重庆师范大学 黄 翔

深化高中教学改革要关 注义教数学课标的新变化— 我们能从义教数学课标修订中吸取什么？

一、问题提出—为什么要关注课标新变化二、关注数学课程中的 10 个核心概念三、关注数学课程目标的新变化四、关注数学课程内容的新调整

一、问题提出—为什么要 关注义教《课标》新变化

为深化高中数学课程改革提供思考 为此次高中数学课标修订提供参考 “ 如何处理好初、高中的衔接？”是从整

体上推进基础教育课程改革亟待解决的问题

《课程标准》在各阶段上的 协调性是值得关注的问题

在当前深入推进课改的实践中，义务教育数学与高中数学脱节的问题也引起了人们的关注。出现这一问题的原因是多方面的。作为对课程实践起指导作用的课程文本——《课程标准》在各阶段上的协调性可能是更值得关注的问题

课程标准的价值取向、基本理念、目标要求及内容标准是教师课堂教学的基本依据，必然对教师教学产生重要影响。反之，如果初、高中课程标准衔接不理想，也势必影响初、高中课堂教学的衔接

基于高中课标与义教课标的 比较研究，发现的问题：

通过义务教育课标与高中课标的比较，发现两者在课程目标结构上差异较大，在一些重要目标点上缺乏应有的协调性和贯通性

事实上，尽管义务教育数学与高中数学有各自不同的阶段性特征，进而也应该有各自不同的一些培养要求，但在体现数学学科本质性要求的提法上却应有一致性和整体性，在重要的课程目标点上更应有连续性和贯通性

（见本人论文《数学教育学报》 2012.3 期）

高中数学课标修订调研发现的问题及建议：（高中数学课标修订调研组报告）

初高中内容出现部分脱节 ，具体表现在乘法公式、二次函数、几何、十字相乘、韦达定理、因式分解、不等式、函数、符号运算等内容上存在不衔接。

许多人都同意，在高中《课标》中像新修订的《义务教育课标》那样，将数学“双基”扩充为“四基”，但同时也提出，对“四基”的界定和作用应该进一步精致化 。一些受访的数学家特别强调数学的思想方法 ，认为这才是知识遗忘之后还可以起作用的东西。

从高中数学教师现状看： 不熟悉义教数学课程的结构，因而缺乏对

数学内容主线的整体把握，存在“见木不见林”的现象，这不利于从系统上帮助学生形成合理的知识结构

对“初、高中过渡的问题”在教学上缺乏有效的解决措施

从统整的角度推进 高中数学课程改革：

此次数学义教课标修订所关注的热点问题同样是深化高中数学课程改革、修订高中数学课标所应该关注的问题

当前课改深入推进的一个特点： 课程改革与社会发展同步，与时俱进地体现着时代发展对教育和课程提出的新要求 。

课程改革应始终坚持三个方面要求：

国家对人才培养的要求 教育改善民生的要求 促进学生发展的要求

始终坚持这三项要求，是坚持课改正确方向，深化课改的保障。

基于此背景，此次课程修订注意强化了 如下要求，这给高中课标修订以启示： 课程改革的核心是人才培养模式变化要加强对学生创新精神和实践能力的培养（“四基”、“四能”）

要以课程为载体实实在在推进素质教育（明确提出数学素养）

要体现教育的均衡、公平，（人人获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展）

要更好体现数学课程的基本特点和本质（课程理念、“四基”、 10个核心概念）

由于上述原因，我们应对义教数学课程标准的新变化有所了解，并在此基础上对深化高中数学课改作思考

我最近的三篇文章 阐述了一些主要的变化 数学课程基本理念的丰富与发展 —— 从义务教育数学课标的修订看数学课

程理念的新变化（《中国教育学刊》 2012.8 ） 义务教育数学课程目标的新变化 （《课程 . 教材 . 教法》 2013.1 ） 数学课程标准中的十个核心概念 （《数学教育学报》 2012.4 ）

二、关注数学课程中 的 10 个核心概念

—— 从 6 个关键词到 10 个核心概念

核心概念有何意义？

核心概念课程内容的核心或主线，它有利于我们体会内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键

核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标

它们体现的都是学习主体——学生的特征，如感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面

关于课标中的 10 个核心概念 ——原课标也称为“关键词”

原课标：数感 符号感 空间观念 （ 6 个） 统计观念 应用意识 推理能力

修改后：数感 符号意识 运算能力 （ 10 个） 模型思想 空间观念 几何直观 推理能力 数据分析观念 应用意识 创新意识

核心概念之一：数感

关于数感（ Number Sense ），在原标准中未作内涵解释，只从外延上指出它所包括的内容。

此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述。

修订后《标准》关于数感的提法

《标准》的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

将数感表述为“感悟”

