第四章 插补、刀具补偿与速度控制第四章 插补、刀具补偿与速度控制

本 章 重 点 内 容

刀 具 补 偿 原 理插 补 原 理

第一节 插补原理

§1.1 概 述

一 . 什么是插补

数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，用一个个输出脉冲把这一空间填补起来，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。

步进电机为驱动装置的开环数控系统。

计算机数控柜

步进电机驱动电源

步进电机

机 床

滚珠丝杆

应用

Ⅱ. 数字采样插补（时间标量插补）

插补程序每调用一次，算出坐标轴在一个周期中的增长段（不是脉冲），得到坐标轴相应的指令位置，与通过位置采样所获得的坐标轴的现时的实际位置（数字量）相比较 , 求得跟随误差。位置伺服软件将根据当前的跟随误差算出适当的坐标轴进给速度指令，输出给驱动装置。

1. 插补程序的调用周期和系统的位置采样周期相同 美国 Allen－ Bradley 公司的 7300 CNC 系列

2. 调用周期是系统的位置采样周期的整数倍

西门子公司的 System－ 7 CNC 系统，采用 8ms

的插补周期和 4ms 的位置反馈采样周期

应用 适用于闭环和半闭环，以直流（或交流）电机为驱动装置的位置采样系统。

类型

目前的 MNC 系统常采用以下结构方式完成插补运算

i 采用软 / 硬件配合实现插补方案的单微机系统

※ FANUC 的 System－ 5

ii 具有分布式微机系统

※ 麦唐纳 · 巴格拉斯公司 Actrion III 型MNC 系统

iii 具有单台高性能微型计算机 NC 系统

※ 西德西门子公司的 System-7 CNC 系统

逐点比较法插补原理

基本思想基本思想

脉冲当量

被控对象在按要求的轨迹运动时，每走一步都要和规定的轨迹进行比较，由比较结果决策下一步移动的方向。

一个脉冲所产生的坐标轴的移动量 mm/p 。

逐点比较法既可实现直线插补，又可实现圆弧插补。

Ⅰ、直线插补( 一 ). 偏差计算公式

如图所示，设规定轨迹为直线段 OE ，起点在原点，终点 E 的坐标为E(Xe， Ye) , 第一象限Pi(xi, yi) 为加工点（轨迹点） 。1.若 P 正好处在 OE 上 , 则下式成立。

xi =

yi ye

xe即 xeyi － xiye=0

y

0 x

E(Xe,Ye)

Pi(xi,yi)

2.当 P在 OE 上方时，

即 xeyi－ xiye>0

3.3.当当 PP在在 OEOE 下方时，下方时，

即 xeyi－ xiye<0

xi <

yi

xe

ye

xi >

yi

xe

ye

E(Xe,Ye)

y

xPi(xi,yi

)0

E(Xe,Ye)

yPi(xi,yi)

x0

∴判别函数 F 为 F＝ XeYi-XiYe

由 F 可判别动点 Pi 与理想轨迹的相对位置，从而决定下一步移动方向。

y

0 x

E(xe,ye)

F>0 ，点 Pi 在直线上方，应向 +X 移动。F<0 ，点 Pi 在直线下方，应向 +Y 移动。

F=0 ，点 Pi 在直线上，为方便，将 F=0 归

F>0 。

为便于计算机编程计算 ,将 F 的计算予以简化。 设第 I象限中动点 Pi(xi, yi)的 F值为 Fi ， Fi＝ XeYi-XiYe

1.若沿 +x 向走一步，即

eiiii

ii

ii

yxyxF

yy

xx

111

1

1 ,1

于是有 Fi+1 = Fi － Ye

Pi(Xi,Yi)

E(xe,ye)y

0 x

Pi+1(Xi+1,Yi

+1)

2.若沿 +y 向走一步，即

eiiei

ii

ii

yxyxF

xx

yy

111

1

1 ,1

于是有 eii XFF 1

新加工点的偏差完全可以用前一加工点的偏差递推。

x

y

0Pi(Xi,Yi)

Pi+1

E(xe,ye)

