Εργαλείο μελέτης ευστάθειας πρανών

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για δεκαετίες, τα διαγράµµατα ευστάθειας απετέλεσαν το βασικό εργαλείο µελέτης ευστάθειας πρανών. Αν και η ανάπτυξη σχετικών λογισµικών τα τελευταία χρόνια άλλαξε τα δεδοµένα στη µελέτη, τα διαγράµµατα ευστάθειας πρανών εξακολουθούν να είναι χρήσιµα, τουλάχιστον στη φάση της προµελέτης. Τα διαγράµµατα αυτά προσφέρουν το πλεονέκτηµα του γρήγορου και αξιόπιστου υπολογισµού του συντελεστή ασφάλειας των πρανών δίνοντας στο µηχανικό µία πρώτη ποσοτική εκτίµηση για το πεδίο. Ο σύγχρονος τρόπος κατασκευής, ωστόσο υπαγορεύει τα ψηλά ορύγµατα να κατασκευάζονται µε αναβαθµούς. Παρά την πλούσια διεθνή βιβλιογραφία, όµως σχετικά διαγράµµατα ευστάθειας γαιωδών πρανών δεν υπάρχουν. Οι διαπιστώσεις αυτές έδωσαν µάλιστα το έναυσµα για την διεξαγωγή της παρούσης έρευνας. ∆ιαγράµµατα και πίνακες ευστάθειας πρανών µε κλίση πρανών 1:2, 1:1 και 2:1 και αναβαθµούς πλάτους 3m ή 4m ανά 8m ή 10m προτείνονται. Το γεγονός ότι είναι δυνατός ο υπολογισµός µε απλό και αξιόπιστο τρόπο του συντελεστή ασφάλειας ενός πρανούς για διάφορες γεωµετρίες δίνει την ευχέρεια στο µηχανικό να επιλέξει τη βέλτιστη οικονοµικά λύση, αυτή δηλαδή µε τις λιγότερες χωµατουργικές εκσκαφές ή µε το µικρότερο εµβαδόν απαλλοτρίωσης. Η παραγωγή των διαγραµµάτων και των πινάκων έγινε χρησιµοποιώντας λογισµικό εµπορίου (Geo-Studio 2007, Student Edition).

2


ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΓΑΙΩ∆ΩΝ ΠΡΑΝΩΝ – ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στη γενική µορφή του, το πρόβληµα της ευστάθειας πρανών παρουσιάζεται ιδιαίτερα πολύπλοκο και η επίλυσή του απαιτεί σαφή γνώση της γεωµετρίας αυτών, της υπόγειας δίαιτας και των χαρακτηριστικών των εδαφών (φυσικά και µηχανικά). Σήµερα υπάρχει ένας µεγάλος αριθµός µεθόδων, νοµογραφηµάτων και πινάκων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για επίλυση προβληµάτων ευστάθειας πρανών. ∆ιαγράµµατα και πίνακες καλύπτουν περιπτώσεις απλουστευµένης γεωµετρίας ή µηχανικής συµπεριφοράς αν και, συνήθως, στη φάση σχεδιασµού χρησιµοποιούνται µέθοδοι και µοντέλα ενσωµατωµένα σε προγράµµατα επίλυσης µέσω Η/Υ. Στο σύνολο των µεθόδων και εν χρήσει τεχνικών, το πρόβληµα παραµένει ένα κλασσικό πρόβληµα διατµητικής αντοχής: οι δυνάµεις και ροπές αστάθειας πρέπει να είναι µικρότερες από τις δυνάµεις και ροπές αντίστασης σε ολίσθηση κατά την έννοια οποιασδήποτε πιθανής επιφάνειας αστοχίας.

ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ

Ανάλυση βραχυπρόθεσµης ευστάθειας (short term stability analysis)

Η ευστάθεια των γαιωδών πρανών κατά τη διάρκεια ή αµέσως µετά το πέρας της κατασκευής αναλύεται είτε υπό στραγγισµένες (drained), είτε αστράγγιστες (undrained) συνθήκες εδάφους, ανάλογα µε τη διαπερατότητα του τελευταίου. Τα λεπτόκοκκα εδάφη, και κυρίως οι άργιλοι, είναι συνήθως υλικά µικρής διαπερατότητας τα οποία δεν επιτρέπουν τη γρήγορη αποστράγγιση του νερού των πόρων ακολουθώντας τη φάση της κατασκευής. Στην περίπτωση τέτοιων λεπτόκοκκων εδαφών και δυσµενών συνθηκών υπόγειας δίαιτας και αποστράγγισης, η ανάλυση γίνεται υπό αστράγγιστες συνθήκες, χρησιµοποιώντας τις αντίστοιχες παραµέτρους διατµητικής αντοχής, ενώ, όσον αφορά ελεύθερα στραγγιζόµενα εδάφη (εδάφη µεγάλης διαπερατότητας), η ανάλυση της ευστάθειας γίνεται αντίστοιχα υπό στραγγιζόµενες συνθήκες. Οι παράµετροι διατµητικής αντοχής εκφράζονται στη δεύτερη αυτήν περίπτωση υπό τη µορφή ενεργών τάσεων, ενώ, η πίεση του νερού των πόρων καθορίζεται βάσει πληροφοριών σχετικά µε τον υδροφόρο ορίζοντα.

3

Ανάλυση µακροπρόθεσµης ευστάθειας (long term stability analysis)

Πέραν του χρόνου κατασκευής, τα εδάφη των πρανών πιθανόν να διογκωθούν (µε αύξηση στην περιεκτικότητα σε νερό) ή να στερεοποιηθούν (µε µείωση στην περιεκτικότητα σε νερό). Ανάλυση της ευστάθειας σε µακροχρόνια κλίµακα εκτελούνται για να απεικονίσουν την κατάσταση αφότου έχουν εµφανιστεί οι µεταβολές αυτές. Οι παράµετροι διατµητικής αντοχής εκφράζονται υπό µορφή ενεργών τάσεων και η πίεση του νερού των πόρων εκτιµάται βάσει των δυσµενέστερων συνθηκών υπόγειας δίαιτας µε περίοδο επαναφοράς ν ετών (π.χ. ν=50 έτη).

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΠΡΑΝΟΥΣ

Ο συντελεστής ασφάλειας χρησιµοποιείται από τους µηχανικούς ως ένας ποσοτικός δείκτης εκτίµησης της ευστάθειάς των γεωκατασκευών, δηλαδή, του βαθµού κινδύνου αστοχίας αυτών, υπό την επίδραση βέβαια των δυσµενέστερων αναµενόµενων συνθηκών κατά τη διάρκεια ζωής του έργου. Στην περίπτωση της ευστάθειας των πρανών, ο συντελεστής ασφαλείας είναι βασισµένος συνήθως στο κριτήριο Mohr-Coulomb. Ο Fellenius (1927) εξέφρασε το συντελεστή ασφαλείας ως το πηλίκο της πραγµατικής διατµητικής αντοχής προς την κρίσιµη διατµητική αντοχή ή, αλλιώς, ως το πηλίκο της διαθέσιµης διατµητικής αντοχής (S) προς την απαιτούµενη για την ευστάθεια διατµητική αντοχή (τ):

τ

SFs =

(2.1)

Οι Rendulic (1935) και Jaky (1936) εξέφρασαν το συντελεστή ασφαλείας έναντι αστράγγιστων συνθηκών σε σχέση µε τη συνοχή, ως τον λόγο µεταξύ της κρίσιµης, Cc, και της πραγµατικής συνοχής, C:

C

CF c

c = (2.2)

Παρόµοια µε τις παραπάνω εκφράσεις, ο Taylor (1937, 1948) πρότεινε ο συντελεστής ασφαλείας να εκφράζεται σε σχέση µε τη γωνία τριβής ή το κρίσιµο ύψος πρανούς (Εξίσωση 2.3 και 2.4 αντίστοιχα).

φ

φφ tan

tan cF = (2.3)

Η

Η=Η

cF (2.4)

όπου, φc και φ η κρίσιµη και η πραγµατική γωνία τριβής του υλικού του εδάφους αντίστοιχα, ενώ Ηc είναι το κρίσιµο (µέγιστο) ύψος όπου το πρανές µπορεί και ευσταθεί και Η το πραγµατικό ύψος αυτού.

4

Τέλος, ο συντελεστής ασφαλείας µπορεί να εκφραστεί από το λόγο του αθροίσµατος των ροπών αντίστασης Μr προς το άθροισµα των ροπών που προκαλούν αστοχία Μ (Fellenius, 1927).

MF r

c

Μ= (2.5)

Ωστόσο, οι παραπάνω εκφράσεις συντελεστή ασφαλείας δεν αναφέρονται σε όλους τους τύπους αστοχιών. Γενικά, οι τύποι αστοχίας των γαιωδών πρανών µπορούν να διακριθούν σε δύο µεγάλες κατηγορίες:

1. στις αστοχίες όπου, ο συντελεστής ασφαλείας µπορεί να υπολογιστεί (ολισθήσεις γαιών) και

2. στις αστοχίες όπου, ο συντελεστής ασφαλείας δε µπορεί να υπολογιστεί (πτώσεις, ανατροπές, εξάπλωση και ροές γαιών).

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΡΑΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο ΤΩΝ ΛΩΡΙ∆ΩΝ

Η πρώτη ανάλυση της ευστάθειας µε τη µέθοδο των λωρίδων παρουσιάστηκε από τον Petterson το 1916 (Petterson, 1955). Είκοσι χρόνια αργότερα ο Fellenius (1936) εισήγαγε την Κανονική ή Σουηδική µέθοδο λωρίδων (Ordinary ή Swedish method of slices), γνωστή επίσης και ως µέθοδος λωρίδων του Fellenius (Fellenius method of slices). Έκτοτε, µία σειρά από άλλες µεθόδους οριακής ισορροπίας, περισσότερο ακριβείς, βασισµένες επίσης στην ιδέα των λωρίδων προτάθηκαν από διάφορους επιστήµονες (Πίνακας 2.1). Σύµφωνα µε τις εν λόγω µεθόδους ανάλυσης, η εδαφική µάζα άνωθεν της επιφάνειας ολίσθησης υποδιαιρείται σε έναν πεπερασµένο αριθµό κάθετων λωρίδων (Εικόνα 2.1). Ο πραγµατικός αριθµός λωρίδων που χρησιµοποιείται εξαρτάται από τη γεωµετρία του πρανούς και το προφίλ της εδαφικής τοµής. Μερικές µέθοδοι βασίζονται στην υπόθεση µιας κυκλικής επιφάνειας ολίσθησης ενώ άλλες υποθέτουν µια αυθαίρετη (µη-κυκλική) επιφάνεια ολίσθησης (Πίνακας 2.1).

Εικόνα 2.1. Ανάλυση της ευστάθειας µε τη µέθοδο των λωρίδων

5

Οι µέθοδοι λωρίδων γενικά µπορεί να διαιρεθούν σε δύο κατηγορίες ανάλογα µε τη µορφή της επιφάνειας ολίσθησης, σε αυτές δηλαδή που θεωρούν κυκλική επιφάνειας ολίσθησης και σε αυτές που θεωρούν επιφάνεια ολίσθησης ακανόνιστου σχήµατος. Οι µέθοδοι που θεωρούν κυκλική επιφάνεια ολίσθησης εξετάζουν την ισορροπία των ροπών ως προς το κέντρο του κύκλου για ολόκληρο το ελεύθερο σώµα που αποτελείται από λωρίδες. Αντίθετα, οι µέθοδοι που θεωρούν µια αυθαίρετη επιφάνεια ολίσθησης ακανόνιστου σχήµατος εξετάζουν συνήθως την ισορροπία από την άποψη µεµονωµένων λωρίδων. Οι µέθοδοι αυτές γενικά διαφοροποιούνται κυρίως στην υπόθεση σχετικά µε τις ορθές και διατµητικές δυνάµεις που δρουν µεταξύ των λωρίδων (Ε και Τ αντίστοιχα στην Εικόνα 2.2). Μία συνοπτική παρουσίαση των µεθόδων αυτών δίδεται στη συνέχεια.

