1

Прикладная Логика, краткий конспект

Алфавит  ..............................................................................................................................................................................  8  Терм,  Формула,  Литерал  ...........................................................................................................................................  9  Дизъюнкт  .......................................................................................................................................................................  10  Хорновский  дизъюнкт,  программа  ..................................................................................................................  11  Подстановка,  выражение,  воздействие  подстановки  ...........................................................................  12  Композиция  подстановок,  пример  ..................................................................................................................  13  Унифицируемое  множество;  унификатор;  mgu  .......................................................................................  14  Алгоритм  унификации  ...........................................................................................................................................  15  Теорема  об  унификации.  .......................................................................................................................................  16  

2

Теорема  о  корректности  метода  резолюций.  ............................................................................................  17  Свойство  пересечения  моделей  Эрбрана.  ....................................................................................................  18  Монотонный,  непрерывный  оператор.  .........................................................................................................  19  Наименьшая  неподвижная  точка  оператора.  ............................................................................................  20  Теорема  Тарского  .......................................................................................................................................................  21  Оператор  непосредственного  следствия.  ....................................................................................................  22  Свойство  оператора  непосредственного  следствия  ..............................................................................  23  Универсум  Эрбрана,  База  Эрбрана  ...................................................................................................................  24  Интерпретация  Эрбрана  ........................................................................................................................................  25  Предложение  о  существовании  модели  Эрбрана  ....................................................................................  26  

3

Наименьшая  модель  Эрбрана.  ............................................................................................................................  27  Теорема  о  наименьшей  модели  Эрбрана.  ....................................................................................................  28  SLD-­‐Опровержение  (успешный SLD-вывод)  .................................................................................................  29  неограниченное  опровержение.  .......................................................................................................................  29  Вычислимый  ответ,  корректный  ответ  ........................................................................................................  30  Лемма  о  наиболее  общем  унификаторе.  .......................................................................................................  31  Лемма  о  подъеме.  .......................................................................................................................................................  32  Множество  решений  программы.  Теорема  о  множестве  решений.  ..............................................  33  Метод  резолюций,  SLD-­‐вывод  ............................................................................................................................  34  Правило  резолюции:  ................................................................................................................................................  35  

4

Теорема  о  полноте  резолюций.    .........................................................................................................................  36  Сильная  теорема  о  полноте  метода  резолюций.  .....................................................................................  37  Лемма  о  переключении.  .........................................................................................................................................  38  Правило  выбора  ..........................................................................................................................................................  39  Теорема  о  независимости  правила  вычисления.  ....................................................................................  40  Вычислимость  ч.р.ф.  с  помощью  программ  (Теорема)  ..........................................................................  41  Проблема  отрицания.  ..............................................................................................................................................  42  Правило  CWA  (closed  world  assumption)  .......................................................................................................  43  Cвойства  правила  CWA.    .........................................................................................................................................  44  Отрицание  как  неуспех:  финитно  неуспешное  множество  𝐹𝐹𝐹𝐹  ........................................................  45  

5

Cвойства  финитно  неуспешного  множества.  .............................................................................................  46  Правило  NF𝑃𝑃.  ................................................................................................................................................................  47  финитно  неуспешное  дерево  ..............................................................................................................................  48  множество  финитного  неуспеха  FFS(P).  .......................................................................................................  49  Теорема  характеризации.    ....................................................................................................................................  50  Алфавит,  формула  ℒTA  ...........................................................................................................................................  51  Семантика  языка  ℒTA,  структура  Крипке  ....................................................................................................  52  Истинность  формулы  в  структуре  Крипке  .................................................................................................  53  Логическое  следование,  его  некоторые  свойства.  ..................................................................................  54  общезначимые  формулы  /  определение  .....................................................................................................  55  

6

Основные  общезначимые  формулы  ...............................................................................................................  56  Теорема  о  корректности.  .......................................................................................................................................  57  Вывод  в  темпоральном  пропозициональном  исчислении  𝛴𝛴TA.  .....................................................  58  Выводимая  формула  в  𝛴𝛴TA  ...................................................................................................................................  59  Вывод  в  𝛴𝛴TA  из  множества  формул  ℱ  ............................................................................................................  60  Правила  вывода  ..........................................................................................................................................................  61  Аксиомы  ..........................................................................................................................................................................  62  Теорема  о  дедукции  для  темпорального  исчисления  ..........................................................................  63  теорема  о  замене  ........................................................................................................................................................  64  Непротиворечивые  множества.  .........................................................................................................................  65  