( 二 ) 终点判别的方法有两种：

1. 每走一步，判断动点 Pi(xi, yi) 的坐标值是否与 终点坐标相同，即

Xi-Xe ≥ 0且 Yi-Ye≥0

若两式同时满足，插补结束。

2. 求程序段总步数 n=Xe+Ye

每走一步， n1n ，直到 n=0 ，插补结束。

( 三 ) 插补计算过程：（用流程图表示 ）

终 点 到？

初始化

偏 差 判 别

坐 标 进 给

偏 差 计 算

End

Y

N

第 I 象限直线插补软件流程图

( 四 ) 不同象限的直线插补计算

初始化 xe、 ye , n=xe+ye, F=0

F0 ？+x 方向走一步 +y 方向走一步

F← F － Ye F ← F + Xe

n-1→nn ＝ 0

EndY

NY

N

y

0 x

E(xe,ye

)

用同样方法分析第 II， III， 象限插补情况，

-X

+Y

F<0(+Y)

F>0(-X)

F>0(-X)

F>0(+X)

F<0(-Y)

F<0(+Y)

F>0(+X)

F<0(-Y) +X

-Y

如图所示 , 可以得出：

都是沿 x 方向步进，无论 +x， -x， |x|总是增大， 走 +x或 -x 由象限标志控制 ( 跟随 Xe 的＋、－）

F≥0

+Y

F<0

F>0

F>0

F>0

F<0

F<0

F>0

F<0 +X

-Y

均沿 y 方向步进，无论 +y， -y， |y| 增大，I， II走 +y， III， IV 走－ y （随 ye 的＋，－）。

F<0

+Y

F<0

F>0

F>0

F>0

F<0

F<0

F>0

F<0 +X

-Y

下图所示，轮廓形状

C

x

y

0

B

A

D

a d

b c

a.看成是第 I 象限，起点 O1 ，终点 O2 ，输出为＋ x,＋ y

b.看成是第Ⅱ象限，起点 O2 ，终点 O3 ，输出为－ x,＋y c.看成是第Ⅲ象限 , 起点 O3, 终点 O4, 输出为－ x,－ y

d.看成是第 IV 象限 , 起点 O4, 终点 O1, 输出为＋ x,－y

C

x

y

0

B

A

D

a d

b c

x

y

x

y

x

y

x

y

初始化 |Xe|,|Ye|N=|Xe|+|Ye|

F>0?

沿 Xe 向走一步 沿 Ye 向走一步

F← F-| Ye | F←F+|Xe|

N=0?

End

Y N

NY

四个象限直线插补流程图可归纳为下图所示， 则 n=|xe－ x0|＋ |ye－ y0|

例 1 对直线段 OE 进行插补运算， E 点坐标为(5,3) ，试写出控制装置内插补运算步骤。

解：初始化：

xe=5， ye=3

F0 X F=F-3

F<0 Y F=F+5

y

x 0

E(5,3)

序号 判别 F 进给 F 计算 终点判别 (n-1n)

1 0 X -3 70

2 -3<0 Y 2 60

3 2>0 X -1 50

4 -1<0 Y 4 40

5 4>0 X 1 30

6 1>0 X -2 20

7 -2<0 Y 3 10

8 3>0 X 0 0 终点到

F0 X F=F-3 F<0 Y F=F+5

y

x05

3

Ⅱ、圆弧插补

( 一 ). 偏差计算公式

若 Pi 在圆弧上，则 （ xi²+ yi²)-(x0²+ y0²)=0

取判别函数 F 为 F=(xi²+ yi²)-(x0²+ y0²)

X

Y E(xe,ye)

A(x0,y0)

O

Pi (xi,yi)

圆心为原点，圆弧

起点坐标 (x0、 y0) ，终点坐标 (xe、 ye) ，

设动点 Pi(xi、 yi) 。

1. 动点在圆弧外 ,F > 0,向 -x 走一步；

2. 动点在圆弧内 ,F < 0, 向 +y 走一步；

3. 动点在圆弧上 ,F = 0,向 -x 走一步。

A(x0,y0)

E(xe,ye)

Pi

x

y

0

F=(xi²+ yi²)-(x0²+ y0²)

A(x0,y0)

E(xe,ye)

Pi

y

( 二 ) 终点判别的方法有两种：

1 、动点与终点坐标值比较

若 xi=xe， x 向已到终点

若 yi=ye， y 向已到终点

只有当 x、 y 都到达终点，插补才算完成。

2 、计算总步数 n=|Xe-X0|+ |Ye-Y0|

每走一步， n-1→n ，直到 n=0 ，插补结束

( 三 ) 插补计算过程：（用流程图表示 ）

A(x0,y0)