Πίνακας 2.1. Μέθοδοι οριακής ισορροπίας

Επιφάνεια ολίσθησης Μέθοδος

Κυκλική Μη κυκλική ∑Μ=0 ∑F=0

Παραδοχές σχετικά µε τις δυνάµεις T και Ε µεταξύ των λωρίδων

Fellenius (1936)

√ – √ – Αγνοεί την και την Ε

και την Τ Bishop (ακριβής)

(1955) √ (*) √ (**) Λαµβάνει υπόψη και την

Ε και την Τ Janbu

(απλουστευµένη) (1954)

(*) √ – √ Λαµβάνει υπόψη την Ε,

αλλά αγνοεί την Τ

Bishop (απλουστευµένη)

(1955) √ (*) √ (**) Λαµβάνει υπόψη την Ε,

αλλά αγνοεί την Τ

Lowe – Karafiath (1960)

– √ – √

Η συνισταµένη δύναµη µεταξύ των λωρίδων κλίνει µε γωνία

2/)( βαθ +=(**)

Morgenstern – Price (1965)

√ √ √ √ Ορίζεται από την f(x),

T=f(x)λΕ

Spencer (1967)

√ (*) √ √ Σταθερή κλίση,

( )φtan⋅= ET

Janbu (ακριβής) (1968)

√ √ √ √ Λαµβάνει υπόψη και την

Ε και την Τ

Corps of Engineers (1970)

– √ – √

Η συνισταµένη δύναµη µεταξύ των λωρίδων κλίνει µε γωνία

2/)( βαθ +=(**)

Sarma (1973)

√ √ √ √

∆ιάτµηση µεταξύ των λωρίδων

( )φtan⋅+⋅= EhcT

Chen και Morgenstern (1983)

√ √ √ √ Ορίζεται από την f(x),

T=f(x)λΕ (*) Μπορεί να χρησιµοποιηθεί και για κυκλικές και µη-κυκλικές επιφάνειες ολίσθησης (**) α= η κλίση του πρανούς και β= η κλίση της βάσης της λωρίδας

6

Εικόνα 2.2. Μέθοδος λωρίδων: Απεικόνιση λωρίδας ως διάγραµµα ελεύθερου σώµατος. W

είναι το βάρος της λωρίδας ανά µονάδα πλάτους, Ν’ η αντίδραση του υποκείµενου εδάφους, S η διατµητική δύναµη στη βάση της λωρίδας, ενώ, Τ και Ε είναι οι ορθές και διατµητικές δυνάµεις αντίστοιχα που δρουν µεταξύ των λωρίδων.

Μέθοδος Fellenius (1936) Η αρχή υπολογισµού της µεθόδου Fellenius είναι ότι η καµπύλη ολίσθησης µπορεί να εξοµοιωθεί µε τόξο κύκλου. Θεωρείται ότι το έδαφος βρίσκεται σε οριακή ισορροπία κατά µήκος αυτής της καµπύλης, ενώ η ισορροπία είναι εξασφαλισµένη για τα σηµεία εκατέρωθεν αυτής. Στο πλαίσιο µιας γεωτεχνικής ανάλυσης, για κάθε πιθανό κύκλο ολίσθησης η µεταξύ της καµπύλης και της επιφάνειας του εδάφους µάζα χωρίζεται µε κατακόρυφα επίπεδα σε ιδεατά τµήµατα (λωρίδες ή φέτες). Βασική παραδοχή της µεθόδου Fellenius είναι ότι οι δυνάµεις επί των κατακόρυφων επίπεδων, ορθές και διατµητικές, αλληλοαναιρούνται Ε1 = Ε2, Τ1 = Τ2. Σε κάθε τµήµα, δηλαδή, το βάρος W και η τυχόν επιφόρτιση ∆W µεταβιβάζονται εξ ολοκλήρου στην επί µέρους επιφάνεια ολίσθησης του αντίστοιχου τµήµατος. Επί της επιφάνειας αυτής ασκούνται οι δυνάµεις:

o το βάρος W της εδαφικής µάζας συµπεριλαµβανοµένης και της επιφόρτισης ∆W

o οι τυχόν δυνάµεις άνωσης

o η αντίδραση Ν’ του υποκείµενου εδάφους

Εικόνα 2.3. Μέθοδος λωρίδων Fellenius: Απεικόνιση λωρίδας ως διάγραµµα ελεύθερου

σώµατος.

7

Για κάθε πιθανό κύκλο ολίσθησης, είναι δυνατό να υπολογισθούν: η διατµητική αντοχή s και η ροπή αντίστασης Μs κατά την έννοια της επιφάνειας

ολίσθησης

φα ′⋅−⋅+′= tan)cos( ll uWcs (2.6)

RsM S ⋅= (2.7)

η ροπή ανατροπής

aRWxWM F sin⋅⋅=⋅=

(2.8)

Ο συντελεστής ασφαλείας προκύπτει:

( )[ ]( )∑

⋅Σ

′⋅⋅−⋅+⋅′=

n G

uWcF

α

ϕα

sin

tancos ll

(2.9)

όπου, u η πίεση του νερού των πόρων και α η γωνία της εφαπτοµένης κάθε επιµέρους τόξου του κρίσιµου κύκλου µήκους ℓ. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για διάφορους πιθανούς κύκλους ολίσθησης µέχρις ότου ευρεθεί ο κύκλος που δίδει τη µικρότερη τιµή του συντελεστή ασφαλείας.

W

Εικόνα 2.4. Ανάλυση ευστάθειας κατά Fellenius

Απλουστευµένη και Γενική Μέθοδος Janbu (1954 και 1968) Η απλουστευµένη µέθοδος Janbu (1954) αναφέρεται σε µη-κυκλικές επιφάνειες ολίσθησης. Ο συντελεστής ασφαλείας προσδιορίζεται από την ισορροπία των οριζοντίων δυνάµεων. Η εν λόγω µέθοδος λαµβάνει υπόψη τις ορθές δυνάµεις (Ε) µεταξύ των λωρίδων, αλλά αγνοεί τις αντίστοιχες διατµητικές (Τ). Ο συντελεστής ασφαλείας υπολογίζεται από τη σχέση:

( )

∑ ∑∑

∆Ε+⋅

⋅⋅⋅−+⋅=

aW

aluNlcF

tan

)cos/1('tan)(' φ (2.10)

8

όπου, Σ∆Ε=Ε2 – Ε1= ορθή δύναµη µεταξύ των λωρίδων (µηδέν αν δεν ασκούνται οριζόντιες δυνάµεις). Εκφρασµένος υπό µορφή τάσεων, ο συντελεστής ασφαλείας της Εξίσωσης 2.10 δίνεται ως εξής (Janbu, 1954):

( )

∑

∑

⋅

⋅⋅−+⋅

=

aW

n

luWlc

F ao tan

'tan)(' φ

(2.11)

όπου,

⋅+⋅=

Faana

'tantan1cos2 φ

(2.12)

Η µέθοδος βασίζεται στην υπόθεση ότι οι δυνάµεις που ασκούνται µεταξύ των λωρίδων είναι οριζόντιες (κάθετες δηλαδή στις παρειές των λωρίδων). Επειδή η υπόθεση αυτή και µόνο οδηγεί σε συντελεστές ασφαλείας µικρότερους των πραγµατικών, ο Janbu εισήγαγε έναν συντελεστή διόρθωσης (fo) στον αρχικό συντελεστή ασφαλείας (Fo), ώστε να συµπεριλαµβάνεται η επίδραση των διατµητικών δυνάµεων που ασκούνται µεταξύ των λωρίδων. Ο διορθωµένος συντελεστής ασφαλείας δίδεται ως εξής:

oo FfF ⋅= (2.13)

Ο συντελεστής διόρθωσης, fo, είναι ένας εµπειρικός συντελεστής ο οποίος προέκυψε από µελέτη 40 περιπτώσεων και ο οποίος εξαρτάται από το λόγο βάθους προς µήκος της επιφάνειας ολίσθησης και προσαυξάνει το συντελεστή ασφαλείας κατά 5% - 12%. Η χαµηλότερη τιµή προσαύξησης αντιστοιχεί σε ψαθυρά εδάφη, ενώ η µεγαλύτερη σε αργιλικά (Abramson et al., 1996, 2002). Η γενική µέθοδος Janbu (1968) λαµβάνει υπόψη τις ορθές αλλά και τις διατµητικές τάσεις µεταξύ των λωρίδων. Η µέθοδος δέχεται µια γραµµή ώθησης όπου υποτίθεται ότι ασκούνται οι µεταξύ των λωρίδων ορθές δυνάµεις (Ε). Η θέση της επονοµαζόµενης «γραµµής ώθησης» ορίζεται από το χρήστη. Ο συντελεστής ασφαλείας δίδεται από την µάλλον περίπλοκη σχέση της Εξίσωσης 2.14.

( )

( )[ ] ( )∑ ∑∑

−+⋅−−

⋅⋅⋅−+⋅

=

1212 tan

sec'tan)('

EEaTTW

aluNlcF

φ (2.14)

Εικόνα 2.5. Γενική Μέθοδος Janbu (1968): Η µέθοδος δέχεται µια γραµµή ώθησης όπου

υποτίθεται ότι δρουν οι µεταξύ των λωρίδων ορθές δυνάµεις (Ε).

9

Με παρόµοιο τρόπο, η ορθή δύναµη στην βάση της λωρίδας (Ν) δίνεται ως µία συνάρτηση της διατµητικής δύναµης (Τ):

( ) ( )

⋅⋅⋅−⋅−−−= alulcF

TTWm

Na

sin'tan'11

12 φ (2.15)

Η συνθήκη ισορροπίας των ροπών για το σύνολο της ολισθαίνουσας µάζας ικανοποιείται θεωρώντας λωρίδα απειροελάχιστου πλάτους (dx) και λαµβάνοντας τις ροπές ως προς το µέσον της βάσης της λωρίδας (Janbu, 1954, 1957, 1973). Η λωρίδα απειροελάχιστου πλάτους εισήχθηκε προς αποφυγήν σύγχυσης σχετικά µε το σηµείο εφαρµογής της ορθής δύναµης στη βάση. Αυτή η συνθήκη ισορροπίας στην πραγµατικότητα δίνει τη συσχέτιση µεταξύ των διατµητικών και ορθών δυνάµεων που δρουν στις λωρίδες:

tt hdx

dEEaT −⋅= tan (2.16)

όπου, tanαt= η τοπική κλίση της «γραµµής ώθησης» και ht= το ύψος της «γραµµής ώθησης» µετρηµένο από το µέσον της βάσης της λωρίδας. Για τον καθορισµό της πραγµατική θέσης της «γραµµής ώθησης» απαιτείται µία επαναληπτική διαδικασία ώστε µία συνολική ισορροπία των δυνάµεων να επιτευχθεί (Abramson et al., 2002). Από τη στιγµή που η ισορροπία των δυνάµεων ικανοποιείται καθολικά σε όλες στις λωρίδες, η ισορροπία των ροπών ικανοποιείται επίσης για το σύνολο της µάζας (Nash, 1987, Grande, 1997).

(α)

(β)

Εικόνα 2.6. (α) Απλουστευµένη και (β) Γενική µέθοδος λωρίδων Janbu: Απεικόνιση λωρίδων ως διαγράµµατα ελευθέρου σώµατος.

10

Απλουστευµένη και Γενική Μέθοδος Bishop (1955) Η µέθοδος Bishop αποτελεί µία παραλλαγή της µεθόδου Fellenius και στηρίζεται στην παραδοχή ότι η διατµητική αντοχή s, που είναι η εφαπτοµενική συνιστώσα της αντίδρασης σε κάθε τόξο του κρίσιµου κύκλου, δεν είναι η µέγιστη δυνατή, αλλά η πραγµατική αντίσταση σε διάτµηση:

( )F

uGcs

ϕα ′⋅⋅−⋅+⋅′=

tancos ll

Στη γενική της µορφή, εξάλλου, η µέθοδος δέχεται ότι οι δυνάµεις επί των κατακόρυφων επιπέδων πρέπει να ληφθούν υπ’ όψη στους υπολογισµούς. Οι κατακόρυφες συνιστώσες Τ1, Τ2 των ωθήσεων αυτών δεν ισορροπούν και υπεισέρχονται στην έκφραση του συντελεστή ασφαλείας:

[ ] [ ]

( )∑

∑

⋅

⋅+⋅++⋅⋅′

=

−

n

n

1

sinaW

sina/Ftancosa tan∆T)(WcosacF

ϕϕl

(2.17)

Συνήθως χρησιµοποιείται η απλουστευµένη µέθοδος Bishop (Bishop simplified) που δέχεται ότι ∆T = 0.

