重み付き投票ゲームにおける投票力指数の計算の高速化

国立情報学研究所宇野 毅明uno@nii.jp

目的

• 重み付き投票ゲームの、投票力指数を計算する• 対象は、 Banzhaf, Shapley-Shubik, Deegan-Packel 指数• すでに動的計画法アルゴリズムが提案されている• ただし、全プレイヤーの指数を計算すると、同じよ

うな計算を繰り返すことになる

そこで

計算方法を工夫して、無駄な計算を省き、計算量を小さくする

重み付き投票ゲーム• ある議会に、政党（プレイヤー） A 、 B 、 C 、 D がある• 票決のとき、同一政党内の議員は同一の投票をする• 賛成票が q = 50 人 以上で可決

政党 A45 人

政党 B8 人

政党 C17 人

政党 D30 人

各政党の力を示す指数がほしい　 => 　議席数？

勝利提携 と 敗北提携提携 ： 政党の集合　法案成立には、 q 人 か、それ以上の議員を含む提携を

組む必要がある

勝利提携 ： 提携に属する議員が q 人か、それ以上の提携敗北提携 ： 提携に属する議員が q 人以下の提携

政党 A45 人

政党 B8 人

政党 C17 人

政党 D30 人

議席数は良い指標ではない

• 勝利提携　　　　　　　　（　政党 A （ 45 人），政党 D （ 30 人）　）

政党 B （ 8 人）　 ：　 AB 　，　 ABC 　，　 ABD 　，　 BCD

政党 C （ 17 人）　：　 AC 　，　 ABC 　，　 ACD 　，　 BCD

　勝利提携の組合せは同じ！　指数は同じになるべき

提携の情報から指数を求めるモデルがよい

もう一度、用語の定義

プレイヤー　 p1,…,pn ： 　政党

プレイヤーの重み w(pi) ： 政党の議席数

q 　　 ： 　成立に必要な票数提携 ： プレイヤーの集合提携 S の重み w(S) ：提携に属するプレイヤーの重み

の和勝利提携 ： 重みが q か、それ以上の提携敗北提携 ： 重みが q 以下の提携

バンザフ（ Banzhaf ）指数

「ある勝利提携 S から プレイヤー pi が抜けると敗北提携になるとする。このとき、 pi 　は発言力を持つだろう」

このような提携の数を 2n で割ったものを指数とする

pi のバンザフ指数 Bz(pi)

　　　 ＝ 　 | { S | pi S∈ ， w(S) q≧ ， w(S ＼ pi) ＜ q } | 　／ 2n

pi

q

バンザフ指数を計算するf(pi, y) ： プレイヤー集合 { p １ ,…, pi } に含まれる提携 S で、

　　　　　　 w(S) =y となるものの数

プレイヤー p ｎ に対して、

w(S) q≧ ， w(S ＼ pn) ＜ q q - w(pn) w(S≦ ＼ pn) q-≦ １

重みが q - w(pn) から q- １ の間で、 pn を含まない提携の数　　　　　　　　 q- １　　　　＝ 　　 Σ 　　　 f(p ｎ -1, y) 　　　　　　　　 y=q- w(pn)

　　　これを 2n で割るとバンザフ指数になる

動的計画法再帰式： f(pi, y) = 　　 f( pi-1, y ) 　　 　　 + 　　 f( pi-1, y- w(pi) )

　　　　　　　　　　 pi を含まない提携数　　　　 pi を含む提携数

　　 i= １ ,…,n- １ に対して、 f(pi, y) を順々に求める

q q - w(pn)

　　 p １　 p2 　 p3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 pn-2 pn-1

・・・・・

s

このグラフで、 f(pi, y) は s から対応する頂点までのパスの数

計算量・ f(pi- １ , y) から f(pi, y) を求める：　　 Ｏ (q) 　時間

・ f(pn-1, y) を求める：　　　　　　　　　　 Ｏ (nq) 時間

pn 以外のプレイヤーに対しての計算：

　　　　　 pn と pi の添え字をつけなおして、同じ方法で計算

・全員分の計算　　　　　　　　　　　　 Ｏ (n2q) 時間

変更がちょっとしかないので、ほとんど同じ計算を行う

　　　　なんとか無駄な計算を省けないでしょうか？

不要な計算の省略 pi に対して , 提携 S のプレイヤーを i 以下と i 以上に分けて考え

る

g(pi, y) ： プレイヤー集合 { pi,…, pn } に含まれる提携 S で、

　　　　　　 w(S) =y となるものの数

重みが q - w(pi) から q- １ の間で、 pi を含まない提携

i 以下の重みが z ， i 以上が q - w(pi) - z から q- １ -z の間　　　　　　　　　　　　　　　　　　 q- １　　　　　　　　　　　 q- １ -z

