第四节 系统聚类分析方法 聚类要素的数据处理 距离的计算 直接聚类法 最短距离聚类法 最远距离聚类法 系统聚类法计算类之间距离的统一公式 系统聚类分析实例

一、聚类要素的数据处理 在聚类分析中，聚类要素的选择是十分重要

的，它直接影响分类结果的准确性和可靠性。 在地理分类和分区研究中，被聚类的对象常

常是多个要素构成的。不同要素的数据往往具有不同的单位和量纲，其数值的变异可能是很大的，这就会对分类结果产生影响。因此当分类要素的对象确定之后，在进行聚类分析之前，首先要对聚类要素进行数据处理。

要 素

聚 类 对 象

假设有 m 个聚类的对象，每一个聚类对象都有个要素构成。它们所对应的要素数据可用 3.4.1给出。

m

i

21

mnmjmm

inijii

nj

nj

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

,,

,,

,,,,

21

21

222221

111211

nj xxxx ,,21

表 3.4.1 聚类对象与要素数据

在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有如下几种 :

① 总和标准化。分别求出各聚类要素所对应的数据的总和，以各要素的数据除以该要素的数据的总和，即

这种标准化方法所得到的新数据满足),,2,1;,,2,1(

1

njmix

xx m

iij

ijij

（ 3.4.1 ）

m

iij njx

1

),,2,1(1

② 标准差标准化，即

由这种标准化方法所得到的新数据，各要素的平均值为 0 ，标准差为 1 ，即有

),,2,1;,,2,1( njmis

xxx

j

jijij

（ 3.4.2 ）

1)(1011

2

1

m

ijijj

m

iijj xx

msx

mx

③ 极大值标准化，即

经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1 ，其余各数值小于 1 。

④ 极差的标准化，即

经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1 ，极小值为 0 ，其余的数值均在 0 与 1 之间。

),,2,1;,,2,1(}{max

njmix

xx

iji

ijij

（ 3.4.3 ）

),,2,1;,,2,1(

minmax

minnjmi

xx

xxx

ijiiji

ijiij

ij

（ 3.4.4 ）

例题 : 表 3.4.2 给出了某地区九个农业区的七项指标，它们经过极差标准化处理后，如表 3.4.3 所示。 表 3.4.2 某地区九个农业区的七项经济指标数据