原来，对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中常常感到“虚” ，找不到教学支点。

将数感表述为“感悟”不仅使这一概念有了较为明晰的界定，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。

它揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分

《标准》将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。

核心概念之二：符号意识

何为符号意识？所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来

的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统

符号意识（ Symbol sense ）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。

符号感（ Symbol Sense ） 为何改为符号意识？

英文单词一样，但改动后中文意义有所不同

符号感主要的不是潜意识、直觉 符号感最重要的内涵是运用符号进行数

学思考和表达，进行数学活动，这是一个“意识”问题，而不是“感”的问题

符号意识的含义

《标准》对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：其一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。即对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”

符号理解及运用

符号“操作”意识

其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等

符号表达与符号思考

其三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。这又引出了两个除符号理解和操作之外的要求，即符号的表达与思考。

概括起来，符号意识的要求就具体体现于符号理解、符号操作、符号表达、符号思考四个维度。

例：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。

1,1,2 ； 1,1,2； ， ， ； A,A,B ； A,A,B； ， ， ； □，□ ， ；□，□， ； ， ， ；

通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。

符号表达的多样性

发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”

例：“房间里有 4 条腿的椅子和三条腿的凳子共 16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有 60 个，那么有几个椅子和几个凳子？”

如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。

核心概念之三：空间观念

（ 1 ）空间观念的含义

空间观念是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径

空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造

（ 2 ） 《标准》中空间 观念所提出的要求

《标准》从四个方面提出了要求：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形

想象出所描述的实际物体； 想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化； 依据语言的描述画出图形等。

核心概念之四：几何直观 ——此次新增的核心概念

《标准》中几何直观的含义：

标准》指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

希尔伯特（ Hilbert ）在其名著《直观几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。

它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形描述”和“图形分析”。

前者指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；

后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。

几何直观的培养

使学生养成画图习惯 , 鼓励用图形表达问题

可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观

例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半，５次一共喝了这杯可乐的多少？

１／２１／４

１／８

１／１６ １／３２？

通常算法是：把５次可乐加起来求和

其实，可以：

１－１／３２＝３１／３２

还可推广ｎ次　喝了多少？

即使是很抽象的数学也　可以通过图形直观变得简单 ,如：

·　对 3 长的线段三等分，取一份；对取出的 1 长线段三等分，取一份；对取出的

长线段三等分，取一份；……如此类推，中间取出的线段越来越小，无限接近于 0

· ·

· ·· ·

· ·· ·

· · ·．．．．．．．．．

1

3

３

１／１３／１３／

１

２

３３

当中间的线段趋向于 0 时，两边的线段之和都趋向于 3

2

圆面积为 3 个单位

1/3 1/3

1/3 1/32 2

1 1

注意寻求一些数学对象的几何意义

学会从“数”与“形”　　　两个角度认识数学

　　　数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。

　数缺形时少直观，形少数时难入微。　数形结合百般好，隔离分家万事休。

华罗庚：

重视变换、运动——让图形动起来

几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法

在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、长方形等；另一方面，在学习、研究非对称图形时，又往往是运用对称图形为工具的

对称、旋转、折叠、展开、拆分、组合、拉伸、压缩…… , 充分利用图形的变化来分析、解决问题

重视用“图形法” 解决问题

掌握、运用一些基本图形解决问题 把让学生掌握一些重要的图形作为教学任

务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸， 直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。

启示：应正确认识几何的教育功能

高中数学课程中，仅仅把几何作为培养逻辑推理能力载体的认识是片面的。事实上，通过几何培养学生的几何直观能力同样重要。

教师应改变不太喜欢“画图”的习惯， 在高中数学课程中，应有意识地、更多地借助图形语言来思考问题，培养学生的直观洞察力。

核心概念之五：数据分析观念 ——由统计观念改为数据分析观念

原课标中的“统计观念”，强调的是从统计

的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑等要求。此次将其改为“数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据分析”。

一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息

二是方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法

三是体验性要求：通过数据分析体验随机性

数据分析观念的要求：

核心概念之六：运算能力 ——此次增加的核心概念

运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力。

（ 1 ）标准对运算能力的要求

《标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

（ 2 ）对运算能力的认识

运算的正确、有据、合理、简洁是运算能力的主要特征。

运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。

核心概念之七：推理能力

此次《标准》提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点：

一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。《标准》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式。