7

Леммы  о  свойствах  непротиворечивых  множеств.    ...............................................................................  66  Отсутствие сильной  полноты  𝛴𝛴TA.  ..................................................................................................................  67  Теорема  о  существовании  модели.  ..................................................................................................................  68  Теорема  о  слабой  полноте  исчисления  𝛴𝛴TA.  ..............................................................................................  69    

8

Алфавит Алфавит - это переменные, константы, функциональные символы, предикатные символы, пропозициональные константы {t,f}, логические связки (¬,⋀,⋁,→,↔), кванторы и вспомогательные символы (,)

9

Терм, Формула, Литерал Терм: 1) переменная и константа являются термами 2) если 𝑡𝑡 , . . . , 𝑡𝑡 - термы, 𝑓𝑓 n-местный функциональный символ, то 𝑓𝑓(𝑡𝑡 , . . . , 𝑡𝑡 ) - терм Основной терм - тот, который не содержит переменных. Формула: 1) если 𝑡𝑡 , . . . , 𝑡𝑡 - термы, 𝑝𝑝 n-местный предикатный символ, то 𝑝𝑝(𝑡𝑡 , . . . , 𝑡𝑡 ) - формула (атом) 2) если A и B - формулы, то ¬𝐴𝐴, (𝐴𝐴⋀𝐵𝐵), 𝐴𝐴⋁𝐵𝐵 , 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 , 𝐴𝐴 ↔ 𝐵𝐵 - формулы (не атомы). 3) 𝐴𝐴 - формула, 𝑥𝑥 - переменная, то ∀𝑥𝑥𝑥𝑥 и ∃𝑥𝑥𝑥𝑥 - формулы. Литерал - это атом или отрицание атома.

10

Дизъюнкт Дизъюнкт - это формула вида ∀𝑥𝑥 . . .∀𝑥𝑥 (ℒ ∨. . .∨ ℒ ), где ℒ - литералы, а 𝑥𝑥 , . . . , 𝑥𝑥 - все переменные, от которых зависят литералы. Дизъюнкт можно представить в эквивалентном виде

(∀𝑥𝑥 . . .∀𝑥𝑥 )((𝐵𝐵 ∧. . .∧ 𝐵𝐵 ) → (𝐴𝐴 ∨. . .∨ 𝐴𝐴 )) и мы записываем это в виде

𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 ← 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 где 𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 - это дизъюнкция атомов 𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 , а 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 - это конъюнкция атомов (так решили обозначать). Вспомним, что пуская дизъюнкция - это 'false'. Пустая конъюнкция - это 'true'.

11

Хорновский дизъюнкт, программа Используя обозначения с предыдущей страницы, имеем дизъюнкт

𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 ← 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 в случае 𝑘𝑘 ≤ 1 дизъюнкт называется хорновским при 𝑘𝑘 = 1, 𝑙𝑙 > 0, выражение имеет вид 𝐴𝐴 ← 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 и называется командой при 𝑘𝑘 = 1, 𝑙𝑙 = 0, имеет вид 𝐴𝐴 ← , называется утверждением или фактом при 𝑙𝑙 > 0, 𝑘𝑘 = 0, имеет вид ← 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 и называется вопросом Программа - конечное непустое множество команд.

12

Подстановка, выражение, воздействие подстановки Подстановка - отображение конечного множества переменных 𝑥𝑥 , . . . , 𝑥𝑥 в множество термов 𝑡𝑡 , . . . , 𝑡𝑡 , причем все переменные 𝑥𝑥 , . . . , 𝑥𝑥 различны и 𝑡𝑡 ≢ 𝑥𝑥 . Основная подстановка - та, у которой все термы основные (не содержат переменных). Выражение - терм, конъюнкция или дизъюнкция литералов Простое выражение - терм или атом Если 𝐸𝐸 - выражение, то 𝐸𝐸𝐸𝐸 - результат воздействия подстановки 𝜃𝜃 на 𝐸𝐸.

