Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.

130

ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

(1) Μονώνυµο του x καλούµε κάθε παράσταση της µορφής vax όπου ℜ∈α , Ν∈ν .

Π. χ. 3 2 712 , ,0

5x x x− είναι µονώνυµα του x .

Κάθε πραγµατικός αριθµός είναι µονώνυµο του x .

Π. χ. 05155 x⋅=⋅= ενώ 3

x δεν είναι µονώνυµο γιατί 13

3xx

−= και Ν∉−1 .

(2) Πολυώνυµο του xκαλούµε κάθε παράσταση της µορφής :

11 1 0( ) ...v v

v vP x a x a x a x a−−= + + + + όπου Ν∈ν και 011 ,,...,, αααα νν − , ℜ∈x

• Όροι : Τα µονώνυµα 11 1 0, ,..., ,v v

v va x a x a x a−−

• Συντελεστές :οι αριθµοί 1 1 0, ,..., ,v va a a a−

• Σταθερός όρος : 0a

• Σταθερό πολυώνυµο : 1

1

0

0

0

( )

0

v

v

a

a

P x c

a

a c

−

= = = ⇔

= =

, δηλαδή κάθε πραγµατικός αριθµός είναι

ένα σταθερό πολυώνυµο.

• Μηδενικό πολυώνυµο : 1

1

0

0

0

( ) 0

0

0

v

v

a

a

P x

a

a

−

= = = ⇔

= =

Π. χ. 3 2( ) 5 2 3P x x x x= + − , 3( ) 3 2 1Q x x x= − + είναι πολυώνυµα του x , ενώ

1( ) 3 5 2f x x

x= − + ∆εν είναι πολυώνυµο του x .

• Πλήρες και διατεταγµένο πολυώνυµο

Π. χ. 3 4 5( ) 2 7 3 1P x x x x x= − + + + 5 4 3 2( ) 3 2 0 7 1P x x x x x x→ = − + + + +


131

(3) Βαθµός πολυωνύµου : λέγεται η µέγιστη δύναµη του x .

Π. χ. 3 2( ) 5 2 7P x x x= + − είναι 3ου βαθµού.

( )P x c= είναι µηδενικού βαθµού γιατί 01 xccc ⋅=⋅=

( ) 0P x = είναι απροσδιορίστου βαθµού γιατί 0 20 0 0 ... 0 vx x x= = = =

(4) Αριθµητική τιµή του ( )P x για x ρ= λέγεται το ( )P ρ .

∆ηλαδή ο αριθµός που προκύπτει εάν αντικαταστήσουµε όπου x το ρ.

Π. χ. η αριθµητική τιµή του 2( ) 5 3 1P x x x= − + για 2x = είναι 2(2) 5 2 3 2 1 15P = ⋅ − ⋅ + =

(5) (η x ρ= ρίζα του ( )P x ) ( ( ) 0)P ρ⇔ =

Π. χ. 3 2( ) 3 2 5 10P x x x x= + + −

1x = ρίζα του ( )P x γιατί 3 2(1) 3 1 2 1 5 1 10 0P = ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

(6) 11 1 0( ) ...v v

v vP x a x a x a x a−−= + + + +

11 1 0( ) ...v v

v vQ x x x xβ β β β−−= + + + +

1 1

0 0

( ) ( )

v va

P x Q xa

a

β

β

β

= = ⇔ = =

∆ηλαδή δυο πολυώνυµα είναι ίσα εάν είναι

i). του ίδιου βαθµού

ii). οι συντελεστές των οµοιοβάθµιων όρων να είναι µεταξύ τους ίσοι.

(7) Πράξεις πολυωνύµων

Η πρόσθεση – αφαίρεση και ο πολλαπλασιασµός πολυωνύµων γίνονται εντελώς ανάλογα

προς την πρόσθεση - αφαίρεση και τον πολλαπλασιασµό των πραγµατικών αριθµών.

Αποδεικνύεται ότι:

1. αν το άθροισµα δυο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι µη µηδενικό πολυώνυµο, τότε

ο βαθµός είναι ίσος ή µικρότερος από το µέγιστο των βαθµών των δυο πολυωνύµων.

2. ο βαθµός του γινοµένου δυο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα

των βαθµών των πολυωνύµων αυτών.


132

Παραδείγµατα

1. ∆ίνεται το πολυώνυµο 2)4()2()4()( 22233 −+−+−+−= λλλλλλ xxxxP . Να βρείτε

τον βαθµό του )(xP για τις διάφορες τιµές του ℜ∈λ .

Λύση

Για να βρούµε τον βαθµό του πολυωνύµου

2)4()2()4()( 22233 −+−+−+−= λλλλλλ xxxxP διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις:

A. Αν ισχύει 043 ≠− λλ ⇔ 0)4( 2 ≠−λλ ⇔ 0)2)(2( ≠+− λλλ ⇔ 0≠λ και

02 ≠−λ και 02 ≠+λ ⇔ 0≠λ και 2≠λ και 2−≠λ τότε ο συντελεστής του 3x

είναι διάφορος του µηδενός. Άρα, το )(xP έχει βαθµό 3.

B. Αν ισχύει 043 =− λλ ⇔ 0=λ ή 2=λ ή 2−=λ τότε αντικαθιστούµε στο )(xP

κάθε τιµή του λ ξεχωριστά ώστε να βρούµε τη µορφή που παίρνει το πολυώνυµο:

• Για 0=λ , το )(xP γίνεται : 2400)( 23 +−⋅+⋅= xxxxP οπότε έχει βαθµό 1.

• Για 2=λ , το )(xP γίνεται : 0000)( 23 +⋅+⋅+⋅= xxxxP δηλαδή είναι το

µηδενικό πολυώνυµο, οπότε δεν έχει βαθµό.

• Για 2−=λ , το )(xP γίνεται : 4080)( 23 −⋅+⋅+⋅= xxxxP οπότε έχει βαθµό 2.

2. ∆ίνονται τα πολυώνυµα 83)2()4()( 22232 −+−++−= ααααα xxxxP και

22 2)23()( αααα −+−+= xxxQ . Να βρείτε για ποια τιµή του τα πολυώνυµα είναι ίσα.

Λύση

Τα πολυώνυµα 83)2()4()( 22232 −+−++−= ααααα xxxxP και

22 2)23()( αααα −+−+= xxxQ είναι ίσα, όταν ισχύουν συγχρόνως:

• ⇔=−+⇔−=− 08283 22 ααααα 2=α ή 4−=α

• ⇔=−⇔=−⇔−=− 0)2(022 22 αααααα 0=α ή 2=α

• ⇔=−−⇔+=+ 02232 22 ααααα 1−=α ή 2=α

• ⇔=− 042α 2=α ή 2−=α

Οι παραπάνω ισότητες ισχύουν συγχρόνως, όταν 2=α .

…………………………………………………………………………………………


133

3. ∆ίνεται το πολυώνυµο 32)()()( 2223 −−+++−= λλλλλλ xxxP . Να βρείτε για ποιες

τιµές του ℜ∈λ το )(xP

i). Είναι σταθερό πολυώνυµο

ii). Είναι µηδενικό πολυώνυµο

iii). Έχει βαθµό µηδέν

Λύση

i). Το πολυώνυµο 32)()()( 2223 −−+++−= λλλλλλ xxxP είναι σταθερό όταν όλοι

οι συντελεστές των δυνάµεων του x είναι µηδέν. ∆ηλαδή, όταν ισχύουν:

03 =− λλ και 02 =+ λλ ⇔

0)1( 2 =−λλ και 0)1( =+λλ ⇔

0)1)(1( =−+ λλλ και 0)1( =+λλ ⇔

0=λ ή 1=λ ή 1−=λ και 0=λ ή 1−=λ ⇔

0=λ ή 1−=λ

ii). Το πολυώνυµο 32)()()( 2223 −−+++−= λλλλλλ xxxP είναι το µηδενικό

πολυώνυµο, όταν όλοι οι όροι είναι µηδέν. ∆ηλαδή, όταν ισχύουν συγχρόνως

•••• 03 =− λλ ⇔ 0=λ ή 1=λ ή 1−=λ και

•••• 02 =+ λλ ⇔ 0=λ ή 1−=λ και

•••• 0322 =−− λλ ⇔ 1−=λ ή 3=λ

Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν συγχρόνως όταν 1−=λ

iii). Το πολυώνυµο 32)()()( 2223 −−+++−= λλλλλλ xxxP έχει βαθµό µηδέν όταν

είναι σταθερό και µη µηδενικό, δηλαδή όταν ισχύουν συγχρόνως:

•••• 03 =− λλ ⇔ 0=λ ή 1=λ ή 1−=λ και

•••• 02 =+ λλ ⇔ 0=λ ή 1−=λ και

•••• 0322 ≠−− λλ ⇔ 1−≠λ και 3≠λ

Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν συγχρόνως όταν 0=λ .

…………………………………………………………………………………………

4. ∆ίνεται το πολυώνυµο 652)( 23 +−−= xxxxP .


134

i). Να βρείτε την αριθµητική τιµή του )(xP για 3−=x

ii). Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθµούς 2 ,1 ,1 −− είναι ρίζες του )(xP

Λύση

i). Για να βρούµε την αριθµητική τιµή του πολυωνύµου 652)( 23 +−−= xxxxP για

3−=x αντικαθιστούµε το x µε τον αριθµό -3. Άρα είναι

24615182761592276)3(5)3(2)3()3( 23 −=++−−=++⋅−−=+−⋅−−⋅−−=−P

ii). Για να είναι ένας αριθµός ρίζα του πολυωνύµου θα πρέπει όταν τον

αντικαταστήσουµε στο πολυώνυµο η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου να ισούται µε

µηδέν. Συνεπώς έχουµε:

• 06521615121)1( 23 =+−−=+⋅−⋅−=P άρα το 1 είναι ρίζα του )(xP

• 0865216)1(5)1(2)1()1( 23 ≠=++−−=+−⋅−−⋅−−=−P άρα το -1 δεν

είναι ρίζα του )(xP .

• 0610886)2(5)2(2)2()2( 23 =++−−=+−⋅−−⋅−−=−P άρα το -2 είναι

ρίζα του )(xP

………..…………………………………………………………………………………

5. ∆ίνεται το πολυώνυµο ββααα 3)3()1()( 23 +−−+−= xxxxP . Να βρείτε τα ℜ∈βα ,

ώστε το )(xP να έχει ρίζα το 2 και η αριθµητική του τιµή για 1−=x να είναι 6.