突出了合情推理与演绎推理

二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成——合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

使学生多经历 “猜想——证明”的探索过程

在“猜想——证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。

教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。

核心概念之八：模型思想

模型思想的提出，与高中数学建模的要求有了很好的衔接

《标准》指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径

使学生体会和理解数学与外部世界的联系是这一核心概念的本质要求

《标准》从义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：

首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。

然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型

最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。

《标准》强调：模型思想的培养

要结合相关概念学习，引导学生运用数、符号、函数、不等式、方程、方程组、几何图形、统计表格等分析表达现实问题，解决现实问题。

模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴含于日常教学之中，

使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《标准》中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。

情境与模型

同一情境的多种模型与 同一模型的多重情境

前者有利于以情境作载体 ,通过不同的模型形成对问题的多角度探讨，有利于培养学生综合运用知识深入探索问题的能力

后者不仅反映出数学问题的来源和应用环境是多样的 ,在教学中运用得当 ,还有利于学生的知识迁移和融会贯通 ,培养学生逆向思维能力

同一模型的多重情境

看图说故事

5 11 15

2

由模型想情境

[ 说明 ] 通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足模型的实际情境，以加深对模型的理解。

学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的 s-t图”，可以说出下面的故事：小王以常速度 400 米 /分，跑了 5 分钟，在原地休息了 6 分钟，然后以常速度 500 米 /分，跑回出发地。

再比如：有一个容积为 2 升的开口空瓶子，小王以常速度 0.4 升 / 秒，向这个瓶子注水，灌了 5 秒后停水，等 6 秒后，然后以常速度 0.5 升 / 秒，倒空瓶中水。

老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。

 

若表示“某人从家出发任一时刻到家的距离（ s ）与时间（ t ）之间的关系”，也可以说出多种情境故事：

一般可以描述为；在 OP 上匀速直线运动；在 PQ 上静止；在 QR 上匀速直线运动。其实对 PQ 还可有多种描述：静止或圆周运动，可以前进也可以后退，有静有动，有进有退 。 由模型想情境

核心概念之九：应用意识

应用意识有两个方面的含义： 一方面有意识利用数学的概念、原理和

方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题

—— 数学知识现实化

另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。

—— 现实问题数学化

案例：三根电线的长度与电阻

上海 51中学陈振宣提供 : 他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下控制仪表温度与 10楼温度不一样，怀疑是三根连接电线不一样长使电阻不一样。 如何测知他们的电阻呢？

x + y = a y + z = b z + x = c x y z

数学应用意识的实质即运用数学模型解决问题

核心概念之十：创新意识

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。

最重要的事：学会数学的思考

数学家陈省身：　“数学是自己思考的产物，首先要能够

思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好效果。”

在某一主题下常常可以 融合多个核心概念的学习

如应用题教学： 应用意识 符号意识 模型思想 几何直观 …………

三、关注数学课程目标的新变化 —— 数学课程目标的五大变化

目标上突出了什么？

在课程目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。

变化之一：明确提出四基，即“基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想”（四基）

变化之二：针对创新精神和实践能力的培养，明确提出“发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”（四能）

变化之三：针对了解知识的来龙去脉，明确提出“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”（三联系）

变化之四：对于情感态度的培养，进一步明确“了解数学的价值 ,提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯”

变化之五：针对学科精神的培养，明确提出“具有初步的创新意识和科学态度”

数学课程总目标有那些新变化？

数学课程目标的变化分析

变化之一：从“双基”到“四基”

注重学生 “双基”的学习， 促进学生的发展历来是我国数学教育目标的重要组成部分。经过长期的教育实践和探索，数学“双基”教学已成为我国数学教育极富自我特点的教学形式。而中国学生基础扎实也成为国际数学教育界所公认的事实。此次课程改革继承了这一传统，促进学生数学“双基”的发展成为三维目标中的重要要求。

为什么要从“双基”到“四基”？

在此次课标修定中，人们在认真总结课改经验之后也对数学“双基”进行了反思：

第一，从发展来看，对数学“双基”的理解、认识亦需与时俱进。比如，一些传统的内容需要删减（如繁杂的计算、证明技巧的演练、脱离实际的陈旧的习题等） ,一些体现时代要求的内容需要增加（如算法、统计、概率、数学综合与实践问题等）。此外，在实践中以应对考试为目的的“双基”过度训练也导致一些数学课堂教学价值的失衡。