13

Композиция подстановок, пример Пусть 𝜃𝜃, 𝜂𝜂 - подстановки. 𝜃𝜃 = {𝑥𝑥 𝑡𝑡 , . . . , 𝑥𝑥 𝑡𝑡 } 𝜂𝜂 = {𝑦𝑦 𝑠𝑠 , . . . , 𝑦𝑦 𝑠𝑠 } Композиция 𝜃𝜃𝜃𝜃 получается из множества {𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝜂𝜂 , . . . , 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝜂𝜂 , 𝑦𝑦 𝑠𝑠 , . . . , 𝑦𝑦 𝑠𝑠 } удалением всех 𝑥𝑥 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦 𝑠𝑠 если 𝑦𝑦 ∈ dom  𝜃𝜃, где dom  𝜃𝜃 = {𝑥𝑥 , . . . , 𝑥𝑥 }. Подстановка 𝜃𝜃 называется более общей, чем 𝜂𝜂, если существует 𝛾𝛾, такое, что 𝜂𝜂 = 𝜃𝜃𝜃𝜃. Пример: 𝜃𝜃 = {𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑦𝑦) , 𝑦𝑦 𝑧𝑧} 𝜂𝜂 = {𝑥𝑥 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 , 𝑧𝑧 𝑦𝑦} 𝜃𝜃𝜃𝜃 = {𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑏𝑏) , 𝑦𝑦 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 , 𝑧𝑧 𝑦𝑦} = {𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑏𝑏) , 𝑧𝑧 𝑦𝑦}

14

Унифицируемое множество; унификатор; mgu Простое выражение - терм или атом. Выражение - терм, конъюнкция или дизъюнкция литералов. Пусть A,B - простые выражение. Они называются унифицируемыми, если существует 𝜃𝜃, такое что 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵. Тогда подстановка 𝜃𝜃 называется унификатором. Множество выражений S называется унифицируемым, если существует такое 𝜃𝜃, что 𝑆𝑆𝑆𝑆 - одноэлементно. Унификатор 𝜃𝜃 выражений A, B, называется наиболее общим (mgu, most general unifier) если для любого другого унификатора 𝜂𝜂 выражений A,B, существует подстановка 𝜌𝜌 такая, что 𝜂𝜂 = 𝜃𝜃𝜃𝜃.

15

Алгоритм унификации S - конечное множество простых выражений (термов или атомов). Множество разногласий d(S) определим так: зафиксируем самую левую позицию, с которой выражения в S начинают различаться, затем выбираем из каждого выражения в S подвыражения, начинающиеся с этой позиции. Все такие подвыражения образуют мн-во разногласий. Алгоритм: 1) Полагаем k=0, 𝜎𝜎 = 𝜖𝜖. 2) Пусть 𝜎𝜎 найдена. Если 𝑆𝑆 := Sσ одноэлементно, то STOP и выдаем: "  𝜎𝜎 - mgu (most general unifier) для S." В противном случае находим 𝑑𝑑  (𝑆𝑆 ), обозначаем его 𝐷𝐷 и переходим на шаг 3. 3) Если в 𝐷𝐷 существует такие переменные v и терм t, что v не входит в t, то полагаем 𝜎𝜎 := 𝜎𝜎{𝑣𝑣 𝑡𝑡}, 𝑘𝑘:= 𝑘𝑘 + 1 и переходим на шаг 2. В противном случае STOP и выдаем "S не унифицируемо".

16

Теорема об унификации. Пусть S- конечное множество простых выражений. Если S унифицируемо, то алгоритм унификации закончит работу и выдаст mgu (most general unifier) для S. Если S не унифицируемо, то алгоритм закончит работу и выдаст сообщение об этом.

17

Теорема о корректности метода резолюций. Пусть P - программа, N - вопрос. Тогда каждый вычислимый ответ для 𝑃𝑃⋃{𝑁𝑁} является корректным для 𝑃𝑃⋃{𝑁𝑁}.

18

Свойство пересечения моделей Эрбрана. Пусть P - программа, {𝑀𝑀 } ∈ - непустое семейтсво моделей Эрбрана для программы P, тогда 𝑀𝑀 = 𝑀𝑀

∈ - тоже модель Эрбрана для P.

