第四章 计算机图形处理技术

第一节 图形变换4.1.1 窗口—视区变换

1. 窗口 矩形观察框，用以显示感兴趣的图形内容。 窗口一般用矩形对角坐标表示。涉及图形剪裁技术。 窗口也可定义为圆形、多边形等异型窗口。 窗口可以嵌套。

窗口

2. 视区 在图形设备上定义的 矩形区域。

视区同样用矩形对角坐标表示。 视区应小于等于屏幕区域， 可在同一屏幕上定义多个视区。

3. 窗口与视区的变换 若将窗口内容在相应视区上显示，必须进行坐标变换。其变换归结为坐标点的变换。

窗口与视区的变换

)( 112

121 ww

ww

vvvv XX

XX

XXXX

)(Y 112

121 ww

ww

vvvv Y

YY

YYYY

窗口与视区坐标点的变换：

可见：

① 若视区大小不变，窗口缩小或放大，会使图形放大或缩小。

② 若窗口大小不变，视区缩小或放大，则图形会跟随缩小或放大。

③ 若窗口与视区大小相同时，则图形大小比例不变。

④ 若视区与窗口纵横比不同时，则图形会产生伸缩变形。

1. 工程图形的齐次坐标矩阵表示齐次坐标：将一个 n 维向量用 n+1 维向量表示 。

例：平面三角形 A 齐次坐标矩阵表示

1 2

3

o

x

y

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

A

4.1.2 二维图形的几何变换

若图形 A 经过某种变换后得到图形 B ，则有： B=A·T

T 称为变换矩阵，二维： T 为 3x3 矩阵，三维： T 为 4x4 矩阵。

A

（ 1 ）比例变换变换矩阵为：

100

00

00

d

a

T

坐标点 (x,y,1) 变换运算：

1

100

00

00

11'' dyaxd

a

yxyx

若 a=d=1 ，为恒等变换，变换后的图形不变；若 a=d≠1 ， >1 时为等比例放大， <1 时为等比例缩小；若 a≠d ，图形在 x ， y 两个坐标方向以不同的比例变换。

2. 二维图形的基本几何变换

（ 2 ）对称变换

1

100

0c

0b

11'' dybxcyaxd

a

yxyx

根据 a b c d 不同的取值情况，可以获得不同的对称变换。

①y 轴对称变换

100

010

001

T

1

100

010

001

11'' yxyxyx

②x轴对称

100

010

001

T

1

100

010

001

11'' yxyxyx

③对原点对称

100

010

001

T

1

100

010

001

11'' yxyxyx

④45°线对称

100

001

010

T

1

100

001

010

11'' xyyxyx

⑤-45°线对称

100

001

010

T

1

100

001-

01-0

11'' xyyxyx

（ 3 ）旋转变换 绕坐标原点旋转，逆时针为正，顺时针为负

100

0cossin

0sincos

T

1cossinsincos

100

0cossin-

0sincos

11''

yxyx

yxyx

（ 4 ）错切变换

100

01

01

c

b

T

1

100

01

01

11'' ybxcyxc

b

yxyx

其中： c 为 x 方向错切系数， b 为 y 方向错切系数。 ① 当 b=0, x’=x+cy, y’=y 。 y 坐标不变 ,c>0 沿 +x 方向错切； c<0 沿 -x 方向错切。 ② 当 c=0, x’=x, y’=bx+y 。 x 坐标不变， b>0 沿 +y 方向错切； b<0 沿 -y 方向错切。

（ 5 ）平移变换

1

010

001

ml

T

1

1ml

010

001

11'' mylxyxyx

其中： l 为 x 方向平移量， m 为 y 方向平移量。

二维图形基本变换矩阵讨论：

dc

baT1

实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本几何变换；

mlT 2 实现图形平移变换；

q

pT3 实现图形透视变换；

sT 4 实现图形全比例变换， s>1 等比例缩小； 0<s<1 等比例放大。

sml

qdc

pba

T

三维图形变换矩阵 T ： 4×4 矩阵

左上角子矩阵：图形的比例、对称、 错切和旋转变换；左下角子矩阵：平移变换；右上角子矩阵：透视变换；右下角子矩阵：比例变换。

snml

rjih

qfed

pcba

T

4.1.3 三维图形的几何变换

1 、比例变换

变换矩阵为：

1000

0j00

00e0

000a

T

111''' jzeyaxTzyxzyx

其中， a ， e ， j 分别为 x ， y ， z 方向的比例因子。

相对于 xoy 平面、 yoz 平面和 xoz 平面三个坐标平面的对称变换矩阵分别为：

1000

01-00

0010

0001

xoyT

1000

0100

0010

0001-

yozT

1000

0100

001-0

0001

xozT

2 、对称变换

3 、错切变换

变换矩阵为：

1000

01ih

0f1d

0cb1

T

1

1000

01

01

0cb1

11''' zfycxizybxhzdyxih

fdzyxzyx

d 、 h ：沿 x 方向的错切系数；b 、 i ：沿 y 方向的错切系数；c 、 f ：沿 z 方向的错切系数。

4 、平移变换

1nm

0100

0010

0001

l

T

变换矩阵为：

l ， m ， n: 为 x ， y ， z 三个坐标方向的平移量。

5 、旋转变换 （ 1 ）绕 x 轴旋转 a 角的变换矩阵：（平行于 yoz 平面）

1000

0cossin0

0sincos0

0001

xT

（ 2 ）绕 y 轴旋转 a 角的变换矩阵：（平行于 xoz 平面）

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

yT

（ 3 ）绕 z 轴旋转 a 角的变换矩阵：（平行于 xoy 平面）

1000

0100

00cossin

00sincos

zT

4.1.4 三维头型的投影变换和透视变换

投影变换（三视图）主视图：变换矩阵中坐标 y ＝ 0 ，其它坐标不变：

1000

0100

0000

0001

VT

俯视图 令 z ＝ 0 ，绕 x 顺时针旋转 90° ，再在负 z 方向平移，其变换矩阵为：

100

0100

0010

0001

1000

02

-cos2

sin-0

02

-sin2

-cos0

0001

1000

0000

0010

0001

n

TH

左视图：令 x ＝ 0 ，绕 z 轴逆时针转 90° ，再沿负 x 方向平移，变换矩阵为：

100

0100

0010

0001

1000

0100

002

cos2

sin-

002

sin2

cos

1000

0100

0010

0000

l

TW

a) 一点透视 b) 二点透视 c) 三点透视

透视变换： 是通过视点将三维物体投影到投影面的变换。