区代号 人均耕地X1（ hm2/ 人）

劳均耕地X2（ hm2/ 个）

水田比重X3（ % ）

复种指数x4（ % ）

粮食亩产x5 （ kg/ hm2 ）

人均粮食x6（ kg/ 人）

稻谷占粮食比重 x7（ % ）G1 0.294 1.093 5.63 113.6 4510.5 1036.4 12.2

G2 0.315 0.971 0.39 95.1 2773.5 683.7 0.85

G3 0.123 0.316 5.28 148.5 6934.5 611.1 6.49

G4 0.179 0.527 0.39 111 4458 632.6 0.92

G5 0.081 0.212 72.04 217.8 12249 791.1 80.38

G6 0.082 0.211 43.78 179.6 8973 636.5 48.17

G7 0.075 0.181 65.15 194.7 10689 634.3 80.17

G8 0.293 0.666 5.35 94.9 3679.5 771.7 7.8

G9 0.167 0.414 2.9 94.8 4231.5 574.6 1.17

表 3.4.3 极差标准化处理后的数据x1 x2 x3 x4 X5 X6 X7

G1 0.91 1.00 0.07 0.15 0.18 1.00 0.14

G2 1.00 0.87 0.00 0.00 0.00 0.24 0.00

G3 0.20 0.15 0.07 0.44 0.44 0.08 0.07

G4 0.44 0.38 0.00 0.13 0.18 0.13 0.00

G5 0.03 0.03 1.00 1.00 1.00 0.45 1.00

G6 0.03 0.03 0.61 0.69 0.65 0.13 0.59

G7 0.00 0.00 0.90 0.81 0.84 0.13 1.00

G8 0.91 0.53 0.07 0.00 0.10 0.43 0.09

G9 0.38 0.26 0.04 0.00 0.15 0.00 0.00

二、距离的计算 常见的距离有 ① 绝对值距离 ② 欧氏距离

③ 明科夫斯基距离

),,2,1,(1

mjixxdn

ijkikij

（ 3.4.5 ）

),,2,1,()(1

2 mjixxdn

kjkikij

（ 3.4.6 ）

),,2,1,(

1

1

mjixxdpn

k

p

jkikij

（ 3.4.7 ）

④ 切比雪夫距离。当明科夫斯基距 时，有

据表 3.4.3 中的数据，用公式（ 3.4.5 ）式计算可

得九个农业区之间的绝对值距离矩阵如下：

),,2,1,(max mjixxd jkikkij （ 3.4.8 ）

040.132.306.384.451.020.166.162.2003.596.314.529.124.288.032.1

007.183.006.493.253.579.5078.199.286.146.472.4

077.464.302.686.5023.147.119.2

070.210.3052.1

0

)( 99ijdD（ 3.4.9 ）

p

三、直接聚类法 原理：先把各个分类对象单独视为一类，然后

根据距离最小的原则，依次选出一对分类对象，并成新类。如果其中一个分类对象已归于一类，则把另一个也归入该类；如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类。每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行。经过 m-1 次就可以把全部分类对象归为一类，这样就可以根据归并的先后顺序作出聚类谱系图。

例：根据距离矩阵式（ 3.4.9），用直接聚类法对某地区的九个农业区进行聚类分析 , 步骤如下 :

① 在距离矩阵 D 中，除去对角线元素以外， d49=

d94=0.51 为最小者，故将第 4 区与第 9 区并为一类，划去第 9 行和第 9 列；

② 在余下的元素中，除对角线元素以外， d75= d57

=0.83 为最小者，故将第 5 区与第 7 区并为一类，划掉第 7 行和第 7 列；

③ 在第二步之后余下的元素之中，除对角线元素以外， d82= d28=0.88 为最小者，故将第 2 区与第 8 区并为一类，划去第 8 行和第 8 列；

④ 在第三步之后余下的元素中，除对角线元素以外， d43= d34=1.23 为最小者，故将第3 区与第 4 区并为一类，划去第 4 行和第 4列，此时，第 3 、 4 、 9 区已归并为一类；

⑤ 在第四步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d21= d12=1.52 为最小者，故将第 1 区与第 2 区并为一类，划去第 2 行和第 2 列，此时，第 1 、 2 、 8区已归并为一类；

⑥ 在第五步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d65= d56=1.78 为最小者，故将第 5 区与第 6 区并为一类，划去第 6 行和第 6 列，此时，第 5 、 6 、 7区已归并为一类；

⑦ 在第六步之后余下的元素中，除对角线元素以外， d31= d13=3.10 为最小者，故将第 1 区与第 3 区并为一类，划去第 3 行和第 3 列，此时，第 1 、 2 、 3 、 4 、 8 、 9 区已归并为一类；

⑧ 在第七步之后余下的元素中，除去对角线元素以外，只有 d51= d15=5.86 ，故将第 1 区与第5 区并为一类，划去第 5 行和第 5 列，此时，第 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、区均归并为一类；

根据上述步骤，可以作出聚类过程的谱系图（图 3.4.1 ）。

图 3.4.1 直接聚类谱系图

四、最短距离聚类法 原理：最短距离聚类法，是在原来的 m×m 距

离矩阵的非对角元素中找出 ，把分类对象 Gp 和 Gq 归并为一新类 Gr ，然后按计算公式

计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一个新的（ m － 1 ）阶的距离矩阵； 再从新的距离矩阵中选出最小者 dij ，把 Gi 和 Gj 归并成新类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去，直至各分类对象被归为一类为止。

),(},min{ qpkddd qkpkrk （ 3.3.10 ）

}min{ ijpq dd

例题： 以下根据式（ 3.3.9）中的距离矩阵，用最短

距离聚类法对某地区的九个农业区进行聚类分析。

① 在 9×9 阶距离矩阵 D 中，非对角元素中最小者是 d94=0.51 ，首先将第 4 区与第 9 区并为一类，记为即 G10= ｛ G4 ， G9 ｝。按照公式（ 3.