(α)

(β)

Εικόνα 2.7. (α) Απλουστευµένη και (β) Γενική µέθοδος λωρίδων Bishop: Απεικόνιση λωρίδων ως διαγράµµατα ελευθέρου σώµατος.

Ο συντελεστής ασφαλείας υπολογίζεται από την Εξίσωση 2.18, όπου, για την επίλυση της απαιτείται µία επαναληπτική διαδικασία υπολογισµού.

[ ] [ ]

( )∑

∑

⋅

⋅+⋅⋅+⋅

=

−

n

n

1

sinaG

sina/FtancosatanGbcF

ϕϕ

(2.18)

11

Μέθοδος Morgenstern and Price (1965) Η µέθοδος των Morgenstern και Price (1965) βασίζεται στην υπόθεση ότι οι διατµητικές δυνάµεις (Τ) µεταξύ των λωρίδων σχετίζονται µε τις αντίστοιχες ορθές (Ε) σύµφωνα µε τη σχέση:

( )xfE

T⋅= λ (2.20)

όπου, Τ και Ε είναι οι κάθετες και οι οριζόντιες δυνάµεις µεταξύ των λωρίδων, f(x) µία υποτιθέµενη συνάρτηση µεταξύ των δυνάµεων που δρουν στη διεπιφάνεια των λωρίδων και λ µία παράµετρος κλίµακας της παραπάνω υποτιθέµενης συνάρτησης. Σηµειώνεται ότι, η συνάρτηση f(x) δεν είναι σταθερή κατά µήκος της επιφάνειας ολίσθησης και ότι σύµφωνα µε τους Morgenstern and Price (1965) ο συντελεστής ασφαλείας δεν είναι ευαίσθητος σε αυτήν.

Μέθοδος Spencer (1967) Ο Spencer (1967) βασίστηκε στην υπόθεση ότι οι δυνάµεις µεταξύ των λωρίδων είναι παράλληλες και σχηµατίζουν γωνία θ µε την οριζόντιο (Εικόνα 2.8). Η υπόθεση αυτή επιτρέπει την ικανοποίηση και της συνθήκης ισορροπίας των ροπών, αλλά και την αντίστοιχη των δυνάµεων. Η µέθοδος αυτή κατά συνέπεια είναι η µοναδική του είδους (ανάλυση κυκλικού τόξου) η οποία επιτυγχάνει τον επιθυµητό αυτόν αντικειµενικό σκοπό. Ένα παράδειγµα υπολογισµού της ευστάθειας πρανούς µε τη µέθοδο Spencer παρουσιάζεται στη συνέχεια. Το πρανές της Εικόνας 2.9 (αριστερά) είναι ένα τυπικό πρανές µε κλίση 1:2 (V:H). Για τον προσδιορισµό της πραγµατικής τιµής του συντελεστή ασφαλείας επιλέχθηκαν τυχαίες τιµές γωνίας θ, για κάθε µία από τις οποίες υπολογίστηκαν δύο συντελεστές ασφαλείας από δύο αντίστοιχα εξισώσεις, µία που ικανοποιεί την ισορροπία των ροπών (Fm) και µία των δυνάµεων (Ff). Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται υπό µορφή διαγράµµατος (Εικόνα 2.9, δεξιά). Με Fmo στην Εικόνα 2.9 (δεξιά) συµβολίζεται ο συντελεστής ασφαλείας που αντιστοιχεί στην απλουστευµένη µέθοδο Bishop (θ=0). Ο πραγµατικός συντελεστής ασφαλείας που προκύπτει από την τοµή των δύο καµπυλών της Εικόνας 2.9 (δεξιά)είναι F=1.070. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η τιµή του συντελεστή ασφαλείας που προκύπτει από την απλουστευµένη µέθοδος Bishop (F=1.039) είναι πολύ κοντά σε αυτήν της µεθόδου Spencer. Από το γράφηµα της Εικόνας 2.9 (δεξιά) συµπεραίνεται επίσης ότι, οι τιµές του συντελεστή ασφάλειας που προκύπτουν από την ισορροπία ροπών δεν είναι πολύ ευαίσθητες στην γωνία θ, σε αντίθεση µε αυτές που προκύπτουν από την ισορροπία δυνάµεων.

12

Εικόνα 2.8. Ανάλυση κυκλικού τόξου. Μέθοδος Spencer.

Ιδιότητες εδάφους: c’/γH=0.02; φ’=40o; ru=0.5

Σηµείωση: θi και Fi είναι η γωνία θ και ο συντελεστής ασφαλείας F οι οποίοι ικανοποιούν ταυτόχρονα την ισορροπία δυνάµεων και ροπών στην ανάλυση κυκλικού τόξου του Spencer.

Εικόνα 2.9. Παράδειγµα υπολογισµού µε τη µέθοδο Spenser.

Η µέθοδος του Spencer (1967) είναι παρόµοια µε αυτή των Morgenstern και Price (1965). Η µόνη διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι, η µέθοδος του Spencer θεωρεί µία µοναδική τιµή κλίσης για τις δυνάµεις µεταξύ των λωρίδων, ενώ η µέθοδος των Morgenstern και Price χρησιµοποιεί την παράµετρο κλίµακας, λ. Αν υποτεθεί ότι η συνάρτηση f(x) της µεθόδου Morgenstern και Price είναι σταθερή, τότε τα αποτελέσµατα αυτής είναι ουσιαστικά αντίστοιχα µε αυτά της µεθόδου Spencer. Επίσης, η µέθοδος Morgenstern και Price προσδίδει επιπλέον ευελιξία όσον αφορά τις υποθέσεις σχετικά µε κλίση των δυνάµεων µεταξύ των λωρίδων.

13

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘΟ∆ΩΝ ΟΡΙΑΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΜΕ ΛΩΡΙ∆ΕΣ

Όλες οι µέθοδοι οριακής ισορροπίας λωρίδων έχει αποδειχτεί ότι δίνουν παρόµοιους συντελεστές ασφαλείας (Fredlund and Krahn, 1977; Duncan και Write, 1980). Ως εκ τούτου, καµία εξ αυτών δεν είναι περισσότερο ή λιγότερο ακριβής από τις άλλες. Η µέθοδος Spencer είναι η απλούστερη όλων για τον υπολογισµό του συντελεστή ασφαλείας, ενώ, η µέθοδος Sarma ίσως είναι η απλούστερη για τον υπολογισµό του σεισµικού συντελεστή που απαιτείται ώστε να προκληθεί αστοχία. Η µέθοδος των Morgenstern και Price και των Chen και Morgenstern είναι οι πιο ακριβείς και ευέλικτες από τις µεθόδους οριακής ισορροπίας και πιθανόν καταλληλότερες στην περίπτωση όπου οι δυνάµεις µεταξύ των λωρίδων ασκούν σηµαντική επιρροή στην ευστάθεια. Στις περισσότερες περιπτώσεις όµως, η κλίση των δυνάµεων που ασκούνται µεταξύ των λωρίδων ασκεί µικρή επιρροή στον συντελεστή ασφαλείας, υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι η συνθήκη ισορροπίας των δυνάµεων ικανοποιείται. Σύµφωνα µε τους Duncan και Write (2005) διακρίνονται δύο περιπτώσεις όπου, η υπόθεση σχετικά µε την κλίση των δυνάµεων µεταξύ των λωρίδων επηρεάζει σηµαντικά τη τιµή του συντελεστή ασφαλείας:

1. Όταν η επιφάνεια ολίσθησης αλλάζει διεύθυνση απότοµα, λόγω της γεωµετρίας και των ιδιοτήτων του διατοµής του πρανούς και

2. Σε πρανή όπου ασκούνται σηµαντικές δυνάµεις από µέτρα ενίσχυσης ή εξωτερικών φορτίων, των οποίων η διεύθυνση είναι πολύ διαφορετική από αυτήν των δυνάµεων που ασκούνται µεταξύ των λωρίδων.

Επιπλέον, οι µέθοδοι οι οποίες βασίζονται στην ισορροπία των ροπών δίνουν συντελεστές ασφαλείας λιγότερο ευαίσθητους στη γωνιά κλίσης των δυνάµεων µεταξύ των λωρίδων, από ότι οι µέθοδοι που βασίζονται στην ισορροπία των δυνάµεων (Duncan και Write, 2005).

14

Πίνακας 2.2. Σύγκριση των αποτελεσµάτων ανάλυσης ευστάθειας πρανών µε διαφορετικές µεθόδους (Fredlund και Krahn, 1977)

Συντελεστής Ασφαλείας ανά µέθοδο ανάλυσης

Bishop Routine Spencer Janbu

Simplified

Morgenstern – Price

f(x)=σταθερή

Ordinary Method of

Slices

1

Κλίση 2:1, ύψος Η=12.2m c’=28.7kPa φ’=20ο

2.08 2.07 2.04 2.08 1.93

2

Όπως στην (1), αλλά µε επιπλέον λεπτή στρώση µε c’=0 και φ’=10ο

1.38 1.37 1.45 1.38 1.29

3

Όπως στην (1), αλλά µε πιεζοµετρική γραµµή

1.83 1.83 1.83 1.83 1.69

4

Όπως στην (2), αλλά µε πιεζοµετρική γραµµή και στις δύο στρώσεις

1.25 1.25 1.33 1.25 1.17

ΚΥΚΛΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ – ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΡΑΝΩΝ

Τα διαγράµµατα προσδιορισµού συντελεστή ασφαλείας είναι ένα µέσο γρήγορης και αξιόπιστης εκτίµησης της ευστάθειας των πρανών χωρίς την προσφυγή σε λεπτοµερείς αναλύσεις. Ένας αριθµός διαγραµµάτων ευστάθειας είναι διαθέσιµος συνήθως για οµοιογενή εδάφη (Πίνακας 2.3). Οι µεταβλητές που λαµβάνονται υπόψη για τον προσδιορισµό του συντελεστή ασφαλείας είναι το ύψος και η κλίση του πρανούς καθώς επίσης και οι παράµετροι διατµητικής αντοχής και το ειδικό βάρος του εδάφους. Το σύνολο των αναλύσεων αυτής της µορφής βασίζεται στο γεγονός ότι οι µεταβλητές µπορούν να οµαδοποιηθούν σε αδιάστατους παραµέτρους όπως οι παρακάτω:

o H

cN

⋅

=

γ, (δείκτης ευστάθειας,; Taylor, 1937)

o φγ

λ φ tancc

Η⋅= , (αδιάστατος συντελεστής; Janbu, 1967; Spencer, 1967)

o z

uru

⋅

=

γ, (λόγος πίεσης του νερού των πόρων; Bishop και Morgenstern, 1960)

15

Πίνακας 2.3. ∆ιαγράµµατα ευστάθειας πρανών.

Αναφορά Συνθήκες ανάλυσης

Κέντρο Κύκλου

ολίσθησης Ειδική περίπτωση

Taylor (1937) c, φ – – φ=0 – –

Janbu (1954) φ=0 ΝΑΙ – Bishop και

Morgenstern (1960) c’, φ’ –

Πρώτα διαγράµµατα ενεργών τάσεων. Εισαγωγή του λόγου πίεσης του νερού των πόρων ru.

Janbu (1967) c’, φ’ ΝΑΙ –

Janbu (1968) Παρουσίαση εκ νέου των διαγραµµάτων Janbu (1954, 1967),

συνοδευόµενα από συντελεστές προσαρµογής για την περίπτωση επιφόρτισης, βύθισης στο νερό και εφελκυστικού ρήγµατος

Singh (1970) Παρουσίαση των διαγραµµάτων Taylor και Janbu υπό µορφή διαγραµµάτων

ίσου συντελεστή ασφαλείας F Hoek και Bray (1977) c’, φ’ ΝΑΙ –

Cousins (1978) c’, φ’ ΝΑΙ –

∆ιαγράµµατα Taylor (1937, 1948) Ανάλυση φ=0. Ο Taylor έλυσε αναλυτικά το πρόβληµα της ευστάθειας ενός επίπεδου πρανούς που περιλαµβάνεται µεταξύ δύο οριζοντίων επιφανειών σε περίπτωση οµοιογενούς εδάφους. Οι διαστάσεις του πρανούς και τα χαρακτηριστικά του προβλήµατος είναι τα εξής:

• το ύψος του πρανούς Η, • ο συντελεστής βάθους, D, • η γωνία κλίσης του πρανούς, β, • ο συντελεστής εύρους του κρίσιµου κύκλου (στον πόδα της ολίσθησης), n και • ο δείκτης ευστάθειας, Ν = c/γΗ.

