מתמטיקה ב' לכלכלנים

1

מתמטיקה ב' לכלכלנים – אינטגרלים, שטחים 6שיעור

ושימושיהם.תיאוריה

2

בעיה מעשיתהיא מכונית של :aתאוצתה כלומר לשניה מטרים

- ( ? כלומר דקה כעבור המכונית תגיע מרחק לאיזה )

זמן

מהירות

הערכות באמצעות נפתור. ומלמטה מלמעלה

מלמטה הערכה מלמעלה הערכה

. נאיבית בהערכה נתחילקבועה - במהירות כי נזכור

0

חיובית תמיד המהירות - מ קטנה 60aהמהירות

svt

aa 36006060

a3600

attv )(60t

3

בעיה מעשיתהיא מכונית של . xתאוצתה כעבור המכונית תגיע מרחק לאיזה לשניה מטרים

דקה?

זמן

מהירות


0 a3600

: הדקה את נחלק חדש רעיוןו 30ל ראשונות 30שניות

. אחרונות שניות

חדשה הערכה נחשבמלמטה:

השניות השניות בשלושיםבקצב לפחות .a30התקדמנו

av 30)30(

attv )(

aa 9003030 900a

4


דקה?

זמן

מהירות


a3600

: הדקה את נחלק חדש רעיוןו 30ל ראשונות 30שניות

. אחרונות avשניות 30)30(

attv )(

aaa 270060303030

900a

: מלמעלה חדשה הערכההדקה בחצי התקדמנו

הראשונה- מ גבוה לא .a30בקצב

a2700

5


דקה?

זמן

מהירות


a2700

: הדקה את נחלק חדש רעיון, 20ל ראשונות 20שניות

ו שניות שניות 20שניותאחרונות.

חדשה הערכה נחשבמלמטה:

השניות השניות בעשריםבקצב לפחות .a20התקדמנו

לפחות האחרונות בעשריםa40.

avav 40)40(,20)20(

attv )(

a

aa

1200

40202020

900a1200a

6


דקה?

זמן

מהירות


a2700

: הדקה את נחלק חדש רעיון, 20ל ראשונות 20שניות

ו שניות שניות 20שניותavavאחרונות. 40)40(,20)20(

attv )(

aa

aa

24006020

40202020

1200a

: מלמעלה חדשה הערכהראשונות שניות בעשרים

בקצב היותר לכל התקדמנוa20 40ובשניותa.

a2400

7


דקה?

זמן

מהירות


את להכליל כעת ננסההשיטה.

attv )(

1200a a2400

ל הזמן את חלקים nנחלקקטע שווים. בכל המהירות את נעריך

בתחילת המהירות ידי עלהקטע:

1

0

6060

6060)1(

6060)2(

...6060

16060

0

n

i nnia

na

nn

na

nn

na

nna

n

2

60600)1( n

na

n

n

חסם מהירות

גודל הקטע ) קבוע)

1800)1(

an

n 1800)1(

an

n

: חשבונית סדרה2)( 1

naa n

8


דקה?

זמן

מהירות


חסם עבור התהליך על נחזורעליון.

attv )(

a2400

. הזמן את נחלק שוב

קטע בכל המהירות את נעריך: הקטע בסוף המהירות ידי על

n

i nnia

na

nn

na

nn

na

nna

n

1

6060

60606060)1(

...6060

26060

1

2

60601 n

na

n

n

1800)1(

an

n 1800)1(

an

n 1800)1(

an

n

9

בעיה מעשיתהיא מכונית של :xתאוצתה כלומר לשניה מטרים

- ( ? כלומר דקה כעבור המכונית תגיע מרחק לאיזה )

זמן

מהירות

הערכות סדרות שתי קיבלנובין שנמצא היחיד שהאיבר

: הוא שתיהן


attv )(60t

1800)1(

an

n 1800)1(

an

n

1800a

10

פתרון אחר לבעיה שראינו

חשבון של במונחים בה שנתקלנו הבעיה את לנסח ננסה: כלומר, דיפרנציאלי

היא מכונית של לשניה aתאוצתה מטרים ? דקה כעבור המכונית תגיע מרחק לאיזה

)()'( tvts attv )(atts )'( את .s(t)מצא

cat

ts 2

)(2 . האלו הפונקציות כל את מכירים אנחנו

פונקציות) ששתי הוכחנו) בקבוע- נבדלות נגזרת שוות : ונקבל )0(0נציב s

2)(

2atts 1800)60( as

מה הקשר בין חישובי שטחים 11לנגזרות

: מסויימת פונקציה של בגרף נביט

- בין השטח את ב נסמןה לציר (.x,0בקטע )xהפונקציה

בין הקשר מה להבין ננסהלבין .

x

f(x)

)(xf

)(xF

)(xF)(xf


של ברוחב שינוי על . xליד F(x) נסתכל מסוים . יותר מקרוב נביט

של לשינוי הערכה .Fקיבלנו

x

f(x))(xf

)(xF

)(max],[xf

xxx

)(min],[xf

xxx

)(max)()()(min],[],[xfxFxFxf

xxxxxx


)(max)()()(min],[],[xfxFxFxf

xxxxxx

. בדלתא המשוואה את נחלק

ל נשאיף .0וכעת

)(max)()(

)(min],[],[xf

xFxFxf

xxxxxx

)(maxlim

)()(lim)(minlim

],[00],[0xf

xFxFxf

xxxxxx


מתקיים– רציפה f(x)אם אך

ולכן

ונגזרתה גזירה פונקציה הוא השטח כלומרf(x).