3.10 ）式分别计算 G1 ， G2 ， G3 ， G5 ， G6 ，G7 ， G8 与 G10 之间的距离得：

d1 ， 10=min ｛ d14 ， d19 ｝ = min ｛ 2.19 ， 2.62 ｝ =2.19

d2 ， 10=min ｛ d24 ， d29 ｝ = min ｛ 1.47 ， 1.66 ｝ =1.47

d3 ， 10=min ｛ d34 ， d39 ｝ = min ｛ 1.23 ， 1.20 ｝ =1.20

d5 ， 10=min ｛ d54 ， d59 ｝ = min ｛ 4.77 ， 4.84 ｝ =4.77

d6 ， 10=min ｛ d64 ， d69 ｝ = min ｛ 2.99 ， 3.06 ｝ =2.99

d7 ， 10=min ｛ d74 ， d79 ｝ = min ｛ 4.06 ， 3.32 ｝ =3.32

d8 ， 10=min ｛ d84 ， d89 ｝ = min ｛ 1.29 ， 1.40 ｝ =1.29

② 这样就得到 G1 ， G2 ， G3 ， G5 ， G6 ， G7 ， G8 ， G10 上的一个新的 8×8 阶距离矩阵：

029.132.399.277.420.147.119.2003.596.314.524.288.032.1

007.183.093.253.579.5078.186.146.472.4

064.302.686.5070.210.3

052.10

10

8

7

6

5

3

2

1

108765321

GGGGGGGG

GGGGGGGG

③ 在上一步骤中所得到的 8×8 阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为 d57=0.83 ，故将 G5 与 G7 归并为一类，记为 G11 ，即 G11= ｛ G5 ， G7 ｝。

按照公式（ 3.3.10 ）式计分别算 G1 ， G2 ，

G3 ， G6 ， G8 ， G10 与 G11 之间的距离，可得到一个新的 7×7 阶距离矩阵：

④ 在第二步所得到的 7×7 阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为 d28=0.88 ，故将 G2 与 G8 归并为一类，记为 G12 ，即 G12= ｛ G2 ， G8 ｝。再按照公式（ 3.3.10 ）式分别计算 G1 ， G3 ， G6 ， G10 ， G11 与 G1

2 之间的距离，可得到一个新的 6×6 阶距离矩阵：

032.303.507.193.253.579.5029.199.220.147.119.2

096.324.288.032.1086.146.472.4

070.210.3052.1

0

11

10

8

6

3

2

1

111086321

GGGGGGG

GGGGGGG

⑤ 在第三步中所得的 6×6 阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为 d6 ， 11=1.07 ，故将 G6 与 G11 归并为一类，记为 G13 ，即 G13= ｛ G6 ， G11 ｝ = ｛ G6 ，（ G5 ， G7 ）｝。再按照公式（ 3.3.10 ）式计算 G1 ，G3 ， G10 ， G12 与 G13 之间的距离，可得到一个新的 5×5 阶距离矩阵：

003.529.196.324.232.1032.307.193.279.5

099.220.119.2086.172.4

010.30

12

11

10

6

3

1

121110631

GGGGGG

GGGGGG

⑥ 在第四步中所得的 5×5 阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为 d3 ， 10=1.20 ，故将 G3 与 G10归并为一类，记为 G14 ，即 G14= ｛ G3 ， G10｝ =｛ G3 ，（ G4 ， G9 ）｝。再按照公式（ 3.3.10 ）式计算 G1 ， G12 ， G13 与 G14 之间的距离，可得一个新的 4×4 阶距离矩阵：