Λύση

• Το πολυώνυµο ββααα 3)3()1()( 23 +−−+−= xxxxP έχει ρίζα το 2 ⇔

0)2( =P ⇔ 032)3(22)1( 23 =⋅+⋅−−⋅+⋅− ββααα ⇔

⇔ 03)3(24)1(8 =⋅+−⋅−⋅+−⋅ ββααα ⇔

⇔ 0326488 =++−+− ββααα ⇔

⇔ 856 =+ βα (1)

• Η αριθµητική τιµή του ββααα 3)3()1()( 23 +−−+−= xxxxP για 1−=x είναι 6

⇔

6)1( =−P ⇔ 63)1()3()1()1()1( 23 =⋅+−⋅−−−⋅+−⋅− ββααα ⇔

⇔ 63)3()1( =+−++−− ββααα ⇔

⇔ 6331 =+−+++− ββααα ⇔

⇔ 523 =+ βα (2)


135

Λύνουµε το σύστηµα των (1) και (2) :

=+

=+

523

856

βαβα

⇔ 3=α και 2−=β

…………………………………………………………………………………………

6. ∆ίνεται το πολυώνυµο xxxP 2)( 3 −=

i). Να βρείτε το επόµενο πολυώνυµο )1()2()( −−= xPxPxQ

ii). Να βρείτε τον βαθµό και τους όρους του )(xQ

iii). Να εξετάσετε αν οι αριθµοί 2− και 1− είναι ρίζες του )(xQ

Λύση

i). Είναι )2(2)2()2( 3 xxxP ⋅−= xx 48 3 −= (στη θέση του xx 2→ )

και 1322133)1(2)1()1( 23233 ++−=+−−+−=−−−=− xxxxxxxxxxP (στη

θέση του 1−→ xx )

οπότε,

)1()2()( −−= xPxPxQ =++−−−= )13(48 233 xxxxx

1348 233 −−+−−= xxxxx

άρα

1537)( 23 −−+= xxxxQ

οπότε,

ii). Ο βαθµός του )(xQ είναι 3 και οι όροι του : 1 ,5 ,3 ,7 23 −− xxx

iii).

• Για να είναι το 2− ρίζα του )(xQ πρέπει 0)2( =−Q

=−−⋅−−⋅+−⋅=− 1)2(5)2(3)2(7)2( 23Q =−+⋅+−⋅ 11043)8(7

04591256 ≠=++−= άρα το 2− δεν είναι ρίζα του )(xQ

• Για να είναι το 1− ρίζα του )(xQ πρέπει 0)1( =−Q

=−−⋅−−⋅+−⋅=− 1)1(5)1(3)1(7)1( 23Q 1513)1(7 −+⋅+−⋅

077 =+−= άρα το 1− είναι ρίζα του )(xQ .

∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Ταυτότητα της διαίρεσης


136

235 3

25 78

1

,∆ δ π υ= ⋅ + 0 υ δ≤ <

235 3 78 1= ⋅ + , 1υ =

234 3

24 78

0

,∆ δ π υ= ⋅ + 0υ = τέλεια διαίρεση

234 3 78= ⋅

Αποδεικνύεται ότι για κάθε ζεύγος πολυώνυµων ( )x∆ και ( ) 0xδ ≠ υπάρχουν δυο

µοναδικά πολυώνυµα ( )xπ και ( )xυ τέτοια ώστε : ( ) ( ) ( ) ( )x x x x∆ δ π υ= ⋅ + , όπου

( ) 0xυ = ή (βαθµός ( )xυ )<( βαθµός ( )xδ ).

( )x∆ : διαιρετέος, ( )xδ : διαιρέτης

( )xπ : πηλίκο, ( )xυ : υπόλοιπο

Π. χ. Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύµου 3 22 2 2x x+ − µε το 22 1x − και να γραφεί η

ταυτότητα της διαίρεσης.

το 1x− είναι 2ο µερικό υπόλοιπο και αφού βαθµός(

) < βαθµός( 22 1x − ) το 1x− είναι το τελικό

υπόλοιπο.

( ) ( ) ( ) ( )x x x x∆ δ π υ= ⋅ +

3 22 2 2x x+ − 2(2 1)( 1) 1x x x= − + + −

2022 23 −++ xxx 12 2 −x

32x− x+ 1+x

22 2 −+ xx

22x− 1+

x 1−

Κάνω το σχήµα της διαίρεσης θέτοντας ( )x∆ και ( )xδ κατά τις

κατιούσες δυνάµεις του x . Αν στο διαιρετέο «λείπει» δύναµη στη

θέση της βάζουµε 0.

Θέτω στη θέση του ( )xπ την ποσότητα x η οποία αν

πολλαπλασιασθεί ο µεγιστοβάθµιος 22x του διαιρέτη δίνει το

µεγιστοβάθµιο 32x του ∆ιαιρετέου.

Πολλαπλασιάζω τον διαιρέτη επί x και ότι βρίσκω το θέτω µε

αντίθετα πρόσηµα κάτω από τα αντίστοιχα του διαιρετέου.

Προσθέτω στον διαιρετέο την ποσότητα που προηγούµενα έθεσα

κάτω απ’ αυτόν.

Σε περίπτωση που η διαίρεση είναι τέλεια, δηλαδή ( ) 0xυ = τότε έχουµε :

( ) ( ) ( )x x x∆ δ π= ⋅ και παρατηρούµε ότι: ( )

( )( )

xx

x

∆π

δ= , δηλαδή

ο ( )xδ διαιρεί το ( )x∆

Σχόλιο [u1]: 1ο µερικό υπόλοιπο συνεχίζω τη διαδικασία


137

ή ο ( )xδ είναι παράγοντας του ( )x∆

ή ο ( )xδ είναι διαιρέτης του ( )x∆

S. O. S. Η τέλεια διαίρεση είναι µια παραγοντοποίηση του ( )x∆

Παράδειγµα:

i). Να γίνει η διαίρεση του 3 2( ) 2 2 3F x x x x= + − − µε το 1x−

ii). Να παραγοντοποιηθεί το ( )F x

iii). Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0F x =

Λύση

322 23 −−+ xxx 1−x

23 22 xx +− 22x x4+ +3

34 2 −− xx

xx 44 2 +−

33 −x

33 +− x

0

Αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0 η διαίρεση είναι τέλεια.

Οπότε, το =)(xF 322 23 −−+ xxx παραγοντοποιείται ως εξής:

)342()1(322 223 ++⋅−=−−+ xxxxxx

⇔= 0)(xF 0)342()1(0322 223 =++⋅−⇔=−−+ xxxxxx ⇔

01=−x ή 0342 2 =++ xx 08( <−=∆ δεν έχει πραγµατικές ρίζες) ⇔ 1=x .

∆ύο χρήσιµες ταυτότητες

• για κάθε ∗Ν∈ν : 1 2 2 1( )( ... )v v v v v vx a x a x x a x a a− − − −− = − + ⋅ + + ⋅ +

• για 2 1v κ= + (περιττό) : 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2( )( ... )x a x a x x a x a aκ κ κ κ κ κ+ + − −+ = + − ⋅ + − ⋅ +


138

Παρατηρούµε ότι :

x a− διαιρέτης του v vx a−

x a+ διαιρέτης του 2 1 2 1x aκ κ+ ++

ΠΡΟΣΟΧΗ !!!.

(Α) Ισχύουν οι παρακάτω 5 ισοδύναµες προτάσεις

( x ρ− παράγοντας του ( )P x ) ⇔ (η διαίρεση ( ) : ( )P x x ρ− είναι τέλεια) ⇔

(Υπάρχει ( )xπ τέτοιο ώστε. ( ) ( ) ( )P x x xρ π= − ⋅ )⇔ (το x ρ= είναι ρίζα του ( )P x )⇔ (

( ) 0P ρ = )

(Β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου ( )P x µε το x ρ− είναι

( )Pυ ρ=

S. O. S. Οι αποδείξεις των (Α) και (Β) είναι στο σχολικό βιβλίο.


1. ∆ίνεται το 4 3( ) 3 2 2P x x x xλ= + − + να βρεθεί το λ ώστε :

i. το 1x− είναι παράγοντας του ( )P x

ii. η διαίρεση του ( )P x µε το 1x+ δίνει υπόλοιπο 2υ = .

2. ∆ίνεται το 4 3 2( ) 2 7P x x x x xα β= + − + + . Να βρεθούν τα α και β ώστε το ( )P x να

έχει παράγοντες τα 1x− και 3x+ .

3. ∆ίνεται το 3 2( ) ( 2 3) 3 3P x x a x ax aβ β= + + − + + − . Να βρεθούν τα α, β εάν το 1x+

είναι παράγοντας του ( )P x και η διαίρεση ( ) : ( 2)P x x+ δίνει 4υ = .

4. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης 4 3 2( ) 5 3 7 4P x x x x= + − − µε το 2x+ .

5. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου ( )P x µε το 2−x είναι 1 και µε το

3+x είναι -14. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το 62 −+ xx .

Λύση

1.

∆ίνεται 4 3( ) 3 2 2P x x x xλ= + − + . Το 1x− είναι παράγοντας του ( )P x αν και µόνο

αν ⇔= 0)1(P ⇔=+⋅−+⋅ 0212113 34 λ ⇔= 62λ 3=λ


139

Ακόµα, η διαίρεση του ( )P x µε το 1x+ δίνει υπόλοιπο 2υ = αν και µόνο αν:

2)1( =−P ⇔ ⇔=+−⋅−−+−⋅ 22)1(2)1()1(3 34 λ ⇔=+− 0213 λ ⇔−= 22λ

1−=λ

…………………………………………………………………………………………

2. Tο 4 3 2( ) 2 7P x x x x xα β= + − + + έχει παράγοντες τα 1x− , 3x+ αν και µόνο αν:

0)1( =P ⇔ 0117121 234 =+⋅+⋅−⋅+ βα ⇔ 4=+ βα (1) και 0)3( =−P ⇔

0)3()3(7)3(2)3( 234 =+−⋅+−⋅−−+− βα ⇔

03635481 =+−−− βα ⇔ 363 =+− βα ⇔ 363 −=− βα (2)

Λύνουµε το σύστηµα των (1) και (2)

128324

363

4 )(

=→−=⇔−=

⇔

−=−

=+ +

βαα

βαβα

άρα 8−=α και 12=β

…………………………………………………………………………………………..

3. 3 2( ) ( 2 3) 3 3P x x a x ax aβ β= + + − + + − .

