Избранные вопросы дифракции рентгеновского излучения

на кристаллических структурах

Андрей Бенедиктович, БГУ

Что даёт рентгеновская дифракция ?

Алмаз Рентгеновская трубка

Закон Брэгга

Закон Брэгга

Не лишайте людей удовольствия услышать то, что они уже знают

Закон Брэгга

Взаимодействие с веществом: уравнения Максвелла-Шредингера

Field: Maxwell equation

Matter: Schrodinger equation

current

Взаимодействие с веществом: решение по теории возмущений

Из теории возмущений получаем линейную связь

упругий вклад

неупругий

Уравнения Максвелла с периодической восприимчивостью

• Бесконечная система линейных уравнений

• Двухволновое приближение

Еще раз закон Брэгга

• Дисперсионная поверхность

• условие резонанса

Дифракция на многлосйных образцах

Граничные условия

Схема анализа многослойных образцов

Trial parameters (x, l, R…)

Calculate layers lattice parameters based on elasticity theorySijkl

ch

hi, chi

Simulate the curve by means of Dynamical Diffraction Theory (DDT)

Fitting : Levenberg–Marquardt, Simplex, Simulated annealing, Genetic algorithm

Result

Multilayer sample

Пример…

Но если кристалл не идеальный?

Thin films: no relaxation, no defects - coherent scatteringDynamical Diffraction Theory

Thick films: significant relaxation, misfit dislocations – diffuse scatteringKinematical Theory

Small amount of defects,both coherent and diffuse scattering: Statistical Dynamical Diffraction Theory

200 nm 500 nm 1200nmintermediate caseIn0.06Ga0.94As/GaAs*)

*) Data from A. Benediktovitch et al, phys.stat.sol.(a), 208, 2539 (2011)

Динамическая и кинематическая теории

Degree of lattice disturbance: Static Debye-Waller factor

Scales:Dynamical effects: extinction length

Defect induced lattice disturbance: correlation length

Пример анализа на основе свойств дефектов (дислокаций несоответствия)

GaAs(001)

Inc(z) Ga1-c(z) As

MBE grown at rate 500nm/h, In concentration vary from 0 % at bottom to app. 40 % at top, thickness 2 mm

Sample Measurements

2D intensity distributions I(sx,sz) around RLP

(-2-2 4), (004),(224) Phys.Rev. B 84, 035302 (2011)

s R=1

R=0

~c(z)

~∫r(z’)dz’0

z

~AD[r](z)

z

Resulting intensity distribution can be calculated as

average strain

average mean square strain fluctuationsIn strain Fourier coefficients

Пример анализа на основе свойств дефектов (дислокаций несоответствия)

sx

s z

Phys.Rev. B 84, 035302 (2011)

Пример анализа на основе свойств дефектов (дислокаций несоответствия)

Порошковая дифракция

Зависимость только от угла 2тэта

Что можем извлечь

• Положение и интенсивность пиков: фазовый состав, структура элементарной ячейки

Что можем извлечь

• Форма пиков: микроструктура: дефекты

– Конечный размер

– Дислокации

Что можем извлечь

• Форма пиков: микроструктура: дефекты

– Дефект последовательности слоев (упаковки)

Что можем извлечь

• Форма пиков: микроструктура: дефекты

Анализ напряжений

Анализ напряжений

• Для использования метода нужно знать связь между макроскопическим напряжением и микроскопической деформацией

• тогда

Анализ напряжений

• Для этой цели необходимо решить уравнения теории упругости

Система 3 ДУЧП 2-го порядка с о случайными тензорными коэффициентами

• Необходим простой аналитический способ решения.

Анализ напряжений

Выделим постоянный тензор жесткости

Переформулируем через функцию Грина

Искомыми величинами являются деформации

В компактной форме записи

Анализ напряжений

Формальное решение

Для макроскопического тензора жесткости

Тогда нужный нам тензор имеет вид

Но как найти обратный к интегральному тензорному оператору?...

Анализ напряжений

…разложить в ряд:

… но нет малого параметра.

Анализ напряженийВыделим действие интегрального оператора

Можно рассматривать как минимизацию функционала

Минимизируем на классе функций

Для экстремального значения получим

Анализ напряженийЕсли предположить трансляционную инвариантность, то получаем

В случае изотропной получаем

И получаем связь локального напряжения со средним

Анализ напряженийТо же выражение через тензор деформации

Найдем макроскопический тензор жесткости С. По определению должно выполняться . Отсюда

В итоге получаем искомую связь между измеряемой деформацией и искомым напряжением

Анализ напряженийПредполагали объемный материал, где по всем направлениям

много зерен. Но в распространенном случае защитных покрытий

…

Подытоживая…

• Рентгеновское излучение прекрасно подходит для анализа структуры кристаллических материалов

• Позволяет определять структуру элементарной ячейки, типы дефектов, размер зерен… но требуется специальная обработка данных

• С появлением новых материалов появляются новые задачи => требуются новые методы анализа

Спасибо за внимание!