096.399.286.172.4029.124.232.1

020.119.2010.3

0

13

12

10

3

1

13121031

GGGGG

GGGGG

⑦ 在第五步所得到的 4×4 阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为 d12 ， 14=1.29 ，故将 G12 与 G14归并为一类，记为 G15，即 G15= ｛ G12 ， G14 ｝ =｛（ G2 ， G8），（ G3 ，（ G4 ， G9 ））｝。再按照公式（ 3.3.10 ）式计算 G1 ， G13 与 G15之间的距离，可得一个新的 3×3 阶距离矩阵：

086.129.119.2096.372.4

032.10

14

13

12

1

1413121

GGGG

GGGG

⑧ 在第六步所得的 3×3 阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为 d1 ， 15=1.32 ，故将 G1 与 G15 归并为一类，记为 G16 ，即 G16= ｛ G1 ， G15 ｝ = ｛（ G1 ，（ G2 ， G8 ），（ G3 ，（ G4 ， G9 ））｝。再按照公式（ 3.3.10 ）式计算 G13 与 G16之间的距离，可得一个新的 2×2 阶距离矩阵：

086.132.1072.4

0

15

13

1

15131

GGG

GGG

⑨ 将 G13 与 G16 归并为一类。此时，所有分类对象均被归并为一类。 综合上述聚类过程，可以作出最短距离聚

类谱系图（如图 3.4.2 所示）。

086.10

16

13

1613

GG

GG

图 3.4.2 最短距离聚类谱系图

五、最远距离聚类法 最远距离聚类法与最短距离聚类法的区别

在于计算原来的类与新类距离时采用的公式不同。

最远距离聚类法的计算公式是：),(},max{ qpkddd qkpkrk

（ 3.3.11 ）

例子： 对于前面的例子，最远距离聚类法的聚类过

程如下： ① 在 9×9 阶距离矩阵中，非对角元素中最小

者是 d94=0.51 ，将第 4 区与第 9 区并为一类，记为 G10 ，即 G10= ｛ G4 ， G9 ｝。按照公式（ 3.3.11 ）分别计算 G1 ， G2 ， G3 ， G5 ， G

6 ， G7 ， G8 与 G10 之间的距离，得到一个新的8×8 阶距离矩阵：

040.106.406.384.423.166.162.2003.596.314.524.288.032.1

007.183.093.253.579.5078.186.146.472.4

064.302.686.5070.210.3

052.10

10

8

7

6

5

3

2

1

108765321

GGGGGGGG

GGGGGGGG

② 在第一步所得到的 8×8 阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为 d57=0.83 ，故将 G5 与 G7归并为一类，记为 G11 ，即 G11= ｛ G5 ， G7 ｝。按照公式（ 3.3.11 ）式分别计算 G1 ， G2 ， G3 ，G6 ， G8 ， G10 与 G11 之间的距离，得到一个新的 7×7 阶距离矩阵如下：

084.414.578.164.302.686.5040.106.323.166.162.2

096.324.288.032.1086.146.472.4

070.210.3052.1

0

11

10

8

6

3

2

1

111086321

GGGGGGG

GGGGGGG

③ 在第二步中所得到的 7×7 阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为 d28=0.88 ，故将 G2 与G8 归并为一类，记为 G12 ，即 G12= ｛ G2 ， G

8 ｝。再按照公式（ 3.3.11 ）式分别计算 G1 ，G3 ， G6 ， G10 ， G11 与 G12 之间的距离，得到一个新的 6×6 阶距离矩阵如下：

002.666.146.470.252.1084.478.164.386.5

006.323.162.2086.172.4

010.30

12

11

10

6

3

1

121110631

GGGGGG

GGGGGG

④ 在第三步中所得的 6×6 阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为 d3 ， 10=1.23 ，故将 G3 与 G10归并为一类，记为 G13 ，即 G13= ｛ G3 ， G10 ｝= ｛ G3 ，（ G4 ， G9 ）｝。再按照公式（ 3.3.1