E(xe,ye)

Pi

y

终 点 到？

Y

End

N

初始化

偏 差 判 别

坐 标 进 给

偏 差 计 算

坐 标 计 算

( 四 ) 不同象限的直线插补计算

1 、第一象限逆圆插补 动点在 -X 方向走一步后 xi+1=xi -1 yi+1=yi

Fi+1=(xi-1)²+yi²-(x0²+y0²)

=Fi-2xi+1

动点在 +Y 方向走一步后

Fi+1=xi²+(yi+1)²-(x0²+y0²)= Fi+2yi+1

第一象限逆圆插补的流程图如图所示

Pi

Pi+1

Pi

xA

E

Pi+1

0

y

第一象限逆圆插补流程图初始化起点 (x0,y0)

终点 (xe,ye) F=0

F≥0？+Y 方向走一步 -X 方向走一步

F=F+2Y+1Y=Y+1

F=F-2X+1X=X-1

插补完 ?

End

N

Y

N Y

2 、第一象限顺圆插补

F≥0

动点在 -Y 方向走一步后

Fi+1=Fi-2Yi+1

第一象限顺圆插补的流程图如图所示

F<0

动点在 +X 方向走一步后

Fi+1=Fi-2Xi+1

Pi

Pi+1

Pi Pi+1

x

y

0

A

E

第一象限顺圆插补流程图初始化起点 (x0,y0)

终点 (xe,ye) F=0

F≥0？

+X 方向走一步 -Y 方向走一步

F=F+2X+1,X=X+1 F=F-2Y+1,Y=Y-1

插补完 ?

End

N

Y

N Y

3 、圆弧插补有八种情况表示如下图

4 、四个象限顺圆、逆圆插补表

走向 走 步 条 件 计 算 公 式

+X

第一象限、顺圆、 F<0 Xn＝ Xn＋ 1Fn ＋ 1＝ Fn＋

2Xn＋ 1Xe－ Xn ＋ 1＝ 0 ？

第二象限、顺圆、 F≥0

第三象限、逆圆、 F≥0

第四象限、逆圆、 F<0

－ X

第一象限、逆圆、 F≥0Xn＝ Xn－ 1Fn ＋ 1＝ Fn－

2Xn＋ 1Xe－ Xn ＋ 1＝ 0 ？

第二象限、逆圆、 F<0

第三象限、顺圆、 F<0

第四象限、顺圆、 F≥0

圆弧插补表圆弧插补表走向 走 步 条 件 计 算 公 式

+Y

第一象限、逆圆、 F<0Yn＝ Yn＋ 1Fn ＋ 1＝ Fn＋

2Yn＋ 1Ye－ Yn ＋ 1＝ 0 ？

第二象限、顺圆、 F<0

第三象限、顺圆、 F≥0

第四象限、逆圆、 F≥0

-Y

第一象限、顺圆、 F≥0Yn＝ Yn－ 1

Fn ＋ 1＝ Fn－2Yn＋ 1

Ye－ Yn ＋ 1＝ 0 ？

第二象限、顺圆、 F≥0

第三象限、逆圆、 F<0

第四象限、逆圆、 F<0

例 2.欲加工第 I象限逆圆弧 , 起点A， x0=4,y0=3; 终点 E:xe=0 ， ye=5 ，试写出插补计算步骤 .

解： 初始化 x=x0=4 y=y0=3

F=0 n=|Xe-Xi|+ |Ye-Yi|=6

F表达式： F≥0 , -ΔX , F-2X+1→F， X-1→X F<0 , +ΔY , F-2y+1→F， y+1→y

y

E

0 X

A

4

3

5

序号 F 判别 进给 F 坐标更新 终点判别 1 0 -ΔX F=0-2×4+1=-

7 6-1=5≠0

x=4-1=3

2 -7<0 ΔY F=-7+2×3+1=0

5-1=4≠0

y=3+1=4

3 0 -ΔX F=0-2×3+1=-5

4-1=3≠0

X=3-1=2

4 -5<0 ΔY F=-5+2×4+1=4

3-1=2≠0

y=4+1=5 y 轴达终 5 4>0 -ΔX F=4-2×2+1=1 2-1=1≠0

x=2-1=1

6 1>0 -ΔX F=1-2×1+1=0 1-1=0 插补完

F=1-1=0 X 轴达终

yE

0 X

A

4

3

5

数字积分法数字积分法

1 、基本概念

采用积分运算实现插补，又称 DDA 法。DDA(Digital Differential Analyzer)

