения в ряд точного

и приближенного решения до слагаемого порядка О(h3) Выполнение этого требования достигается если P2 = P2 = 05 P1 + P2 = 1

Таким образом методу Эйлера с пересчетом соответствуют значения = = 1 P1 = P2 = 05

а методу Коши значения = = 05 P1 = 0 P2 = 1Наиболее часто используется метод Рунге ndash Кутты четвертого порядка точности

этом методе yi minus приближенные значения y(xi) вычисляются по формуламyi + 1 = yi + yi yi = (K1

(i) + 2K2(i) + 2K3

(i) + K4(i))6 где

K1(i) = hf(xi yi) K2

(i) = hf(xi + h2 yi + K1(i)2) K3

(i) = hf(xi + h2 yi + K2(i) 2)

K4(i) = hf(xi + h yi + K3

(i))Одношаговая погрешность этого метода О(h5) Погрешность на всем

промежутке О(h4)

Разностные методыРазностные методыПусть известны значения ym - k ym ndash k + 1 ym в равноотстоящих узлах xm - i i = 0 1 k так что xm ndash i + 1 = xm - i + h Для функции f(x y(x)) по значениям fm - i= f(xm - i ym - i) i = 0 1 k можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени k Заменив в интегральном представлении уравнения (1)подынтегральную функцию f(x y(x)) интерполяционным многочленом Lk (x) получим формулу метода Адамса O(h3) O(h4) O(h5)

k

iimimlm fhyy

0

]3[

2 11 mmmm ffhyy

]51623[12 211 mmmmm fffhyy

]9375955[24

321 1 mmmmmm ffffhyy

ПримерПримерДана задача Коши

Найти приближенные значения решения в точках 01 02 03 по методу Эйлера Эйлера с пересчетом и по методу Коши сравнить с точным решением Проиллюстрировать графическиНайдем точное решение этой задачи

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера по методу Эйлера c пересчетом методу Коши в точках 01 02 03 y(0) = y0 = 2 для каждого метода Чтобы сравнить результаты занесем их в таблицу

2 y(0)1x

3yy

3)1(2

x

y

x ТочноеМетод Эйлера

Метод Эйлера с пересчетом

Метод Коши

0 2 2 2 2

01 1503 14 1509 1514

02 1157 1018 1166 1173

03 091 0764 0919 0927

По таблице можно построить следующий график

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04

Точное

Метод Эйлера

Метод Эйлера спересчетомМетод Коши

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

Разностные методыРазностные методыПусть известны значения ym - k ym ndash k + 1 ym в равноотстоящих узлах xm - i i = 0 1 k так что xm ndash i + 1 = xm - i + h Для функции f(x y(x)) по значениям fm - i= f(xm - i ym - i) i = 0 1 k можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени k Заменив в интегральном представлении уравнения (1)подынтегральную функцию f(x y(x)) интерполяционным многочленом Lk (x) получим формулу метода Адамса O(h3) O(h4) O(h5)

k

iimimlm fhyy

0

]3[

2 11 mmmm ffhyy

]51623[12 211 mmmmm fffhyy

]9375955[24

321 1 mmmmmm ffffhyy

ПримерПримерДана задача Коши

Найти приближенные значения решения в точках 01 02 03 по методу Эйлера Эйлера с пересчетом и по методу Коши сравнить с точным решением Проиллюстрировать графическиНайдем точное решение этой задачи

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера по методу Эйлера c пересчетом методу Коши в точках 01 02 03 y(0) = y0 = 2 для каждого метода Чтобы сравнить результаты занесем их в таблицу

2 y(0)1x

3yy

3)1(2

x

y

x ТочноеМетод Эйлера

Метод Эйлера с пересчетом

Метод Коши

0 2 2 2 2

01 1503 14 1509 1514

02 1157 1018 1166 1173

03 091 0764 0919 0927

По таблице можно построить следующий график

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04

Точное

Метод Эйлера

Метод Эйлера спересчетомМетод Коши

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

ПримерПримерДана задача Коши

Найти приближенные значения решения в точках 01 02 03 по методу Эйлера Эйлера с пересчетом и по методу Коши сравнить с точным решением Проиллюстрировать графическиНайдем точное решение этой задачи

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера по методу Эйлера c пересчетом методу Коши в точках 01 02 03 y(0) = y0 = 2 для каждого метода Чтобы сравнить результаты занесем их в таблицу

2 y(0)1x

3yy

3)1(2

x

y

x ТочноеМетод Эйлера

Метод Эйлера с пересчетом

Метод Коши

0 2 2 2 2

01 1503 14 1509 1514

02 1157 1018 1166 1173

03 091 0764 0919 0927

По таблице можно построить следующий график

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04

Точное

Метод Эйлера

Метод Эйлера спересчетомМетод Коши

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

По таблице можно построить следующий график

0

05

1

15

2

25

0 01 02 03 04

Точное

Метод Эйлера

Метод Эйлера спересчетомМетод Коши

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

Метод наименьших квадратовМетод наименьших квадратовМетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII ndash начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями

1 число точек в которых проводятся измерения обычно бывает достаточно большим

2 значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразнымВ методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1 хn которые обозначим следующим образом f1 fn в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 φ2 φm m le n

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

i = 1 m

(x)ax i

m

iim φ)(

1

2

1 1

))φ( ki

n

k

m

iik (xafF

коэффициенты которого подберем так чтобы значение было минимальным

Построим обобщенный многочлен

n

kkikjij xxxx

1

)()()()(

Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1 хn

)(=)(1

ii

m

jjj fa

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

ПримерПримерi xi yi

1 0 02 05 0253 1 1

Сеточная функция задана таблицей

121)(Ф x x

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратовВ рассматриваемом случае имеем n = 2 m = 1 φ1(x) = 1 φ2(x) = xЗдесь (φ1 φ1) = 3 (φ2 φ2 ) = 125 (φ1 φ2 ) = (φ2 φ1 ) = 15Таким образом для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений3a1 + 15a2 = 12515a1 + 125a2 = 1125В результате ее решения получим тогда

1 121

21 aa

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке

0

025

05

075

1

0 05 1

сеточная функция МНК- приближение

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70

ЛитератураЛитература1 Бахвалов Н С Жидков Н П Кобельков Г М Численные методы

М БИНОМ 20062 Вержбицкий В М Численные методы М ОНИКС 21 век 20053 Костомаров Д П Фаворский А П Вводные лекции по численные

методам М Логос 20044 Киреев В И Пантелеев А В Численные методы в примерах и

задачах М Высшая школа 20045 Бахвалов Н С Лапин А В Чижонков Е В Численные методы в

задачах и упражнениях М Высшая школа2000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70