Το 1x+ είναι παράγοντας του ( )P x αν και µόνο αν 0)1( =−P ⇔

03)1(3)1)(32()1( 23 =−+−+−−++− βααβα ⇔ 4=+ βα (1)

Η διαίρεση ( ) : ( 2)P x x+ δίνει 4υ = αν και µόνα αν 4)2( =−P ⇔

⇔=−+−+−−++− 43)2(3)2)(32()2( 23 βααβα 247 =+ βα (2)


3

2

3

10

6

20206

247

4 )(

=→==⇔=

⇔

=+

=+ −

αββ

βαβα

άρα 3

2=α και

3

10=β

4. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 4 3 2( ) 5 3 7 4P x x x x= + − − µε το 2x+ είναι :

4)2(7)2(3)2(5)2( 234 −−⋅−−⋅+−⋅=−= Pυ = 447)8(3165 −⋅−−⋅+⋅ =

244282480 =−−− άρα 24)2( =−= Pυ

5. Για το πολυώνυµο )(xP γνωρίζουµε τα εξής:

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το 2−x είναι 1 άρα 1)2(11 =⇔= Pυ

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το 3+x είναι -14 άρα

14)3(142 −=−⇔−= Pυ


140

Στη διαίρεση )6(:)( 2 −+ xxxP ο διαιρέτης 62 −+ xx είναι 2ου βαθµού , άρα το

υπόλοιπο της διαίρεσης είναι της µορφής βαυ += xx)( µε ℜ∈βα , .

Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: βαπ ++⋅−+= xxxxxP )()6()( 2 (1)

Από τη σχέση (1) για 2=x έχουµε:

βαπ +⋅+⋅−+= 2)2()622()2( 2P ⇔ ⇔++⋅= βαπ 2)2(01 12 =+ βα (2)

Από τη σχέση (1) για 3−=x έχουµε:

βαπ +−⋅+−⋅−−+−=− )3()3()]6)3()3[()3( 2P ⇔ βαπ +−−⋅=− 3)3(014 ⇔

143 −=+− βα (3)

Λύνουµε το σύστηµα εξισώσεων (2) και (3)

−=+−

=+

143

12

βαβα

⇔

−=

=

5

3

βα

Άρα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το 62 −+ xx είναι 53)( −= xxυ .


141

ΣΧΗΜΑ HORNER

Το σχήµα Horner είναι µια διάταξη µε τη βοήθεια της οποίας µπορούµε να κάνουµε

διαίρεση:

Να διαπιστώσουµε αν ένας αριθµός ρ είναι ρίζα ενός πολυωνύµου ( )P x ή ισοδύναµα να

διαπιστώσουµε αν το x ρ− ( )xα β+ είναι παράγοντας του ( )P x .

Να βρούµε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου ( )P x µε το x ρ−

( )xα β+ .

Να βρούµε την αριθµητική τιµή του ( )P x για x ρ= (για xβα

= − ).

Ο τρόπος εργασίας µε το σχήµα Horner φαίνεται στο παρακάτω:

Παράδειγµα: Έστω ότι θέλουµε να κάνουµε τη διαίρεση 3( 2 1) : ( 2)x x x+ − +

Τότε εργαζόµαστε ως εξής:

Βήµα 1ο : ∆ιατάσουµε τα πολυώνυµα κατά τις κατιούσες δυνάµεις του x . Είναι :

3 32 1 2 1x x x x+ − = + − (το 2x+ είναι διατεταγµένο)

Βήµα 2ο : Συµπληρώνουµε τις δυνάµεις του x που λείπουν θέτοντας συντελεστή

µηδέν. Είναι 3 3 22 1 2 0 1 1x x x x x+ − = + ⋅ + ⋅ −

Βήµα 3ο : Γράφουµε στην πρώτη γραµµή του σχήµατος Horner τους συντελεστές

2,0,1, 1− του διαιρετέου και στη συνέχεια τον αριθµό -2 (θέτουµε 2 0x+ =

οπότε 2x = − ).

Βήµα 4ο : Κατεβάζουµε τον πρώτο συντελεστή όπως είναι στη τρίτη γραµµή και

κάθε στοιχείο της δεύτερης γραµµής προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το

προηγούµενο στοιχείο της τρίτης γραµµής µε το -2, ενώ κάθε επόµενο

στοιχείο της τρίτης γραµµής προκύπτει προσθέτοντας τα δυο στοιχεία της

πρώτης και δεύτερης γραµµής που βρίσκονται στην ίδια στήλη.

Βήµα 5ο : Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραµµής είναι το υπόλοιπο. Φυσικά αν

υ =0 τότε το x ρ− είναι παράγοντας- Η αριθµητική τιµή για x ρ= είναι

µηδέν ενώ τα υπόλοιπα στοιχεία της τρίτης γραµµής είναι οι συντελεστές

του πηλίκου. (Βλέπε σχήµα)


142

Σχήµα Horner ∆ιαίρεση (για επαλήθευση)

Συντελεστές διαιρετέου

32 1x x+ − 2x+

3 22 4x x− − 22 4 9x x− +

24 1x x− + −

24 8x x+

9 1x−

9 18x− −

19−

2 0 1 -1 2−=ρ

↓ -4 8 -18

2 -4 9 -19

Άρα, το πηλίκο είναι 2( ) 2 4 9x x xΠ = − + και το υπόλοιπο 19υ = − . Φανερά δε έχουµε:

3 22 1 ( 2)(2 4 9) 19x x x x x+ − = + − + −

…………………………………………………………………………………………..

Άσκηση

Να λυθεί η εξίσωση : 1912 3 −=−+ xx

Λύση

Σύµφωνα µε το προηγούµενο σχήµα Horner η εξίσωση γράφεται:

1912 3 −=−+ xx ⇔

1919)942)(2( 2 −=−+−+ xxx ⇔

0)942)(2( 2 =+−+ xxx ⇔

2−=x ή 0942 2 =+− xx ⇔

2−=x ή Αδύνατη ( 0567216 <−=−=∆ )

ΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΙΠΟΥ ΤΗΣ


143

∆ΙΑΙΡΕΣΗΣ ΤΟΥ ( )f x ΜΕ ΤΟ ( )xδ .

Σε τυχαία διαίρεση

Για εύρεση του υπολοίπου κάνουµε τη

διαίρεση

Στην ειδική περίπτωση που ο διαιρέτης είναι

της µορφής ( )x xδ ρ= −

1ος τρόπος

∆ιαίρεση ( )f x : x ρ−

2ος τρόπος

Σχήµα Horner

3ος τρόπος

Χρήση του θεωρήµατος : το ( )f x διαιρούµενο

το x ρ− δίνει ( )fυ ρ=

Παρατηρήσεις

1. ( ( )P x διαιρείται µε το ( )( )x xα β− − ⇔ Το ( )P x διαιρείται ξεχωριστά µε το ( )x α− και το

( )x β−

2. ( )P x διαιρείται µε το 2( )x ρ− ή

η εξίσωση ( ) 0P x = έχει το x ρ= ρίζα

πολλαπλότητας 2 ή x ρ= διπλ

⇔ ( ) 0P ρ = και ( ) 0Π ρ = όπου ( )xΠ το πηλίκο της

διαίρεσης ( )P x : ( )x ρ− .


1. ∆ίνεται το 4 2( ) 5 3P x x x x= − + − . Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του

( ) : ( 2)P x x+ .

2. ∆ίνεται το 3( ) 7 6f x x x= − +

I. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) : ( 3)f x x+

II. Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0f x =

3.


144

I. Να αποδείξετε ότι το )(xP έχει παράγοντα το ))(( βα −− xx µε βα ≠ αν και

µόνο αν το )(xP έχει παράγοντες το ( )x α− και το ( )x β−

II. ∆ίνεται το πολυώνυµο βα +++= xxxxP 23 4)( . Να βρείτε τις τιµές των

ℜ∈βα , ώστε το )(xP να έχει παράγοντα το 322 −+ xx (παρατήρηση 1).

4. ∆ίνεται το πολυώνυµο βα ++= 23)( xxxP . Να βρείτε για ποιες τιµές των ℜ∈βα , το

)(xP έχει παράγοντα το 442 +− xx (παρατήρηση 2).

Λύση

1. Κάνουµε τη διαίρεση ( ) : ( 2)P x x+ όπου 4 2( ) 5 3P x x x x= − + −

350 234 −+−+ xxxx 2+x

4x− 32x− 3x 22x− x− 3+

32x− 35 2 −+− xx

23 42 xx ++

32 −+− xx

xx 22 ++

33 −x

63 −− x

9−

Άρα, το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) : ( 2)P x x+ είναι 9−=υ .

2ος τρόπος : µε τη βοήθεια του σχήµατος Horner

1 0 -5 1 -3 2−=ρ

↓ -2 4 2 -6

1 -2 -1 3 -9

Οπότε, 9−=υ

3ος τρόπος

954520163)2()2(5)2()2( 24 −=−−=−−=−−+−−−=−= Pυ

2. Κάνουµε τη διαίρεση ( ) : ( 3)f x x+ όπου 3( ) 7 6f x x x= − +


145

670 23 +−+ xxx 3+x

3x− 23x− 2x x3− 2+

673 2 +−− xx

23x+ x9+

62 +x

62 −− x

0

Παρατηρούµε ότι 0=υ δηλαδή η διαίρεση είναι τέλεια. Τότε,

3( ) 7 6f x x x= − + )23)(3( 2 +−+= xxx οπότε

⇔= 0)(xf ⇔=+−+ 0)23)(3( 2 xxx 03=+x ή 0232 =+− xx ⇔

3−=x ή 1=x ή 2=x

2ος τρόπος: µε τη βοήθεια του σχήµατος Horner έχουµε:

1 0 -7 6 3−=ρ

↓ -3 9 -6

1 -3 2 0

Παρατηρούµε ότι 0=υ δηλαδή η διαίρεση είναι τέλεια. Τότε,

3( ) 7 6f x x x= − + )23)(3( 2 +−+= xxx οπότε

⇔= 0)(xf ⇔=+−+ 0)23)(3( 2 xxx 3−=x ή 1=x ή 2=x

………………………………………………………………………………

3.

I. Ευθύ: Έστω ότι το )(xP έχει παράγοντα το ))(( βα −− xx . Τότε υπάρχει πολυώνυµο

)(xπ τέτοιο ώστε : )())(()( xxxxP πβα ⋅−−= (1)

Από τη σχέση (1):

Για α=x προκύπτει 0)()()(0)( =⇔⋅−⋅= ααπβαα PP

Για β=x προκύπτει 0)()(0)()( =⇔⋅⋅−= ββπαββ PP

Άρα, το )(xP έχει παράγοντες το )( α−x και το )( β−x


146

Αντίστροφο: Έστω ότι το )(xP έχει παράγοντες το )( α−x και το )( β−x . Άρα, ισχύει

0)( =αP και 0)( =βP . Θα γράψουµε την ταυτότητα της διαίρεσης του )(xP µε το

))(( βα −− xx . Επειδή ο διαιρέτης ))(( βα −− xx είναι 2ου βαθµού, το υπόλοιπο είναι της

µορφής : λκυ += xx)( µε ℜ∈λκ , .