)(maxlim

)()(lim)(minlim

],[00],[0xf

xFxFxf

xxxxxx

)()(maxlim)(minlim],[0],[0

xfxfxfxxxxxx

x

f(x)

)()()(

lim0

xfxFxF

)()(' xfxF

15

ועכשיו פורמלי – אינטרגל. f(x)תהי הגדרה: אם רציפה אז F’(x)=f(x)פונקציה

את :fשל קדומה Fנכנה ונסמן, dxxfxF )()(

מכונה לעיתים

לא אינטגרלמסוים.

שיזכיר סימוןאיזה לנומשתנה

. לגזור צריך

פונקציה משפט: של הקדומות .fכל בקבוע נבדלות

(הוכחה: לבחינה ) תיאורטי תרגיל ברמת: שונות קדומות בשתי ),()(נביט xFxF

)(')(' xFxF 0)(')(' xFxF

cxFxF )()(

Cx

dxx 3

32 דוגמא:

16

ועכשיו פורמלי – אינטרגל. f(x)תהי הגדרה: השטח את נסמן שלילית אי פונקציה

בין הפונקציה לגרף -bל aשמתחת ב של האינטגרל a,bבקטע f(x)ונכנהו

b

a

dxxfxF )()(

גבולות האינטגרל

:) - לייבניץ ) ניוטון וקדומתה f(x)אם משפט בקטע רציפהF(x).

)()()( aFbFdxxfb

a

17

נוסחת ניוטון-לייבניץ

x

f(x)

: וקדומתה שלנו לפונקציה נחזורחישוב מדוע הפרק בתחילת ראינו

, לקדומה קשור לפונקציה שמתחת השטחולייבניץ ניוטון בחרו כיצד אולם

? האינטגרל עבור הקדומה של הקבוע אתב כי רוצים שלנו aאנו האינטגרל ערך יהי

0: נרצה. לכן

כלומר:

)(xf

0)()( aFdxxfa

a

)()()( aFtFdxxft

a

)()()( aFbFdxxfb

a

CxF )(

18

תכונות האינטרגל

כהכנה מסויים הלא האינטגרל תכונות את לחקור נפנה . נשווה כאשר המסוים האינטגרל להבנת בו לשימוש

. קבוע כדי עד ההשוואה תמיד תהה אינטגרליםהוכחה טענה

dxxgdxxfdxxgxf )()()()()(')(')()'( xgxfxgf

dxxafxfa )()()(')()'( xafxaf

axtdttfa

axf )(1

)(axttafaxf )(')'(

19

תכונות האינטרגל

הגדרת את להרחיב אותנו מעודדות האלו התכונותשתכונות כדי חדשים שטחים עבור המסוים האינטגרל: - מסויים הבלתי של לאלו תתאמנה המסוים האינטגרל

לפי שלילית פונקציה של אינטגרל נגדיראינטגרל: לחשב נוכל וכך בתור

. חיוביות לא לפונקציות גם מסוים

: נגדיר לייבניץ ניוטון נוסחאת לפי

dxxafxfa )()(

dxxfxf )()(

)()()()()()( adxxfbdxxfdxxfdxxfb

a

a

b

משמעות בגיאומטריה ובתחומים 20אחרים.

פונקציה של אינטגרל של הגיאומטרית המשמעות מה? חיובית בהכרח אינה כאשר

ל שמתחת השטח בסימן 0את ניקחשלילי.

אינם שאינטגרלים לשכוח לנו אל אך . אלא שטחים לחישוב רק משמשים

. נגזרת להיפוך פשוט גםבבנק ריבית מחשבים כאשר למשל

שברשותנו בכסף השינוי היא הריבית. בהמשך כזו דוגמא נראה

x

f(x)

a b

b

a

dxxf )(

21

דוגמאות

: מפורסמים מסוימים לא אינטגרלים

Ccxcdx C

i

xdxx

ii

1

Cxdxx ln1

1i

Cedxe xx C

c

edxe

cxcx

22

משפט הערך הממוצע האינטגרלי

יותר ברורה ונהיית הקודם בקורס שלמדנו תכונההממוצע הערך היא אינטגרלים על בהסתכלות

האינטגרלי.ו משפט: , f(x)אם קיים אזי בין cרציפה

a לb: ש כך b

a

Sxf )(

)()(

ab

Scf

x

f(x)

23

תרגיל לדוגמא:

לפונקציה מתחת הכלוא השטח את חשבה ציר .xומעל

: את לחשב עלינו

128)( 2 xxxf

1280 2 xx

)6)(2(0 xx dxxx

2

6

2 128

Cxxx

dxxx 1243

128 23

2

3210)6(12)6(4

3

)6()2(12)2(4

3

)2(

1243

128

23

23

26

232

6

2

xx

xdxxx

24

וכעת – פרקטיקה.

תרופות קיצוניות מתאימות מאוד למחלות קיצוניות.

-- היפוקרטס

מתמטיקה ב' לכלכלנים

Documents

Transcript of מתמטיקה ב' לכלכלנים