数学课程应给学生以更多 数学思想、精神的浸润

“ ”第二，从数学自身来看， 双基 更多的是对数学原理、定理、概念、公式等结论性知识的反映，学习它们固然重要，但其背后更为深层次的东西是什么呢？数学的本质不在于它的结论，而在于它的思想。数学课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，而应该能给学生以更多数学思想、精神的浸润。

如何能从课程目标上支撑 创新精神和实践能力的培养呢？

第三，创新精神和实践能力的培养是数学课程必须加强的目标要求，而这一要求的落实

“ ”仅靠 双基 是难以支撑的。学生创新精神的培养除了要掌握必要的数学知识和技能外，还要学会数学的思考，并在多样化的数学活动中积累经验。数学课程目

“ ”标应该在这些 点 上更鲜明地反映对创新人才培养的要求。

知识 技能 经验 思想 素养 智慧

第四，发展学生的数学素养，形成数学智慧，并非单纯地通过接受数学事实来实现 ,它更多地需要通过对数学思想方法的领悟 ,对数学活动经验的条理化以及对数学知识的自我组织等活动来实现。因此，我们应该在课程中提供一个用以支撑它的更为科学的结构框架，

早在近代科学的黎明时期 ,德国数学家莱布尼兹（ Leibniz ， 1646 － 1716 ）就指出：

——数学的本质不在于它的对象 ,而在于它的思想方法。

何为数学基本思想？

思想是课堂的生命

德国诺贝尔奖获得者、 物理学家冯 .劳厄：

“ 教育无非是一切已学过的东 西都忘掉时所剩下的东西”

数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思想才有了课堂的生命

数学思想是数学学习中最本质的东西

波利亚（美）一贯强调把“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位。

闵山国藏（日本）指出，学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。”

何为数学基本思想？

数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机…等。

可以讨论的观点：

“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”（史宁中，《数学思想概论》第一辑，东北师范大学出版社， 2008.6 ，第一页）。

从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。

数学思想的层次性、多样性

例如由“数学抽象的思想”派生出来的：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。

由“数学推理的思想”派生出来的：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。

由“数学建模的思想”派生出来的：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计的思想，等等。

如何理解？

三个常用的概念：

数学思想 数学方法 数学思想方法

数学基本思想和数学方法

数学基本思想和数学方法既有区别也有密切的联系。如前所述，数学基本思想表现相对宏观，体现的是对数学对象的一种本质性认识

而数学方法常常是受数学思想制约的，表现相对具体，并具有程序性、步骤性、路径性和可操作性

例如归纳，从一般意义上讲，它表现为从特殊到一般的推理的思想，但若具体使用于一个关于自然数命题结论的获得时，它就是所谓的归纳法了

教材中有些基本思想处于“显形态”，甚至就体现为知识点

如：分类思想转化思想数学结合思想抽象思想推理思想模型思想

注意教材中蕴含的数学基本思想

在课程内容和教材中，还有很多数学基本思想处于潜形态，教师要成为有心人，要善于根据教学的实际，采取恰当的手段使学生能对基本思想有所感悟。

五（下）册：综合应用—打电话

抽象思想模型思想推理思想分类思想优化思想运筹思想

如何使数学思想从潜形态转变为显形态呢？

※分类※化归※归纳

数学基本思想的教学策略：

融数学基本思想的教学于数学知识内容的教学之中

精心设计有利于学生感悟数学思想的数学活动

在解决问题的教学中突出数学思想方法 教师要善于挖掘教材中的思想要素，以适

当的方式使学生感悟

在解决问题的教学中突出数学思想

三个层次：一招一式的知识、技能训练掌握数学方法，能举一反三感悟数学基本思想，体会数学的本质

要注意由方法上升到数学思想——一个老师的体会

是更深刻的实质—化归思想。（数学通报 2012.11 期 程华）

经验与思想？

R.柯朗 H.罗宾：

“只有靠了数学自身的经验，才能把握数学思想是什么？”

什么是数学活动经验 ? 黄翔《获得数学活动经验应成为 数学课堂教学关注的目标》 ——《课程 .教材 .教法》 2008.1 期

数学活动经验的基本特征： 数学活动经验是基于学习主体的，它带有明显的主体性特征，因此也就具有学习者的个性特征，它属于特定的学习者自己。

—主体性

数学活动经验是学习者在学习的活动过程中所获得的，离开了活动过程这一实践是不会形成有意义的数学活动经验的

— 实践（过程）性

数学活动经验反映的是学习者在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性认识，这种经验性认识更多的时候是内隐的，原生的或直接感受的、非严格理性的，也是可在学习过程中可变的。