19

Монотонный, непрерывный оператор. Пусть 𝑀𝑀 - произвольное множество. Рассмотрим оператор 𝑇𝑇:𝒫𝒫(𝑀𝑀) → 𝒫𝒫(𝑀𝑀). Оператор 𝑇𝑇 называется монотонным, если 𝑋𝑋 ⊆ 𝑌𝑌⟹ 𝑇𝑇(𝑋𝑋) ⊆ 𝑇𝑇(𝑌𝑌). Оператор 𝑇𝑇 называется непрерывным, если 𝑋𝑋 ⊆ 𝑋𝑋 ⊆ 𝑋𝑋 ⊆. . .⟹ 𝑇𝑇  ( 𝑋𝑋 ) ⊆ 𝑇𝑇  (𝑋𝑋 ) (Существуют и другие, эквивалентные определения непрерывного оператора.)

20

Наименьшая неподвижная точка оператора. Пусть имеется оператор 𝑇𝑇:𝒫𝒫(𝑀𝑀) → 𝒫𝒫(𝑀𝑀). Тогда 𝑋𝑋 ∈ 𝒫𝒫(𝑀𝑀) называется неподвижной точкой оператора T, если 𝑇𝑇(𝑋𝑋) = 𝑋𝑋. Будем говорить, что 𝑋𝑋 ∈ 𝒫𝒫(𝑀𝑀) является наименьшей неподвижной точкой, если для всех неподвжных точек Y оператора T справедливо 𝑋𝑋 ≤ 𝑌𝑌.

21

Теорема Тарского Пусть 𝑀𝑀 - произвольное множество. Любой монотонный непрерывный оператор 𝑇𝑇:𝒫𝒫(𝑀𝑀) → 𝒫𝒫(𝑀𝑀) имеет наименьшую неподвижную точку

𝑇𝑇 ∅  , где 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇  (𝑇𝑇  (. . .𝑇𝑇  (∅))).

22

Оператор непосредственного следствия. Сигнатура - множество констант, предикатных символов и функциональных символов. Пусть P - программа, которой соответствуют сигнатура 𝛴𝛴 и база Эрбрана 𝐵𝐵 . Оператор 𝑇𝑇 :𝒫𝒫(𝐵𝐵 ) → 𝒫𝒫(𝐵𝐵 ) называется оператором непосредственного следствия, если при 𝐼𝐼 ⊆ 𝐵𝐵 выполнено условие: 𝐴𝐴 ∈ 𝑇𝑇 (𝐼𝐼)⇔ (∃𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 ∈ 𝑃𝑃) 𝐴𝐴 ← 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 ∈ ground(𝑃𝑃); 𝐼𝐼 ⊨ (𝐵𝐵 ∧. . .∧ 𝐵𝐵 )

Примечания 1) ground(𝑃𝑃) - множество основных примеров команд из P 2) для конкретной базы Эрбрана 𝐼𝐼, условие 𝐼𝐼 ⊨ (𝐵𝐵 ∧. . .∧ 𝐵𝐵 ) означает, что {𝐵𝐵 ∧. . .∧ 𝐵𝐵 } ⊆ 𝐼𝐼.

23

Свойство оператора непосредственного следствия 1) Монотонность: если 𝐼𝐼 ⊆ 𝐼𝐼 , то 𝑇𝑇 (𝐼𝐼 ) ⊆ 𝑇𝑇 (𝐼𝐼 ) 2) Непрерывность 3) Для любой программы P и интерпретации Эрбрана 𝐼𝐼 выполнено 𝐼𝐼 ⊨ 𝑃𝑃 ⇔ 𝑇𝑇 (𝐼𝐼) ⊆ 𝐼𝐼.

24

Универсум Эрбрана, База Эрбрана Пусть 𝛴𝛴 - фиксированная сигнатура, состоящая из констант, функциональных символов и предикатных символов. Универсум Эрбрана 𝑈𝑈 - это множество основных термов сигнатуры 𝛴𝛴. База Эрбрана - 𝐵𝐵 - это множество основных атомов 𝛴𝛴.

