第 五 章 图 论 ( 第二部分 )
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第 五 章 图 论 ( 第二部分 )
1. 通路2. 图的连通性
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1. 通路[ 定义 ] 通路 pseudo path 设 G = (V , E) 是图, v0, vn是 G 中两点。若 G 中结点序列 v0v1 … vn满足: vi与 vi+1相邻 (0 i < n), 则该序列称为从 v0到 vn的通路。 两个端点相同的通路称为回路(环或圈)。 通路中包含的边数称为该通路的长度。 注意: (1) 通路中允许有重复的结点和边。
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A
B
C D
E
通路举例
通路: ADEBDEA回路: ACDBCEA回路: ABCDEA
4
A
B
C D
E 简单通路: ADEBD简单回路: ACDBCEA
[ 定义 ] 简单通 ( 回 ) 路 各边均不相同的通路称为简单通路。 各边均不相同的回路称为简单回路
简单通 ( 回 ) 路
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基本通 ( 回 ) 路[ 定义 ] 基本通 ( 回 ) 路 结点各不相同的通路称为基本通路。 中间结点各不相同的回路称为基本回路。
A
B
C D
E基本通路: ACEBD基本回路: ABCDEA
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有向通 ( 回 ) 路 [ 定义 ] 有向通 ( 回 ) 路 若通路 v0v1 … vn各边是有向边,且 vi-1和 vi分别是有向边的始点与终点,则称该通路为有向通 ( 回 ) 路。
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通路定理 [ 定理 ] 通路定理 在 n 阶图 G 中,如果有顶点 u 到 v ( u v )的通路,那么 u 到 v 必有一条长度小于等于 n1 的基本通路。
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通路定理证明 定理:在有 n 个顶点的图 G 中,如果有顶点 u 到 v 的通路,必有长度不大于 n-1 的基本通路。证明: (1) 先证明 u 和 v 之间存在基本通路 若 uv 之间的通路 P 中有相同的顶点,则从 P 中删除相同顶点之间路径,直到 P 中没有相同顶点,这样得到的路径为 u 和
v 之间的基本通路。 (2) 再证基本通路长度不大于 n-1 (反证法)设 u 和 v 之间的基本通路的长度≥n。 ∵ 一条边关联两个顶点, ∴长度≥n的基本通路上至少有n+1个顶点。 ∴ 至少有两个相同顶点在 u 和 v 之间的基本通路上,这与基本通路的性质“任意两个顶点不同”相矛盾。 ∴ 基本通路的长度 <= n - 1
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路径:回路定理 [ 定理 ] 回路定理 在有 n 个顶点的图 G 中,如果有顶点 v到自身的通路,那么必定有一条从 v 到 v的长度不大于 n 的基本回路。
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连通性定义 [ 定义 ] 两结点连通 ( 可达 )
若 u 与 v 之间有通路相连,则称 u 与 v 连通(可达)。 规定:任意顶点与自身连通。 [ 定义 ] 连通无向图
任意两个顶点都连通的无向图
a
b c
d e
f
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有向图的连通性 强连通的有向图
任意两个顶点都是互相连通的。 单向连通的有向图
任意两个顶点,至少从一个顶点到另一个是连通的 弱连通的有向图
底图连通的
b c
a
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强连通图性质(补充) 定理:一个有向图 G 是强连通的当且仅当G中有一条包含所有顶点至少一次的回路。证明: : G中有一条包含所有顶点的回路,显然强连通。 /* 连通图的定义 */
:如果 G 强连通, G 中的顶点为 v1, v2,… .vn, 设 v1到v2路径为 P1, v2到 v3的路径为 P2 ,……, vn到 v1 的路为 Pn ,将 P1, P2,… ... Pn连起来,此路是一条包含 G中所有顶点的回路。
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有向图连通性举例 判断下面给出的图是强连通图、单向连通图还是弱连通图。
A B
C
DE
F
A B
C
DE
F
A B
C
DE
F
A B
D C
E
强连通图弱连通图强连通图单向连通图
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无向图的连通分支 [ 定义 ] 连通分支( connected component )
设图 G’ 是无向图 G 的子图的,如果:(1) G’ 是连通的,(2) G’ 不是任何其它连通子图的真子图(极大性)则称 G’ 是 G 的连通分支。
G