— 发展性

即使是外部条件看来相同，但是对同一对象，每一个学生仍然可能具有不同的经验

—— 多样性

数学活动经验并不仅仅是解题的经验，更加重要的是在数学活动中思考的经验

提出数学活动经验，还有一个重要目的，就是培养学生在活动中从数学的角度进行思考，直观地、合情地获得一些结果，因为进行创造，获得新结果的主要途径是作出猜想。数学活动经验并不仅仅是解题的经验，更加重要的是思维的经验，是在数学活动中思考的经验。

数学课堂教学应致力于学生 数学活动经验的获得

如下策略或途径值得我们关注并探讨：

①数学活动经验是在活动中产生的，因此使学生获得数学活动经验的核心是要提供一个好的活动。对数学课堂教学来说，应注意：

——活动

关键是提供一个好的数学活动：

要为每一个学生进行活动，创设良好的学习环境和问题情境

要为学生获得更多的活动经验提供广阔的探索空间

有效的数学活动要充分体现数学的本质 有效的数学活动要使学生能积极参与，充分交

流 数学活动要引导学生经历发现、提出、分析、

解决问题的全过程

②应重视《标准》过程性目标 在课堂教学中的落实

—— 过程

③发掘“做数学” 的课堂教育价值

——做数学

做数学传统意义上的“做数学”是做习题 新课程下，“做数学”的内涵及形式大大 拓展： 动手做（ hands-on ） , 做中 学

（ learning from doing ） 、 数 学试验…等，动脑、动手、动口，多种感官协同活动，有利于多渠道地有效地获得数学活动经验。

例： 24小时内，钟面上的时针与分针 一共重合多少次？ 有人用这一问题同时向中国儿童和美国儿童提

问，发现美国儿童用其所戴手表进行实验者居多，而中国儿童则用笔进行计算者居多这反映出不同国度学生不同的学习方式和思维习惯

动手操作，进行实验

有人在我国小学生、中学生和大学生中进行了试验．结果发现，对于这个问题的解决，在这三个层次的学生中差不多各有近三分之一的学生在动笔演算，另有多于三分之一的学生在做思考状，其余近三分之一的学生准备拨弄他们的手表．

可见，同一国度的不同学生之间的学习方式和思维习惯也存在较大差异．最后大家一致认为，“拨弄手表进行实验”这一方法无疑是最快获得答案的方法．

通过“拨弄手表”，不仅仅能得到“重合 22 次”这一结论，而且会发现钟面上还有许多可以探究的问题：

(1) 能否求出每一个具体重合的时刻 ? (2)24小时内时针和分针一共垂直多少次 ? 分别在哪 些时刻垂直 ? (3)24小时内时针和分针一共有多少次成 180度角 ?

分 别在哪些时刻成 180度角 ? (4)24小时内时针和分针有多少次成指定角 n 度 ? 分

别 在哪些时刻成指定角 n 度 ?

若没有进行“拨弄手表”这一实验，这些问题在头脑里缺乏感性经验，也难以寻求到解决问题的方法

从寻求解题模式角度出发，可按“行程问题中的追及问题”求解，即：

追及时间＝路程差 ÷速度差 将时针与分针重合的 12 点设为计时起点．将钟

面圆周平均分成 60格，则分针速度为 1 格／分，时针每小时 (60 分钟 ) 走 5 格，时针速度为1/12(5/60)格／分，计时一开始，分针将先走在时针前面，并会在比时针多走 1 圈后追上时针，因为每分钟分针比时针多走 (1—1/12)格，一共比时针多走 60格，所以所用时间亦即第一次重合时间为

T1＝路程差 ÷速度差＝ 60÷(1 一 1/12) ＝60+60/11( 分 ) ，即 1 点过 60/11 分；

第二次重合时．分针比时针多走两圈，可得重合时间为

T2＝路程差 ÷速度差＝ 120÷ (1—1/12 ) ＝120 十 120/11( 分 ) ，即 2 点过 120/11 分；

这样可知．第 N(N ＝ 3 ， 4 ，…， 11) 次重合时间为

TN＝路程差 ÷速度差＝Nx 60÷(1 一 1/12) ＝N·60+N·60/11( 分 ) ，即 N 点过 N·60/11 分

特别地，当 N ＝ 11 时， T11 ＝ 11 点过 60 分，正好是 12 点整．

这样就求出了 12小时内分针和时针重合的时刻，下一个 12小时内分针和时针重合的时刻与此相同

善于在“生活”中 积累数学活动经验

比如你在煎蛋时有没有想到用时问题： 用一只平底锅煎鸡蛋，每次只能同时煎两个鸡蛋 ,

煎熟一个鸡蛋需要 2 分钟 ( 每一面需要 1 分钟 ), 那么煎三个鸡蛋至少需要几分钟 ? 要煎 n 个鸡蛋呢 ?