Η επίλυση του προβλήµατος για συντελεστή ασφαλείας F=1 δίδεται από το νοµογράφηµα της Εικόνας 2.11. Οι τιµές του συντελεστή βάθους, D και της έκτασης της αστοχίας, n, που καθορίζουν, ουσιαστικά, τον κρίσιµο κύκλο ολίσθησης δίδονται για περιπτώσεις κεκορεσµένων συνεκτικών εδαφών υπό αστράγγιστες συνθήκες (φ = 0) για γωνία πρανούς β<53ο. Η µέθοδος Taylor δεν είναι δυνατό να εφαρµοστεί σε περίπτωση που το εδαφικό υλικό εµφανίζει ετερογένεια, ενώ παράλληλα προκαθορίζει και µία συγκεκριµένη γεωµετρική µορφή του προβλήµατος που, ουσιαστικά, µπορεί να εφαρµοσθεί µόνον σε περιπτώσεις κατασκευής επιχωµάτων. Παρουσιάζει ωστόσο, το πλεονέκτηµα της απλότητας, γιατί η ανάλυση της συµπεριφοράς του πρανούς βασίζεται σε µαθηµατικές σχέσεις και νοµογραφήµατα, σε αντίθεση µε τις άλλες µεθόδους, όπου επιβάλλεται µία χρονοβόρα διαδικασία γραφικής και µαθηµατικής ανάλυσης για τον έλεγχο της ευστάθειας. Η µέθοδος Taylor δεν δίδει απ’ ευθείας την τιµή του συντελεστή ασφαλείας, εν τούτοις, αυτός θα µπορούσε να προσδιοριστεί σε σχέση µε τη συνοχή (Taylor, 1937):

c

cF u= (2.23)

16

Ανάλυση c, φ. Στη γενικότερη µορφή του, δηλαδή για c ≠ 0 και φ ≠ 0, το αντίστοιχο νοµογράφηµα (Εικόνα 2.12) δίδει τη µέγιστη δυνατή γωνία πρανούς και, κατά συνέπεια, την τιµή του συντελεστή ασφαλείας.

Εικόνα 2.10. Νοµογράφηµα επίλυσης αστοχίας πρανούς συνεκτικού εδάφους

17

Εικόνα 2.11. Νοµογράφηµα εύρεσης συντελεστή ασφαλείας έναντι ολίσθησης

∆ιαγράµµατα Janbu (1954, 1967, 1968) Ο Janbu παρουσίασε δύο σειρές από διαγράµµατα ευστάθειας οµοιογενών πρανών, µία το 1954 (Janbu, 1954) για βραχυπρόθεσµη ανάλυση (φ=0 – Εικόνα 2.13) και µία για µακροπρόθεσµη ανάλυση (c’, φ’ – Εικόνα 2.14). Τα διαγράµµατα αυτά είναι τα πρώτα του είδους, όπου, εκτός από τον συντελεστή ασφαλείας, δίνεται η δυνατότητα, προσδιορισµού των συντεταγµένων του κέντρου του κρίσιµου κύκλου ολίσθησης. Τα διαγράµµατα αυτά παρουσιάστηκαν εκ νέου, χωρίς τροποποιήσεις, από τον Janbu το 1968 (Janbu, 1968) συνοδευόµενα από µία σειρά από συντελεστές προσαρµογής (επίσης υπό µορφή διαγραµµάτων) αναφορικά µε την περίπτωση επιφόρτισης πρανούς (συντελεστής µq, Εικόνα 2.15), βύθισης στο νερό αυτού (συντελεστής µw, Εικόνα 2.16) και ύπαρξης εφελκυστικού ρήγµατος στη στέψη του πρανούς (συντελεστής µt, Εικόνα 2.17).

18

Εικόνα 2.12. ∆ιαγράµµατα ευστάθειας πρανών Janbu (1954 και 1968). Περίπτωση φ = 0.

19

Εικόνα 2.13. ∆ιαγράµµατα ευστάθειας πρανών Janbu (1967 και 1968). Περίπτωση φ > 0.

Εικόνα 2.14. ∆ιαγράµµατα ευστάθειας Janbu: Συντελεστής προσαρµογής λόγω επιφόρτισης

πρανούς. Περίπτωση φ=0 και φ>0 (Janbu 1968).

20

Εικόνα 2.15. ∆ιαγράµµατα ευστάθειας Janbu: Συντελεστής προσαρµογής λόγω βύθισης του

πρανούς σε νερό. Περίπτωση φ=0 και φ>0 (Janbu 1968).

21

Εικόνα 2.16. ∆ιαγράµµατα ευστάθειας Janbu: Συντελεστής προσαρµογής λόγω εφελκυστικού

ρήγµατος στη στέψη του πρανούς. Περίπτωση φ=0 και φ>0 (Janbu 1968).

22

∆ιαγράµµατα Bishop και Morgenstern (1960) Οι Bishop και Morgenstern (1960) βασίστηκαν στη µέθοδο λωρίδων του Bishop (1955) για τη δηµιουργία των διαγραµµάτων ευστάθειας της Εικόνας 2.18. Η µέθοδος χρησιµοποιεί παραµέτρους ενεργού διατµητικής αντοχής, c’ και φ’, ενώ, η πίεση των πόρων εισάγεται ως ανεξάρτητη µεταβλητή χρησιµοποιώντας το λόγο της πίεσης του νερού των πόρων, ru. Ο συντελεστής ασφαλείας εκφράζεται από την εξίσωση:

urnmF ⋅−= (2.24)

όπου, m και n αδιάστατες παράµετροι οι οποίες εξαρτώνται από την γωνία κλίσης του πρανούς, β, το δείκτη ευστάθειας, c’/(γ·Η), τη γωνία εσωτερικής τριβής του εδάφους, φ’, και το συντελεστή βάθους, D.

Εικόνα 2.17. ∆ιαγράµµατα ευστάθειας Bishop και Morgenstern (1960)

23

Εικόνα 2.18. (συνέχεια)

24

Εικόνα 2.18. (συνέχεια)

25


ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΡΑΝΩΝ

Η παρούσα έρευνα βασίσθηκε σε ένα µεγάλο αριθµό επιλύσεων µε το λογισµικό Geo-Slope. Το λογισµικό αυτό αναλύει την ευστάθεια πρανούς µε τις κλασσικές µεθόδους οριακής ισορροπίας της εδαφοµηχανικής, όπως: Bishop, Janbu, Morgenstern – Price. Στην συγκεκριµένη έρευνα επιλέχθηκε η µέθοδος Morgenstern – Price. Τρεις κλίσεις πρανούς µελετήθηκαν, (V:H) 1:1, 1:2 και 2:1, ως πιο κοινά χρησιµοποιούµενες στην πράξη, τόσο για υπό πλήρως συνθήκες (ru=0) όσο και συνθήκες πλήρους κορεσµού (ru=0.5). Η επιλογή των γεωµετριών αυτών έγινε µε γνώµονα επίσης την κοινή πρακτική. Επιλέχθηκαν τέσσερις γεωµετρίες προσώπου πρανούς µε αναβαθµούς : α) αναβαθµοί ανά 8m ύψους και πλάτους 3m. β) αναβαθµοί ανά 10m ύψους και πλάτους 3m. γ) αναβαθµοί ανά 8m ύψους και πλάτους 4m. δ) αναβαθµοί ανά 10m ύψους και πλάτους 4m.

Η παραγωγή διαγραµµάτων και πινάκων ευστάθειας υπήρξε δυνατή λόγων του γεγονότος ότι, σύµφωνα µε την εµπειρία άλλων επιστηµόνων (Janbu, Cousins, κ.α.), διάφοροι παράµετροι που επιδρούν στην ευστάθεια (ύψος πρανούς, διατµητική αντοχή εδάφους, ειδικό βάρος εδάφους) µπορούν να οµαδοποιηθούν σε κάποιον αδιάστατο συντελεστή, όπως είναι ο λcφ.

φγ

λ φ tancc

Η⋅=

όπου:

- c:η συνοχή πρανούς (ΚPa) - γ:το ειδικό βάρος εδάφους (KN/m3) - Η:το εκάστοτε ύψος πρανούς (m) - φ: η γωνία τριβής πρανούς (ο)

26

Σύµφωνα επίσης µε τους Janbu, Cousins, κ.α. ο συντελεστής ασφάλειας F ενός πρανούς δίνεται από την παρακάτω σχέση:

Η⋅=

γ

cNfF

όπου NF : ο παράγοντας ευστάθειας του πρανούς Για τον προσδιορισµό του παράγοντα ευστάθειας NF ακολουθήθηκε η παρακάτω διαδικασία. Προεπιλέχθηκαν οι τιµές για τον συντελεστή λcφ 1,2,3,5,8,10,20,35 και 50 για τις οποίες δίνεται η τιµή του NF όπου για ενδιάµεσες τιµές µπορεί να γίνει γραµµική παρεµβολή. Για δεδοµένο ύψος πρανούς Η και λcφ κάθε φορά υπολογίσθηκε, ως ενδιάµεσο στάδιο, η τιµή της συνοχής από τη σχέση:

φφλ

γtan

cc

Η⋅=

Οι τιµές του γ και του φ διατηρήθηκαν σταθερές καθόλες τις επιλύσεις (φ=25ο και γ=20ΚΝ/m3). Επιλύοντας κάθε φορά µε το λογισµικό, η τιµή του ΝF προέκυπτε από τη παρακάτω σχέση:

cFNf

Η⋅=

γ

όπου F=0 συντελεστής ασφάλειας σύµφωνα µε το λογισµικό.

Τα αποτελέσµατα της έρευνας παρουσιάζονται υπό µορφή πινάκων και διαγραµµάτων ευστάθειας αµέσως παρακάτω, ενώ στο επόµενο κεφάλαιο

ακολουθούν κάποια παραδείγµατα εφαρµογής.

27

Πίνακας 3.1. Παράγοντας ευστάθειας NF. Περίπτωση γαιώδους ορύγµατος κλίσης 1:1, µε αναβαθµούς πλάτους 3m ανά 8m ύψους πρανούς. ∆είκτης πίεσης του νερού των πόρων ru=0.

λcφ H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 8,029 9,890 11,606 14,765 19,146 21,917 34,870 52,916 70,233

10 8,692 10,834 12,822 16,502 b1 b1 b1 b1 b1

12 8,790 10,984 13,028 16,802 22,114 25,477 41,432 63,949 85,888

14 8,767 10,954 12,989 16,802 22,234 25,841 43,748 70,104 96,396

16 8,690 10,855 12,861 16,588 21,788 25,091 40,703 62,898 b1

18 8,838 11,061 13,131 16,974 22,337 25,798 41,989 b2 b1

20 8,868 11,113 13,202 17,081 22,492 25,970 42,290 65,375 b1

22 8,850 11,096 13,176 17,049 22,440 25,927 42,204 65,300 87,603

24 8,814 11,053 13,112 16,963 22,320 25,777 41,904 64,775 86,960

26 8,876 11,139 13,227 17,124 22,560 26,056 42,461 65,676 b3

28 8,891 11,164 13,259 17,178 22,646 26,142 42,590 66,051 88,568

30 8,885 11,151 13,253 17,167 22,612 26,120 42,547 65,901 88,461

32 8,863 11,130 13,214 17,113 22,526 26,034 42,418 65,600 88,139 Σηµείωση : Το αγγλικό γράµµα b προέρχεται από τη λέξη bench και υποδηλώνει ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από αναβαθµό.

Πίνακας 3.2. Παράγοντας ευστάθειας NF. Περίπτωση γαιώδους ορύγµατος κλίσης 1:1, µε αναβαθµούς πλάτους 4m ανά 8m ύψους πρανούς. ∆είκτης πίεσης του νερού των πόρων ru=0

Σηµείωση : Το αγγλικό γράµµα b προέρχεται από τη λέξη bench και υποδηλώνει ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από αναβαθµό.

λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 8,027 9,890 11,606 14,765 19,146 21,917 34,870 52,916 70,233

10 8,943 11,207 b1 b1 b1 b1 b1 b1 b1

12 9,065 11,392 13,549 17,553 b1 b1 b1 b1 b1

14 9,011 11,323 13,472 17,446 23,058 26,613 b1 b1 b1

16 8,921 11,190 13,305 17,220 22,732 26,227 42,804 b1 b1

18 9,108 11,473 13,678 17,735 23,504 27,149 b2 b1 b1

20 9,146 11,533 13,761 17,874 23,675 27,364 44,949 b1 b1

22 9,129 11,503 13,729 17,832 23,624 27,321 44,820 69,579 b1

24 9,080 11,439 13,639 17,714 23,435 27,107 44,391 68,828 b1

26 9,159 11,550 13,787 17,939 23,761 27,471 45,120 b2 b2

28 9,178 11,585 13,832 17,992 23,847 27,600 45,335 70,404 94,894

30 9,166 11,572 13,813 17,960 23,830 27,557 45,249 70,329 94,680

32 9,133 11,533 13,755 17,896 23,727 27,450 44,992 69,954 94,144

28


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 8,027 9,886 11,606 14,765 19,146 21,938 34,870 52,916 70,233

12 8,679 10,813 12,790 b1 b1 b1 b1 b1 b1

14 8,833 11,044 13,105 16,899 b1 b1 b1 b1 b1

16 8,838 11,061 13,131 16,952 22,320 25,734 b1 b1 b1

18 8,797 10,997 13,054 16,845 22,166 25,584 41,603 b1 b1

20 8,737 10,924 12,951 16,716 21,960 25,327 41,132 63,499 b1

22 8,874 11,117 13,202 17,070 22,492 25,970 b2 b2 b1

24 8,921 11,186 13,298 17,210 22,697 26,206 42,719 b2 b1

26 8,923 11,194 13,305 17,231 22,715 26,270 42,804 66,276 b1

28 8,902 11,169 13,272 17,188 22,646 26,184 42,676 65,976 88,675

30 8,870 11,126 13,214 17,113 22,543 26,034 42,418 65,600 88,032

32 8,925 11,207 13,324 17,263 22,766 26,313 42,890 66,426 b2



λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 8,027 9,886 11,606 14,765 19,146 21,938 34,870 52,916 70,233

12 8,679 10,813 12,790 b1 b1 b1 b1 b1 b1

14 8,833 11,044 13,105 16,899 b1 b1 b1 b1 b1

16 8,838 11,061 13,131 16,952 22,320 25,734 b1 b1 b1

18 8,797 10,997 13,054 16,845 22,166 25,584 41,603 b1 b1

20 8,737 10,924 12,951 16,716 21,960 25,327 41,132 63,499 b1

22 8,874 11,117 13,202 17,070 22,492 25,970 b2 b2 b1

24 8,921 11,186 13,298 17,210 22,697 26,206 42,719 b2 b1

26 8,923 11,194 13,305 17,231 22,715 26,270 42,804 66,276 b1

28 8,902 11,169 13,272 17,188 22,646 26,184 42,676 65,976 88,675

30 8,870 11,126 13,214 17,113 22,543 26,034 42,418 65,600 88,032

32 8,925 11,207 13,324 17,263 22,766 26,313 42,890 66,426 b2


29



λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 10,199 13,317 16,200 21,552 29,148 33,990 57,301 90,520 123,309

10 10,720 14,257 17,448 23,450 b1 b1 b1 b1 b1

12 10,787 14,381 17,609 23,740 32,305 37,851 b1 b1 b1

14 10,748 14,321 17,525 23,622 32,116 37,679 63,992 b1 b1

16 10,695 14,214 17,390 23,407 31,807 37,314 63,349 101,253 b1

18 10,800 14,407 17,660 23,804 32,408 38,001 64,764 b2 b2

20 10,817 14,441 17,718 23,890 32,545 38,151 65,064 104,105 141,752

22 10,802 14,415 17,692 23,836 32,476 38,065 64,893 103,805 141,323

24 10,778 14,364 17,602 23,729 32,305 37,872 64,593 103,129 140,465

26 10,821 14,450 17,705 23,890 32,528 38,194 65,236 104,105 141,752

28 10,832 14,475 17,731 23,943 32,597 38,322 65,193 104,405 142,074

30 10,819 14,454 17,705 23,922 32,562 38,301 65,107 104,255 141,859

32 10,802 14,415 17,666 23,847 32,476 38,172 64,893 103,880 141,430


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 10,201 13,322 16,206 21,552 29,148 33,990 57,301 90,520 123,309

10 10,898 14,578 17,898 b1 b1 b1 b1 b1 b1

12 10,978 14,737 18,117 24,447 33,403 b1 b1 b1 b1

14 10,928 14,651 17,988 24,297 33,163 38,987 b1 b1 b1

16 10,858 14,518 17,802 24,051 32,751 38,472 65,450 b1 b1

18 10,986 14,767 18,149 24,544 33,574 39,416 b2 b2 b1

20 11,012 14,806 18,233 24,640 33,712 39,609 67,724 b2 b1

22 10,995 14,776 18,168 24,587 33,643 39,502 67,423 108,008 b1

24 10,956 14,707 18,065 24,469 33,386 39,266 66,909 107,182 146,363

26 11,012 14,810 18,207 24,673 33,712 39,716 67,724 108,458 πρανές 4

28 11,025 14,827 18,252 24,705 33,866 39,738 67,852 108,834 148,829

30 11,012 14,810 18,220 24,694 33,763 39,716 67,766 108,609 148,293

32 10,991 14,771 18,155 24,597 33,592 39,523 67,552 108,308 147,435 Σηµείωση : Το αγγλικό γράµµα b προέρχεται από τη λέξη bench και υποδηλώνει ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από αναβαθµό. Με την ένδειξη πρανές 4, υποδηλώνεται ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από το πρανές αµέσως επάνω από τον τρίτο αναβαθµό.

30


Σηµείωση : Το αγγλικό γράµµα b προέρχεται από τη λέξη bench και υποδηλώνει ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από αναβαθµό. Με την ένδειξη πρανές 3, υποδηλώνεται ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από το πρανές αµέσως επάνω από τον δεύτερο αναβαθµό.

λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 10,206 13,322 16,206 21,552 29,148 33,990 57,301 90,520 123,309

12 10,583 13,999 17,081 22,925 b1 b1 b1 b1 b1

14 10,671 14,162 17,306 23,268 31,584 36,993 b1 b1 b1

16 10,660 14,158 17,306 23,289 31,601 37,014 62,920 b1 b1

18 10,639 14,102 17,235 23,171 31,447 36,886 62,534 99,902 b1

20 10,600 14,042 17,139 23,021 31,258 36,650 62,105 99,226 134,997

22 10,677 14,184 17,325 23,311 31,687 37,143 63,006 πρανές 3 πρανές 3

24 10,695 14,222 17,396 23,418 31,807 37,314 63,435 101,328 137,785

26 10,697 14,214 17,403 23,429 31,876 37,293 63,435 101,328 138,106

28 10,684 14,197 17,371 23,386 31,756 37,207 63,435 100,953 137,463

30 10,665 14,158 17,325 23,311 31,704 37,079 63,049 100,652 137,248

32 10,695 14,214 17,409 23,429 31,842 37,272 63,477 101,253 137,999

34 10,705 14,235 17,435 23,472 31,910 37,379 63,649 101,553 138,428


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 10,204 13,317 16,200 21,552 29,148 33,990 57,301 90,520 123,309

12 10,714 14,240 17,416 b1 b1 b1 b1 b1 b1

14 10,821 14,445 17,711 23,825 32,442 b1 b1 b1 b1

16 10,810 14,441 17,692 23,858 32,494 38,086 63,906 b1 b1

18 10,776 14,377 17,589 23,740 32,288 37,829 64,335 b1 b1

20 10,727 14,274 17,480 23,536 31,996 37,507 63,863 102,003 b1

22 10,821 14,450 17,731 23,901 32,579 38,194 65,107 b2 b2

24 10,855 14,523 17,802 24,029 32,734 38,472 65,536 104,781 b1

26 10,853 14,510 17,802 24,061 32,785 38,451 65,450 104,781 143,039

28 10,832 14,480 17,782 23,965 32,682 38,301 65,322 104,630 142,610

30 10,808 14,433 17,692 23,890 32,545 38,172 64,936 103,955 141,752

32 10,849 14,505 17,802 24,040 32,802 38,430 65,493 104,856 πρανές 4

34 10,864 14,531 17,853 24,083 32,871 38,537 65,708 105,306 143,896

Σηµείωση : Το αγγλικό γράµµα b προέρχεται από τη λέξη bench και υποδηλώνει ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από αναβαθµό. Με την ένδειξη πρανές 4, υποδηλώνεται ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από το πρανές αµέσως επάνω από τον τρίτο αναβαθµό.

31


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 7,006 8,308 9,271 11,055 13,896 15,676 23,675 34,452 44,499

10 7,448 8,754 10,043 12,556 b1 b1 b1 b1 b1

12 7,499 8,891 10,274 12,921 16,521 18,786 b1 b1 b1

14 7,486 8,857 10,281 12,921 16,504 18,807 29,337 b1 b1

16 7,437 8,797 10,223 12,824 16,384 18,614 29,037 43,383 b1

18 7,516 9,007 10,474 13,189 16,882 19,236 30,109 b2 b1

20 7,542 9,080 10,557 13,307 17,070 19,429 30,495 45,785 b1

22 7,540 9,080 10,564 13,296 17,070 19,429 30,495 45,785 60,368

24 7,544 9,037 10,532 13,253 16,984 19,343 30,323 45,560 60,046

26 7,577 9,118 10,641 13,403 17,208 19,622 30,795 46,236 b2

28 7,600 9,161 10,686 13,457 17,293 19,708 30,967 46,536 61,440

30 7,574 9,170 10,686 13,468 17,293 19,708 30,967 46,536 61,440



λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 7,006 7,965 9,284 11,076 13,896 15,676 23,675 34,452 44,499

10 7,609 9,046 10,454 b1 b1 b1 b1 b1 b1

12 7,652 9,256 10,789 13,607 b1 b1 b1 b1 b1

14 7,622 9,243 10,776 13,596 17,482 19,965 b1 b1 b1

16 7,583 9,161 10,667 13,457 17,276 19,687 30,967 b1 b1

18 7,733 9,444 11,033 13,939 17,980 20,544 b2 b1 b1

20 7,787 9,526 11,136 14,100 18,203 20,823 32,940 b1 b1

22 7,782 9,526 11,130 14,100 18,185 20,780 32,897 b1 b1

24 7,750 9,479 11,072 14,014 18,065 20,652 32,639 49,463 b1

26 7,838 9,603 11,220 14,229 18,374 21,016 33,283 b2 b1

28 7,860 9,637 11,272 14,304 18,494 21,145 33,540 50,889 67,445

30 7,866 9,642 11,272 14,293 18,477 21,123 33,497 50,889 67,445


32



λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 7,006 8,158 9,271 11,087 13,896 15,676 23,675 34,452 44,499

12 7,454 8,660 9,760 12,106 b1 b1 b1 b1 b1

14 7,422 8,681 9,927 12,438 15,869 18,035 b1 b1 b1

16 7,461 8,694 9,978 12,524 15,989 18,143 28,179 b1 b1

18 7,411 8,715 9,978 12,502 15,955 18,121 28,136 41,807 b1

20 7,439 8,668 9,933 12,460 15,869 18,014 27,879 41,507 54,470

22 7,459 8,762 10,120 12,706 16,212 18,421 28,651 b2 b2

24 7,482 8,797 10,204 12,803 16,367 18,614 28,994 43,233 b2

26 7,459 8,835 10,229 12,846 16,418 18,679 29,080 43,383 57,151

28 7,441 8,818 10,229 12,835 16,401 18,636 29,037 43,383 57,044

30 7,461 8,792 10,197 12,803 16,367 18,593 28,951 43,158 56,829

32 7,501 8,857 10,281 12,910 16,504 18,764 29,294 43,684 57,473

34 7,471 8,891 10,326 12,964 16,573 18,850 29,423 44,059 57,794


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 7,006 8,158 9,271 11,087 13,896 15,676 23,675 34,452 44,499