[ 定义 ]连通图:只有一个连通分支的图。
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无向图连通分支举例例 请指出下图G的连通分支数。
v3
v4
v5
v6
v7
v1
v2
G
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有向图的连通分支 [ 定义 ] 强(单向、弱)连通分支 设图 G’ 是有向图 G 的子图的,如果:
(1) G’ 是强连通(单向连通、弱连通)的,(2) G’ 不是任何其它强连通(单向连通、弱连通)子图的真子图(极大性)则称 G’ 是 G 的强连通分支 / 强分支(单向连通分支 / 单向分支、弱连通分支 / 弱分支) 。
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有向图的连通分支举例
强分支 : <{v1,v2,v3,v6},{e1,e2,e5,e6,e7}> 、<{v4},> 、 <{v5}, > 、 <{v7}, > 、 <{v8}, > 、单向分支 : <{v1,v2,v3,v4,v6},{e1,e2,e3,e5,e6,e7}> 、 <{v4 ,v5},{e4}> , <{v7,v8},{e8}>
弱分支 : <{v1,v2,v3,v4,v5,v6},{e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}> 、 <{v7 ,v8},{e4}>
v8
G
v2
v1 v6
v3
v5
v4e2
e1
e7
e6 e5
e3
e4
v7
e8
例 请指出下图G的所有强分支、单向分支和弱分支。
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有向图连通分支举例 请给出下图的所有强分支、单向分支和弱分支
强分支:G[{A}]、G[{E}]、G[{F}]、G[{B}]、G[{C}]、G[{D}] 、 G[{P,Q,S,T}]
单向分支: G[{A,E,F}]、G[{B,C,D}]、G[{A,B,C,D}]、 G[{A,C,D,E}]、G[{P,Q,S,T}]
弱分支: G[{A,B,C,D,E,F}] , G[{P,Q,S,T}]
A B
C
DE
F
P Q
ST
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•若若 nn 阶图阶图 GG 的邻接矩阵为的邻接矩阵为 A=(aA=(aijij))n×nn×n ,, V(G)={vV(G)={v11,v,v22,…,v,…,vnn},}, 则:则:(( 11 )若a)若a ijij = = 11 ,表明,表明 vvii 到到 vvjj 有一条边,即有一条边,即 vvii 到到 vvjj 连通连通;;(( 22 )若)若aa ijij =0,表明=0,表明 vvii 到到 vvjj 没有长度为没有长度为 11 的通路。的通路。
b ij 的值表示 G中V i 到V j 长度为2的通路条数。
B=A2= nnijb )(
bij=
n
kkjikaa
1
图的连通性:连通性质讨论
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[ 定理 ]若 G 的邻接矩阵为 A ,则矩阵A m 的元素 bij 表示 vi 到 vj 长度为m的通路条数。
连通性质讨论 ( 续 )
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可达矩阵 [ 定义 ] 可达矩阵 若n阶有向图G的邻接矩阵为 A ,令
B = A+A2+…+An-1 +An
将 B 中不为 0 的元素改为 1 ,为 0 的元素不变,修改后所得到的矩阵 (bij)nn称为 G 的可达矩阵。 图 G 从 vi点到 vj点有通路当且仅当?bij = 1
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图的连通性与可达矩阵 有向图的连通性( n1 ): 设有向图 G的可达矩阵为 B(1) G强连通(2) G是单向连通的
无向图的连通性( n1 ): 设无向图 G的可达矩阵为 B G连通
B 中元素全为1B中所有关于主对角线对称的两个元素中至少一个值为1
B中元素全为1
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连通性证明题举例 1[ 试证 ]:若n个顶点的无向图 G=(V,E) 连通,则 |E| (n-1)。证明: (归纳法 ) (1) n=2,由 G连通可知 : |E| 1= n-1 ,定理成立。 (2) 假设n=k时 ,结论成立 ,即 |E| k- 1. (3) 证法一 : 当n=k+1时,由递归假设可知 :|E| k- 1. 任选 G中一个结点 v 若 G-v 连通 , 则 |V(G-v)|=k, 故由递归假设 |E(G-v)| k- 1; 而由 v与 G-v 至少有一条边相连可知 : |E||E(G-v)|+1 k ; 若 G-v 不连通 ,不妨设 G-v 中有 m个连通分支 G1,G2,…,Gm, 设 |V(Gi)|=xi; 显然 ,对所有 i=1,2,3,…,m, 都有 :xi<k. 由归纳假设可知 E(Gi)xi-1, 而 v与每个连通分支至少有一条边相连 ,故 E(Gi)m+i=1m(xi-1)= m+i=1mxi-m=i=1mxi=k.
