两个平面垂直的判定 和性质
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两个平面垂直的判定
和性质
1 、定义: 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直。
性质 : 1 、凡是直二面角都相等2 、两个平面相交 , 可引成四个二面角 ,如果其中有一个是直二面角 , 那么其他各个二面角都是直二面角
记作 α⊥β
两个平面相交,如果其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,能否得到两个平面垂直?
想一想
已知: AB┴β AB
求证: ┴ β
aAB aAB aAB aAB
a a
A
BC
D
证明: CD 设 =
AB ┴ CD AB AB CD 、 共面
┴ CDAB
设垂足为 B ,过 B 点在平面 内作 BE ┴ CD
则∠ ABE 是二面角 的平面角
又 AB ┴
-CD- 是直二面角
┴
CD
A
BC
D
E
∴∠ABE 是直角
两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
已知: AB α , AB β⊥
∪
求证: α β⊥α
βC
D
A
B E
例 1 、设 AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于圆 O 所在平面, C 是圆周上的任意点,求证:面 PAC ⊥面 PBC
P
A B
C
O
例 2 、空间四边形 ABCD 中,已知 AB=3 , AC=AD=2 , ∠ DAC = BAC = BAD = 60∠ ∠ 0 ,
求证:平面 BCD ⊥平面 ADC
A
C
B D
O
例 3 、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行,那么这两个平面互相垂直
α
β
γa
已知: a // α , a β⊥
求证: α β⊥b
例 4 、已知 PA ⊥平面 ABCD , ABCD 为矩形, PA = AD , M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点,
求证:( 1 ) MN // 平面 PAD ;
( 2 )平面 PMC ⊥平面 PDCP
A
B C
D
M
N
Q
练习1 、已知△ ABC 中, O 为 AC 中点, ∠ ABC=900 , P 为△ ABC 所在平面外一点, PA=PB=PC ,求证:平面 PAC ⊥平面 ABC
P
A
B
CO
2 、 PD ⊥面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面?
P
D
A B
C
2 、判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
线面垂直 面面垂直
A
BC
D
在如图长方体 AC1 中,判断下列结论的正误并说明理由
① 平面 ADD1A1 ┴ 平面 ABCD
②D1A ┴ AB
③D1A ┴ 平面 ABCDA B
CD
A1B1
C1D1
练习:
想一想: 平面 ADD1A1 ┴ 平面 ABCD ,过点 A在平面 ADD1A1 内的直线满足什么条件才能与平面 ABCD 垂直呢?
3 、性质定理 (1) : 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
C
D
A
B
面面垂直 线面垂直
E
在 β 内引直线 BE⊥CD, 垂足为B,
由 α⊥β 知 ,AB⊥BE
又 AB⊥CD 而 BE 和 CD 是 β 内的两条相交直线所以 AB⊥β
则∠ ABE 是二面角 α-CD-β 的平面角
面面垂直的性质定理( 2 ):
如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。
A
C
DO
O
bc
小结:面面垂直 线面垂直
关键
在一平面内找另一平面的垂线
例 1 、已知:四面体 ABCD , AB=AD , AB BC⊥ , AD DC⊥ , E 为 BD 中点;求证:( 1 )平面 AEC⊥平面 ABD ; ( 2 )平面 AEC⊥平面 BCE 。
A
B C
DE
例 2 、 已知矩形 ABCD 中 AB=2AD , E 为 AB 的 中点,将△ AED 沿 DE 折起, ( 1 )如果 AB=AC ,求证:平面 ADE⊥平面 BCDE 。 ( 2 )如果二面角 A-DE-C 是直二面角, 求证: AB=AC 。
AB B
CC
D
D
A
E E
P Q
例 4. 如图: AD 为锐角三角形 ABC 的高, E 是 AD 上一点,且 AE=1/2ED ,过 E 作直线 MN//BC ,交 AB , BC 于 M , N ,沿 MN 将 AMN 折起到 AMN , 使 AED=60 ,求证:平面 AMN 平面 ABC
A
B
C
D
EM
N
A
例 4. 如图: AD 为锐角三角形 ABC 的高, E 是 AD 上一点 , 且 AE= 1/2 ED ,过 E 作直线 MN//BC ,交 AB , BC 于 M , N ,沿 MN 将 AMN 折起到 AMN , 使 AED=60 ,求证:平面 AMN 平面 ABC
A
B
C
D
EM
N
A
面面垂直 线面垂直 线线垂直
例 5. 如图,平面平面 =a ,平面, 平面,和又同时平行直线 b ,求证:( 1 ) a (2)b
Am
nBC
12
c d
如图, ABCD 是正方形, PA 平面 AC , BE PC ,E 为垂足。
( 1 )求证:平面 BDE 平面 PBC ;
( 2 )当 PA=a PB= a 时,求二面角 E-BD-C 的正切值
7
O( 5 )试问平面 PBC 是否与
平面 PDC 垂直?
(3) 若求二面角 B-PC-D又如何求?
( 4 )试求 PC 与 BD 的距离
如图,平面平面 =a ,平面, 平面,和又同时平行直线 b ,求证:( 1 ) a (2)b
Am
nBC
12
c d
AB
CD
M N
O
A B
CD
M NO
南师讲义 P.103 6题
1 、两个平面互相垂直的定义
小 结:
2 、两个平面互相垂直的判定定理
3 、两个平面互相垂直的性质定理
作业 :
1 、书 P40 习题 12 、 13 、 14
2 、教测 P119 例 1 、例 2