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第二章 影像品質的改善與回復

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內容 2.1 前言 2.2 平滑法和統計上的根據 2.3 中值法和其加速改良法 2.4 中央加權中值法 2.5 柱狀圖平值法 2.7 頻率域濾波器 2.8 韋納濾波器 2.10 作業

3

2.1 前言 本章主要針對在雜訊 (Noise) 的干擾和灰階分佈太集中的

影響下，如何盡可能恢復原影像的品質。

圖 2.1.1 　受雜訊干擾的影像

圖 2.1.2 　某些灰階分布太集中的影像

4

2.2 平滑法和統計上的根據 利用周圍的 8 個灰階值和中心點的灰階值平均，將雜訊所帶來

的影響淡化。 平滑法面罩以迴積的方式完成計算。 將平滑法的面罩放在 3×3 子影像上，兩兩對應的數值予以相乘，

再將這九個相乘後的值相加，得到反應值取代中心點。

1 2

1

2

0x

y

0

2 1 2

3 20 2

2 1 3

疑似雜訊 1/9 1/9 1/9

1/9 1/9 1/9

1/9 1/9 1/9

圖 2.2.1 3×3 子影像 圖 2.2.2 平滑法的面罩

1 2

1

2

0x

y

0

2 1 2

3 4 2

2 1 3

圖 2.2.2.1 經平滑法作用於中心點後的子影像

(2+1+2+3+20+2+2+1+3)/9

5

Q1 ：給一如下的 4×4 子影像，利用平滑法去除雜訊後，所得的影像為何？

ANS ：利用圖 2.2.2 的面罩，在上圖中進行平滑動作，所得影像如下

EOA

‧這裡注意一點，上述平滑過的灰階值有經過四捨五入。

6

Q2 ：如何針對邊緣像素進行平滑法的雜訊去除？

ANS ：假設 Q1 中的 4×4 子影像即為原影像。通常為了處理邊緣像素的問題，我們會將邊緣像素複製一次，如此一來， Q1 中的原影像就被放大成如下所示的 6×6 影像：

利用圖 2.2.2 的面罩，上圖經平滑動作後，可得下列結果：

EOA

7

Q3 ：如何降低 (Reduce) 相鄰兩個平滑運算的計算量？ANS ：

我們可以發現下列的 3×2 視窗是重覆的：

為了降低計算量， 在第一個平滑運算中可以被保留下來，以便在第二個平滑運算時繼續使用，如此一來 就不必重新計算了，這可省下一些計算的。

9

2399109

9

2399109

EOA

8

定理 2.2.1. 平滑法作用到影像後，的確可將原影像的標準差予以　　　 有效降下。

921 ...9

1iii XXXY

921 ...9

1iiiY UUUU Y 的平均值為

Y 的變異數為

9

1

29

1

222

81

1

81

1)(

jij

jijijyY UXEUYE

假設　　　　　　　　　 ，則可得　　　 。並假設 ，則進一步得到　　　　 ，也就是 。在上述的特殊分布假設下，平滑法的標準差為單一像素的標準差之 1/3 。

UUUU iii 921 ... UUY 921 ... iii

22

9

1 Y 3

1y

證明：

(2.2.1)

9

定理 2.2.1. 結論 若面罩變大，標準差將更有效地下降；然而，相對地，平滑法

的計算量也會增大，且受到鄰近像素 (Neighboring Pixels) 的均化現象也愈大，有可能在邊 (Edge) 的地方會較模糊 (Blurred) 。

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2.3 中值法和其加速改良法 利用周圍的 8 個灰階值和中心點的灰階值排序後的中值，去除雜

訊的干擾。 中值法仍是以 3×3 、 5×5 或 7×7 的面罩，在影像上以迴積的方式

完成的。

1 2

1

2

0x

y

0

2 1 2

3 200 2

2 1 3

1 2

1

2

0x

y

0

2 1 2

3 24 2

2 1 3

1 2

1

2

0x

y

0

2 1 2

3 2 2

2 1 3

圖 2.3.1 一個平滑法不適合的例子

圖 2.3.1.1 經平滑法作用於中心點後的子影像

圖 2.3.1.2 經中值法作用於中心點後的子影像

和周圍鄰居之灰階值相比　　　　，仍視為雜訊。

中值法有效去除　 雜訊干擾。

11

Q1 ：給一如下的 4x4 子影像，其中灰階值為 255 的 pixel 為脈衝雜訊 (Impulsive Noise)