到一个目的地有多种换乘地铁线路的方案，综合考虑所需时间及票价因素，哪种方案更好呢 ?

到商店购物，看到各商店有不同的打折促销手段，如何用数学的眼光透过诱人的价格看清实质呢？

动手操作与亲身参与美国数学课程标准里有一个拼长方形的问题： 用 12 张大小相等的正方形卡片拼成一个长方形，有多少种拼法 ?

如图所示．通过动手操作实验可得到符合要求的长方形共有 6 种：

在拼图活动中感悟数学思想，积累数学活动经验，有利于 发现问题本质做出推广。

对实验结果进行观察，我们发现这 6 种拼法中有这样一个规律：拼出来的长和宽都是12 的因数。我们再来拼 16 张卡片，发现有 5 种拼法；若是 25 张则有 3 种拼法。将这一实验结果推广到一般：任给 n 张卡片拼成一个长方形，有多少种拼法 ?

可以通过对正整数 n 进行质因数分解求得解

关于折纸几何

——动手、动脑、激趣、巧思、获得意想不到的结果，积累丰富的数学活动经验。

日本筑波大学教授芳贺和夫发现用一张正方形的折纸 , 仅折一次 , 就可将折纸的一边分成各种比例 ,这一令人叫奇的结果后来被称之为芳贺第一定理 ( 以后又陆续发现了第二、第三定理 ),概述如下 .

如图 1,ABCD 为一正方形 的折纸 ,E 为上边 AB 的中 点 ,将右下角的点 C 翻折 至 E,折痕线为 FG, 底边 CD 的映线 EI 与 AD 的交点 为 H,则 AH∶HD = 2∶1

证明：设 BA=BC=1,BF=a, 则 AE=BE=1/2, EF=FC=1-a, 对直角△ EBF 由勾股定理解得 a=3/8, EF=CF=5/8 易知：△ EFB∽△HEA∽△HGI,利用相似三角形的对应边成比例可相继求出

AH=2/3, HI=1/6, IG=1/8, HG=5/24, EH=5/6

我们还能得到以下的等量关系 : 1) 三角形HAE 的周长是正方形周长的一半 . 2) AH=EB+HI 3)△EBF 与△ HIG 的周长之和等于△ HAE 的周长 . 4)△HIG 的周长等于线段 AE 的长 .

三角形内角和定理—动手折

数学基本活动经验：

学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。

“四基”是客观性知识与主观性体验的结合是结果性知识与过程性活动的结合

经验，在哲学上指人们在同客观事物直接接触的过程中通过感觉器官获得的关于客观事物的现象和外部联系的认识。

“四基”与数学素养

掌握数学基础知识训练数学基本技能领悟数学基本思想积累数学基本活动经验

——发展学生的数学素养，培养学生的创新精神和实践能力

“ ”四基 是一个整体，如何处理好它们之间的关系？如何在课堂教学实

“ ”践中寻求有效途径具体落实 四基目标是值得进一步探究的问题。

“四基”对高中数学 课标修订的启示

“四基”符合高中数学课程的属性和特点 作为义务教育后的高中数学课程不但是培

养公民应有数学素养的基础性课程，而且是培养公民应有数学素养的一门养成性更强的发展性课程。这就要求学生不仅要继续打好数学的知识、技能基础，更需要在知识、技能层面得到升华，加强对数学经验的积累和对数学基本思想的体会

高中数学一个很大的特点是提供多样化的课程给学生以选择，课程模块虽然形形色色，蕴含其中的数学思想本质却是一致的，多样化的数学活动经验也是互补的，提出数学四基可以在学生发展的个性化与高中数学目标达成的一致性上求得平衡。

提出四基有利于高中 数学课程目标的优化

就目前高中数学《课标》提出的 6条课程目标来看，其结构为：知识、技能（第 1条）——数学能力（第 2 、 3条）——应用、创新意识（第 4条）——情感、态度等（第5 、 6条），这是一个较为合理的目标结构，但从层次来看，在知识、技能层次与能力层次之间似乎缺乏过渡，而从整个目标结构体系来看，处于基础层次的部分显得单薄，难以支撑高中数学课程的发展性目标