12 7,474 8,715 10,062 12,502 b1 b1 b1 b1 b1

14 7,519 8,904 10,319 12,964 b1 b1 b1 b1 b1

16 7,508 8,938 10,390 13,071 16,727 19,065 b1 b1 b1

18 7,476 8,917 10,371 13,039 16,693 18,979 29,723 b1 b1

20 7,489 8,874 10,300 12,942 16,556 18,850 29,423 b1 b1

22 7,570 9,067 10,545 13,285 17,036 19,408 b2 b2 b1

24 7,604 9,153 10,654 13,425 17,242 19,665 30,881 b2 b1

26 7,619 9,178 10,680 13,468 17,293 19,729 31,010 46,686 b1

28 7,602 9,166 10,667 13,446 17,293 19,687 30,967 46,536 61,333

30 7,577 9,131 10,635 13,392 17,208 19,622 30,795 46,236 61,011

32 7,632 9,217 10,738 13,553 17,413 19,837 31,224 46,986 b3


33

Πίνακας 3.13. Παράγοντας ευστάθειας NF. Περίπτωση γαιώδους ορύγµατος κλίσης 1:1, µε αναβαθµούς πλάτους 3m ανά 8m ύψους πρανούς. ∆είκτης πίεσης του νερού των πόρων ru=0.5


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 6,663 7,364 8,010 9,146 10,637 11,516 15,183 19,665 22,517

10 7,229 8,136 8,975 10,476 b1 b1 b1 b1 b1

12 7,302 8,248 9,136 10,690 12,850 14,111 b1 b1 b1

14 7,274 8,205 9,078 10,658 12,781 14,068 19,858 b1 b1

16 7,214 8,149 9,000 10,530 12,610 13,875 19,558 26,871 33,347

18 7,326 8,304 9,200 10,819 13,021 14,347 20,373 28,072 b2

20 7,351 8,338 9,258 10,894 13,142 14,475 20,630 28,522 35,599

22 7,336 8,316 9,226 10,883 13,107 14,518 20,587 28,597 35,599

24 7,317 8,282 9,181 10,819 13,039 14,368 20,416 28,297 35,170

26 7,356 8,351 9,264 10,948 13,210 14,626 20,802 28,897 36,028

28 7,371 8,368 9,284 10,991 13,262 14,668 20,887 29,122 36,457

30 7,364 8,368 9,290 10,958 13,244 14,626 20,973 29,047 36,349

32 7,345 8,351 9,264 10,926 13,193 14,583 20,845 28,897 36,028


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 6,667 7,373 8,010 9,136 10,637 11,516 15,226 19,140 22,517

10 7,439 8,432 9,322 b1 b1 b1 b1 b1 b1

12 7,527 8,565 9,515 11,248 13,605 b1 b1 b1 b1

14 7,469 8,509 9,444 11,162 13,519 14,926 b1 b1 b1

16 7,390 8,398 9,322 11,001 13,296 14,690 21,016 b1 b1

18 7,547 8,608 9,592 11,398 13,811 15,333 22,046 b2 b1

20 7,570 8,664 9,657 11,473 13,965 15,483 22,474 31,449 b1

22 7,553 8,629 9,631 11,452 13,914 15,440 22,303 31,449 39,673

24 7,510 8,578 9,567 11,355 13,793 15,355 22,131 31,224 39,352

26 7,577 8,664 9,682 11,527 14,034 15,569 22,560 31,824 40,317

28 7,587 8,685 9,708 11,570 14,085 15,655 22,689 32,050 40,638

30 7,574 8,677 9,695 11,570 14,068 15,655 22,689 32,050 40,638


34



λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 6,659 7,364 8,016 9,136 10,637 11,516 15,226 19,140 22,517

12 7,066 7,918 8,698 10,101 11,958 b1 b1 b1 b1

14 7,165 8,055 8,872 10,347 12,335 13,532 b1 b1 b1

16 7,165 8,059 8,878 10,390 12,387 13,618 19,000 b1 b1

18 7,137 8,033 8,853 10,337 12,318 13,532 18,872 25,745 31,524

20 7,105 7,990 8,795 10,261 12,232 13,425 18,700 25,370 31,203

22 7,186 8,098 8,936 10,454 12,524 13,746 19,258 26,345 b2

24 7,216 8,145 9,000 10,530 12,610 13,875 19,472 26,721 33,025

26 7,231 8,141 8,994 10,562 12,644 13,939 19,601 26,796 33,240

28 7,206 8,136 8,981 10,530 12,593 13,875 19,558 26,796 33,025

30 7,188 8,111 8,955 10,487 12,541 13,811 19,472 26,645 32,918

32 7,225 8,149 9,007 10,583 12,695 13,982 19,644 26,946 33,347

34 7,240 8,171 9,033 10,615 12,747 14,047 19,772 27,171 33,669


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 6,646 7,369 8,003 9,136 10,637 11,516 15,226 19,140 22,517

12 7,214 8,119 8,949 b1 b1 b1 b1 b1 b1

14 7,334 8,295 9,174 10,765 12,919 14,218 b1 b1 b1

16 7,334 8,295 9,187 10,798 12,970 14,304 b1 b1 b1

18 7,296 8,252 9,136 10,723 12,884 14,197 20,073 b1 b1

20 7,248 8,188 9,052 10,626 12,747 14,047 19,815 27,246 b1

22 7,356 8,338 9,245 10,894 13,124 14,475 20,544 πρανές 3 b2

24 7,392 8,389 9,322 10,991 13,262 14,647 20,887 28,972 b2

26 7,392 8,398 9,329 11,012 13,296 14,690 20,973 29,122 36,457

28 7,375 8,376 9,296 10,980 13,262 14,647 20,930 29,047 36,349

30 7,349 8,338 9,258 10,926 13,176 14,561 20,759 28,822 36,028

32 7,394 8,402 9,335 11,033 13,347 14,754 21,059 29,348 36,886

34 7,411 8,428 9,367 11,076 13,416 14,819 21,231 29,573 37,207 Σηµείωση : Το αγγλικό γράµµα b προέρχεται από τη λέξη bench και υποδηλώνει ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από αναβαθµό. Με την ένδειξη πρανές 3, υποδηλώνεται ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από το πρανές αµέσως επάνω από τον δεύτερο αναβαθµό.

35



λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 8,224 9,890 11,317 13,982 17,619 19,944 30,581 45,260 59,296

10 8,552 10,482 12,146 15,172 19,369 22,003 b1 b1 b1

12 8,595 10,551 12,249 15,355 19,644 22,324 34,955 b1 b1

14 8,569 10,508 12,192 15,269 19,541 22,217 34,784 52,165 b1

16 8,529 10,444 12,108 15,129 19,318 22,003 34,398 51,490 68,195

18 8,597 10,560 12,282 15,387 19,695 22,389 35,213 52,841 b2

20 8,614 10,585 12,307 15,451 19,798 22,496 35,384 53,216 70,447

22 8,602 10,568 12,294 15,398 19,729 22,453 35,299 52,991 70,233

24 8,584 10,538 12,243 15,333 19,627 22,346 35,084 52,615 69,804

26 8,612 10,585 12,314 15,430 19,781 22,517 35,427 53,141 70,554

28 8,621 10,594 12,327 15,462 19,832 22,625 35,513 53,441 70,769

30 8,617 10,585 12,320 15,440 19,798 22,560 35,470 53,291 70,662

32 8,604 10,568 12,282 15,419 19,747 22,474 35,341 53,066 70,340


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 8,226 9,890 11,323 13,982 17,619 19,944 30,581 45,260 59,296

10 8,664 10,671 12,430 15,612 b1 b1 b1 b1 b1

12 8,717 10,757 12,552 15,826 20,313 23,139 b1 b1 b1

14 8,692 10,697 12,487 15,709 20,193 22,946 36,156 b1 b1

16 8,634 10,624 12,359 15,516 19,918 22,667 35,642 53,591 71,090

18 8,728 10,770 12,578 15,848 20,416 23,246 36,671 b2 b2

20 8,743 10,808 12,629 15,934 20,519 23,332 36,971 55,843 73,985

22 8,724 10,783 12,597 15,880 20,450 23,268 36,886 55,618 73,664

24 8,709 10,731 12,526 15,784 20,313 23,139 36,542 55,318 73,235

26 8,741 10,800 12,616 15,944 20,536 23,354 37,057 55,843 74,093

28 8,752 10,808 12,635 15,955 20,570 23,461 37,057 56,218 74,629

30 8,745 10,804 12,623 15,934 20,536 23,375 37,057 55,918 74,307


36



λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 8,228 9,886 11,323 13,982 17,619 19,944 30,581 45,260 59,296

12 8,460 10,324 11,921 14,829 18,872 21,424 b1 b1 b1

14 8,516 10,418 12,056 15,044 19,198 21,788 34,055 49,988 b1

16 8,514 10,414 12,063 15,044 19,198 21,810 34,055 51,039 b1

18 8,490 10,384 12,005 14,990 19,112 21,745 33,926 50,664 67,016

20 8,471 10,345 11,947 14,915 19,009 21,595 33,712 50,364 66,372

22 8,520 10,427 12,076 15,087 19,249 21,874 34,183 51,189 67,659

24 8,533 10,452 12,108 15,151 19,352 21,981 34,398 51,640 68,195

26 8,539 10,448 12,114 15,140 19,335 22,046 34,441 51,565 68,195

28 8,529 10,444 12,089 15,129 19,301 21,938 34,312 51,490 68,088

30 8,514 10,414 12,056 15,087 19,249 21,874 34,183 51,264 67,766

32 8,533 10,452 12,114 15,140 19,335 22,003 34,398 51,565 68,303

34 8,542 10,465 12,134 15,162 19,369 22,046 34,484 51,715 68,517


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 8,228 9,886 11,323 13,982 17,619 19,944 30,581 45,260 59,296

12 8,546 10,465 12,134 15,151 19,249 b1 b1 b1 b1

14 8,614 10,581 12,301 15,419 19,764 22,432 34,569 b1 b1

16 8,608 10,572 12,301 15,430 19,764 22,453 35,213 52,240 b1

18 8,584 10,538 12,237 15,333 19,627 22,324 34,955 52,465 b1

20 8,554 10,478 12,159 15,205 19,438 22,110 34,655 51,865 68,731

22 8,614 10,594 12,314 15,451 19,815 22,539 35,384 53,216 b2

24 8,632 10,624 12,359 15,526 19,935 22,689 35,642 53,741 71,198

26 8,647 10,620 12,359 15,526 19,935 22,710 35,642 53,741 71,198

28 8,623 10,607 12,339 15,494 19,867 22,582 35,556 53,441 70,876

30 8,610 10,581 12,294 15,440 19,781 22,496 35,384 53,141 70,447

32 8,636 10,620 12,365 15,516 19,901 22,667 35,685 53,666 71,198


37



λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 5,949 6,172 6,002 5,704 5,679 5,533 4,546 7,806 11,580

10 6,320 6,451 6,678 b1 b1 b1 b1 b1 b1

12 6,288 6,562 6,897 7,549 8,269 b1 b1 b1 b1

14 6,281 6,554 6,897 7,549 8,286 8,685 b1 b1 b1

16 6,277 6,481 6,826 7,452 8,183 8,578 9,522 8,406 11,366

18 6,328 6,657 7,064 7,785 8,629 9,093 10,594 b2 11,473

20 6,322 6,674 7,141 7,892 8,784 9,286 11,109 10,808 11,366

22 6,301 6,712 7,148 7,892 8,801 9,329 11,066 11,259 b2

24 6,311 6,639 7,103 7,849 8,732 9,243 11,023 9,908 11,259

26 6,331 6,751 7,212 7,988 8,938 9,479 11,366 11,934 b3

28 6,350 6,747 7,238 8,042 9,024 9,565 11,709 12,234 11,688

30 6,339 6,772 7,244 8,042 9,024 9,586 11,580 12,309 11,580

32 6,350 6,742 7,225 8,010 8,973 9,543 11,537 12,535 11,259


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

8 5,949 6,065 6,002 5,704 5,679 5,533 4,546 7,806 11,580

10 6,335 6,699 7,077 b1 b1 b1 b1 b1 b1

12 6,427 6,867 7,347 8,160 b1 b1 b1 b1 b1

14 6,401 6,854 7,334 8,149 9,144 9,693 b1 b1 b1

16 6,354 6,738 7,238 8,020 8,973 9,500 b1 b1 b1

18 6,474 7,017 7,540 8,449 9,573 10,208 b2 b1 b1

20 6,498 7,090 7,630 8,567 9,762 10,444 13,167 b1 b1

22 6,483 7,077 7,624 8,567 9,762 10,465 13,253 b1 b1

24 6,483 7,025 7,572 8,503 9,676 10,379 13,124 14,486 b1

26 6,521 7,145 7,701 8,675 9,916 10,658 13,596 15,012 b1

28 6,536 7,171 7,752 8,739 10,019 10,787 13,811 16,813 b1

30 6,536 7,167 7,746 8,739 10,019 10,787 13,854 16,588 18,764


38


Σηµείωση : Το αγγλικό γράµµα b προέρχεται από τη λέξη bench και υποδηλώνει ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από αναβαθµό. Με την ένδειξη π.χ. πρανές 3, υποδηλώνεται ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από το πρανές αµέσως επάνω από τον δεύτερο αναβαθµό.

λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 5,949 6,103 6,002 5,704 5,679 5,426 4,546 7,806 11,580

12 6,232 6,301 6,414 6,798 b1 b1 b1 b1 b1

14 6,232 6,412 6,594 7,120 7,652 7,892 b1 b1 b1

16 6,230 6,399 6,633 7,195 7,772 8,063 b1 b1 b1

18 6,219 6,408 6,620 7,173 7,772 8,063 b1 b1 b1

20 6,243 6,352 6,549 7,109 7,686 7,999 8,149 8,106 11,259

22 6,247 6,468 6,729 7,345 8,012 8,364 9,307 7,806 πρανές 2

24 6,234 6,489 6,807 7,452 8,166 8,535 9,264 πρανές3 πρανές 2 26 6,232 6,498 6,826 7,484 8,218 8,599 9,779 8,331 11,259

28 6,262 6,511 6,807 7,474 8,201 8,599 9,650 8,557 11,580

30 6,271 6,511 6,794 7,452 8,166 8,557 8,406 8,406 πρανές3

32 6,241 6,524 6,858 7,538 8,304 8,707 9,951 8,256 b3

34 6,277 6,554 6,922 7,592 8,372 8,792 10,208 8,482 11,259


λcφ

H 1 2 3 5 8 10 20 35 50

10 5,949 6,052 6,002 5,704 5,679 5,426 4,546 7,806 11,580

12 6,318 6,476 6,684 b1 b1 b1 b1 b1 b1

14 6,294 6,584 6,935 7,602 b1 b1 b1 b1 b1

16 6,303 6,579 7,006 7,688 8,475 8,900 b1 b1 b1

18 6,307 6,575 6,974 7,645 8,441 8,857 b1 b1 b1

20 6,253 6,549 6,910 7,570 8,338 8,750 9,951 b1 b1

22 6,309 6,682 7,128 7,881 8,767 9,264 πρανές3 b1 b1

24 6,333 6,738 7,218 7,999 8,938 9,479 11,366 b1 b1

26 6,367 6,772 7,244 8,042 9,007 9,543 11,580 12,159 b2

28 6,350 6,764 7,231 8,020 8,990 9,522 11,537 12,009 11,473

30 6,356 6,742 7,199 7,978 8,938 9,479 11,323 11,859 11,688

32 6,380 6,802 7,296 8,106 9,110 9,693 11,838 b3 11,580

34 6,391 6,837 7,334 8,171 9,196 9,779 12,009 13,210 πρανές4 Σηµείωση : Το αγγλικό γράµµα b προέρχεται από τη λέξη bench και υποδηλώνει ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από αναβαθµό. Με την ένδειξη π.χ πρανές 3, υποδηλώνεται ότι ο κύκλος ολίσθησης διέρχεται από το πρανές αµέσως επάνω από τον δεύτερο αναβαθµό.

39

Εικόνα 3.2. Περίπτωση γαιώδους ορύγµατος κλίσης 1:1 για αδιάστατο συντελεστή λcφ=1. ∆είκτης πίεσης νερού των πόρων ru=0.

7,8

8,0

8,2

8,4

8,6

8,8

9,0

9,2

9,4

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4

Σηµείωση: Ο συµβολισµός h8-b3 υποδηλώνει αναβαθµούς πλάτους 3m ανά 8m ύψους πρανούς. Αντιστοίχως τα υπόλοιπα.


9,8

10,0

10,2

10,4

10,6

10,8

11,0

11,2

11,4

11,6

11,8

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4

Σηµείωση: Ο συµβολισµός h8-b3 υποδηλώνει αναβαθµούς πλάτους 3m ανά 8m ύψους πρανούς. Αντιστοίχως τα υπόλοιπα..

40


11,0

11,5

12,0

12,5

13,0

13,5

14,0

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



13

14

15

16

17

18

19

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


41


19

20

21

22

23

24

25

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



23

24

25

26

27

28

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


42


33

36

39

42

45

48

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



44

50

56

62

68

74

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


43


70

78

86

94

102

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


Εικόνα 3.11 . Περίπτωση γαιώδους ορύγµατος κλίσης 1:2 για αδιάστατο συντελεστή λcφ=1. ∆είκτης πίεσης νερού των πόρων ru=0.

10,1

10,2

10,3

10,4

10,5

10,6

10,7

10,8

10,9

11,0

11,1

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


44


13,2

13,4

13,6

13,8

14,0

14,2

14,4

14,6

14,8

15,0

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



16,0

16,5

17,0

17,5

18,0

18,5

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


45


21,0

21,5

22,0

22,5

23,0

23,5

24,0

24,5

25,0

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



28

29

30

31

32

33

34

35

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


46


33

34

35

36

37

38

39

40

41

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



56

58

60

62

64

66

68

70

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


47


90

96

102

108

114

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



120

130

140

150

160

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


48


6.9

7.0

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

8.0

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



7

8

8

9

9

10

10

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


49


8

9

10

11

12

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


.


10

11

12

13

14

15

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


50


14

15

16

17

18

19

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



17

18

19

20

21

22

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


51


25

27

29

31

33

35

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



30

35

40

45

50

55

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


52


50

54

58

62

66

70

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


Εικόνα 3.29. Περίπτωση γαιώδους ορύγµατος κλίσης 1:1 για αδιάστατο συντελεστή λcφ=1. ∆είκτης πίεσης νερού των πόρων ru=0.5.

6,4

6,6

6,8

7,0

7,2

7,4

7,6

7,8

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


53


7,2

7,4

7,6

7,8

8,0

8,2

8,4

8,6

8,8

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



7

8

9

9

10

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


54


8

9

10

11

12

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



10

11

12

13

14

15

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


55


12

13

14

15

16

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



10

14

18

22

26

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


56


20

24

28

32

36

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


57


8,1

8,2

8,3

8,4

8,5

8,6

8,7

8,8

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



10

10

10

10

11

11

11

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


58


11,2

11,4

11,6

11,8

12,0

12,2

12,4

12,6

12,8

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



13,5

14,0

14,5

15,0

15,5

16,0

16,5

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


59


17,0

17,5

18,0

18,5

19,0

19,5

20,0

20,5

21,0

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



19,5

20,0

20,5

21,0

21,5

22,0

22,5

23,0

23,5

24,0

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


60


25

29

33

37

41

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



40

45

50

55

60

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


61


60

64

68

72

76

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



5.9

6.0

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


62


5,8

6,0

6,2

6,4

6,6

6,8

7,0

7,2

7,4

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



5

6

6

7

7

8

8

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


63


5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



6

7

8

9

10

11

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


64


6

7

8

9

10

12

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


65


6

9

12

15

18

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4



8

11

14

17

20

0 5 10 15 20 25 30 35

H

Nf

h8-b3

h8-b4

h10-b3

h10-b4


66


Παραδείγµατα εφαρµογής: Παράδειγµα 4.1 : Για γ=20ΚΝ/m3, h=20m, φ=31ο, c=24ΚΡa και λcφ=10,0 προκύπτει:

ru=0

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 19,429 20,823 18,014 18,85

F 1,17 1,25 1,08 1,13

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 25,97 27,36 24,43 25,33

F 1,56 1,64 1,47 1,52

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 38,15 39,61 36,65 37,51

F 2,29 2,38 2,20 2,25

V 448 464 430 440

ru =0,5

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 9,29 10,44 8,00 8,75

F 0,56 0,63 0,48 0,53

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 14,48 15,48 13,43 14,05

F 0,87 0,93 0,81 0,84

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 22,50 23,33 21,60 22,11

F 1,35 1,40 1,30 1,33

V 448 464 430 440

67

ru=0,25

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 0,86 0,94 0,78 0,83

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 1,22 1,29 1,14 1,18

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 1,82 1,89 1,75 1,79

V 448 464 430 440

Παράδειγµα 4. 2 : Για γ=20ΚΝ/m3, h=12m, φ=25ο, c=3ΚΡa και λcφ=35,0 προκύπτει:

ru=0

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 19,429 20,823 18,014 18,85

F 0,26 0,28 0,24 0,25

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 25,97 27,36 24,43 25,33

F 0,35 0,36 0,33 0,34

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 38,15 39,61 36,65 37,51

F 0,51 0,53 0,49 0,50

V 448 464 430 440

68

ru =0,5

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 9,29 10,44 8,00 8,75

F 0,12 0,14 0,11 0,12

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 14,48 15,48 13,43 14,05

F 0,19 0,21 0,18 0,19

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 22,50 23,33 21,60 22,11

F 0,30 0,31 0,29 0,29

V 448 464 430 440

ru=0,25

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 0,19 0,21 0,17 0,18

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 0,27 0,29 0,25 0,26

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 0,40 0,42 0,39 0,40

V 448 464 430 440

69

Παράδειγµα 4.3 : Για γ=20ΚΝ/m3, h=20m, φ=10ο, c=35ΚΡa και λcφ=2,0 προκύπτει:

ru=0

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 19,429 20,823 18,014 18,85

F 1,70 1,82 1,58 1,65

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 25,97 27,36 24,43 25,33

F 2,27 2,39 2,14 2,22

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 38,15 39,61 36,65 37,51

F 3,34 3,47 3,21 3,28

V 448 464 430 440

ru=0,5

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 9,29 10,44 8,00 8,75

F 0,81 0,91 0,70 0,77

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 14,48 15,48 13,43 14,05

F 1,27 1,35 1,17 1,23

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

NF 22,50 23,33 21,60 22,11

F 1,97 2,04 1,89 1,93

V 448 464 430 440

70

ru=0,25

2:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 1,26 1,37 1,14 1,21

V 148 164 130 140

1:1

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 1,77 1,87 1,66 1,72

V 248 264 230 240

1:2

h8-b3 h8-b4 h10-b3 h10-b4

F 2,65 2,75 2,55 2,61

V 448 464 430 440

71


ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

1) Η συγκεκριµένη έρευνα αποτελεί ένα εύχρηστο εργαλείο στα χέρια του µηχανικού για τον αξιόπιστο υπολογισµό του συντελεστή ασφάλειας µε αναβαθµούς.

2) ∆ίνεται η δυνατότητα διερεύνησης της γεωµετρίας του πρανούς µε τον µικρότερο όγκο εκσκαφής µεταξύ ενός αριθµού πιθανών λύσεων.

3) Για κάθε µία από τις προεπιλεγµένες γεωµετρίες πρανούς αντιστοιχεί µία τιµή NF η τιµή της οποίας εξαρτάται από το λόγο λcφ και την κλίση και το ύψος του πρανούς.

4) Σε κάθε περίπτωση (κλίση ορύγµατος, κατάσταση υπόγειας δίαιτας) µεταξύ των εξεταζοµένων επιλύσεων ισχύει ότι, στη γεωµετρία εκείνη πρανούς µε πλάτος αναβαθµού b=3m ανα h=10m αντιστοιχεί η µικρότερη τιµή δείκτη ευστάθειας NF και, κατά συνέπεια, συντελεστή ασφαλείας F. Η λύση αυτή οδηγεί, επίσης, στο µικρότερο όγκο εκσκαφής.

5) Σε κάθε περίπτωση (κλίση ορύγµατος, κατάσταση υπόγειας δίαιτας) µεταξύ των εξεταζοµένων επιλύσεων ισχύει ότι, στη γεωµετρία εκείνη πρανούς µε πλάτος αναβαθµού b=4m ανα h=8m αντιστοιχεί η µικρότερη τιµή δείκτη ευστάθειας NF και, κατά συνέπεια, συντελεστή ασφαλείας F. Η λύση αυτή οδηγεί, επίσης, στο µικρότερο όγκο εκσκαφής.