Τότε, η ταυτότητα της διαίρεσης είναι της µορφής:

λκπβα ++⋅−−= xxxxxP )())(()( (2)

Από τη σχέση (2)

Για α=x προκύπτει: 0)()(0)( =+⇔++⋅−⋅= λκαλκααπβααP (3)

Για β=x προκύπτει: 0)(0)()( =+⇔++⋅⋅−= λκβλκββπαββP (4)

Αφαιρούµε κατά µέλη τις σχέσεις (3) και (4)

00)(0)( =⇔=−⇔=+−+≠

κβακλκβλκαβα

Από τη σχέση (3) για 0=κ προκύπτει και 0=λ . Άρα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP

µε το ))(( βα −− xx είναι το µηδενικό πολυώνυµο, δηλαδή το )(xP έχει παράγοντα το

))(( βα −− xx .

ΙΙ. Το πολυώνυµο βα +++= xxxxP 23 4)( έχει παράγοντα το

322 −+ xx )3)(1( +−= xx . Άρα,

Το )(xP έχει παράγοντα το )1( −x ⇔

5011410)1( 23 −=+⇔=+⋅+⋅+⇔= βαβαP (1)

Το )(xP έχει παράγοντα το )3( +x ⇔

930)3()3(4)3(0)3( 23 −=+⋅−⇔=+−⋅+−⋅+−⇔=− βαβαP (2)


⇔

−=+−

−=+

93

5

βαβα

−=

=

6

1

βα

………………………………………………………………………………………

4. Παρατηρούµε ότι 22 )2(44 −=+− xxx . Άρα, το βα ++= 23)( xxxP έχει παράγοντα

το 2)2( −x , δηλαδή το )(xP έχει παράγοντα το )2( −x αλλά και το πηλίκο της

διαίρεσης του )(xP µε το )2( −x έχει παράγοντα το )2( −x . Κάνουµε τη διαίρεση

)2(:)( −xxP


147

1 α 0 β 2=ρ

↓ 2 42 +α 84 +α

1 2+α 42 +α 84 ++ αβ

Το πηλίκο είναι 42)2()( 2 ++++= ααπ xxx και το υπόλοιπο είναι 84 ++= αβυ . Όµως,

η διαίρεση αυτή είναι τέλεια, άρα ισχύει

0840 =++⇔= αβυ (1)

Επίσης, το πηλίκο 42)2()( 2 ++++= ααπ xxx έχει κι αυτό παράγοντα το )2( −x οπότε

ισχύει:

042)2(20)2( 2 =++++⇔= axαπ ⇔ 042424 =++++ aα ⇔ 124 −=α ⇔

3−=α

Άρα, από τη σχέση (1) έχουµε: ⇔=+−+ 08)3(4β 4=β


148

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Πολυωνυµική εξίσωση ν- βαθµού ονοµάζουµε κάθε εξίσωση της µορφής :

11 1 0... 0v v

v va x a x a x a−−+ + + + = , 0va ≠

Π. χ. 6 23 5 6 0x x− + = πολυωνυµική εξίσωση 6ου βαθµού

35 2 1 0x x− + = πολυωνυµική εξίσωση 3ου βαθµού

ενώ 25 2 3 0x x+ − = ∆εν είναι πολυωνυµική

Ρίζα µιας πολυωνυµικής εξίσωσης είναι ο x ρ= εάν και µόνο εάν είναι ρίζα του

αντίστοιχου πολυωνύµου, δηλαδή εάν και µόνο εάν ( ) 0P ρ = .

Π. χ. ∆ίνεται η εξίσωση 3 6 5 0x x− + = ο αριθµός 1x = είναι ρίζα της εξίσωσης γιατί

µηδενίζει το πολυώνυµο 3( ) 6 5P x x x= − + ( 3(1) 1 6 1 5 0P = − ⋅ + = )

Για να λύσουµε µια πολυωνυµική εξίσωση ν βαθµού επιδίωξη µας είναι µε κατάλληλες

παραγοντοποιήσεις να καταλήξουµε σε γινόµενο πρωτοβαθµίων ή δευτεροβάθµιων

παραγόντων, όπου ο µηδενισµός του καθενός παράγοντα θα µας δίνει την λύση της

εξίσωσης.

1 2( ) 0 ( ) ( ) ... ( ) 0P x P x P x Pκ χ= ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ =

1

2

( ) 0

( ) 0

( ) 0

P x

P x

P xκ

= = ⇔ =

3ου βαθµού 1ου ή 2ου βαθµού παράγοντες

ή ανωτέρου


149

ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΡΙΖΩΝ

Το πολυώνυµο 1

1 1 0( ) ...v vv vP x a x a x a x a−

−= + + + + ή

η πολυωνυµική εξίσωση ( ) 0P x =

µε ακέραιους συντελεστές δέχεται

την ακέραια ρίζα x ρ= .

τότε

→

ο x ρ= είναι διαιρέτης του

σταθερού όρου 0a .

∆ηλαδή κάθε ακέραια ρίζα x ρ= (εάν υπάρχει) βρίσκεται µεταξύ των διαιρετών του

σταθερού όρου 0a .

Παρατηρήσεις

i). Το παραπάνω θεώρηµα δίνει πιθανές (και όχι βέβαιες) ρίζες του πολυωνύµου. Οπότε

πρέπει εµείς να εξετάζουµε αν οι πιθανές αυτές ρίζες είναι ή όχι ρίζες του

πολυωνύµου.

ii). Το παραπάνω θεώρηµα δε δίνει όλες τις πιθανές ρίζες αλλά µόνο τις πιθανές

ακέραιες ρίζες.

Π. χ. εάν ένα πολυώνυµο έχει τη ρίζα Ζ∉+= 22x αυτή δεν δίνεται από το

θεώρηµα.

iii). Το παραπάνω θεώρηµα µπορεί να εφαρµοστεί µόνο σε πολυώνυµα µε ακέραιους

συντελεστές.

Π. χ. δεν µπορεί να εφαρµοστεί στο 5 4( ) 3 2 5 3 3f x x x x= − + − αφού δεν είναι

όλοι οι συντελεστές του ακέραιοι.

Παραδείγµατα:

1. Να λυθεί η εξίσωση: 01892 23 =−−+ xxx

Λύση

01892 23 =−−+ xxx ⇔ 0)2(9)2(2 =+−+ xxx ⇔ 0)9)(2( 2 =−+ xx ⇔

0)3)(3)(2( =+−+ xxx ⇔ 02 =+x ή 03=−x ή 03=+x ⇔ 2−=x ή 3=x ή

3−=x

…………………………………………………………………………………………..


150

2. Να βρεις τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης: 041583 23 =+−+ xxx

Λύση

041583 23 =+−+ xxx Πιθανές ακέραιες ρίζες : οι διαιρέτες του σταθερού όρου 4

δηλαδή: 1± , 2± , 4±

Με το σχήµα Horner εξετάζουµε αν κάποιος από αυτούς µηδενίζει το πολυώνυµο

41583)( 23 +−+= xxxxP . Έχουµε,

3 8 -15 4 1=ρ

↓ 3 11 -4

3 11 -4 0

Άρα, αφού 0)1( =P το 1 είναι ρίζα του )(xP

3 8 -15 4 1−=ρ

↓ -3 -5 20

3 5 -20 24

Άρα, αφού 024)1( ≠=−P το -1 δεν είναι ρίζα του )(xP

3 8 -15 4 2=ρ

↓ 6 28 26

3 14 13 30

Άρα, αφού 030)2( ≠=P το 2 δεν είναι ρίζα του )(xP

3 8 -15 4 2−=ρ

↓ -6 -4 28

3 2 -19 32


3 8 -15 4 4=ρ


151

↓ 12 80 280

3 20 65 284


3 8 -15 4 4−=ρ

↓ -12 16 -4

3 -4 1 0

Άρα, αφού 0)4( =−P το -4 είναι ρίζα του )(xP

Άρα, οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι: 4,1− .

[2ος τρόπος αφού βρήκα ότι το 1 είναι ρίζα του )(xP )4113)(1()( 2 −+−= xxxxP

δηλαδή η εξίσωση γράφεται

041583 23 =+−+ xxx ⇔ 0)4113)(1( 2 =−+− xxx ⇔ 01=−x ή

04113 2 =−+ xx ⇔ 1=x ή 4−=x ή 3

1=x ]

………………………………………………………………………………………..

3. Να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες: 0234 =−+ xx

Λύση

Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου δηλαδή 1± , 2±

Με το σχήµα Horner εξετάζουµε αν κάποιος από αυτούς µηδενίζει το πολυώνυµο

23)( 4 −+= xxxP . Έχουµε,

1 0 0 3 -2 1=ρ

↓ 1 1 1 4

1 1 1 4 2


1 0 0 3 -2 1−=ρ

↓ -1 1 -1 -2


152

1 -1 1 2 -4

Άρα, αφού 04)1( ≠−=−P το 1 δεν είναι ρίζα του )(xP

1 0 0 3 2 2=ρ

↓ 2 4 8 22

1 2 4 11 24

Άρα, αφού 24)2( =P το 2 δεν είναι ρίζα του )(xP

1 0 0 3 2 2−=ρ

↓ -2 4 -8 10

1 -2 4 -5 12


Άρα, η εξίσωση 0234 =−+ xx δεν έχει ακέραιες ρίζες.


153

ΛΥΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

Για να λύσουµε ανισώσεις της µορφής ( ) ( )A x B x> , όπου ( )A x , ( )B x πολυώνυµα.

( ) ( )A x B x> ⇔ ( ) ( ) 0A x B x− >

⇔ ( ) 0P x >

⇔ 1 2( ) ( ) ... ( ) 0P x P x P xκ⋅ ⋅ ⋅ > (1ου ή 2ου βαθµού)

⇔ πίνακας προσήµου.

Προσοχή!! Το 2[ ( )] 0A x κ > για κάθε ℜ∈x ,

Το 2 1[ ( )]A x κ+ έχει το πρόσηµο του ( )A x .

