Элементы комбинаторики, теории вероятностей и

статистики

Докладчик Кулабухов С. Ю.

По-видимому невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом «случайный». Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах. Гаральд Крамер

Основные правила комбинаторики

2

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке можно выбрать mn способами.

1. Сочетания без повторений

Определение 1.1. Число всех выборов k элементов из n данных элементов без учета их порядка называют числом сочетаний из n элементов по k.

Определение 1.2. Сочетанием из n элементов n-элементного множества по k элементов называется всякое k-элементное подмножество этого множества.

Определение 1.3. Числом сочетаний из n элементов по k называется количество строго монотонных функций из k-элементного множества в n-элементное.

Функция, действующая на упорядоченных множествах называется строго монотонной, если выполняется условие: )()(, nfmfnmnm

Определение 1.4. Число размещений k неразличимых предметов по n ящикам, не более, чем по одному в ящик, то есть число способов выбрать из n ящиков k ящиков с предметами, называется числом сочетаний (без повторений).

)!(!

!

knk

nC kn

3

2. Размещения без повторений

Определение 2.1. Число всех выборов k элементов из n данных элементов с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k.

Определение 2.2. Размещением из n элементов n-элементного множества по k элементов называется всякая последовательность длины k, составленная из неповторяющихся элементов этого множества.

Определение 2.3. Числом размещений из n элементов по k называется количество инъективных функций из k-элементного множества в n-элементное.

Определение 2.4. Число всех возможных способов разместить k предметов по n ящикам, не более чем по одному в ящик, называется числом размещений (без повторений).

)!(

!

kn

nAkn

4

3. Перестановки

Определение 3.1. Число различных способов упорядочить n различных элементов называют числом перестановок n элементов.

Определение 3.2. Перестановкой из n элементов n-элементного множества называется всякое размещение этого множества по n элементов.

Определение 3.3. Числом перестановок из n элементов называется количество преобразований n-элементного множества.

Преобразование – это биекция множества на себя.

Определение 3.4. Аналогично определению 3.1.

!nРn

5

4. Размещения с повторениями

Определение 4.2. Число всех последовательностей длины k, составленных из элементов n-элементного множества называется числом размещений (с повто-рениями) из n по k.

kkn nA

Определение 4.3. Число всевозможных функций из k-элементного множества в n-элементное называется числом размещений (с повторениями) из n по k.

Определение 4.4. Число всех возможных способов разместить k предметов по n ящикам называется числом размещений (с повторениями) из n по k.

Определение 4.1. Аналогично определению 4.2.

6

5. Сочетания с повторениями

)()(, yfxfyxyx

Определение 5.2. Нет.

Определение 5.3. Число монотонных функций из k-элементного множества в n-элементное называется числом сочетаний (с повторениями) из n по k.

Определение 5.4. Число всех возможных способов разместить k неразличимых предметов по n ящикам называется числом сочетаний (с повторениями) из n по k.

Функция, заданная на упорядоченных множествах называется монотонной, если выполняется условие:

Определение 5.1. Пусть имеются предметы n видов и из них составляется набор, содержащий k элементов. Два таких набора считаются одинаковыми, если они имеют одинаковый состав. Такие наборы называются сочетаниями (с повторе-ниями) из n по k.

knk

kn CC 1

7

Задачи на классическое определение вероятности

1. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Л, М, О, О, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МОЛОТ? Ответ: 1/60.

2. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.

Ответ: 5/9.

3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

Ответ: 18/35.

4. Найдите вероятность выиграть в лотерею 6 из 49, то есть вероятность угадать не менее 3 выигрышных билетов. (Ответ округлите до тысячных).

Ответ: 0,019.

Задачи на классическое определение вероятности

Ответ: 0,019.

Решение задачи 4

649C -- количество всех способов выбрать 6 билетов из 49

143

56 СC -- количество всех способов выбрать 5 выигрышных билетов и

1 «проигрышный»

243

46 СC -- количество всех способов выбрать 4 выигрышных билетов и

2 «проигрышных»

343

36 СC -- количество всех способов выбрать 3 выигрышных билетов и

3 «проигрышных»

019,01

649

343

36

243

46

143

56

С

СCСCСCpИскомая вероятность:

10

Вариант 8

Алгебра 9 класс. Тематические тесты

для подготовки к ГИА-2012

11

Вариант 8

Алгебра 9 класс. Тематические тесты

для подготовки к ГИА-2012

продолжение

Ответы

Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты

12

Вариант 1

Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты

13

Вариант 7

Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты

14

Вариант 13

Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты

15

Вариант 16