2 、优点

易于实现多维插补和原有系统多个坐标轴联动的扩充 ,尤其多坐标联动的数控系统

一、 DDA 直线插补

设对直线 OE 进行脉冲分配

起点 O(0,0) ，终点 E(xe,ye)

直线方程 y/x=ye/xe

e

e

x

y

dtdx

dtdv

/

/ 对 t 求导

即 Vy/Vx=Ye/Xe

令动点 P ，在 x、 y 轴方向的速度分别是Vx、 Vy,

在 x、 y 方向的微小位移增量为 ΔX 、 ΔY 则：

E(xe， ye)y

x0

Vy

Vx

V

ΔX = Vx ·Δt

ΔY = Vy ·Δt（ 1 ）

假定进给速度 V 是均匀的，即 V 为常数，对于直线 函数来说 ,其分速度 Vx、 Vy必为常数 ,且有下式

e

e

y

x

y

X

V

V

引入比例系数 K ，有Vx = K • Xe

Vy = K • Ye（ 2 ）

将 (2) 式代入 (1) 式，即为坐标轴位移增量

Δx = K • Xe • Δt

Δy = K • Ye • Δt（ 3 ）

位移量为

n

i

t

e KXedtKXx1

0

n

ie

t

e tKydtKyy1

0

取单位时间 Δt=1 ，则公式化为

t

n

ie

n

ie

Kyy

KXX

1

1 （ 3 ）

Σ≥1 走一步 → Σ-1→Σ

→

余值作为下次累加的余值

Σ+ΣKXe+ΣKYe→ 不断累加 不断溢出 溢出脉冲数符合 (3) 式

得出接近理想的直线轨迹 →

→

累加多少次，才能达到加工终点呢？ K=？

设经过 m 次累加后，达到终点，由 (3) 式知， m 次累加后 X = m • K • Xe = Xe

Y = m • K • Ye = Ye

于是，必须使 m • k=1 ，或 m=1/k

i. 累加 1/k 次后， x 、 y 方向同时到点溢出的 脉冲总数 X=Xe,Y=Ye

ii .K与m互为倒数关系 ， m必须是整数 , 故 K必是小数。

确定 m(K)： 方法 1 ： 每次累加，在每个轴上最多只能产生一个进给脉冲。式

(2) 中的 Δx ,Δy 相同地要小于等于一个脉冲当量，即要求

KXe≤1 KYe≤1 ( )Ⅰ

, 则必然满足 (I) 式的条件。

Xe,Ye 的最大允许值受系统字长的限制 ,假设系统

字长为 m ，则Xe、 Ye 的最大允许值为 2ⁿ-1 ，若取

2ⁿK=

1

方法方法 22 ：： 假设 Xe>Ye,即 X 轴累加溢出脉冲总数多于 Y

轴 ,

累加最有效的情况是 , 每次累加 ,X 轴都有脉冲溢

出 ,Y 轴则不一定 , 于是选累加次数 m=Xe ，则

K= 1/Xe.将 (3) 式改写成：

n

ie

e

n

ie

n

ie

e

n

ie

Yx

Ym

y

Xx

Xm

x

11

11

11

11

每次累加1.X 轴必有脉冲溢出 ,( 不必要进行累加计算 )

2.Y 轴的累加结果大于或等于 m(Xe) 时才产生 溢出 ,发出一个脉冲 ,故m 又称为溢出基值 .