25

Интерпретация Эрбрана Интерпретация Эрбрана I - это алгебраическая система < 𝑈𝑈 ,𝛴𝛴 > такая, что: 1) каждой константе 𝑎𝑎 ∈ 𝛴𝛴 сопоставляется она сама в 𝑈𝑈 2) каждому функциональному символу 𝑓𝑓 ∈ 𝛴𝛴 сопоставляется отображение (𝑈𝑈 ) → 𝑈𝑈 такое: (𝑡𝑡 , . . . , 𝑡𝑡 ) → 𝑓𝑓(𝑡𝑡 , . . . , 𝑡𝑡 ) 3) для любого m-арного предикатного символа 𝑝𝑝 ∈ 𝛴𝛴 определено отображение (𝑈𝑈 ) → {true, false}.

26

Предложение о существовании модели Эрбрана Пусть S - выполнимое множество хорновских дизъюнктов. Тогда S имеет модель Эрбрана.

27

Наименьшая модель Эрбрана. Ставим в соответствие интерпретации Эрбрана множество {𝐴𝐴 ∈ 𝐵𝐵 |𝐼𝐼 ⊨ 𝐴𝐴} Введем отношение включения следующим образом:

𝐼𝐼 ⊆ 𝐼𝐼 ⟺ {𝐴𝐴 ∈ 𝐵𝐵 |𝐼𝐼 ⊨ 𝐴𝐴} ⊆ {𝐴𝐴 ∈ 𝐵𝐵 |𝐼𝐼 ⊨ 𝐴𝐴} Пусть S - множество предложений сигнатуры 𝛴𝛴. Модель Эрбрана 𝐼𝐼 для S называется наименьшей моделью Эрбрана для S, если она содержится в любой другой модели Эрбрана для S. Наименьшая модель Эрбрана для программы P - это множество всех основных атомов, которые логически следуют из P.

28

Теорема о наименьшей модели Эрбрана. Пусть P - программа. Тогда P имеет наименьшую модель Эрбрана 𝑀𝑀 , причем: а)  𝑀𝑀 есть пересечение моделей Эрбрана для P б) 𝑀𝑀 есть множество всех основных атомов 𝐴𝐴 ∈ 𝐵𝐵 таких, что из P логически следует A, то есть 𝑀𝑀 = {𝐴𝐴 ∈ 𝐵𝐵 |𝑃𝑃 ⊨ 𝐴𝐴} в)  𝑀𝑀 - неподвижная точка 𝑇𝑇 , то есть 𝑀𝑀 = 𝑇𝑇 (∅) г)  𝑀𝑀 - наименьшая неподвижная точка 𝑇𝑇

29

SLD-Опровержение (успешный SLD-вывод) SLD-опровержением для 𝑃𝑃⋃{𝑁𝑁} называется конечный SLD-вывод, имеющий противоречие ( ) в качестве последнего вопроса в выводе. SLD-вывод называется неуспешным, если он конечен и оканчивается вопросом, цели которого не унифицируются с заключениями правил из P. неограниченное опровержение. Неограниченный SLD-вывод - это SLD-вывод, в котром не требуется, чтобы 𝜃𝜃 , 𝜃𝜃 , . .. были mgu (most general unifier).

30

Вычислимый ответ, корректный ответ Вычислимый ответ для программы P и вопроса N (← 𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 ) - это подстановка 𝜃𝜃, полученная ограничением композиции mgu 𝜃𝜃 . . . 𝜃𝜃 , учавствующих в SLD-опровержении для программы P и вопроса N на переменные вопроса N. Корректный ответ для программы P и вопроса N (← 𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 ) - это подстановка 𝜃𝜃 такая, что 𝑃𝑃 ⊨ ∀(𝐴𝐴 ∧. . .∧ 𝐴𝐴 )𝜃𝜃.

31

Лемма о наиболее общем унификаторе. Пусть P-программа, G-вопрос и 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} имеет неограниченное опровержение. Тогда 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} имеет опровержение той же длины, а если 𝜃𝜃 , . . . , 𝜃𝜃 унификаторы из данного неограниченного опровержения и 𝜃𝜃 , . . . , 𝜃𝜃 - mgu (наиболее общие унификаторы) из нового опровержения, то существует такая подстановка 𝛾𝛾, что 𝜃𝜃 . . . 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃 . . . 𝜃𝜃 𝛾𝛾.