1 ）式计算 G1 ， G6 ， G11 ， G12 与 G13 之间的距离，得到一个新的 5×5 阶距离矩阵如下：

070.284.406.310.3002.646.452.1

078.186.5072.4

0

13

12

10

6

1

13121061

GGGGG

GGGGG

⑤ 在第四步所得的 5×5 阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为 d1 ， 12=1.52 ，故将 G1 与 G12归并为一类，记为 G14 ，即 G14= ｛ G1 ， G12 ｝= ｛ G1 ，（ G2 ， G8 ）｝。再按照公式（ 3.3.1

1 ）式分别计算 G6 ， G11 ， G13 与 G14 之间的距离，得到一个新的 4×4 阶距离矩阵如下：

010.320.672.4084.406.3

078.10

14

13

11

6

1413116

GGGG

GGGG

⑥ 在第五步所得的 4×4 阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为 d6 ， 11=1.78 ，故将 G6 与 G11 归并为一类，记为 G15 ，即 G15= ｛ G6 ， G11 ｝ = ｛ G6 ，（ G5 ， G7 ）｝。再按照公式（ 3.3.11 ）式分别计算 G13 ， G14 和 G15 之间的距离，得到一个新的 3×3 阶距离矩阵如下：

002.684.4010.3

0

15

14

13

151413

GGG

GGG

⑦ 在第六步中所得的 3×3 阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为 d13 ， 14=3.10 ，故将 G13 与 G14归并为一类，记为 G16 ，即 G16= ｛ G13 ， G14 ｝ =

｛（ G3 ，（ G4 ， G9 ）），（ G1 ，（ G2 ， G

8 ））｝。再按照公式（ 3.3.11 ）式计算 G15 与 G1

6 之间的距离，可得一个新的 2×2 阶距离矩阵如下：

002.60

16

15

1615

GG

GG

⑧ 将 G15 与 G16 归并为一类。此时，各个分类对象均已归并为一类。 综合上述聚类过程，可以作出最远距离聚类谱系图（如图 3.4.3 所示）。

图 3.4.3 最远距离聚类谱系图G1 G2 G8 G3 G4 G9 G5 G7 G6

六、计算类之间距离的统一公式 最短距离和最远距离：可以用一个公式表示 用下图表示二者关系：

|| 22222qkpkqkqpkpkr ddddd （ 3.3.12 ）

最短距离

最远距离

图 3.4.4 两种不同的空间距离

a1

a2

Ab1

b2

B

当 α 、 β 、 γ 三个参数取不同的值时，就形成了不同的聚类方法（见表 3.3.4 ），在表3.3.4 中， np 是 p 类中单元的个数， nq 是 q类中单元的个数， nr=np+nq ； β 一般取负值。

系统聚类其他方法的公式 ：|| 222222

kqkppqkqqkppkr dddddd

（ 3.3.13 ）

方法名称

参 数 D 矩阵要求 空间性质ap aq β γ最短距离 1/2 1/2 0 -1/2 各种 D 压缩最远距离 1/2 1/2 0 1/2 各种 D 扩张中线法 1/2 1/2 -1/4≤