1. 請各別利用平滑法以及中值法來去除雜訊。2. 說明哪個方法所得的影像較佳？為什麼？

18 12 18 12

12 225 225 15

15 225 18 12

18 15 12 18

12

ANS：

1. (a) 平滑法

(18+12+18+12+225+225+15+225+18)/9=85.3(12+225+225+15+225+18+18+15+12)/9=85(12+18+12+225+225+15+225+18+12)/9=84.6(225+225+15+225+18+12+15+12+18)/9=85

18 12 18 12

12 85 85 15

15 85 85 12

18 15 12 18

(b) 中值法

12, 12, 15, 18, 18, 18, 225, 225, 22512, 12, 15, 15, 18, 18, 225, 225, 22512, 12, 12, 15, 18, 18, 225, 225, 22512, 12, 15, 15, 18, 18, 225, 225, 225

18 12 18 12

12 18 18 15

15 18 18 12

18 15 12 18

2. (a) 中值法結果較佳。

(b) 225 灰階值之雜訊相對於旁邊的灰階值實在太大，使用平滑法的均化效果 有限，以上為例， 85 灰階值還是很容易被視為雜訊，但若使用中值法，就 可以將雜訊去除。 EOA

13

Q2 ：以本小節 Q1 中的 3×3 子影像為例，依照列優先 (Row Major) 的掃瞄次序，我們將得的數列安放在圖 2.3.3 中的中值濾波器之輸入端，請列出各步驟執行完後的模擬結果。

ANS ：下圖為執行完各個步驟後的模擬結果，所得到的反應值為 6 。

EOA

上面的中值濾波器之設計原理在後面馬上會被介紹。值得注意的是：上述的中值濾波器兼具平行 (Parallel) 和管道式 (Pipelined) 的功能，可有效加速中值的運算。

14

Bitonic 數列

),...,,( 221 maaa 為一 Bitonic 數列

),min( imii aab

miaac imii 1),,max(

),...,,max( 21 mbbb ),...,,min( 21 mccc

若

圖 2.3.3 中值濾波器網路

15

圖 2.1.1 受雜訊干擾的影像

圖 2.2.3 圖 2.1.1 經平滑法改善效果

圖 2.3.2 圖 2.1.1 經中值法改善效果

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Q3 ：針對圖 2.3.3 的中值濾波器網路設計，可否給一個示意圖以便更明白其 設計的原理？

ANS：當完成圖 2.3.3 中的第一階段 (Stage 1) 後，編號 0~7 的八筆資料會變成

大

小

大

小

大 大

小 小

完成第二階段的第一步 (Step 1) 後，根據 Bitonic 數列的特性，這八筆資料會變成

大 大 大 大

小 小 小 小

完成第二階段的第二步後，八筆資料會變成

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以上資料愈在高處的值越大。完成下一步後，八筆資料會變成

當完成第三階段的最後一步後，八筆資料會變成

此時，輸入的前八筆資料已排序好。我們留下中間的兩段資料和編號8 的資料再經過二次比較就得到中間的值了。EOA

18

Q4 ：可否介紹一下 Windyga 的快速雜訊去除法？

ANS：這個方法植基於波峰 - 波谷 (Peak- Valley) 的觀念。在一維空間軸上，有相鄰的四個訊號，如圖 2.3.3(a)所 示。我們比較訊號 S2 和 S1 及 S3 後可發現 S2=min{S1,S3} ，故進行 下面波谷運算：

312 ,min SSS

19

圖 2.3.3(b) 為執行後的結果。接下來，我們比較圖 2.3.3(b) 中的S2 、 S3 、 S4 ，可發現 S3=max{S2,S4} ，故進行下面波峰運算：