Παραδείγµατα : Να λυθούν οι ανισώσεις

1. 3 23 5 9x x x+ ≥ −

2. 4 3 23 9 9 2 0x x x x− − + − ≥

3. 2

2

4 2

1 1 1

x

x x x− ≤

+ − −

4. 2 3 1 1x x+ − + >

Λύση

1. 3 23 5 9x x x+ ≥ − 0935 23 ≥++−⇔ xxx . Πιθανές ακέραιες ρίζες της αντίστοιχης

εξίσωσης 0935 23 =++− xxx είναι 1± , 3± , 9± παρατηρούµε ότι το -1 είναι ρίζα της

εξίσωσης οπότε µε τη βοήθεια του σχήµατος Horner έχουµε:

1 -5 3 9 1−=ρ

↓ -1 6 -9

1 -6 9 0

)96)(1(935 223 +−+=++− xxxxxx άρα η ανίσωση γίνεται:

0935 23 ≥++− xxx 0)96)(1( 2 ≥+−+⇔ xxx ⇔≥−+⇔ 0)3)(1( 2xx 1−≥x αφού

ℜ∈∀≥− xx 0)3( 2

…………………………………………………………………………………………


154

2. 4 3 23 9 9 2 0x x x x− − + − ≥ Πιθανές ακέραιες ρίζες της αντίστοιχης εξίσωσης

02993 234 =−+−− xxxx είναι 1± , 2± . Παρατηρούµε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης

οπότε µε τη βοήθεια του σχήµατος Horner έχουµε:

3 -1 -9 9 -2 1=ρ

↓ 3 2 -7 2

3 2 -7 2 0

)2723)(1(2993 23234 +−+−=−+−− xxxxxxxx

Ξανακάνουµε σχήµα Horner για το 2723 23 +−+ xxx . Πιθανές ακέραιες ρίζες : 1± , 2± .

Παρατηρούµε ότι το 1 είναι ρίζα άρα

3 2 -7 2 1=ρ

↓ 3 5 -2

3 5 -2 0

Άρα, )253)(1(2723 223 −+−=+−+ xxxxxx οπότε η αρχική ανίσωση γίνεται:

4 3 23 9 9 2 0x x x x− − + − ≥ ⇔ ⇔≥+−+− 0)2723)(1( 23 xxxx

⇔≥−+−− 0)253)(1)(1( 2 xxxx ⇔≥−+− 0)253()1( 22 xxx [ ℜ∈∀≥− xx 0)1( 2 ]

0253 2 ≥−+ xx Είναι 049242542 >=+=−=∆ αγβ άρα

−=

±−=

3

1

2

6

752,1x

Οπότε µε τη βοήθεια πίνακα προσήµου έχουµε:

x ∞− 2− 3

1 ∞+

253 2 −+ xx + - +

Άρα, 0253 2 ≥−+ xx ⇔ 2−≤x ή 3

1≥x που είναι και οι λύσεις της αρχικής ανίσωσης :

4 3 23 9 9 2 0x x x x− − + − ≥

…………………………………………………………………………………………


155

3. 2

2

4 2

1 1 1

x

x x x− ≤

+ − − Είναι Ε. Κ. Π. = 1)1)(1( 2 −=−+ xxx οπότε η ανίσωση ορίζεται για

⇔≠− 012x 1≠x και 1−≠x .

2

2

4 2

1 1 1

x

x x x− ≤

+ − −⇔ 0

1

2

1

4

1 2

2

≤−

−−

−+ xxx

x⇔ 0

1

2

1

)1(4

1

)1(222

2

≤−

−−

+−

−

−

xx

x

x

xx ⇔

01

2442

23

≤−

−−−−

x

xxx⇔ 0

1

642

23

≤−

−−−

x

xxx⇔ 0)1)(64( 223 ≤−−−− xxxx

Πιθανές ακέραιες ρίζες του 6423 −−− xxx είναι 1± , 2± , 3± , 6±

Παρατηρούµε ότι το 3 είναι ρίζα του 6423 −−− xxx . Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner

έχουµε:

1 -1 -4 -6 3=ρ

↓ 3 6 6

1 2 2 0

6423 −−− xxx )22)(3( 2 ++−= xxx άρα η ανίσωση γίνεται:

0)1)(64( 223 ≤−−−− xxxx ⇔ 0)1)(22)(3( 22 ≤−++− xxxx

Το τριώνυµο 222 ++ xx έχει διακρίνουσα 04<−=∆ άρα διατηρεί σταθερό θετικό

πρόσηµο ℜ∈∀x .

0)1)(22)(3( 22 ≤−++− xxxx ⇔ 0)1)(3( 2 ≤−− xx

Με τη βοήθεια πίνακα προσήµου έχουµε:

x ∞− 1− 1 3 ∞+

3−x - - - +

12 −x + - + +

Γινόµενο - + - +

Άρα, 0)1)(64( 223 ≤−−−− xxxx ⇔ 1−<x ή )3 ,1(∈x

…………………………………………………………………………………………

4. 2 3 1 1x x+ − + > Η ανίσωση ορίζεται όταν:

⇔≥+ 032x 2

3−≥x και

⇔≥+ 01x 1−≥x άρα συναληθεύοντας ορίζεται για 1−≥x . Τότε,


156

2 3 1 1x x+ − + > ⇔ 1132 ++>+ xx ⇔ 22 )11()32( ++>+ xx

112132 ++++>+ xxx ⇔ 112 +<+ xx η νέα ανίσωση ορίζεται και αυτή για

⇔≥+ 01x 1−≥x . Τότε,

12)1(4)1()12( 222 ++<+⇔+<+ xxxxx ⇔ 0322 >−− xx ⇔ 1−<x ή 3>x

x ∞− 1− 3 ∞+

322 −− xx + - +

Άρα, συναληθεύοντας έχουµε: 3>x . ∆ηλαδή : 2 3 1 1x x+ − + > ⇔ 3>x


157

ΕΙ∆ΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ή ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ

ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

(1) Εξισώσεις που λύνονται µε βοηθητικό άγνωστο

Είναι εξισώσεις που περιέχουν την ίδια ΑΓΝΩΣΤΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ή εξισώσεις τις οποίες

µπορούµε εµείς να τις κάνουµε να περιέχουν την ίδια άγνωστη παράσταση.

Παραδείγµατα: Να λυθούν οι εξισώσεις

1. 2 2 2 2( 5 7) 4( 5 5) 5 6 3x x x x x x− + + − + + − + = −

2. 2 2 2( 2 1) 3( 2 3) 14 0x x x x+ − − + + + =

3. 10 533 32 0x x− + =

4. 6 35 6 0x x− + =

[Οι (3) –(4) εξισώσεις λέγονται τριωνυµικές και γενικά έχουν µορφή: 2 0v vax xβ γ+ + = .

Λύνονται θέτοντας vx ω= ]

Λύση

1. 2 2 2 2( 5 7) 4( 5 5) 5 6 3x x x x x x− + + − + + − + = − (1)

Θέτουµε xx 52 −=ω τότε η (1) γίνεται :

36)5(4)7( 2 −=+++++ ωωω ⇔ 0920449142 =++++++ ωωωω ⇔

078192 =++ ωω ⇔ 13−=ω ή 6−=ω . Οπότε,

Για 13−=ω έχουµε : ⇔−=− 1352 xx 01352 =+− xx Αδύνατη ( 0<∆ )

Για 6−=ω έχουµε: ⇔−=− 652 xx ⇔=+− 0652 xx 2=x ή 3=x .

…………………………………………………………………………………………..

2. 2 2 2( 2 1) 3( 2 3) 14 0x x x x+ − − + + + = (1)

Θέτουµε xx 22 +=ω τότε η (1) γίνεται :

⇔=++−− 014)3(3)1( 2 ωω ⇔=+−−+− 01493122 ωωω 0652 =+− ωω ⇔

2=ω ή 3=ω . Οπότε,

Για 2=ω έχουµε : ⇔=+ 222 xx 0222 =−+ xx ⇔ 31±−=x

Για 3=ω έχουµε: ⇔=+ 322 xx 0322 =−+ xx ⇔ 1=x ή 3−=x .

…………………………………………………………………………………………..


158

3. 10 533 32 0x x− + = (1) Θέτουµε : ω=5x τότε 22510 )( ω== xx οπότε η (1) γίνεται :

032332 =+− ωω ⇔ 1=ω ή 32=ω

Για 1=ω έχουµε : 15 =x ⇔ 1=x

Για 32=ω έχουµε : 325 =x ⇔ 5 32=x ⇔ 2=x .

……………………………………………………………………………………….

4. 6 35 6 0x x− + = (1) Θέτουµε ω=3x τότε 2236 )( ω== xx οπότε η (1) γίνεται:

0652 =+− ωω ⇔ 2=ω ή 3=ω .

Για 2=ω έχουµε : 23 =x ⇔ 3 2=x

Για 3=ω έχουµε : 33 =x ⇔ 3 3=x


159

(2) Κλασµατικές εξισώσεις

Είναι οι εξισώσεις που περιέχουν άγνωστο σε παρανοµαστή

Π. χ. Η 2

2

3 2 7

1 5 1

x x

x x

++ =

− − είναι κλασµατική

ενώ η 2 2( 3) 5( 3) 7

5 3 2

x x x+ −+ = δεν είναι

Στάδια λύσης

1. Βρίσκουµε το Ε. Κ. Π. 0≠ απ’ όπου έχουµε τους αρχικούς περιορισµούς της

εξίσωσης.

2. Κάνουµε απαλοιφή παρανοµαστών κ. λ. π.

3. Προσοχή!!! Στο τέλος ελέγχουµε αν κάποια από τις λύσεις που βρήκαµε θα

απορρίπτεται λόγω περιορισµού.

Παραδείγµατα: Να λυθούν οι εξισώσεις :

i). 2 2

2

3 1 2 3 2

1

x x x

x x x x

− − +− =

− −

ii). 22

2 10

2 1 2x

x x x+ − =

− −

Λύση

i). 2 2

2

3 1 2 3 2

1

x x x

x x x x

− − +− =

− −⇔

x

xx

xxx

x 23

)1(

2

1

13 22 +−=

−−

−−

Το )1(... −=ΠΚΕ xx οπότε η εξίσωση ορίζεται : 0)1( ≠−xx ⇔ 0≠x και 1≠x

Τότε, µε απαλοιφή παρανοµαστών έχουµε:

x

xxxx

xxxx

x

xxx

23)1(

)1(

2)1(

1

13)1(

22 +−−=

−−−

−−

− ⇔

)23)(1(2)13( 22 +−−=−− xxxxx ⇔ 232323 2233 −+−+−=−− xxxxxxx ⇔

0642 23 =−+ xxx ⇔ 032 23 =−+ xxx ⇔ 0)32( 2 =−+ xxx ⇔ 0=x ή 0322 =−+ xx

⇔ 0=x (απορρίπτεται) ή 1=x (απορρίπτεται) ή 3−=x .

…………………………………………………………………………………………..