提出“四基”有利于高中 数学课程内容的贯通与整合

高中数学课程内容模块来设计，必修、选修共 26 个模块及专题 。设计者的初衷是想构做一个能满足学生不同数学需求的多样化课程内容平台。但在实际操作中受条件限制选修系列 3 、 4 的课程只是部分开设，但即便如此，与原课程相比仍增加了不少内容。课程内容与课时之间的矛盾显得较为突出。

实践层面反馈的另一问题是与原内容相比，高中数学内容的主线增多（至少有函数、几何、运算、算法、统计概率、应用等 6条主线），实际教学中，多条主线交织，知识、技能显得较乱、较零散，不大好把握。在这种情况下，如何提高内容的贯通度、整合度就显得极为重要。

在高中提出数学四基，能使渗透于各模块内容中的数学思想更好地显露出来，成为贯穿于各部分内容的“灵魂”，有利于学生认清数学内容的本质，理清思想的脉络，在整体上把握所学知识，并从整体上形成良好的数学认知结构。

以高中 “算法” 为例，内容涉及算法的基本概念、算法的基本结构（顺序结构、选择结构、循环结构）、算法的基本语句（输入输出语句、条件语句、循环语句）

如果仅从知识、技能的角度看，它们是相对孤立的、看似不太重要的内容，但从数学思想的角度看，所体现的以程序化为特征的算法思想既是中国古代数学的一个传统，也是现代构造数学的基础之一，在数学中具有重要的地位

在教学中，除了落实知识、技能目标，更重要的是让学生体会其数学思想的本质，将算法思想及方法渗透到其它内容之中（如方程和线性方程组的求解、不等式的求解、线性规划问题、函数问题、几何位置关系及度量关系问题、以及其它应用问题等），提升数学基本思想的认识是形成对数学内容整体理解的最有效措施。

变化之二：在数学问题解决的 过程中，发展学生的“四能”

新课标在数学课程总目标第二条中提出：“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力” ( 简称“四能”）。与原课标总目标的表述相对照，此次新增了“发现问题”、“提出问题”的要求，并且将其上升到能力培养的层次，这是一个重要的变化。

为何要强调 发现问题、提出问题？

在数学中，发现结论常常比证明结论更重要

创新性的成果往往始于问题传统教学在这方面的不足问题解决的全过程是发现、提出、分析、

解决问题的过程

应该通过数学课堂 培养学生的问题意识

发现问题、提出问题是创新的基础

诺贝尔奖金获得者李政道教授认为“我们学习知识，目的是要做到‘学问’。学习，就是学习问问题，学习怎样问问题。”

做学问与 ‘学问’

“发现问题和提出问题”

所谓“发现问题”，它要求学生逐步学会用数学的眼光看周围世界，对一些现象习惯从数学的角度去进行思考，从表面上看似与数学无关的一些现象中寻找其在数量或者空间方面的某些联系或矛盾，或在现实与数学的具体情境中获得一些新的数学信息，通过一定的梳理、概括、提炼，并以数学的方式做出“ ”是什么？能怎么？为什么？怎么样？ 等等方面的思考。

所谓提出问题，是在已经发现问题的基础上采用恰当的数学语言、符号对问题作进一步的数学抽象，并在特定的逻辑线索和数学关系空间中，将问题数学地表征出来。

这样一个发现、提出问题的过程是学生运用数学知识、技能、思想方法乃至于经验进行数学抽象（数学化）的过程。也是学生进行数学交流、数学表达以及主动运用数学的意识及态度得以展现的过程。加上进一步对问题作出分析，选择策略、方法，最终解决问题，整个数学问题解决的过程突出了能力培养的要求

我们需要问题驱动、 分析探究的课堂

研究始于问题，同样，教学也应该始于问题

没有问题的课堂是没有思想、没有生命力的课堂

思想是课堂的生命！ 问题是课堂的灵魂！

教师要善于将陈述性知识的教材进行二度设计转换成一系列问题序列，使教学成为问题解决的活动过程

教师更要善于创设问题情境，引导学生自己去发现、提出、分析解决问题

四、关注数学课程内容的新调整

将原“内容标准”的提法 改为“课程内容”

初中数学课程内容的选择：

处理好三个关系：要重视过程，处理好过程与结果的关系要重视直观，处理好直观与抽象的关系要重视直接经验，处理好直接经验与间

接经验的关系

初中数学课程内容的结构 （四个板块）

原课标：数与代数 空间与图形 统计与概率 实践与综合应用

修改后：数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践

课程内容中的条目数量统计（三学段）

原标准 修订后 差

数与代数 48 52 （ 3 ） +4(3)