423 ,max SSS (a) 原始的相鄰三訊號 (b)執行完 312 ,min SSS 後的結果

(c)執行完 後的結果 423 ,max SSS

S1

S1

S1S2

S2

S2

S3 S3

S3

S4 S4

S4

t1 t1+1 t1+2 t1+3

圖 2.3.3 Windyga 的波峰 - 波谷雜訊去除法

上面所述雖是針對一維的情形，讀者不難將其擴充至二維的影像上 (參見習題 9) 。EOA

20

我們以 Lena 影像為例 ( 原影像請參見圖 2.3.4(a)) ，當加入 15% 的脈衝雜訊後，我們得到圖 2.3.4(b) 的被干擾影像。圖 2.3.4(c) 所示的影像是利用 Windyga 波峰 - 波谷法所得到的去除脈衝雜訊之影像。我們的實驗結果顯示：去除雜訊後的影像之 PSNR 為 32.399

(a) 原始 Lena 影像 (b) 加入 15% 脈衝雜訊後所得的影像

圖 2.3.4 Windyga 方法的模擬結果

21

(c) 利用 Windyga 法去雜訊後的結果

圖 2.3.4 Windyga 方法的模擬結果

22

2.4 中央加權中值法 除了可進一步去除雜訊外，還可保留較好的紋理。 加權值的作用是將視窗內位於中間的值複製 W 次，利用周圍的

8 個灰階值和中心點的灰階值複製 W 次排序後的中值取代中心點。

2 1003

1 2100

100 23

圖 2.4.2線段被視窗框住的例子

2 1003

1 23

100 23

2 1003

1 2100

100 23

1,2,2,2,3,3,100,100,100,100,100,100,100

1, 2, 2, 2, 3, 3, 100, 100, 100

圖 2.4.2.1中值法造成右斜 45度線段的中斷

圖 2.4.2.2中央加權中值法，若 W=5 ，線段不會中斷

23

Q1 ：給一個 5×5 的子影像，若想利用中央加權中值法以去除雜訊，請問子影像中的中央像素需要重覆幾次後，一定能避免一條斜線被破壞的情形？

ANS ：我們將中間位置的像素重覆 W 次，則連同其餘的斜線上像素，共有 W+4 個像素值，只需確保

20

5254

W

則必然不會將該斜線打斷。我們因此解得 W>16 。換言之，子影像中的中央像素被重覆十七次以後，可確保一條斜線不會被打斷。

EOA

24

Q2 ：若將 Q1 中的 5x5 改成 7x7 ，則中央像素需要重複幾次呢？

ANS：同樣的道理，依據 42

7496

W

可得到 W>36 ，所以中央像素需被重複 37 次。EOA

Q3 ：給一個 k x k 的子影像，如何決定中央加權中值法的 W 值？

ANS：利用下列不等式： kkkW 21

可推得 11 kkW

也就是最小的 W 值可選 11 2 k 。下面的表格可當作自動選取

Ｗ值之用。 k (k-1)2 W=(k-1)2+1

3 4 5

5 16 17

7 36 37

9 64 65EOA

25

定理 2.2. 若視窗大小為 3×3 而 W=3 ，中央加權中值法得到的輸 出值為 ，中值法得到的輸出值為 ，視窗中　　　　心的像素灰階值　 ， 　和 則 。

||2 ijCWM

ij XYd

12 dd

CWMijY M

ijY

ijX ||1 ijM

ij XYd

26

2.5 柱狀圖平均法

影像的灰階分佈太集中於 [a, b]區之間。 找出一種轉換 f 使得上面的分佈能轉成均勻分佈。畢竟更大範圍的灰 階值分佈會使影像的紋理更豐富和多樣。

a b

頻率

灰階

)(qG

q

a b

頻率

灰階

)(PH

P

圖 2.5.1 灰階分布柱狀圖 圖 2.5.2 均勻分布柱狀圖

27

k

i

K

iii qGPH

0 0

)(

iq0

2

qq

N

k 2N

P

Pk

q

qk

dssHqq

qqNds

qqN

000

02

0

2 1

)(020

0

pfqdssHN

qqq

P

P

k

P

Pi

k qiHN

qqq

0

020

P

Pi

k qiHN

qqq

0

020

依據離散頻率總和不變原理

G(q) 為均勻分佈，其各個的機率值　 為 ，　 表影像的大小。

引進機率分佈的概念，

找出 f 使得 f(p)=q 的關係可被確定。

移項後，可得

依離散的形式來說

由 H(P) 上的每個 P 值，經由 可得到對應的 q 值。

28

<p0,p1,p2,p3>=<10,15,20,25> <H(p0),H(p1),H(p2),H(p3)>=<15,30,30,25> q0=0, q3=50, q3-q0/N^2 = 0.4 q1=0.4([H(p0)+H(p1)]+10 = 28 q2=0.4([H(p0)+H(p1)+H(p2)]+10 = 40 <0,28,40,50>