160

ii). 22

2 10

2 1 2x

x x x+ − =

− −⇔ 0

)12(

1

12

22 =−

−−

+xxx

x

Το )12(... −=ΠΚΕ xx οπότε η εξίσωση ορίζεται για : ⇔≠− 0)12( xx 0≠x και 012 ≠−x

⇔2

1≠x . Τότε, µε απαλοιφή παρανοµαστών έχουµε:

0)12(

1)12(

12

2)12()12( 2 =

−−−

−−+−

xxxx

xxxxxx ⇔

0122 34 =−+− xxx ⇔ 0)1()1(2 33 =+−+ xxx ⇔ 0)1)(12( 3 =+− xx ⇔

12 =x ή 013 =+x ⇔2

1=x (απορρίπτεται) ή 13 −=x ⇔ 1−=x


161

(3) Άρρητες εξισώσεις

Είναι εξισώσεις που περιέχουν άγνωστο ή συνάρτηση αγνώστου σε υπόρριζα .

Π. χ. η εξίσωση 2 1 2x x− + = είναι άρρητη

η εξίσωση 2 2 3 13x x− + δεν είναι άρρητη

Τρόπος λύσης

Αφού αποµονώσουµε κατάλληλα τα ριζικά στα µέλη της εξίσωσης, προσπαθούµε

υψώνοντας µια ή περισσότερες φορές στη κατάλληλη δύναµη τα µέλη της εξίσωσης (Πριν

να υψώσουµε σε δύναµη κάνουµε περιορισµούς οπότε υψώνοντας θέτω ⇔ ) να βρούµε

εξίσωση χωρίς ριζικά την οποία και λύνοµε κατά τα γνωστά.

Προσοχή!! Από τις ρίζες που βρίσκουµε είναι δεκτές µόνο όσες δεν απαγορεύονται από τον

περιορισµό.

Καλώ είναι!! Τις ρίζες που βρίσκω να τις τοποθετώ στην αρχική εξίσωση και να ελέγχω εάν

είναι δεκτές εφόσον την επαληθεύουν.

Παραδείγµατα: Να λυθούν οι εξισώσεις :

1. 42 =++ xx

2. 1413 =+−+ xx

3. λ−=+ xx 12για τις διάφορες τιµές του λ

4. 0233 2 =−− xx

5. 02410152 =+−− xxx

Λύση

1. Η εξίσωση 42 =++ xx (1) ορίζεται όταν η υπόρριζη ποσότητα είναι µη αρνητική,

δηλαδή 02≥+x 2−≥⇔ x . Υψώνουµε στο τετράγωνο

42 =++ xx xx −=+⇔ 42 →−=+→ 22 )4()2( xx

28162 xxx +−=+ →=+−→ 01492 xx 2=x ή 7=x

Επαληθεύουµε τις λύσεις


162

Για 2=x από την (1) έχουµε: 444224244222 =⇔=+⇔=+⇔=++

ισχύει

Για 7=x από την (1) έχουµε: 4104734794727 =⇔=+⇔=+⇔=++

δεν ισχύει άρα, η λύση 7=x απορρίπτεται, ενώ η 2=x είναι δεκτή.

………………………………………………………………………………………

2. 1413 =+−+ xx Η εξίσωση ορίζεται όταν :

3

113013 −≥⇔−≥⇔≥+ xxx και

404 −≥⇔≥+ xx

Οι περιορισµοί συναληθεύουν όταν 3

1−≥x . Με αυτόν τον περιορισµό έχουµε:

1413 =+−+ xx ⇔ 1413 ++=+ xx (1)

Στη εξίσωση (1) και τα δυο µέλη είναι µη αρνητικά οπότε µπορούµε να υψώσουµε

στο τετράγωνο. Τότε έχουµε:

1413 ++=+ xx ⇔ ⇔++=+ 22 )14()13( xx

142)4(13 2 ++⋅++=+ xxx ⇔ 142413 ++⋅++=+ xxx ⇔

4242 +⋅=− xx ⇔ 42 +=− xx (2)

Στη εξίσωση (2) είναι 04 ≥+x άρα πρέπει να ισχύει και 202 ≥⇔≥− xx . Ο

περιορισµός αυτός καλύπτει και τον αρχικό 3

1−≥x . Άρα, οι περιορισµοί

συναληθεύουν για 2≥x . Υψώνουµε στο τετράγωνο και έχουµε:

42 +=− xx ⇔ 22 )4()2( +=− xx ⇔ 4442 +=+− xxx ⇔ 052 =− xx ⇔⇔=− 0)5(xx 0=x ή 5=x .

Η λύση 0=x απορρίπτεται διότι δεν ικανοποιεί τον περιορισµό 2≥x . Οπότε δεκτή

είναι µόνο η 5=x .

………………………………………………………………………………

3. Αρχικά θέτουµε τους περιορισµούς. Πρέπει:

012 ≥+x το οποίο ισχύει για κάθε ℜ∈x .


163

0≥− λx ⇔ λ≥x (το 2ο µέλος οµόσηµο µε το 1ο µέλος)

Με αυτούς τους περιορισµούς υψώνουµε στο τετράγωνο και έχουµε:

λ−=+ xx 12 ⇔

1221)()1( 2222222 −=⇔+−=+⇔−=+ λλλλλ xxxxxx (1)

∆ιακρίνουµε περιπτώσεις

Αν 0=λ τότε από (1) ⇔ 10 −=⋅ x αδύνατη

Αν 0≠λ τότε από (1) ⇔ λ

λ2

12 −=x

Ελέγχουµε πότε η λύση αυτή ικανοποιεί τον περιορισµό λ≥x

o Αν ισχύει ⇔≥−

λλ

λ2

12

⇔≥−−

02

12

λλ

λ ⇔≥

−−0

2

21 22

λλλ

⇔≥−−

02

12

λλ

⇔≤+

02

12

λλ

0<λ τότε η λύση είναι δεκτή.

o Αν ισχύει ⇔⇔<−

...2

12

λλ

λ0>λ τότε η λύση απορρίπτεται και η εξίσωση

είναι αδύνατη.

………………………………………………………………………………………

4. Η εξίσωση 0233 2 =−− xx (1) ορίζεται όταν 0≥x . Αν θέσουµε 3 x=ω τότε

είναι: 2233 2 )( ω== xx και η εξίσωση (1) γίνεται:

022 =−−ωω 1−=⇔ω ή 2=ω

Εποµένως έχουµε

11 3 −=⇔= xω αδύνατη

822 3 =⇔=⇔= xxω δεκτή

………………………………………………………………………………………

5. Η εξίσωση 02410152 =+−− xxx (1) ορίζεται όταν 0≥x . Αν θέσουµε x=ω

τότε είναι : 22)( ω== xx και 442 )( ω== xx και η εξίσωση (2) γίνεται:

0241015 24 =+−− ωωω (2)

Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι 1± , 2± , 3± , 4± , 6± , 8± , 12± , 24± .

∆ιαπιστώνουµε ότι το 1 είναι ρίζα είναι της εξίσωσης οπότε,

1 0 -15 -10 24 1=ρ

↓ 1 1 -14 -24

1 1 -14 -24 0


164

Η εξίσωση (2) γίνεται: 0241015 24 =+−− ωωω 0)2414)(1( 23 =−−+−⇔ ωωωω (3)

Οµοίως, για το πολυώνυµο 241423 −−+ ωωω διαπιστώνουµε ότι έχει ρίζα το 2− οπότε

από σχήµα Horner έχουµε

1 1 -14 -24 2−=ρ

↓ -2 2 24

1 -1 -12 0

Άρα )12)(2(2414 223 −−+=−−+ ωωωωωω

Άρα, η (3) γίνεται:

⇔=−−+− 0)2414)(1( 23 ωωωω 0)12)(2)(1( 2 =−−+− ωωωω ⇔

01=−ω ή 02 =+ω ή 0122 =−−ωω ⇔ 1=ω ή 2−=ω ή 3−=ω ή 4=ω

Εποµένως έχουµε:

Για 1=ω : 1=x 1=⇔ x δεκτή

Για 2−=ω : 2−=x αδύνατη

Για 3−=ω : 3−=x αδύνατη

Για 4=ω : 164 =⇔= xx δεκτή.

΄

…………………………………………………………………………………………


165

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Βασικές έννοιες – πράξεις πολυωνύµων

1. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

I. Το πολυώνυµο 53)1(3)( 22 +−−⋅= xxxP είναι

Α. µηδενικού

βαθµού

Β. πρώτου

βαθµού

Γ. δευτέρου

βαθµού

∆. το µηδενικό

πολυώνυµο

Ε. τρίτου βαθµού

II. Αν το πολυώνυµο )2()2()4()( 22 +−−+−= λλλ xxxP , ℜ∈λ είναι πρώτου βαθµού τότε

το λ µπορεί να είναι:

Α. -2 Β. -1 Γ. 0 ∆. 1 Ε. 2

III. Το πολυώνυµο 8)1()1()1()( 232 +++−−+−= λλλλ xxxxP είναι σταθερό

πολυώνυµο όταν το λ ισούται µε

Α. -1 Β. 0 Γ. 1 ∆. ℜ∈∀λ Ε. για καµία τιµή του ℜ∈λ

IV. Το πολυώνυµο 1)23()1()( 235 −++−+−= λλλλ xxxP είναι το µηδενικό πολυώνυµο όταν

ο ℜ∈λ ισούται µε

Α. -1 Β. 0 Γ. 1 ∆. -5 Ε. 5

V. Αν το πολυώνυµο 8)1()1()( 5 +−+−= xxxP λλν , ℜ∈λ είναι µηδενικού βαθµού,

τότε το πολυώνυµο )1()1()1()1()( 2233 λλλλ −−++−−−= xxxxq είναι

Α. 3ου βαθµού Β. 2ου βαθµού Γ. 1ου βαθµού ∆. Μηδενικού

βαθµού

Ε. Το µηδενικό

πολυώνυµο

VI. Τα πολυώνυµα 5)( 3 +−= xxxP β και ββ −++= 5)( 23 xxxQ , ℜ∈β είναι ίσα

όταν ο β ισούται µε

Α. -1 Β. 0 Γ. 1 ∆. 5 Ε. -5

VII. Αν τα πολυώνυµα 1)32()( 21 −+−+= + xxxxP λλ νν και 1(3)( 21998 +−+−= λλ xxxxq


166

είναι ίσα τότε ο ℜ∈λ είναι

Α. 1 Β. -1 Γ. 0 ∆. 1998 Ε. κάθε ℜ∈λ

VIII. Το πολυώνυµο 01

1 ...)( ααα νν

νν +++= −

− xxxP έχει για ρίζα το µηδέν. Τότε για τον

0α ισχύει:

Α. 00 >α Β. 00 <α Γ. ναα =0 ∆. 0=oα Ε. κανένα από τα

προηγούµενα

IX. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδείς

Α. Αν 0)( =ρP τότε το ρ είναι ρίζα του )(xP

Β. Κάθε σταθερό πολυώνυµο και µη µηδενικό έχει βαθµό 0

Γ. Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται βαθµός

∆. Ο βαθµός του γινοµένου δυο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το γινόµενο

των βαθµών των πολυωνύµων αυτών.