图形与几何 83 89 （ 4 ） +6(4)

统计与概率 13 11 -2

综合与实践 4 3 -1

合计 148 155 （ 7 ） +7(7)

关于课程内容的主要变化：

数与代数：增加了： 知道｜ a ｜的含义（这里 a 表示有理数） 知道最简二次根式和最简分式的概念 能进行简单的整式乘法运算中增加了一次

式与二次式相乘会用一元二次方程根的判别式判别方程是

否有实根和两个实根是否相等 会用待定系系数法确定一次函数的解析表

达式

数与代数：

增加了： * 了解一元二次方程根与系数关系、 * 能解简单的三元一次方程组、 * 知道给定不共线三点的坐标可以确定一个

二次函数。

（标有“ *” 的内容是选学内容，不作考试要求）

删除的内容 ：

能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断

了解有效数字的概念 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题

求绝对值时关于“绝对值符号内不含字母”的限制。

图形与几何：

内容结构上略有调整（图形的性质、图形的运动、图形与坐标）（原来是图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明）

对基本事实规定更清晰（ 9 条），不再使用“公理”这个词

增强了“图形与几何”内容的条理性，进一步阐述了合情推理和演绎推理的关系，强调了几何证明表述方式的多样性

增加了：

会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义

了解平行于同一条直线的两条直线平行会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类

了解并证明圆内接四边形的对角互补；

了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系

尺规作图：过一点作已知直线的垂线已知一直角边和斜边作直角三角形 作三角形的外接圆、内切圆 作圆的内接正方形和正六边形

* 了解平行线性质定理的证明； * 了解相似三角形判定定理的证明； *探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平

分弦以及弦所对的两条弧； *探索并证明切线长定理：过圆外一点所画

的圆的两条切线的长相等； 了解圆周角及其推论的证明；

* 了解平行线性 质定理的证明

例 证明两直线平行，同位角相等。 这个证明可以利用反证法完成。 如图 15所示，我们希望证明：如果 AB∥CD ，那

么∠ 1 ＝∠ 2 。假设∠ 1≠∠2 ，过点 O 作直线 A′B′ ，使∠ EOB′＝∠ 2 。根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”这个基本事实，可得 A′B′∥CD 。这样，过点 O 就有两条直线 AB， A′B′平行于 CD ，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，说明∠ 1≠∠2 的假设是不对的，于是有∠ 1 ＝∠ 2 。

基本事实 1 ：两点确定一条直线。 基本事实 2 ：两点之间线段最短。 基本事实 3 ：过一点有且只有一条直线与这条直线垂 直。 基本事实 4 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位 角相等，那么两直线平行。 基本事实 5 ：过直线外一点有且只有一条直线与这条 直线平行。 基本事实 6 ：两边及其夹角分别相等的两个三角形全 等。 基本事实 7 ：两角及其夹边分别相等的两个三角形全 等。 基本事实 8 ：三边分别相等的两个三角形全等。 基本事实 9 ：两条直线被一组平行线所截，所得的对 应线段成比例。

基本事实 9 条

删去了：

删去了有关梯形的内容删去了“探索并了解两圆位置关系”降低了关于视图与投影的要求，删去关于

影子、视点、视角、盲区等内容以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏

删去关于镜面对称的要求

统计与概率：

较为系统地整理了“统计与概率”，减少了概率的部分内容，使得三个学段的层次更加清晰，表达更加准确。

加强体会数据的随机性

这是修改后的一个重要变化。原来，学生主要是依靠概率来体会随机思想的，现在希望学生通过数据来体会随机思想。

这种变化从“数据分析观念”核心词的表述可以看出。

第三学段，删去极差、频数折线图等内容，强调了对“随机”的体会。比如，增加了“通过案例了解简单随机抽样”、“通过表格、折线图等，了解随机现象的变化趋势”、增加了能用计算器处理较为复杂的数据、理解平均数的意义，能计算中位数、众数；

通过列出简单随机现象所有可能的结果，以及指定事件发生的所有结果，来了解随机现象发生的概率。

综合与实践：加强问题的应用性、问题性、综合性

学生针对问题情境，综合所学知识及生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学 各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解，积累数学活动经验

数学课标的新变化无论在理论上或是实践上都向我们提出了一些新的、值得探究的课题，需要我们去面对

课改的理想与课程的现实之间仍有较大反差，需要我们以教育的智慧去寻找平衡点

课改的路还很长……， 它需要的是一种坚守！

把握变化 深化课改