第五节 空间直线及其方程
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Transcript of 第五节 空间直线及其方程
一、直线的一般式方程二、直线的点向式方程与参数方程三、 两直线的夹角四、直线与平面的夹角
五、小结
x
y
z
o
1
2
定义 空间直线可看成两平面的交线.
0: 11111 DzCyBxA
0: 22222 DzCyBxA
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
—— 空间直线的一般方程
L
思考:直线的方程唯一吗?
x
y
z
o
方向向量的定义: 如果一非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为这条直线的方向向量.
sr
L
),,,( 0000 zyxM0MM
( , , ) ,M x y z L
0M M sr
//
{ , , },s m n pr
},,{ 0000 zzyyxxMM
pzz
nyy
mxx 000
—— 直线的点法式方程
直线的一组方向数
注 1 :方向向量的余弦称为直线的方向余弦 .
0
0yyxx
直线方程为例如 , 当
,0,0 时 pnm
注 2 :某些分母为零时 , 其分子也理解为零 .
tpzz
nyy
mxx
000令
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
则可得直线的参数方程
由点法式方程pzz
nyy
mxx 000
思考:若给定直线的方程, 怎样求得求直线的方向向量?
例 1 用点向式方程及参数方程表示直线1 0
2 3 4 0
x y z
x y z
解 在直线上任取一点 ),,( 000 zyx
取 10 x 0 0
0 0
2 0
3 6 0
y z
y z
解得 2,0 00 zy
点坐标 ),2,0,1(
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取 1 2s n n r r r
},3,1,4{
点向式方程 ,3
2
1
0
4
1
zyx
参数方程 .
32
41
tz
ty
tx
例 2 一直线过点 )4,3,2( A ,且和 y轴垂直相
交,求其方程. 解因为直线和y轴垂直相交,
所以交点为 ),0,3,0( B
取 s BAr
},4,0,2{
则所求直线方程2 3 4
.2 0 4
x y z
思考:如何求经过两点的直线的方程?
即2 4
2 43 0
x z
y
定义
直线 :1L ,1
1
1
1
1
1
pzz
nyy
mxx
直线 :2L ,2
2
2
2
2
2
pzz
nyy
mxx
22
22
22
21
21
21
21212121
||),cos(
pnmpnm
ppnnmmLL
^
两直线的方向向量的夹角称之 . (锐角)
—— 两直线的夹角公式
两直线的位置关系:
21)1( LL ,0212121 ppnnmm
21)2( LL // ,2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
直线 :1L
直线 :2L
1 {1, 4, 0},s r
2 {0,0,1},s r
1 2 0,s s r r
Q 1 2 ,s s r r
例如,
.21 LL 即
例 3 求过点 )5,2,3( 且与两平面 34 zx 和
152 zyx 的交线平行的直线方程 .
解 设所求直线的方向向量为 { , , },s m n pr
根据题意知 1 ,s nr r
2 ,s nr r
取 1 2s n n r r r
},1,3,4{
.1
5
3
2
4
3
zyx所求直线的方程
例4 求过点 )3,1,2(M 且与直线12
13
1
zyx
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 ,则其方程为
0)3()1(2)2(3 zyx
再求题目所给的已知直线与该平面的交点N,
令 tzyx
121
31
.12
13
tz
ty
tx
代入平面方程得 ,73
t 交点 )73
,7
13,
72
( N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373
,17
13,2
72
{ },724
,76
,7
12{
所求直线方程为 .4
311
22
zyx
思考:如何求直线与平面的交点?
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角.
,: 000
p
zz
n
yy
m
xxL
,0: DCzByAx
{ , , },s m n pr
{ , , },n A B Cr
( , )2
s n
r r^( , )
2s n
r r^
0 .2
222222
||sin
pnmCBA
CpBnAm
—— 直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系:
L)1( .p
C
n
B
m
A
L)2( // .0 CpBnAm
.cos 2 cossin
2
例 5 设 直 线 :L2
112
1
zyx, 平 面
: 32 zyx , 求 直 线与 平 面的 夹 角 .
解 {1, 1,2},n r
{2, 1,2},s r
222222
||sin
pnmCBA
CpBnAm
96|22)1()1(21|
.63
7
637
arcsin 为所求夹角.
1. 空间直线方程
一般式
点向式
参数式
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
tpzztnyytmxx
0
0
0
五、小结
,1
1
1
1
1
11 p
zznyy
mxx
L:直线
,2
2
2
2
2
22 p
zznyy
mxx
L:
2
1
2
1
2
1
pp
nn
mm
直线
夹角公式 :
021 ss21 LL
21 // LL 021 ss
21
21cosss
ss
,0 DzCyBxA
Cp
Bn
Am
平面 :
L⊥
L //
夹角公式:
0 CpBnAm
sin
,pzz
nyy
mxx 直线 L
:
),,( CBAn
),,( pnms
0ns
0ns
ns
ns
练习题 . 求以下两直线的夹角
解 : 直线
直线
二直线夹角 的余弦为
02
02:2 zx
yxL
cos
从而4
的方向向量为
的方向向量为 )1,2,2(
)1(1)2()4(21 222 1)4(1 222 )1()2(2
201
0112
kji
s
思考题
在直线方程p
zny
mx
62
24
中,m、
n、p各怎样取值时,直线与坐标面xoy、
yoz都平行.
思考题解答{2 , ,6 },s m n p
r 且有 0.s rr
1 0, r r
Q s n2 0,s n
r r
02
06
m
p ,0,6 mp
0,s rr
Q ,0n
故当 时结论成立.,0m 6p,0n
坐标面xoy、 yoz方程分别为 0, 0z x
法线向量分别为 1 2(0,0,1), (1,0,0)n n r r
.