作为是否有脉冲溢出的判别条件

作为终点判别条件溢出余值m

设有 x1、 x2……xp个坐标轴同时插补，则令

m=max {x1,x2,^xp} ，m 对应的轴 xm 称为

主导轴每次累加，主导轴必有脉冲溢出， 而其余轴

推广到 P 个坐标轴同时插补的情况。

n

ijej x

mx

1

1

即以终点坐标作为被积函数 ( 增量 ) 进行累加， 累加结果大于或等于 m时 , 产生溢出 ,发出一个 脉冲 , 当经m 次累加计算后 ,主导轴 xm 达到终点。

此时， jeje

n

ijej xmx

mx

mx

11

1

即其余各轴也同时到达了终点。

优 点优 点

1.减少了一个坐标轴 ( 主导轴 ) 的累加运算

2.保证了每次累加必有脉冲输出

4.减少了插补程序的长度和插补运算时间

3.提高了脉冲发生率

解 : 初始化 m=xe=5 Σy=0 累加增量为 3

例 3 设有直线 OE ，起点在原点，终点 E(xe=5,ye=3)

用 DDA 法实现插补。

y

x0 5

3 E

43

21

21

45

累加次数 累加求和 判 别 脉冲溢出 n ye+Σy→Σy Σy≥m? Δy Δx

1 3+0=3 3<5 0 1

2 3+3=6 6>5

6-5=1→Σy 1 1

3 3+1=4 4<5 0 1

4 3+4=7 7>5 1 1

7-5=2→Σy

5 3+2=5 5=5 1 1

END

DDA 逐累加次数 5 8

一次最多移动坐标轴 2 1

预置了初值的插补结果见例3 。

m

mm5.05.0,5.0 入进

比较例 1, 用逐点比较法进行直线插补，区别

累加次数 累加求和 判 别 脉冲溢出 n ye+Σy→ Σy Σy≥m? Δy Δx

1 3+2=5 5=5 5-5=0→Σy

1 1

2 3+0=3 3<5 0 1

3 3+3=6 6>5 6-5=1→Σy

1 1

4 3+1=4 4<5 0 1

5 3+4=7 7>5 7-5=2→Σy

1 1

例 3中， Σy=m/2=2

x0 5

3 E

43

2

1

21

4

5

与例三比较，两次插补轨迹分别如图所示

以第 I象限顺圆为例

圆方程为： x ²+y ²=r ²

对时间 t求导

kx

ky

x

y

dtdy

dtdx

/

/

由此设出第 I象限顺圆坐标轴方向的速度分量为 Vx = Ky

Vy = － Kx

此式说明，速度分量是随动点变化的。

V Vy

Vx

E

A

y

x0

二、 DDA 圆弧插补

tKxy

tKyx

位移量

n

ii tKykydtx

1取单位时间 Δt=1 则：

n

ii

n

ii

Kxy

Kyx

1

1（ 4 ）

坐标轴位移增量

由此构成如图所示的插补原理框图

X 轴被积函数寄存器

Y积分累加器

＋

X积分累加器

＋

Y 轴被积函数寄存器

插补迭代控制脉冲

X 轴溢出脉冲

Y 轴溢出脉冲

ΔtΔX

ΔY

考虑用半径 r的数字量作为溢出余值 k=1/r.

于是 (4) 式变为：

n

ii

n

ii

xr

y

yr

x

1

1

1

1

x,y 的增量值分别为 y,x 轴的动点坐标值 (yi,xi)

累加多少次才能达到终点？ K=？

① 预置累加增量值

x、 y 轴累加增量初值分别为 y0、 x0 (Δx,Δy)