32

Лемма о подъеме. Пусть P - программа, G - вопрос и 𝜃𝜃-подстановка. Пусть также существует опровержение для 𝑃𝑃⋃{Gθ}, такое что переменные в используемых командах/фактах отличны от переменных в 𝜃𝜃 и 𝐺𝐺. Тогда сущесвует SLD-опровержение для 𝑃𝑃⋃{G} той же длины, и если 𝜃𝜃 , . . . , 𝜃𝜃 - mgu из опровержения 𝑃𝑃⋃{Gθ} и 𝜃𝜃 , . . . , 𝜃𝜃 - mgu из опровержения 𝑃𝑃⋃{G}, то существует такая подстановка 𝛾𝛾, что θθ . . . 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃 . . . 𝜃𝜃 𝛾𝛾.

33

Множество решений программы. Теорема о множестве решений. Основной атом 𝐴𝐴 ∈ 𝐵𝐵 называется решением программы P, если 𝑃𝑃⋃{← 𝐴𝐴} имеет опровержение. Множество решений программы P - множество таких 𝐴𝐴 ∈ 𝐵𝐵 , что 𝑃𝑃⋃{← 𝐴𝐴} имеет опровержение. Теорема Множество решений программы равно ее наименьшей модели Эрбрана.

34

Метод резолюций, SLD-вывод Вопрос N - это дизъюнкт вида ⟵ 𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 Правило C - это дизъюнкт вида 𝐴𝐴⟵ 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 Факт: 𝐴𝐴⟵ Вопрос N' выводится из вопроса N при помощи правила C и mgu 𝜃𝜃, если 1)  𝐴𝐴 𝜃𝜃 ≡ 𝐴𝐴𝐴𝐴 для некоторого i 2) N' имеет вид ⟵ (𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 ,𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 )𝜃𝜃 (последнее называется резольвентой) SLD-вывод для 𝑃𝑃⋃{𝑁𝑁} - это конечная или бесконечная последовательность вопросов 𝐺𝐺 , команд 𝐶𝐶 и mgu 𝜃𝜃 таких, что каждый 𝐺𝐺 является резольвентой 𝐺𝐺 и 𝐶𝐶 с помощью 𝜃𝜃 .

35

Правило резолюции: Учитывая обозначения: а)Правило C - это дизъюнкт вида 𝐴𝐴⟵ 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 б)  𝐴𝐴 𝜃𝜃 ≡ 𝐴𝐴𝐴𝐴 для некоторого i, правило резолющии можно записать в виде

⟵ 𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 ,          𝐴𝐴⟵ 𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵⟵ (𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 , . . . ,𝐵𝐵 ,𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 )𝜃𝜃

36

Теорема о полноте резолюций. Пусть P - программа, G - вопрос. Если 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} невыполнимо, то для него существует опровержение. Альтернативная формулировка: Для каждого конкретного ответа 𝜃𝜃 для 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} существует вычислимый ответ 𝜎𝜎 для 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} и ∃𝛾𝛾 такая, что 𝜃𝜃 и σγ имеют одинаковый эффект на все переменные G.

37

Сильная теорема о полноте метода резолюций. Пусть P - программа, G - вопрос, R - правило выбора. Тогда для каждого корректного ответа 𝜃𝜃 для 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} существует R-вычислимый ответ 𝜎𝜎 для 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} и подстановка 𝛾𝛾 такая, что 𝜃𝜃 и 𝜎𝜎𝜎𝜎 имеют одинаковый эффект на переменные G. Доказательство основано на следующей теореме: Пусть P - программа, G - вопрос. Предположим, что существует SLD-опровержение 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} с вычислимым ответом 𝜎𝜎. Тогда для любого правила выбора R существует SLD-опровержение 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} с правилом R и R-вычислимым ответом 𝜎𝜎′ таким, что 𝐺𝐺𝐺𝐺′ - это вариант 𝐺𝐺𝐺𝐺.

38

Лемма о переключении.

