數學史融入數學教學之策略概述 (一 )

報告人：陳冠良

前言 強調數學如果脫離豐沃文化的基礎，就可能會被簡化為一系列的技巧，因此其形象將被扭曲，這種情形於學生接受教育時，就不斷地發生。

使學習者瞭解數學是深深地鑲嵌於人類文化發展之中。

數學史宛如一座巨大的冰山，本講座僅能做概略的描述，無法一窺全貌。

以教學為主軸，嘗試藉由數學史的融入，為數學教學注入新的元素。

為什麼要研究數學史 『再也沒有什麼故事比科學思想發展的故事更有魅力了』。

W.C.Dampier 『學習數學史不一定產生更出色的數學家，但它產生更溫雅的數學家，學習數學史能更豐富他們的思想；撫慰他們的心靈，並培植他們的高雅氣質。』

George Sarton,1884-1955

數學史於數學課堂中所扮演的角色 媒介的角色 額外的習題 刺激另類思考 人文啟發的角色 跨學科整合 減緩學習壓力 激勵個別策略 人格薰陶 （多元）文化的關懷

媒介的角色 數學史以數學概念、數學方法和數學思想之起源與發

展，及社會、政治、經濟和一般文化的關連為主要研究的範疇。

以數學史為橋樑，能將學生的心靈與數學概念及思維作有機的連通。

額外的習題 透過適當的安排，使學生接觸

文本，進一步瞭解數學在人類文明的歷程所扮演的角色。

使學生瞭解數學是實際滲透於人類的生活之中。 以《海島算經》為例： 今有望海島，立兩表，齊高三

丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表却行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末三合。從後表却行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問：島高及去表各幾何？

額外的習題

摘錄自 http://kss.hkcampus.net/~kss-wsf/theory.htm#difference

有一個海島，不知道它的高度和離岸距離，討論如何量度海島的高度和離岸距離

（選自沈康身，中國古代测量技術的成就）

刺激另類思考 學習由不同的角度解決問題 (一）。

群羊逐草選自《算法統宗》 甲趕群羊逐草茂，乙攜肥羊一只隨其後。試問甲及一百否？

甲云所得無差謬。若得這般一群湊，再添半群小半群，得你一只來方湊，玄機奧妙誰參透？答曰：甲羊三十六只

一元一次方程式 古算法

設牧童甲有 x只羊，依題意列式：

X（ ） +1=100 (11/4)X=99 X=36所以甲有 36只羊

在古時沒有一元一次方程時，經常用假設法，假設甲的羊數是 12“若得這般一群湊，再添半群小半群”12+12+6+3=33現在已知羊數是 100-1=99若甲童有 x只X:12=99:33X=36

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刺激另類思考 學習由不同的角度解決問題 (二）。

隔牆分銀選自《算法統宗》 隔牆聽得客分銀，不知人數不知銀 ; 七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。 答曰：六人，銀四十六兩

二元一次方程組 古算法－盈不足術

設有 x個客人，分 y兩銀，依題意列式：

y-7x=4… 9x-y=8…+ x=6 y=46所以有 6個客人，分 46兩銀註： 1 斤＝ 16兩

將出銀兩與盈（多）、不足列成方陣 出銀 7 9 盈、不足 4 8交叉相乘： 7×8+9×4=92 92÷﹙9-7﹚=46…銀 ﹙8+4﹚÷﹙9-7﹚=6…客

※請思考一下，此算法道理為何？

人文啟發的角色 歷史性的啟發。

數學發展的歷史，是文明史，亦是文化發展的歷史。 「函數」的七次擴張，伴隨著科學的發展和社會的進步。

哲學性的啟發。 不可公度比的發現、芝諾悖論 ( 二分說、阿奇里斯追龜、飛

箭靜止 ) 審美性的啟發。

9*9+7=88 98*9+6=888 987*9+5=8888 9876*9+4=88888 98765*9+3=888888 987654*9+2=8888888 9876543*9+1=88888888 98765432*9+0=888888888

