第一章 事件与概率

样本空间与事件

对某事物特征进行观察 , 统称试验 .

若它有如下特点 , 则称为随机试验 , 用 E 表示

试验前不能预知出现哪种结果

试验结果不止一个 , 但能明确所有的结果

一、样本空间

样本空间—— 随机试验 E 所有可能的结果

样本空间的元素 , 即 E 的直接结果 , 称为

组成的集合称为样本空间 记为

样本点 ( 基本事件 ) 常记为 ， = {}

例 1 样本空间的例子：

2 {0,1,2,3, , }N

}),{( 213 TyxTyx

其中 T1,T2 分别是该地区的最低与最高温度

:3E 观察某地区每天的最高温度与最低温度

:2E 观察某商场在一天里到达的顾客数

有限样本空间

无限样本空间

:1E 投一枚硬币 5 次，观察正面出现的次数1 {0,1,2,3,4,5}

二、随机事件

基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果 .

必然事件——全体样本点组成的事件 , 记为 , 每次试验必定发生的事件 .

随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样本点发生

不可能事件——不包含任何样本点的事件 ,记为 , 每次试验必定不发生的事件 .

随机事件 —— 的子集 , 记为 A ,B ,…

例子： P10 例 5

A

随机事件的关系和运算与集合的关系和运算相同

维恩图 ( Venn diagram )

三、事件的相互关系和运算

—— A 包含于 BBA

事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B

BA BA AB 且

1. 事件的包含

2. 事件的相等

BA 或 BA

事件 A 与事件 B 至 少有一个发生

BA 发生

nAAA ,,, 21 的和事件 —— n

iiA

1

,,,, 21 nAAA 的和事件 ——

1iiA

—— A 与 B 的和事件

3. 事件的并 ( 和 )

BA 或 AB

事件 A 与事件 B 同时 发生

BA 发生

nAAA ,,, 21 的积事件 —— n

iiA

1

,,,, 21 nAAA 的积事件 ——

—— A 与 B 的积事件

1iiA

4. 事件的交 ( 积 )

BA

BA 发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生

—— A 与 B 的差事件

5. 事件的差

—— A 与 B 互斥

AB

A 、 B 不可能同时发生

AB

nAAA ,,, 21 两两互斥

,,,, 21 nAAA 两两互斥njijiAA ji ,,2,1,,,

,2,1,,, jijiAA ji

6. 事件的互斥 ( 互不相容 )

—— A 与 B 互相对立 BAAB ,

每次试验 A 、 B中有且只有一个发生

A

B

AB 称 B 为 A 的对立事件 ( 逆事件 ) ，记为

注意：“ A 与 B 互相对立”与“A 与 B 互斥”是不同的概念

7. 事件的对立

A

8. 完备事件组

n

iiA

1

nAAA ,,, 21 若 两两互斥，且nAAA ,,, 21 则称 为完备事件组

1A nA

1nA2A

3A

nAAA ,,, 21 或称 为 的一个划分

AABA

AA

A

)(

ABAA

A

AA

)(

AAA AAA )(ABABABA

AA

对应事件运算

集合运算

一些常用等式：

交换律 ABBA BAAB 结合律 )()( CBACBA

)()( BCACAB 分配律 )()()( CBCACBA

))(()( CABABCA BABA BAAB

n

ii

n

ii AA

11

n

ii

n

ii AA

11

对偶律

事件的运算法则：

记号 概率论 集合论 Ω 样本空间 , 必然事件 空间 φ 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A 发生必然导致 B 发生 A 是 B 的子集 AB=φ A 与 B 互不相容 A 与 B 无相同元素 AB A 与 B 至少有一发生 A 与 B 的并集 AB A 与 B 同时发生 A 与 B 的交集 AB A 发生且 B 不发生 A 与 B 的差集 A 不发生、对立事件 A 的余集

A

例： 试用 A 、 B 、 C 表示下列事件：

① A 发生； ② 仅 A 发生； ③ 恰有一个发生； ④ 至少有一个发生； ⑤ 至多有一个发生； ⑥ 都不发生； ⑦ 不都发生； ⑧ 至少有两个发生；

ABC

ABC ABC ABC

A B C

ABC ABC ABC ABC

ABC

ABC A B C

AB AC BC

A