そのような提携の数　　＝ 　 Σ 　　 f(pi-1, z) 　 Σ 　　 g(pi+1, y) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 z=0 　　　　　　 y=q- w(pi)-z

　　　　　　 y 　　　　　　　　　　 　h(pi, y) = Σ g(pi, z) 　とすると　 h(pi+1, q- １ -z) - h(pi+1, q-w(pi)-z - 1) 　　　　　　 z=0 　　　　

前後の計算を合わせる

f(pi, y) ， g(pi+2, y) から f(pi-1, y) ， g(pi+1, y) を計算：　Ｏ (q)

g(pi+1, y) から h(pi+1, y) を計算 ：　　　　　　　　　　　　　Ｏ (q)

1 プレイヤーの指数を計算 ：　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｏ (q)

　　全員分の指数をＯ (nq) 時間で計算できる

　　 p １　 p2 　 p3 　　　　　　　　　　 pi- １ pi pi+ １ 　　　　　　　　　　　　　　　 pn- １ pn

・・・・・

q

・・・・・

s

0

q0

シャープレイ・シュービック（ Shapley-Shubik ）指数

「空の提携にプレイヤーが順々に参加し、プレイヤー pi が参加して、はじめて S が勝利提携になるとき、 pi 　は発言力を持つ」

このようなプレイヤーの参加順序（順列）の数を n! で割ったものを指数とする

pi のシャープレイシュービック指数 Ss(pi)

　＝ | { 順列 (pj １ pj2,,…, pjn ) |

　　　　　　 q w({p≦ j １ pj2,,…, pi }) < q+ w(pi) } | ／ n!

pi

q

Ss 指数を計算するプレイヤー pi より前のプレイヤーの集合が S となるよ

うな順列の数は |S|!(|n-|S|-1)!

pi

q

この場合、前に３プレイヤー、後ろに２プレイヤーいるので、　　　　　 3!×2! 　＝ 　 3! （ 6-3-1 ） ! 　 ＝ 　 |S|! (n-|S|-1)!

pi 　 を加えると勝利提携になる敗北提携について、この総和を取る

Ss(pi)×2! 　　＝ 　　　　　　　 Σ 　　　　　　　　　 |S|! (n-|S|-1)!

　　　 　　　　　　　　　　 S | pi S∈ ， q- w(pi) w(S) q-1 ≦ ≦ 　

S

／

Ss 指数を計算するf(pi, k, y) ： プレイヤー集合 { p １ ,…, pi } に含まれる、大き

さ k の提携 S で、 w(S) =y となるものの数

重みが q - w(pn) から q- １ の間で、 pn を含まない提携 S に関して |S|!(n-|S|-1)! の和を取る

　 n-1 q-1

＝ Σ 　 Σ f(pn-1,k, y) × k!(n-k-1)! 　　 k=0 y=q-w(pn)

これを n! で割ると Ss 指数になる

終点が (pn- １ , k, y) のパス重みを k!(n-k-1)! 　 => 　パスの重み和

Ss 指数用の動的計画法再帰式： f(pi, k, y) = 　　 f( pi-1, k, y ) 　 + 　 f( pi-1, k- １ , y- w(pi) )

　　　　　　　　　　 pi を含まない提携数　　　　 pi を含む提携数

バンザフ指数と同じ方法で、高速化を行う

　 　 k　 …　 10q

210

pi- １　　　 pi

・ f(pi- １ , k, y) から f(pi, k, y) を求める

　　　　　　　　　　　 Ｏ (nq) 　時間

・ f(pn-1, k, y) を求める：

　　 　　　　　　 Ｏ (n2q) 時間

・全員分の計算　　　　　　　　 Ｏ (n3q) 時

間

Ss 指数の高速化g(pi, k, y) ： (pi, k, y) から (pn, k’, ＊ ) へのパスの重み和　　　（重みは k’!(|n-k’-1)! ）