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连通性证明题举例 1( 续 ) (3) 证法二 : 显然 , 在k+1个顶点中,不存在孤立顶点,否则, G 不连通。即 G 中所有顶点度数至少为 1 。 1) 若 G 中无度为1的顶点,则 G 中所有顶点的度数和≥ 2k +2。 进而,由握手定理可知: |E| ≥k+ 1。 命题得证。 2) 若 G 中至少存在一个度数为 1 的顶点,设为 v 。 令 G’=G-v, 则 G’ 有 k 个顶点且 G’ 连通。 根据递归假设 E(G’) k- 1 , 故 |E|=E(G’)+v 与 G’ 相连的边数 k-1+1=k. 命题得证 .
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连通性证明举例 2 证明:若 G 是简单图,设为 G 的顶点的最小度,若 >[|V(G)|/2]-1 ,则 G 是连通图。 证明:(反证法) 假设 G不是连通图。 则 G中至少存在两个连通分支,不妨设G中的两个连通分支分别为G1和G2,且|V(G1)||V(G2)|。 则有: |V(G1)|[|V(G)|/2]。 而由 G是简单图可知:G1中任意顶点v的度数满足: d(v) |V(G1)|-1 [|V(G)|/2]-1 进而, d(v) [|V(G)|/2]-1,这与前提条件 >[|V(G)|/2]-1矛盾。 因此, G是连通图。
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连通性证明举例 3 设 G 是 n 阶无向简单图,若 G 中任意不同的两个顶点的度数 之和大于等于 n – 1 ,请证明 G 是连通图。 证明:反证法。 假设 G 不连通。 不妨设 G 有 k 个连通分支 G1, G2,……, Gk , n1,
n2,……, nk是各分支的顶点数。则有:n1 + n2 +…+nk = n
任取 u G1, v G2。 由 G 是简单图可知: deg(u) <= n1 – 1 且 deg(v) <= n2 – 1 。 因此, deg(u) + deg(v) = n1 – 1 + n2 – 1 <= n – 2 这与题设“任意不同的两个顶点的度数之和大于等于 n –
1” 矛盾。 G 是连通图
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设图 G 是无向简单图。 请证明图 G 和补图 ~G 中至少有一个连通图。 证明: (1) 如果 G 是连通图,问题得证。 (2) 如果 G 不是连通图。 任取 u, v ~G ,设 G 的连通分支有 G1, G2,……, Gk ① 如果 u 和 v 是属于 G 中不同的连通分支 Gi和 Gj,则 (u, v) ~G
②如果 u 和 v 是属于 G 中相同的连通分支 Gi ,则可在 G 的另一个连通分支中取一个结点 x ,则 (u, x) ~G, (v, x) ~G 。∴ u 和 v 之间在 ~G 中有通路 uxv 相连。
由 u 和 v 的任意性,可知 ~G 是连通的。 综上所述, G 和补图 ~G 中至少有一个是连通图。
连通性证明举例 4
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课堂练习 证明:若 G 是简单图,设为 G 的顶点的最小度,若 k ,则 G 中有长为 k 的基本通路。
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课堂练习解答 2. 证明:(反证法) 假设 G中不存在长度为 k的基本通路。 设 P=v1v2…vm为 G中最长基本通路。则 mk 。 假设 vm与 V(G)-V(P) 中的一个结点相连,不妨设为 w,则 v1v2…vmw 为比 P更长的一条基本通路。这与 P是 G中最长的基本通路相矛盾。 因此, vm结点只能与 P上的结点 v1,v2 , …,vm-
1相连,故 d(vm)m-1k-1 ,进而 d(vm)k-1 ,这与 k 矛盾。