② x 轴累加求和， ∑ x+Δx-y→ ∑x

得出的溢出脉冲发到 +x 向

y 轴累加求和 , ∑y+Δy-x→ ∑y

得出的溢出脉冲发到 -y 向 ③ 坐标值更新， 当 x 向发出脉冲后， x+1 →x=Δy

更新 y 轴累加增量值 y

插补过程如下：

④ 判终 将③中计算出的坐标瞬时值与圆弧终点坐标 进行比较，当有一个轴达终，该轴就停止计算， 不再有脉冲溢出，只有当两轴都达到终点时， 插补运算结束。

即当 y 向发出脉后 , y-1→y=Δx ， 更新 x 轴累加增量值 x

不同象限，顺逆不同，插补公式也不一样。

解：溢出基值 m=r=5

x 轴增量值 Δx=y0=5

y 轴增量值 Δy=x0=0

∑x=∑y=0

插补过程如下：

例 4.用 DDA 法进行圆弧插补，半圆弧 AE 起点A(0,5), 终点 E(5， 0), 半径 r=5 。

x0

yA

E

累加次数

X

求和 X

溢出 更新

∑x-y→∑x

Y

求和 Y

溢出

更新∑y-r→∑y

n y+∑x→∑x x+1 →x x+ ∑y→∑y y-1→1

1 5+0=5→x 1 0 →∑x 1+0→∑y 0

0+1→x

2 5+0 →∑x 1 0 →∑x 1+2=3→∑y 0

2→x

3 5+0 →∑x 1 0 →∑x 3+3=6→∑y 1 1→∑y

3→x 5-4=1→∑y

4 4+0 →∑x 0 3+1=4→∑y 0

5 4+4 →∑x 1 3→∑x 4+4 →∑y 1 3→∑y

4→x 4-1=3→∑y

6 3+3→∑x 1 1→∑x 5+3→∑y 1 3→∑y

5→x (x达终 )

2→y

7 5+3→∑y 1 3→∑y

1→y

8 5+3→∑y 1 3→∑y

0→y (y达终 )

三、提高积分法插补的精度

1. 直线插补时的四舍五入

坐标轴积分值＝溢出脉冲数＋余数坐标轴积分值＝溢出脉冲数＋余数

※ 其方法是在插补前，为各积分累加器预置溢出值的一半，从而容易地了实现四舍五入。

1 ） . 当余数 <0.5 时，舍去2 ） .余数≥ 0.5 时则发出一个脉冲，即四舍五入 功能，以提高插补精度。

解决措施

产生原因

2 、减小 DDA 圆弧插补轮廓误差的措施

1). 圆弧插补时的初值预置

被积函数较小的坐标轴位置变化较另一个轴慢，使插补出的轨迹向圆弧外扩展

被积函数较小的坐标轴位置变化较另一个轴慢，使插补出的轨迹向圆弧外扩展

累加单元预置一初值 ( 溢出余值的一半 ),

就可使较小坐标轴提早发生位置变化。 累加单元预置一初值 ( 溢出余值的一半 ),

就可使较小坐标轴提早发生位置变化。

积分累加器初值为零

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

123456789

x

y

积分累加器预置了初值

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

123456789

x

y

2).累加求和结果的互相影响

逆 I、 III ，顺 II、 III ， 先 x 后 y累加逆 I、 III ，顺 II、 III ， 先 x 后 y累加逆 II、 IIII ，顺 I、 III ，先 y 后 x累加逆 II、 IIII ，顺 I、 III ，先 y 后 x累加

例 : x 的累加 x+∑y→∑y,

第一次累加， y累加产生输出并未立即影响到 x 的输出，只是使 x 的增量值 (y)改变 ; 下一次累 加，才改变了的 y才影响到 x累加输出 .

产生原因

时间分割法基本思想

通过速度计算程序将进给速度 V 分割成插补周期的轮廓步长 f ，然后进行插补计算，送出各坐标轴的周期进给增量。

通过速度计算程序将进给速度 V 分割成插补周期的轮廓步长 f ，然后进行插补计算，送出各坐标轴的周期进给增量。

例： System－ 7CNC 系统采用时间分割法，插补周期为 8ms 即在每次 8ms 插补中断服务后，调用一次插补程序。

一、直线插补

设要求刀具在 XOY

平面作直线运动，由0 点运动到 P 点，则 X

轴和 Y 轴的移动增量为 Xe和 Ye 。插补时，取增量大的为长轴，增量小的为短轴。要求 X、 Y 轴的速度保持一定的比例，同时开始运动，同时到达终点。

Y

0α

ΔX

ΔY

P(Xe,Ye)

X

设刀具的方向与长轴夹角为 α， OA 为一次插补的进给步长 f 。由程序提供的 Xe和 Ye 可以确定

tgα=Ye

Xe

cosα＝ 1

1+tg ²α

长轴插补进给量 ΔX=fcosα

短轴插补进给量 ΔY ＝ tgα· ΔX

二、圆弧插补 以顺圆插补为例，顺圆上 B 点时继 A

点之后的插补瞬时点，其坐标分别为A(Xi,Yi),

B(Xi+1,Yi+1)