跨學科整合 科學、藝術、歷史、音樂、建築等皆與數學息息相關。

數字與詩： A. 一去二三里，煙村四五家。 樓台六七座，八九十枝花。

B. 一花一柳一點磯，一抹斜陽一鳥飛 一山一水一中寺，一林黃葉一僧歸。…清。何佩玉 黃金分割：

埃及金字塔、希臘雅典帕特農神廟、維納斯女神像、芭蕾舞演員墊起腳尖、窗戶大小規格等。

人體的四個黃金分割點：肚臍、咽喉、膝蓋、肘關節。 肚臍以上與肚臍以下 咽喉至頭頂與咽喉至肚臍 膝蓋至腳後跟與膝蓋至肚臍 肘關節至肩關節與肘關節至中指尖

減緩學習壓力 瞭解數學發展是歷經千百年的累積，藉以減輕在授課時數

侷限下，學生學習數學所產生的挫折與壓力。 HPM通訊第二卷第一期

諭王道化：朕自起身以來，每日同阿哥等察【阿而熱巴拉新法】，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處易甚多，騖突處也不少 ...... 還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法平平耳。（參考【掌故叢編】二輯【清聖組諭旨二】）

激勵個別策略 學生的思維與數學發展歷程的比較，可使學生意識到數

學的『溫度』。 又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。 約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減

多，更相減損，求其等也。以等數約之。 「可半者半之」 :分子和分母可以用 2除之者，先同除以 2 「副置分母子之數」 :(91,49) 「以少減多」： (91-49,49)=(42,49)=(42,49-42)=(42,7) 「更相減損，求其等也」： (91-49,49)=(42,49)= (42,49-42)=(42,7)=…=(7,7) ， 7

就是「等數」。 「以等數約之」：分子與分母同除以 7

以上方式與輾轉相除法有異曲同工之妙，可於介紹輾轉相除法前做鋪陳或兩法之比較。

人格薰陶 由數學家契而不捨的精神激發學生求真、求善、求美的情懷。

引導學生善用理性思考解決問題。 分析、歸納、演繹、類比

（多元）文化的關懷 不同文化與地區對數學的認知與發展歷程，同中有異，異中存同。

認識不同文明的發展，進而尊重與關懷各種不同文化。

如何在數學教學中融入數學史：know-how 基本教學策略：

說故事：提供銘言佳句：有畫龍點睛之效引入另類解法貼近文本 與生活脈絡連結

如何在數學教學中融入數學史：know-how 進階教學策略（一）

歷史「花絮」（ snippets） 數學史的原始文獻（ primary sources） 練習題（ worksheets) 提供 2-3堂課使用的「歷史套裝」（ historical packages）

恰當地使用歷史上出現的謬誤（ errors）、另類概念（ alternative conceptions）、觀點的改變（ change of perspective）、隱含假設的修訂（ revision of implicit assumptions）以及直觀論證（ intuitive arguments）等等

如何在數學教學中融入數學史： know-how 進階教學策略（二）

歷史上的問題回到過去的數學實驗活動 數學話劇 多媒體工具 戶外數學古蹟的教學活動利用網路搜尋資料 建立讀書會

基本教學策略 -- 說故事

數學故事的八種類型 「數學是什麼？」的故事： 「為什麼要學數學？」的故事： 「數學的人文啟發」的故事： 「數學應用於日常生活」的故事： 「數學益智」的故事： 「數學文本」的故事： 「數學發現」的故事： 「數學家」的故事：

「數學是什麼？」的故事 數學歷史解釋的幾大方向：

按時代區分 按數學對象、方法等本身的變化過程。 按數學發展的社會背景。

「數學的人文啟發」的故事 數學的歷史大部分隱藏在我們所見的文化中，也牽涉到人類生活的每一層面。舉凡交易、農作、宗教、打仗等都與數學發生交互的影響。

「數學應用於日常生活」的故事 數學思考與所有人類活動息息相關。如：地圖繪製、航海、透視藝術、無線電、電視、電話、電腦等。 生物世界的數學本質，可從費波那契數列中略窺一二，尤其是在植物世界，例如；葉子沿著莖的排列，花瓣的數目，百合花有三個花瓣，毛良有五個花瓣，飛燕草有八瓣，金盞花有十三瓣，在向日葵中也發現費氏數列。