Ε. Τα ίσα πολυώνυµα έχουν ίσες τιµές για όλες τις τιµές του x .

X. Έστω )(xP σταθερό πολυώνυµο και 5)2( =P . Τότε το )2(−P ισούται µε

Α. 5 Β. -5 Γ. 2 ∆. -2 Ε. 0

XI. ∆ίνεται το πολυώνυµο 1)( 1998 += xxP . Αν 1)1997( =+αP τότε για τον πραγµατικό

αριθµό α ισχύει:

Α. 1997>α Β. 1998>α Γ. 1997=α ∆. 1997−=α Ε. κανένα από τα


XII. Αν για το πολυώνυµο )(xP ισχύει : 852)()1( 462 −+−=⋅− xxxxPx τότε το )(xP

είναι :

Α. 3ου βαθµού Β. 4ου βαθµού Γ. 5ου βαθµού ∆. 6ου βαθµού Ε. κανένα από τα


Ερωτήσεις Ανάπτυξης


167

2. Να βρεθεί η τιµή του ℜ∈λ για την οποία το πολυώνυµο

4)2()2()( 223 −+−+−+= λλλλ xxxP να είναι το µηδενικό πολυώνυµο.

3. Να δειχτεί ότι το πολυώνυµο 3)62()2()( 2 −++++−= λκλκ xxxP είναι διάφορο

του µηδενικού.

4. Να βρεθεί για ποιες τιµές των µλκ ,, είναι ίσα τα πολυώνυµα

λµκλλ 2)()( 2 −+−−= xxxP

λκλµ +++−= xxxQ 4)()( 2

5. Να προσδιοριστεί ο ℜ∈α ώστε το πολυώνυµο 27839)( 23 −+−= xxxxP να

παίρνει τη µορφή: )93()3(3)( 223 ++⋅−+−+⋅ xxxxxxα

6. Να βρεθεί το πολυώνυµο )(xK τέτοιο ώστε το τετράγωνο του να ισούται µε το

4432)( 234 +−−+= xxxxxP

7. Να δειχτεί ότι για κάθε ℜ∈κ το πολυώνυµο xxxxP κκκ +++−= 325 )23()1()( δεν

έχει ρίζα το .2

1

8. Αν το πολυώνυµο αα 2)1()( 2 +−+= xxxP έχει ρίζα το -1 αποδείξτε ότι το ίδιο

ισχύει και για το xxxxK )1(4)( 223 −++= α . Το αντίστροφο ισχύει;

9. Να βρεθεί πολυώνυµο )(xP για το οποίο ισχύει :

3223)()1( 23452 −−−++=⋅+ xxxxxxPx

10. ∆ίνεται το πολυώνυµο .52)( 2 ++= xxxP Να προσδιοριστεί ο ℜ∈α αν ισχύει

13)1( =−αP .

11. Να βρεθούν οι τιµές των ℜ∈βα , ώστε το πολυώνυµο

xxxP )102()2()( 2 −++−= βαβα να είναι µηδενικό.


168

12. Να βρείτε το βαθµό του πολυωνύµου 32)94()94()( 2233 +−−+−= λλλλ xxxP για

τις διάφορες τιµές του λ.

13. Αν για το πολυώνυµο )(xP ισχύει 269)23( 2 +−=− xxxP να βρείτε το )(xP .

14. Αν το πολυώνυµο )(xP έχει ρίζα το 1 και για το πολυώνυµο )(xQ ισχύει

)23(3)()12()( 2 −−⋅−−= xPxPxxxQ

i. Να βρείτε το άθροισµα των συντελεστών του )(xQ

ii. Να δείξετε ότι το πολυώνυµο )53( −xP έχει ρίζα το 2.

∆ιαίρεση πολυωνύµων

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

15.

I. Αν ένα πολυώνυµο )(xP έχει ρίζα το -2 τότε διαιρείται µε το διώνυµο

Α. 2−x Β. 2+x Γ. 12 +x ∆. 12 −x Ε. x−2

II. Αν ένα πολυώνυµο )(xP έχει ρίζες τους αριθµούς 2 και -1 τότε διαιρείται µε τα

διώνυµα

Α. 2−x και

1−x

Β. 2+x

και 1−x

Γ. 2+x και

1+x

∆. 2−x και

1+x

Ε. 12 −x και

12 +x

III. Αν η διαίρεση ενός πολυωνύµου )(xP µε το διώνυµο 12 +x είναι τέλεια τότε το

)(xP έχει ρίζα του τον αριθµό

Α. 2 Β. -2 Γ. 1 ∆.

2

1− Ε.

2

1

IV. Αν ένα πολυώνυµο 5ου βαθµού διαιρείται µε ένα τρίτου βαθµού, τότε το πηλίκο είναι :

Α. το πολύ 2ου βαθµού

Β. τουλάχιστον 2ου βαθµού


169

Γ. ακριβώς 2ου βαθµού

∆. ακριβώς 3ου βαθµού

Ε. τουλάχιστον 3ου βαθµού

V. Αν σε µια διαίρεση πολυωνύµων που δεν είναι τέλεια, ο διαιρέτης είναι 3ου βαθµού τότε

το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι:

Α. τουλάχιστον 3ου βαθµού

Β. ακριβώς 2ου βαθµού

Γ. το πολύ 2ου βαθµού

∆. τουλάχιστον 2ου βαθµού

VI. Το πολυώνυµο 3)( 248 +++= xxxxP το διαιρούµε µε το διώνυµο ρ−x .

Αν είναι υ το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης τότε:

Α. 0>υ Β. 0<υ Γ. 0=υ ∆. 0≤υ Ε. κανένα από τα


VII. Αν ένα πολυώνυµο )(xP διαιρεθεί µε το ρ−x και η διαίρεση είναι τέλεια τότε το

υπόλοιπο της διαίρεσης του )(:)( ρκ −⋅ xxP , ∗ℜ∈κ είναι

Α. κ Β. –κ Γ. 0 ∆. –κρ Ε. κρ

VIII. Αν ένα πολυώνυµο )(xP διαιρούµενο µε το )(xQ δίνει υπόλοιπο 0 [ ο βαθµός του

)(xP είναι µεγαλύτερος του βαθµού του )(xQ ], τότε

Α. κάθε ρίζα του )(xP είναι και ρίζα του )(xQ

Β. αν ρ δεν είναι ρίζα του )(xQ τότε δεν είναι ρίζα και του )(xP

Γ. ο ρ είναι ρίζα του )(xQ αν και µόνο αν ο ρ είναι ρίζα του )(xP

∆. Κάθε ρίζα του )(xQ είναι και ρίζα του )(xP

Ε. Το )(xP έχει ρίζες µόνο τις ρίζες του )(xQ

IX. Για πιο από τα παρακάτω πολυώνυµα µπορείτε µε βεβαιότητα και χωρίς δοκιµή να

πείτε ότι δεν µπορεί να έχει παράγοντα της µορφής ρ−x

Α. 12 23 −+− xxx

Β. 14 5 −x


170

Γ. 72 24 −+− xxx

∆. 92 246 −+− xxx

Ε. 52 68 ++ xx

X. Το πολυώνυµο )(xP (βαθµού µεγαλυτέρου ή ίσου του τρία) διαιρείται µε το

3)( ρ−x και η διαίρεση είναι τέλεια. Το υπόλοιπο της διαίρεσης )(:)( ρ−xxP είναι

Α. -3 Β. -1 Γ. 0 ∆. 1 Ε. 3

Ερωτήσεις Ανάπτυξης

16. Να γίνουν οι διαιρέσεις

i. )1(:)922( 2235 −−+− xxxx

ii. )5(:)1527( 334 +−+− xxxx

iii. )2(:)43( 233 ααα −+− xxx

iv. )(:]9)79(7[ 223 αααα −++− xxx

17. Να βρείτε το πολυώνυµο )(xf το οποίο όταν διαιρεθεί µε το 12 +x δίνει πηλίκο

13 −x και υπόλοιπο 52 +x .

18. Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς λκ , ώστε αν το πολυώνυµο

1)( 4 += xxP διαιρεθεί µε το πολυώνυµο λκ ++ xx2 να αφήνει υπόλοιπο 0.

19. Αν το πολυώνυµο 4)( 23 +++= xxxxf βα διαιρείται ακριβώς µε το 2−x και αν

επιπλέον 8)1( =f να προσδιοριστούν τα βα , .

20. ∆ίνεται το πολυώνυµο βα +−+= xxxxP 132)( 23 . Αν το )(xP διαιρείται µε το

62 −− xx να προσδιορίσετε τα ℜ∈βα , .

21. ∆ίνεται το πολυώνυµο )14(3)13(2)( 222 +−+−+= λλλλ xxxP . ∆είξτε ότι το

υπόλοιπο της διαίρεσης )2(:)( +xxP είναι ανεξάρτητο του λ.


171

22. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυµο )(xP έχει παράγοντα το 5−x τότε το

πολυώνυµο )32( −xP έχει παράγοντα το 4−x

23. Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των

διαιρέσεων.

i. )2(:)652( 23 −−+− xxxx

ii. )1(:)362( 245 +++− xxxx

iii. )(:]3)62(6[ 223 αααα −++− xxx , ℜ∈α

iv. )12(:)24( 256 −−+− xxxx

v. )1(:)21

( 23

2

5 +−+− xxxx λλλ

, ∗ℜ∈λ

24. Να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ ώστε το πολυώνυµο

5)1()( 23 +−+−= xxxxP λκ να έχει για παράγοντα το )2)(1( +− xx

25. Να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί αριθµοί βα , ώστε το πολυώνυµο

10)3()( 23 +++−−= βα xxxxP να έχει για παράγοντα το 2)2( −x .

26. Το πολυώνυµο )(xP διαιρούµενο µε )2( −x αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούµενο µε

)3( +x αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το

)3)(2( +− xx

27. Το πολυώνυµο )(xP διαιρούµενο µε )2( +x αφήνει υπόλοιπο 3 και διαιρούµενο µε

2 4 3x x− + αφήνει υπόλοιπο 72 +x . Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του

)34)(2(:)( 2 +−+ xxxxP .