X,Y 轴的进给量分别为 ΔX， ΔY

∠AOY=α, ∠AOB=Δα

∠AOM=∠BOM=0.5Δα β= α+0.5Δα

Y

X0

Yi

Ym

Yi＋ 1

Xi Xm Xi＋ 1

A

BM

F

Δαα

ΔXi

ΔYiβ

由此可以推出 (Xi， Yi)与 ΔX、 ΔY 的关系式

cosβ=cos(αi+0.5Δα)

ΔX Yi-0.5ΔY Yi-0.5fcosβ =

ΔY Xi+0.5ΔX Xi+0.5fcosβ =

反映圆弧上任意相邻两点间坐标间的关系反映圆弧上任意相邻两点间坐标间的关系

只要找到计算 ΔX和 ΔY 的恰当方法，就可以求出 新的插补点坐标：

Xi+1＝ Xi+ΔX

Yi+1＝ Yi+ΔY

刀具半径补偿原理一、刀具半径补偿的基本概念（一）什么是刀具半径补偿

按零件轮廓编制的程序和预先设定的偏置参数，数控装置能实时自动生成刀具中心轨迹的功能。实线为零件轮廓 ,

虚线为刀具中心轨迹。

刀具

刀具中心轨迹

编程轨迹

（二）刀具半径补偿功能的主要用途

1. 由于刀具的磨损或因换刀引起的刀具半径变化，

不必重新编程，只须修改相应偏置参数。

2. 加工余量的预留可通过修改偏置参数实现，

而不必为粗、精加工各编制一个程序。

刀具半径补偿原理

一、刀具半径补偿的基本概念

刀具半径补偿的常用方法

刀具中心轨迹的段间连接都是圆弧。B 刀补

C 刀补 相邻两段轮廓的刀具中心轨迹之间用直线连接。

（五） C 刀补的基本设计思想

刀具半径补偿是在译码之后进行，译码译出一 段并不立即进行刀补，译出的若是下一段，则 对本段进行刀补，而正在插补加工的是上一段。

r r

PiPi-1

rr

Pi+1

CNC 系统专门设立了刀补缓冲区 CS. 刀补过程是 :

Pi-1

r

BS缓冲寄存器

CS刀补缓冲区

AS工作寄存器

CS刀补缓冲区

Pi

Pi-1 Pi-11

r r

Pi

r r

PiPi-1

r

BS缓冲寄存器

Pi

CS刀补缓冲区

AS工作寄存器

OS输出寄存器

Pi-1 Pi-1Pi-1

BS缓冲寄存器

CS刀补缓冲区

Pi

AS工作寄存器

OS输出寄存器

Pi-1 Pi-1

BS缓冲寄存器

CS刀补缓冲区

AS工作寄存器

OS输出寄存器

Pi

r

Pi+1

BS缓冲寄存器

CS刀补缓冲区

Pi

AS工作寄存器

OS输出寄存器

r r

PiPi-1

r

6Pi-1Pi+1Pi+1 Pi

Pi-1Pi+1 Pi

Pi-1

二、刀具半径补偿的工作原理

建立刀补

执行刀补

取消刀补

刀具轨迹中心编程轨迹

刀补进行刀补建立

刀补撤销

起始点

F 值计算

开环系统采用步进电机作驱动元件 ,

每输入一个脉冲，步进电机就转过一定的角度驱动坐标轴进给一定距离 δ(mm/ 脉冲 ),发送给步进电机的脉冲频率确定坐标轴进给速度 F(mm/min)， F

与脉冲发送频率的关系如下 :

即

原理

Ff ＝δ×60

F = δ • f • 60 (mm/min)

获得要求的脉冲发送频率 f 的方有： ① 软件延时法

LD B， A

LOOP： DEC B 1≤Ti≤256

JR NZ LOOP

步进机每步执行的周期 Ti 由下式决定 Ti=t01+Tci· t

t01：主程每步插补运算所需时间 (us)

Tci：装入 A 中延时控制字节 1≤Tci≤256

t：每次循环的时间 (us)

min

6

max

10

iTf

( 看小于额定最高运行频率 )

1. 延时期间， CPU 不能做其它工作。

2. 不同的插补算法、插补类型， t01也不相同， 这样就增加了软件的复杂性。

改变 Tci 即改变 Ti， Tci↓， Ti↓， f↑

t01越短越好，尽可能使插补程序精炼

Tmin=t01+t (Tci'=1)