39

Правило выбора Правило выбора R - функция из множества вопросов в множество атомов, такая, что значение функции на вопросе - это атом, который выбирается для унификации в правиле резолюции. (Способ, которым мы выбираем что с чем унифицировать.)

40

Теорема о независимости правила вычисления. Пусть P - программа, G - вопрос. Предположим, что имеется опровержение для 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} с вычислимым ответом 𝜎𝜎. Тогда, для любого правила выбора R существует опровержение 𝑃𝑃⋃{𝐺𝐺} с правилом R и вычислимым ответом 𝜎𝜎′ таким, что 𝐺𝐺𝐺𝐺′ - вариант 𝐺𝐺𝐺𝐺.

41

Вычислимость ч.р.ф. с помощью программ (Теорема) Пусть f - n-местная ч.р.ф. Тогда существует программа 𝑃𝑃 и (n+1)-местный предикат 𝑝𝑝 такие, что все вычислимые ответы для (программы и вопроса) 𝑃𝑃 ⋃{← 𝑝𝑝 (𝑠𝑠 (0), . . . , 𝑠𝑠 (0), 𝑥𝑥)} имеют вид {𝑥𝑥 𝑠𝑠 (0)} и, для всех 𝑘𝑘 , . . . , 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ∈ ℕ, выполнено 𝑓𝑓  (𝑘𝑘 , . . . , 𝑘𝑘 ) = 𝑘𝑘⟺ ({𝑥𝑥 𝑠𝑠 (0)} - вычислимый ответ для 𝑃𝑃 ⋃{← 𝑝𝑝 (𝑠𝑠 (0), . . . , 𝑠𝑠 (0), 𝑥𝑥)}) Примечание: здесь s - функция следования, т.е. число 𝑘𝑘 ∈ ℤ представляется как 𝑠𝑠 (0). Теорема доказывается индукцией по числу применения операций композиции, примитивной рекурсии и минимизации.

42

Проблема отрицания.

43

Правило CWA (closed world assumption)

44

Cвойства правила CWA.

45

Отрицание как неуспех: финитно неуспешное множество 𝐹𝐹

46

Cвойства финитно неуспешного множества.

47

Правило NF .

48

финитно неуспешное дерево

49

множество финитного неуспеха FFS(P).

50

Теорема характеризации.

51

Алфавит, формула ℒ

52

Семантика языка ℒ , структура Крипке

53

Истинность формулы в структуре Крипке

54

Логическое следование, его некоторые свойства.

55

общезначимые формулы / определение

56

Основные общезначимые формулы

57

Теорема о корректности. Пусть 𝐴𝐴 - формула, ℱ - множество формул. Если ℱ ⊢ 𝐴𝐴, то ℱ ⊩ 𝐴𝐴. В частности, если ⊢ 𝐴𝐴, то ⊩ 𝐴𝐴.

58

Вывод в темпоральном пропозициональном исчислении 𝛴𝛴 . Опр. Вывод в 𝛴𝛴 - это последовательность формул 𝐴𝐴 , . . . ,𝐴𝐴 , каждая из которых либо является аксиомой, либо непосредственным следствием предыдущих формул по правилам вывода.

59

Выводимая формула в 𝛴𝛴 Опр. Формула A выводима в 𝛴𝛴 , если существует вывод, оканчивающийся формулой A.

60

Вывод в 𝛴𝛴 из множества формул ℱ Опр. Вывод в 𝛴𝛴 из множества формул ℱ - это последовательность формул, где каждая формула - либо аксиома, либо принадлежит множеству ℱ, либо получена из предыдущих по правилам вывода. Опр. A выводима из ℱ, если существует вывод из ℱ, оканчивающийся A. (ℱ ⊢ 𝐴𝐴)

61

Правила вывода

62

Аксиомы

63

Теорема о дедукции для темпорального исчисления

64

теорема о замене

65

Непротиворечивые множества.

66

Леммы о свойствах непротиворечивых множеств.

----------

67

Отсутствие сильной полноты 𝛴𝛴 .

68

Теорема о существовании модели. Любое конечное непротиворечивое множество формул является выполнимым.

69

Теорема о слабой полноте исчисления 𝛴𝛴 . Если ⊩ 𝐴𝐴, то ⊢ 𝐴𝐴.