Πολυωνυµικές εξισώσεις

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής


172

28. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει ρίζα ακέραιο αριθµό

i. 0652 =+− xx

ii. 022 23 =−+− xxx

iii. 0223 34 =−+− xxx

iv. 073 24 =++ xx

v. 032 3 =++ xx

29. Ποιας συνάρτησης η γραφική παράσταση αποκλείεται να τέµνει τον άξονα xx' .

i. 42)2()( 2 −+−= xxxf

ii. xxxg 3)( 3 −=

iii. 23)( 24 +−= xxxh

iv. 45)( 5 +−= xxxK

v. 5)1()( 24 +++=Φ xxx

30. Για ποιας συνάρτησης τη γραφική παράσταση µπορείτε να πείτε µε βεβαιότητα και

χωρίς καµία δοκιµή ότι βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα xx' .

i. 23)( 23 ++−= xxxxf

ii. xxxg 5)( 2 −=

iii. 423 )1()( xxxh +−=

iv. 2)1()( 2 −−= xxK

v. 2)( 24 −+=Φ xxx

31. Η εξίσωση 023 23 =++− xxx κ , Ζ∈κ αποκλείεται να έχει ακέραια ρίζα τον

αριθµό:

Α. -1 Β. 1 Γ. -2 ∆. 2 Ε. 3

32. Αν η εξίσωση 023 =+−+ αβ xxx , Ζ∈βα , έχει ρίζα το 3 τότε ο α αποκλείεται να

ισούται µε :

Α. 6 Β. 10 Γ. 12 ∆. 15 Ε. 18


173

33. Η εξίσωση κ+=− xx3 , ∗ℜ∈κ αποκλείεται να έχει ρίζα τον αριθµό

Α. 1 Β. -1 Γ.

3

2

∆. 4 Ε.

4

5

34. Για να δεχτούµε το ρ για ρίζα της εξίσωσης xx 25 κ=− , ∗ℜ∈κ πρέπει

Α. ),0( +∞∈ρ Β. )0,(−∞∈ρ Γ. ),5[ +∞∈ρ ∆. ]5,(−∞∈ρ Ε. ]5,0[∈ρ

35. Αν η εξίσωση 53 =−+− xx κ έχει οπωσδήποτε λύση, ποια τιµή δεν µπορεί να

πάρει ο ∗ℜ∈κ .

Α. 2 Β. 3 Γ. 4 ∆. 5 Ε. 6

Ερωτήσεις ανάπτυξης

36. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι ακέραιες λύσεις των εξισώσεων :

i. 783 +− xx

ii. 0265 234 =−++− xxxx

iii. 02)2( 3 =++− xxxx

iv. 0)4(3)4)(1( 4 =+−+− xxx

v. 012872 234 =++−− xxxx

37. Αν κ ακέραιος αριθµός να δειχτεί ότι η εξίσωση 0195 2 =−+ xx κν δεν έχει ακέραιες

ρίζες.

38. Αν κ, λ ακέραιοι αριθµοί να δειχτεί ότι η εξίσωση : 01)1(28 2 =+−− xx κλ ν δεν έχει

ακέραια λύση.

39. Να λυθούν οι ανισώσεις

i. 022 23 >+−− xxx

ii. 953 23 −≥+ xxx

iii. 02993 234 ≤−+−− xxxx

iv. 463 34 ≤+− xxx

v. xxxxx 176)12(10)43( 24 −+−≥−⋅


174

40. ∆ίνεται η εξίσωση 01235 =−++− xxxx βα . Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί

βα , ώστε η εξίσωση να έχει το ανώτερο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών.

41. Να λύσετε τις εξισώσεις

i. 089 36 =+− xx

ii. 08)23(9)23( 3262 =+−+−−+ xxxx

iii. 04)2(3)2( 48 =−+−+ xx

iv. 04)1211(3)1211( 2343 =−+−−+− xxxx

v. 06)1

(5)1

( 2 =+−

−−

x

x

x

x

42. ∆ίνεται η εξίσωση 045 =+++ λκxxx . Να προσδιοριστούν οι κ, λ ώστε το

πολυώνυµο να έχει ρίζα το -1 µε πολλαπλότητα 2 (διπλή ρίζα). Μετά να βρεθούν και

οι άλλες ρίζες της εξίσωσης.

43. Να δειχτεί ότι η εξίσωση 01123 =+− xx έχει τρεις διαφορετικές ρίζες ακριβώς µια

σε καθένα από τα διαστήµατα : )3 ,4( −− , )1 ,0( , )4 ,3( .

44. Να λυθούν οι εξισώσεις

i. 1

3

1

2

1 2 −=

++

+− xx

x

x

x

ii. 22

2

42x

x

xx=

−−+

45. Να λυθούν οι ανισώσεις

i. 12

423

<−

−+x

xx

ii. 1

2

1

4

1 2

2

−≤

−−

+ xxx

x


i. 07)12(6)12( 24 =−−+− xx ηµηµ

ii. 02552 23 =+++ xxx ηµηµηµ


175

iii. 02552 34 =−+− xxx συνσυνσυν


i. 8105 =++ xx

ii. 12 +=− xx

iii. xx +=− 28

iv. 1632 =++ xx

v. xx −=−+ 1352


i. 1

211

−=−−

xx

ii. x

xx

+

+=

−

4

204

2

4

iii. 223

42 =

−++−

xx

iv. xx

x−

=−−−3

111

v. 53472 22 −+=+− xxxx

49. Να λυθεί η εξίσωση : λλ =++−+ 122 xxx

50. Να λυθούν οι ανισώσεις :

i. 373 +<+ xx

ii. 51 +≥− xx

iii. 2

132 +≥++ xxx


i. 01464 234 =+−+− xxxx

ii. 062512256 234 =+−++ xxxx


176


177

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

52. Η διαίρεση του βα ++− xxx 232 µε το 62 −− xx δίνει υπόλοιπο 1=υ . Να

βρεθούν τα ℜ∈βα , . Στη συνέχεια να λυθεί η ανίσωση 1)( ≥xP .

53. ∆ίνονται τα πολυώνυµα βλλλ

+−+−+= xxxxf )1()23

(3)( 24 και 1)( 2 += xxg λ ,

0≠λ .

i. Να κάνετε τη διαίρεση )(:)( xgxf

ii. Να βρείτε τα βλ, ώστε το )(xg να είναι παράγοντας του )(xf .

iii. Για τα βλ, του ii) να βρείτε τα σηµεία της fC τα οποία δεν είναι πάνω από

τον xx' .

54.

i. Να δείξετε ότι το συναασυν −−= 22)( 3 xxxP διαιρείται µε το )( συνα−x

ii. Να βρείτε το πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης

iii. Εάν πα 6= να λυθεί η ανίσωση 0)( ≥xP

55. ∆ίνονται )(xP και 22)53()( 2 −−+−= xxxPxQ Αν το υπόλοιπο υ της διαίρεσης

)1(:)( −xxP είναι 2 τότε να δείξετε ότι το )2( −x είναι παράγοντας του )(xQ .

56. Το )(xP έχει παράγοντα το )3( −x και αφήνει υπόλοιπο 7=υ αν διαιρεθεί µε το

)4( +x . Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης υ της διαίρεσης )4)(3(:)( +− xxxP .

57. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης )2(:)( +xxP είναι 1−=υ και το υπόλοιπο της

διαίρεσης )12(:)( −xxP είναι 4−=υ , να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης

)232(:)( 2 −+ xxxP .

58. Αν το 2)2( +x είναι παράγοντας του 43)( 234 ++−+= xxxxxP βα να λύσετε την

ανίσωση .0)( ≤xP


178

59. Να λυθεί η εξίσωση :

03)4

()343()4

()343()4

(3 23 =++⋅−++⋅−++⋅π

εφπ

εφπ

εφ xxx

60.

i. Να λυθεί η εξίσωση : 02)23()23(2 23 =−−−−+ xxx

ii. Να λυθεί η ανίσωση : )(3)1(2 223 xxxxx −⋅≥−+−⋅

61. Αν ο λ32− είναι ακέραια ρίζα της εξίσωσης 0267 258 =−−− xxx να βρείτε τον

ℜ∈λ .

62. Αν ο 5=− βα µε βα , ακέραιοι, να αποδείξετε ότι η εξίσωση :

0163 234 =++−+ xxxx ββα δεν έχει ακέραιες ρίζες.

63. Έστω η πολυωνυµική περιττή συνάρτηση )(xP

i. Να δείξετε ότι το 0 είναι ρίζα του πολυωνύµου )(xP

ii. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το )1( −x είναι 3 να βρείτε

i. Το )1(−P

ii. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το πολυώνυµο xx −3 .

64. Έστω τα πολυώνυµα )(xP και xxxPxPxQ +++= 22 )(2)]([)( (1)

i. Αν το )(xP έχει σταθερό όρο το -2 να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του

)(xQ µε το x .

ii. Να δείξετε ότι : 0)1( >Q

65. Έστω το πολυώνυµο βα +−= xxxP 32)( . Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP

µε το 42 −x είναι 23 −x

i. να βρείτε τα α και β

ii. να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης

iii. να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης


179

iv. να βρείτε τα διαστήµατα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής

συνάρτησης )(xP βρίσκεται πάνω από την ευθεία 23: −= xyε

66. Έστω το πολυώνυµο 1)( 23 +−+= xxxxP βα , Ζ∈βα , . Αν το )(xP έχει µια

αρνητική ρίζα και το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το 1−x είναι 6

i. να βρείτε τα α και β

ii. να λύσετε την ανίσωση 0)( >xP

67.

i. Να λυθεί η εξίσωση : 023 =−+ xx (1)

ii. Έστω τα πολυώνυµα )(xP και 32)()()( 3 +−+= xxPxPxQ (2)

i. Αν το )(xP έχει σταθερό όρο το 5 να βρείτε το σταθερό όρο του )(xQ .

ii. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xQ µε το 2−x είναι 1 να βρείτε

το υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xP µε το 2−x .

68. Αν το πολυώνυµο 14158)( 23 −+−= xxxxP εϕβεϕα έχει παράγοντες τους 2

1−x

και 1−x .

i. Να δείξετε ότι 4

1=εϕα και

3

1=εϕβ

ii. Να λύσετε την ανίσωση 0)( >xP

iii. Να υπολογίσετε την )2( βαεϕ −

69. Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου )(xP µε το xx 22 + είναι

23 −x .

i. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

ii. Να βρείτε τα )0(P και )2(−P

iii. Αν το πολυώνυµο )(xP είναι βαθµού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

)(xP µε το 22 −x είναι 12 −x να βρείτε

i. Το βαθµό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύµου )(xP µε το

22 −x


180

ii. Το πολυώνυµο )(xP .

70. Έστω η συνάρτηση 2332

633)(

23

2

−−+−+

=xxx

xxxf

i. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f

ii. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

iii. Να βρείτε τα διαστήµατα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

κάτω από τη γραφική παράσταση της 2)( xxg = .

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Documents

Transcript of Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