重みが q - w(pi) から q- １の間で、 pi を含まない提携 S に　　関する |S|!(|n-|S|-1)! の和　　　　　　 n- １ 　　 q- １　　　　　　　　　　　　　　　　 q- １ - z

　　　　＝ Σ 　　 Σ 　　　 f(pi-1, k, z) × Σ g(pi-1, k, y) 　　　　　　　 k=0 　 z=q-w(pi) 　　　　　　　　　　　　 y=q- w(pi) - z

　　 p １ p2 　 　　　　　 pi- １ pi pi+ １ 　　　　　　　　　　

　　　 pn- １ pn

・・・

k １プレイヤー 　　　　Ｏ (nq)

全プレイヤー　　　 　Ｏ (n2q)

ディーガン・パックル指数（ Deegan-Packel ）指数

極小勝利提携 ： どのプレイヤーが抜けても敗北になる勝利提携

「 pi が極小勝利提携 S に所属すれば，発言力 1/|S| を持つ」

pi が所属する極小勝利提携すべてに対して発言力の和を取って、極小勝利提携の数 W で割ったものを指数とする

q

ディーガン・パックル指数２

プレイヤーは、重みの大きい順にソートされているとする

d(S) ： 提携 S から最小重みのプレイヤー　　　　（　＝　添え字最大のプレイヤー　）　　を除い

た提携

pi のディーガン・パックル指数 Dp(pi)

　　　 ＝ 　 | { S | pi S∈ ， w(S) q≧ ， w(d(S)) ＜ q } | 　／ W

q

ディーガンパックル指数を計算

Ss 指数計算で用いた、動的計画法のグラフを考える

終点が (pi, k, y) （ q-w(pi) y ≦ ≦ q- １） のパスの重みを 1/k とする

pi 上 Dp 指数の計算： pi を使い、 S から上の条件を満たす点へのパスの重み和　　（重みは １ /k’ ） q

　　 p １　 p2 　 p3 　　　　　 pi-1 　 pi 　 pi+1 　　　　　　　　　　　　　 pn- １ pn

・・・

s

・・・

1 プレイヤー Ｏ (n2q) 　　：　　全プレイヤー　Ｏ(n3q)

Dp 指数の動的計画法（高速版）

g(pi, k, y) ： pi を使い、 (pi, k, y) から （ q-w(pj) z ≦ ≦ q- １） を

満たす点 (pj, k’, z) へのパスの重み和　　（重みは １ /k’ ）

pi を使うパスの重み和：［ S から (pi-1, k, y) までのパス数 × g(pi, k, y) 　］　の総和　　　　　　 n-1 　　 q-1

　　　　＝ Σ 　　 Σ 　　　 f(pi-1, y) × g(pi, k+ １ , y+w(pi))　　　　　　 k=0 　 y=q- w(pi)

　　　　　　　　（　 f(pi, k, y) は Ss 指数での定義と同じ　）

・すべての f(pi, k, y) , g(pi, k, y) を求める： Ｏ (n2q) 時間・１プレイヤーの計算：　　　　　　　　　　　　　 Ｏ (nq) 　時間・全員分の計算　　　　　　　　　　　　 　　 Ｏ (n2q) 時間

まとめ

• 重み付き投票ゲームの投票力指数を計算する動的計画法に対して、全員分の計算を 1 人分の計算と同じ計算量で行うアルゴリズムを提案した

• バンザフ指数は　　　　　　　　　　　 Ｏ (n2q) 　＝＞　Ｏ (nq)

　 シャープレイ・シュービック指数は　Ｏ (n3q) 　＝＞　Ｏ (n2

q)

　 ディーガン・パックル指数は　　　　 Ｏ (n4q) 　 ＝＞　Ｏ (n2

q)

　 と、計算量は減少した

今後の課題：　　同じテクニックが使える問題はどの程度あるか？