β≤00 欧氏距离 保持

重心法 0 欧氏距离 保持组平均法 0 0 各种 D 保持距离平方和法 0 欧氏距离 压缩可变数平均法 <1 0 各种 D 不定

qp

p

nnn qp

q

nnn

2)( qp

qp

nnnn

qp

p

nnn

qp

q

nnn

rk

pk

nnnn

rk

qk

nnnn

r

p

nn

)1( r

q

nn

)1(

rk

k

nnn

可变法 <1 0 各种D 扩张2

)1( 2

)1(

八种系统聚类方法的距离参数值

表 3.4.4

七、实例分析 表 3.4.5 给出了某农业生态经济系统各个区域单

元的有关数据，下面我们运用系统聚类法，对该农业生态经济系统进行聚类分析，步骤如下：

① 用标准差标准化方法，对 9 项指标的原始数据进行处理；

②采用欧氏距离测度 21 个区域单元之间的距离； ③ 选用组平均法，计算类间的距离，依据不同的

聚类标准（距离），对各样本（各区域单元）进行聚类，并作出聚类谱系图。

样本序号

x1：人口密度(人

/km2)

x 2：人均耕地面积

(ha)

x 3：森林覆盖率

(%)

x 4：农民人均纯收入(元/人)

x 5：人均粮食产量(kg/人)

x 6：经济作物占农作物播面比例(％)

x 7：耕地占土地面积比率

(％)

x 8：果园与林地面积之比

(％)

x 9：灌溉田占耕地面积之比

(％)

1 363.912 0.352 16.101 192.11 295.34 26.724 18.492 2.231 26.262

2 141.503 1.684 24.301 1752.35 452.26 32.314 14.464 1.455 27.066

3 100.695 1.067 65.601 1181.54 270.12 18.266 0.162 7.474 12.489

4 143.739 1.336 33.205 1436.12 354.26 17.486 11.805 1.892 17.534

5 131.412 1.623 16.607 1405.09 586.59 40.683 14.401 0.303 22.932

6 68.337 2.032 76.204 1540.29 216.39 8.128 4.065 0.011 4.861

7 95.416 0.801 71.106 926.35 291.52 8.135 4.063 0.012 4.862

8 62.901 1.652 73.307 1501.24 225.25 18.352 2.645 0.034 3.201

9 86.624 0.841 68.904 897.36 196.37 16.861 5.176 0.055 6.167

10 91.394 0.812 66.502 911.24 226.51 18.279 5.643 0.076 4.477

11 76.912 0.858 50.302 103.52 217.09 19.793 4.881 0.001 6.165

表 3.4.5 某农业生态经济系统各区域单元的有关数据

12 51.274 1.041 64.609 968.33 181.38 4.005 4.066 0.015 5.402

13 68.831 0.836 62.804 957.14 194.04 9.11 4.484 0.002 5.79

14 77.301 0.623 60.102 824.37 188.09 19.409 5.721 5.055 8.413

15 76.948 1.022 68.001 1255.42 211.55 11.102 3.133 0.01 3.425

16 99.265 0.654 60.702 1251.03 220.91 4.383 4.615 0.011 5.593

17 118.505 0.661 63.304 1246.47 242.16 10.706 6.053 0.154 8.701

18 141.473 0.737 54.206 814.21 193.46 11.419 6.442 0.012 12.945

19 137.761 0.598 55.901 1124.05 228.44 9.521 7.881 0.069 12.654

20 117.612 1.245 54.503 805.67 175.23 18.106 5.789 0.048 8.461

21 122.781 0.731 49.102 1313.11 236.29 26.724 7.162 0.092 10.078

图 3.4.5 某农业生态经济系统区域单元的系统聚类（组平均法）谱系图

从聚类分析谱系图（图 3.4.5 ）可以看出，在不同的聚类标准（距离）下，聚类结果不同，当距离标准逐渐放大到时， 21 个区域单元被依次聚类。 当距离为 0 时，每个样本为单独的一类； 当距离为 5 ，则 21 个区域单元被聚为 16 类； 当距离为 10 ，则 21 个区域单元被聚为 9 类； 当距离为 15 ，则 21 个区域单元被聚为 5 类； 当距离为 20 ，则 21 个区域单元被聚为 3 类； 最终，当聚类标准（距离）扩大到 25 时， 2

1 个区域单元被聚为 1 类。