6) Για τις γεωµετρίες πρανούς b3 – h10 και b4 – h8 µπορεί µε ασφάλεια να ειπωθεί ότι αντιστοιχούν σε ενδιάµεσες σε σχέση µε αυτές των b4 – h10 και b3 – h8.

7) Μεταξύ των γεωµετριών πρανούς b3 – h10 και b4 – h8 δε µπορεί να βγει ένα γενικό συµπέρασµα, ποια λύση είναι η πιο οικονοµική. Παρατηρείται ότι για κάποια ύψη πρανούς η πρώτη λύση είναι πιο οικονοµική ενώ για τα υπόλοιπα είναι η άλλη.

72

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Abramson L.W., Thomas S.L., Sharma S., Boyce G.M. (1996) Slope stability and stabilization methods. John Willey & Sons, inc. New York.

Abramson, K.W., Lee, T.S., Sharma, S., Boyce, G.M. (2002) Slope stability and stabilizarion methods. John Wiley & Sons Inc. pp. 712.

Baker R. (2003) A Second Look at Taylor's stability charts. Journal of Geotechnical and Geoenviromental Engineering, ASCE, 129(12), pp. 1102-1108.

Bell, J.M. (1966) Dimensionless Parameters for Homogeneous Earth Slopes," Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol. 92, No. SM5, September, pp. 51-65.

Bell, J.M. (1968) Closure to Dimensional Parameters for Homogeneous Earth Slopes. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol. 94, No. SM3, May, pp. 763-766.

Bishop, A.W., Bjerrum, L. (1960) The Relevance of the Triaxial Test to the Solution of Stability Problems. Proceedings, ASCE Research Conference on Shear Strength of Cohesive Soils, Boulder, Colorado, pp. 437-501

Bishop, A.W. (1955) The use of the slip circle in the stability analysis of earth slopes. Géotechnique, 5(1), pp. 7–17.

Bishop, A.W. and Morgenstern, Norbert (1960) Stability Coefficients for Earth Slopes. Geotechnique, Institution of Civil Engineers, London, Vol. 10, No. 4, December, pp. 129-150.

Brauns, J. (1980) Safety Against Slip in Inclined Base of Toe Slopes," Technical Note. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, Vol. 106, No. GT10, Oct., pp. 1158-1162.

Brendlin, H. (1962) Die Schubspannungssverteilung in der Sohlfuge von Dammen und Boschungen (Shear Stress Distribution in the Foundation of Hill Dams and Slopes), Series of the institute of Soil and Rock Mechanics, University of Karlsruhe, Karlsruhe, West Germany, No. 10.

Bromhead, E.N. (1998). The stability of slopes, 2nd edition. London and New York: E & FN Spon. Cernica, J.N., 1995. Geotechnical Engineering. Soil Mechanics. New York: John Willey and Sons. Chen, Z., Morgenstern N. R. (1983) Extension to the Generalized Method of Slices for Stability

Analysis. Canadian Geotechnical Journal, 20(1), 104–109 Chen, W. F., Giger, M. W., Fang, H. Y. (1969) On the Limit Analysis of Stability of Slopes. Soils and

Foundations, 9(4), pp. 23-32 Coduto D.P. (1999) Geotechnical Engineering Principles and Practices. Prentice Hall U.S.A. Corps of Engineers (1970) Slope Stability manual. EM 111021902, Washington, DC: Department

of the Army, Office of the Chief Engineers. Cousins, B. (1980) Stability Charts for Simple Earth Slopes allowing for Tension Cracks. Proceedings

of the Third Australian-New Zealand Conference on Geomechanics, Wellington NZ. Vol. 2, pp. 101 - 105.

Cousins, Brian F. (1978) Stability Charts for Simple Earth Slopes. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, Vol. 104, No. GT2, February, pp. 267-279.

Culmann, K. (1866) Die graphische Statik. Zürich, Meyer und Zeller. Duncan, J.M., Wright S.G. (2005) Soil Strength and Slope Stability. John Wiley & Sons, Inc. Hoboken,

New Jersey Duncan, J. M., Wright, S. G. (1980) The Accuracy of Equilibrium Methods of Slope Stability

Analysis. Engineering Geology, 16(1/2), pp 5-17. Duncan, J. M., Buchignani, A. L., DeWet, M. (1987) An Engineering Manual for Slope Stability

Studies. Department of Civil Engineering, Geotechnical Engineering, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, VA.

Elliot, W.J. Ballerini, M., Hall, D.E. (2003) Simplified methods for evaluating road prism stability. Transportation Research Record, Transportation Research Board, National Academies of Science, Washington, DC. 1819(2):95-100. Paper No. LVR8-1095. Presented at the 8th International Conference on Low-volume Roads. June 22-25, 2003, Silver Legacy Hotel & Conference Center, Reno, NV.

Fellenius, W. (1927) Erdstatishe berechmungen mit reibungund kohesion. Ernest Verlag, Berlim Fellenius, W. (1936) Calculation of the Stability of Earth Dams”, Proceedings of the Second Congress

on Large Dams, Vol.4, pp. 445-463. Fredlund, D. G., Krahn, J. (1977) Comparison of Slope Stability Methods of Analysis. Canadian

Geotechnical Journal, 14(3), pp. 429-439. Gibson, R. E., Morgenstern, N.K. (1962) A note on the stability of cuttings in normally consolidated

clays. Geotechnique, 12, pp. 212-216. Grande, L. (1997). Skråningsstabilitet. Kompendium Geoteknikk 2, grunnkurs. Norges teknisk

naturvitenskapelige universitet, NTNU (In Norwegian).

73

Hoek, E., Bray J. W. (1977) Rock Slope Engineering, Third Edition, The Institution of Mining and Metallurgy, London.

Hoek, E., Bray J. W. (1981) Rock Slope Engineering, Third Edition, The Institution of Mining and Metallurgy, London.

Huang, Y.H. (1975) Stability Charts for Earth Embankments. Transportation Research Record No. 548, pp. 1-15

Huang, Y.H. (1977) Stability Coefficients for Sidehill Benches. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, Vol. 103, No. GT5, May, pp. 467-481.

Huang, Yang H. (1978) Stability Charts for Sidehill Fills. Technical Note, Journal of the Geotechnical EngineeringDivision, ASCE, Vol. 104, No. GT5, May, pp. 659-663.

Hunter J. H., R. L. Schuster (1968) Stability of Simple Cuttings in Normally Consolidated Clays. Geotechnique, Institution of Civil Engineers, Great Britain, Vol. 18, No. 3, Sept., pp. 372-378.

Jaky (1936) The stability of earth slopes, Proc. First International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, II, Harvard University Press, Cambridge, Mass., pp. 125-129.

Janbu, N. (1957) "Earth Pressures and Bearing Capacity Calculations by Generalized Procedure of Slices," Proceedings, Fourth International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Vol. 2, London, pp. 207-212.

Janbu, N. (1954) Application of Composite Slip Surface for Stability Analysis. European Conference on Stability Analysis, Stockholm, Sweden.

Janbu, N. (1968) Slope Stability Computations. Institutt for Geotknikk og Fundamenteringslære, Norges Tekniske Høgskole, Soils Mechanics and Foundation Engineering, the Technical University of Norway.

Janbu, N. (1973) Slope Stability Computations,” Embankment Dam Engineering - Casagrande Volume, R.C. Hirschfeld and S.J. Poulos, eds., John Wiley and Sons, New York, pp. 47-86.

Janbu, N. (1954) Stability Analysis of Slopes with Dimensionless Parameters. Soil Mechanics Series No. 46, Harvard University, January, 81 p.2

Janbu, N. (1967) Discussion of paper "Dimensionless Parameters for Homogeneous Earth Slopes," by Bell, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol. 93, No.SM6, November, pp. 367-374.

Kast, K., (1985) Spreizsicherheit von Boschungen bei geneigtem Gelande und Durchstromung. Bauingenieur, 60, 519-522.

Kenney, T.C., (1960) Discussion on Geotechnnical Properties of Glacial Lake Clays. Trans Amer. Soc. Civ. Engrs, 125: 1: 1012.

Koppula, S. D. (1984) Pseudo-static analysis of clay slopes subject to earthquakes. Geotechnique, 34, pp. 71-79

Kumar, J. and Samui, P. (2006) Stability Determination for Layered Soil Slopes using the Upper Bound Limit Analysis. Geotechnical and Geological Engineering Journal, Springer Publications, Vol. 24, 1803-1819.

Leshchinsky D., San, K.C. (1994) Pseudostatic seismic stability of slopes: design charts', J. Geotech. Engng. ASCE 120, pp. 1514-1532.

Low, B. K. (1989) Stability analysis of embankments on soft ground. J. Geotech. Engng, ASCE, 115 (2), pp. 211-227

Lowe, J., Karafiath, L. (1960) Stability of Earth Dams upon Drawdown. Proceedings of the First PanAmencan Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering. Mexican Society of Soil Mechanics, Mexico D.F., pp 537-552.

Michalowski RL (2002) Stability charts for uniform slopes. Journal of Geotechnical and Geoenviromental Engineering, ASCE 2002, 128(4), pp. 351-355

Morgenstern, N. (1963) Stability Charts for Earth Slopes During Rapid Drawdown. Geotechnique, 13(2), pp. 121-131.

Morgenstern, N.R., Price, V.E. (1965) The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1), pp. 79–93.

Nash, D. (1987) Comprehensive Review of Limit Equilibrium Methods of Stability Analysis. Slope Stability, Chapter 2. M. G. Andersen and K. S. Richards, Eds. New York: Wiley, pp. 1175.

O'Connor, M. J., Mitchell, R. J. (1977) An Extension of the Bishop and Morgenstern Slope Stability Charts," Canadian Geotechnical Journal, 14(3), pp. 144-151.

Petterson, K.E. (1916) Kajraset I Goteborg den, 5 mars, 1916, Tekn Tidskr, V U 46, H30, pp. 281-287; 46, H31, pp. 289-291.

Petterson, K.E. (1955) The early history of circular sliding surfaces, Geotechnique, 5, pp. 275-296.

74

Rendulic, L. (1938) Der Erddruck im Straben- und Bruckenbau (Earthpressure in Road and Bridge Engineering), Forschungsarbeiten aus dem Strabenwesen (Research Reports in Road Engineering), Berlin, West Germany, Vol. 10, 1938.

Rendulic, L. (1935) Ein betrag zur bestimmung der gleitsicherheit. Der Bauingenieur, 16(19/20), pp. 230–233.

Rodriguez, A; del Castillo, H; Sowers, G. F. (1988) Soil Mechanics in Highway Engineering. Federal Republic of Germany: TransTech Publications.

Sarma, S. K. (1973) Stability Analysis of Embankment and Slopes. Geotechnique, 23(3), pp. 423433. Schormann, K. (1972) Ermittlung des erforderlichen Reibunswinkels der Unterlage einer Boschung bei

geneigter Grenzflache und stromendem Grundwasser fur kohasionslose Boden (Calculation of the required angle of friction in an inclined base of noncohesive slope with seepage forces), Der Baungenieur, Berlin, West Germany, 47(2), p. 56.

Singh, A. (1970) Shear strength and stability of man-made slopes. J. Soil Mech. Found. Div., Am. Soc. Civ. Eng., 96(6), pp. 1879–189.

Skempton, A.W. (1957).Discussion: Further data on the c/p ratio in normally consolidated clays. Proc. Inst. Civ. Eng., 7, pp. 305-307.

Spencer, E. (1967) A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel interslice forces. Géotechique, 17(1), pp. 11–26.

Taylor (1948) Fundamentals of Soil Mechanics, John Wiley and Sons, Inc, New York., pp. 406-479. Taylor, Donald W. (1937) Stability of Earth Slopes. Journal of the Boston Society of Civil Engineers,

Vol. 24, No. 3, July. (Reprinted in Contributions to Soil Mechanics: 1925-1940, Boston Society of Civil Engineers, pp. 337-386.)

Terzaghi, K. (1943) Theoretical Soil Mechanics, John Wiley and Sons, New York ISBN 0-471-85305-4.

Wu, T.H. (1960) Geotechnical properties of glacial lake clays. Trans Amer. Soc. Civ. Engrs, 125: 1: 994.

Εργαλείο μελέτης ευστάθειας πρανών

Documents

Transcript of Εργαλείο μελέτης ευστάθειας πρανών