「數學益智」的故事 埃拉托斯特尼 (Eratosthenes,276B.C.~195B.C.)測量

地球圓周長：幾何 韓信點兵：同餘 丟番圖的墓誌銘：代數 尤拉七橋問題：一筆畫 莫比烏斯帶：單側區面

「數學益智」的故事 【同餘小傳】：

一、金庸武俠小說射雕英雄傳中有一段故事： 有一位住在黑沼，中自稱神算子的瑛姑，武功高強，數學卻不甚高明，經常苦思數月，解一些算術或代數中的問題。郭靖與黃蓉因逃避裘千仞的追蹤，誤入瑛姑住的污泥湖沼，離開前，黃蓉用竹杖在地下細沙上寫了三道算題。其中一道為『鬼谷算題』：今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？黃蓉對郭靖說：這三道題目，半年之內她必算不出來，叫她的頭髮全都白了。

此一問題，便是後來被西方數學家稱為中國剩餘定理（ Chinese Remainder Theorem ）之一特例。最早出現在孫子算經中（因此在中國亦稱為孫子定理），後來流傳於民間以不同的故事出現，如韓信點兵，後來又有一些詩或口訣，給出此題之解，如：三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知。

二、同餘的概念是高斯（ Gauss ， 1777-1855 ）在他於西元 1801 年出版 的算學研究（ Disquisitiones Arithmetica ）一書中最先引進。

「數學文本」的故事 普林頓 322的泥版上（如右圖），據依格包爾（ otto neuguebauer）的考證，巴比倫人還列舉出畢達格拉斯數組，近幾十年來依格包爾（ otto neuguebauer）詮釋了許多楔形文字泥版，對巴比倫的數學給出比過去更高的評價。

「數學發現」的故事 教授畢氏定理時，可以談談畢達哥拉斯（ Pythagoras，

580~500B.C.）的生平，及其所成立的畢達哥拉斯學派，其宗旨是『萬物皆數』，在幾何、數論、天文、音樂等，都有很卓越的研究成果。此學派教規甚嚴，不可洩漏教派之機密。但該學派卻發現邊長為 1的正方形之對角線長度既非整數，也不是整數比所能表示，嚴重觸犯了畢氏學派的教條，相傳希伯索斯洩漏此一情形，而被其他信徒丟入海中處死，亦有數學史家認為畢是學派是研究其精神徽章五星圖時，發現與其教義矛盾的現象。

畢氏定理又有百牛定理之稱，相傳畢達哥拉斯發現了直角三角形基本定律，後曾舉辦一次盛大的牛祭。從此以後，每當新的定理被發現所有的牛都怕的瑟瑟發抖。

「數學發現」的故事 勾股定理及其歷史：勾股定理被發現

至今大約有三千多年的歷史，巴比倫、埃及都先後應用過它，在中國方面【周髀算經】（約公元前一百多年）記載，商高（約公元前 1120 年）答周公曰：「勾廣三，股修四，徑隅五」這裡勾指直角三角形的兩直角邊中較短者，股是指另一直角邊，徑則為斜邊。另一位陳子（公元前七—六世紀）與榮方討論測量問題時的對話：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並以開方除之，得邪至日。」

日高為股

日下為勾

「數學發現」的故事圓面積之證明：好的證明是既發現又證明

「數學發現」的故事

「數學發現」的故事

割之彌細，所失彌少；割之又割，以至於不可割，則與圓周，體而無所失矣。… 劉徽

「數學家」的故事

「數學家」的故事 在課堂上可多提供一些資訊給學生，讓他們感染大師的風範，大師之所以成為大師，包含了天賦、人文素養、毅力等等，說不定透過這種連結，在日後能激發更多的阿基米得、愛因斯坦、劉徽。再者，一些趣聞可減少學生對數學一些硬梆梆的成見。

休息一下！

To be countinue….