29

部份重疊柱狀圖平均法 將原先影像切割成許多　長條型的子影像。 每一個子影像仍用柱狀　圖平均法處理完後，移　動子影像一半的水平距　離。 繼續使用柱狀圖均等法　，直到所有的子影像和　部分重疊的子影像全部　處理完。

n

n

m

N

M

m

圖 2.5.4 重疊式區域柱狀圖平均法

30

圖 2.1.2 某些灰階分布太集中的影像

圖 2.5.3 經柱狀圖平均法改善效果

圖 2.5.5 經部份重疊柱狀圖平均法

改善效果

31

下面的示意圖很適合用來解釋上面這個等式。

qP

qP

00

H(P) G(q)

面積

相等

上面的示意圖表示函數 )(PH 0P P

)(qG 0q q 0P P 0q q

從

積分到 所得到的面積會等於

函數 從 積分到 所得到的面積。在 、

、 和 的

對應上需滿足

EOA

32

2.7 頻率域濾波器

低通濾波器：

低通巴特沃斯濾波器：

高通巴特沃斯濾波器：

FT S(u,v) IFTF

IF’

I’

022

022

0

1),(

rvur

rvurvuS

當

當

nrrvuS

20 )/(1

1),(

5.0

0.1

1 2 3 40/ rr

nrrvuS

20 )/(1

1),(

圖 2.7.1 和　　　 關係

),( vuS orr /

33

圖 2.7.2(b) 得到的影像 I’ 圖 2.6.3 輸入影像 I

圖 2.7.2(a) 和 得到的傅利葉頻譜圖

3.0n 2000 r

34

2.8 韋納濾波器T A

FS + N = Z

F’1T

^

S

)}()({||

}||{||

^^

2^

SSSSE

SSEet

AFTAFT

ATZTSt

1

1^

}{2}{}||{||

}{2})({}||{||

)}(){(

2

2

TSAFEAFAFESE

TSAFEAFTTAFESE

AFTSAFTSEe

tttt

ttttttt

ttt

希望找到矩陣 A 使得 e 為最小，就是要解　　　　 即0 eA

0)}({2}}({)}||(||{ 2 TSAFEAFAFESE ttA

ttAA

圖 2.22 韋納濾波器

(2.8.1)

35

利用　　　　　　　　　　　　　　　　　　 和tttA

tttA TSFTSAFAFFAFAF )(2)( 、 )0||(|| 2 SA

0}{2)}2{( tt TSFEAFFEtttt TSZTETZZATE }{}{

}{}{ tt SFTEFFAE

已 知 F=TZ

Y 為 的平均向量，則共變異數可定義為Yt

t

Y

t YYYYEYYYYE

}{}))({(

假設　　　 ，則　　　　　 和　　　　　　　 和 0

NS N

tNNE }{ S

tSSE }{ 0

Z Z

tZZE }{

NS

N

tt

S

tttt

tt

SENENESE

NNNSSNSSE

NSNSEZZE

)()()()(

}{

}))({(}{

S

tt

tt

SNSSE

NSSESZE

}{

})({}{

t

S

t

NSTTTAT )(

t

NSS

t

NS

t

S

TT

TTTTA1

1

)(

))((

(2.8.2) (2.8.3)

(2.8.4)

36

2.10 作業 習題一 ( 中值法及中央加權中值法 ) ：

習題二：寫一 C程式以完成中值法的實作。

試求利用中值法之輸出影像矩陣，及利用中央加權中值法之輸出影像矩陣，令加權值 W=5 。以 3×3 的面罩完成計算。

55給一 影像如下所示： 101 200110106105

103 110200120101

101 105101210105

108 111250125200

200 101111120122