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数学文化第一章 第二节

数学发展简史

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数学发展史的四个阶段

数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学起源时期 二、初等数学时期 三、近代数学时期 四、现代数学时期

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一、数学起源时期

（ 远古 —— 公元前 6 世纪 ）

建立自然数的概念，认识简单的几何图

形；算术与几何尚未分开。

43500 . .BC

古埃及陶罐

5半坡遗址陶器残片

6半坡遗址房屋基础

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当对数的认识变得越来越明确时，

人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数。 人类现在主要采用十进制，与“人的手指共有十个”有关。 而记数也是伴随着计数的发展而发展的。

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捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）

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莱茵德纸草书(1650 B.C.)

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莫斯科纸草书

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22 babah

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二、初等数学时期 （ 前 6 世纪——公元 16 世纪

）

也称常量数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。

该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。

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1 ．古希腊 （前 6 世纪——公元 6 世纪） 毕达哥拉斯 —— “ 万物皆数” 欧几里得 ——《几何原本》 阿基米德 —— 面积、体积 阿波罗尼奥斯 ——《圆锥曲线论》 托勒密 —— 三角学 丢番图 —— 不定方程

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毕达哥拉斯 ( 公元前 580年～公元前 500年 )

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欧几里得欧几里得

16欧几里得 (Euclid, 公元前 330年～前275年 )

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柏拉图 与亚里士多德

倡导逻辑演绎的结

构

18雅典学派

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阿基米德 (Archimedes，约公元前 287～ 212)

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阿波罗尼奥斯（约公元前 262－前 190 ）

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2 ．东方 （公元 2 世纪—— 15 世纪）

1 ） 中国 西汉（前 2 世纪） —— 《周髀算经》、《九章算术》

魏晋南北朝（公元 3 世纪—— 5 世纪） —— 刘徽、祖冲之 出入相补原理，割圆术，算

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刘徽（约公元 3 世纪）

割圆术

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祖冲之（公元 429-500年）

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宋元时期

（公元 10 世纪—— 14 世纪）

宋元四大家——杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰

天元术、正负开方术 —— 高次方程数值求解；

大衍总数术 —— 一次同余式组求解

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杨辉

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秦九韶程序

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秦九韶的《数书九章 “》 贾宪三角”， 卷一“大衍总数术” 也称“杨辉三角”

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朱世杰的《四元玉鉴》四元高次方程组，（天、地、人、物 —— x 、 y 、 z 、 w ）

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2 ）印度

现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码，有 0 ，负数；

十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）

数学与天文学交织在一起

阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元 499 年） 开创弧度制度量

婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格 》代数成就可贵

婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（ 12 世纪） 算术、代数、组合学

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3 ）阿拉伯国家 （公元 8 世纪—— 15世纪）

花拉子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。

阿布尔．维法

奥马尔．海亚姆

阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。

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花拉子米

当时阿拉伯天文学家和数学家工作的情景

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趣味题一：抓堆和抓三堆

1. 抓堆： 有一堆谷粒（例如 100粒），甲、乙轮流抓，每次可抓 1 － 5 粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？

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数学思想：问题一般化；问题特殊化；归纳总结，找出规律；证明规律，得到结论。

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取石头（ Fibonacci Nim ）

一堆石头共 20块，两人轮流取，先取的一方可任意取，但不可全取；至于后取的一方，所取的石头数不得超过对方刚取石头数目的 2倍；而且，我们规定取得最后一块石头者获胜。试问：先取者较有利，还是后取者较有利？有没有必胜的策略？

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2. 抓三堆： 有三堆谷粒（例如 100

粒、 200粒、 300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆 中抓，最少抓 1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？

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问题：证明有无穷多个正整数 n,使得 n2-

n+1是合数。

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n2-n+1 1 3 7 13 21 31 43 57 73 91

111

n 12 13 14 15 n2-n+1 133 157 183 211

针对问题，你能看出什么有用的规律，请提出猜测，加以证明。

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3 ．欧洲文艺复兴时期 （公元 16 世纪—— 17 世纪）

1 ）方程与符号 意大利 － 塔塔利亚、卡尔丹、费拉里

三次方程的求根公式

法国 － 韦达

引入符号系统，代数成为独立的学科

40 “算法家”与“算盘家”的比赛 韦达

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2 ）透视与射影几何 画家 － 布努雷契、柯尔比、迪勒、达．芬奇

数学家 － 阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔

3 ）对数 简化天文、航海方面烦杂计算，希望把乘除转化

为加减。

英国数学家 － 纳皮尔

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中世纪油画

43文艺复兴时代的油画

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英国画家柯尔比 < 泰勒博士透视方法浅说>(1754)卷首插图 （违反透视原理）

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达芬奇的名作 《最后的晚餐》

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三、近代数学时期 （公元 17 世纪—— 18 世纪） 家庭手工业、作坊 →→ 工场手工业 →→ 机器大工业 对运动和变化的研究成了自然科学的中心

1 ．笛卡尔的坐标系 （ 1637 年的《几何学》）

恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”

47笛卡尔 (R.Descartes, 1596-1650)

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<几何学 >(1637)

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２．牛顿和莱布尼兹的微积分 （ 17 世纪后半期）

３．微分方程、微分几何、复变函数、概率论

第三个时期的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等已成为高等学校数学教育的主要内容。

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1661 入剑桥大学1667.10三一学院成员1669 卢卡斯教授1696 伦敦造币局1672 皇家学会会员1703 皇家学会会长1705 封爵

牛顿： Isaac Newton

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莱布尼茨 (Gottfriend Wilhelm Leibniz ， 1646-1716)

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四、现代数学时期 （公元 19世纪 20年代—— ）　 １．康托的“集合论”　 2 ．柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析” 3 ．希尔伯特的“公理化体系” 4 ．高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何” 5 ．伽罗瓦创立的“抽象代数” 6 ．黎曼开创的“现代微分几何” 7 ．其它：数论、拓扑学、随机过程、数理逻辑、组合数 学、分形与混沌 等等。

现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。

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康托尔 (1845～ 1918)

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魏尔斯特拉斯（ 1815-1897） 柯西（ 1789-1857)

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希尔伯特， D.(Hilbert,David，1862～ 1943)

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高斯（ C.F.Gauss,1777-1855）

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波约 罗巴切夫斯基

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伽罗瓦 (1811-1832) 阿贝尔 (1802-1829)