Логика - скрипте

SIMBOLICKA LOGIKA- prirucnik-

Berislav arnic

http://www.ffst.hr/~logika/pilot

Pregled sadraja

Predgovor vii

1 Atomarne recenice 11.1 Predikati i individualne konstante 11.2 Ime i predmet 21.3 Broj mjesta u predikatu. 31.4 Pravo-pisani zapis atomarne recenice 41.5 Ontoloki design. 41.6 Atomarne recenice: podsjetnik 61.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga reda 61.8 Termi 81.9 Atomarne recenice u teoriji skupova i aritmetici 9

2 Identitet 122.1 Dokazi u kojima se koristi simbol za identitet 122.2 Refleksivnost identiteta 132.3 Leibnizov zakon: nerazlucivost istovjetnog 142.4 Pravila za simbol identiteta 152.5 Identitet u filozofskoj logici 172.6 Za zapamtiti 192.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacija 19

3 Propozicijska logika i teorija dokaza 213.1 Aksiomatski sustav 213.2 eljena svojstva aksiomatskog sustava 233.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 363.4 Prirodna dedukcija 41

4 Pouzdanost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku 504.1 Tautoloka posljedica 504.2 Pouzdanost 514.3 Dokaz pouzdanosti 524.4 Potpunost 584.5 Filozofija logike 59

5 Uvod u kvantifikaciju 61

iii

iv Pregled sadraja

5.1 Kvantifikacija u prirodnom jeziku 615.2 Varijable i atomarne ispravno sastavljene formule 635.3 Simboli za kvantifikatore 655.4 Isf-e i recenice 665.5 Semantika kvantifikatora 675.6 Cetiri aristotelovska oblika 705.7 Kvantifikatori i funkcijski simboli 72

6 Logika kvantifikatora 746.1 Tautologije i kvantifikacija 74

7 Valjanosti i posljedice prvog reda 797.1 Metoda zamjene predikata 807.2 Ekvivalencije prvoga reda i DeMorgan-ovi zakoni 817.3 Jo neke ekvivalencije s kvantifikatorima 85

8 Viestruka kvantifikacija 878.1 Viestruka primjena jednog kvantifikatora 878.2 Mjeoviti kvantifikatori 898.3 Prijevod korak-po-korak 898.4 Preneksna forma 93

9 Metode dokaza za kvantifikatore 1009.1 Valjani koraci s kvantifikatorima 1009.2 Dokazi s raznorodnim kvantifikatorima 107

10 Formalni dokazi i kvantifikatori 11210.1 Pravila za univerzalni kvantifikator 11210.2 Pravila za egzistencijalni kvantifikator 11310.3 Poddokazi koji opravdavaju dokaze ili recenice koje

opravdavaju druge recenice? 115

11 Istinitosno stablo 11611.1 Pravila za kvantifikatore i predikat identiteta 116

12 Numericka kvantifikacija 12012.1 Barem n predmeta 12012.2 Najvie n predmeta 12212.3 Tocno n predmeta 12412.4 to je dovoljno za znati iskazati numericke tvrdnje? 127

13 Odredeni opisi 131

Pregled sadraja v

13.1 Taj 13113.2 Oba 13213.3 Presupozicije 133

14 Logika generalizirane kvantifikacije 13714.1 Logicka svojstva determinatora 13714.2 Logicka gramatika 140

15 Teorija skupova 14915.1 Osnovni rjecnik teorije skupova 14915.2 Jezik za razlicite vrste predmeta 15015.3 Dva osnovna aksioma naivne teorije skupova 15015.4 Jednoclani skupovi, prazni skup, podskupovi 15315.5 Presjek i unija 15615.6 Digresija: konzistentnost 159

16 Skupovi skupova 16216.1 Uredeni parovi 16216.2 Modeliranje relacija u teoriji skupova 16416.3 Svojstva za odnose 16516.4 Partitivni skup 17216.5 Russellov paradoks 17616.6 Zermelo Fraenkel teorija skupova 179

17 Matematicka indukcija 18817.1 Malo povijesti "nematematicke" indukcije 18817.2 Kako matematicka indukcija moe opravdati opcenitu

konkluziju koja se odnosi na beskonacan broj slucajeva? 18917.3 Induktivni dokaz 190

18 Potpunost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku 19518.1 Dodjelivanje istinitosne vrijednosti i istinitosne tablice 19518.2 Potpunost propozicijske logike 19718.3 Potpunost formalno potpunog skupa recenica 203

19 Strukture prvog reda 21219.1 Tautoloka posljedica 21219.2 Posljedica prvoga reda 21219.3 Struktura prvoga reda 214

20 Istina i zadovoljavanje 217

vi Pregled sadraja

20.1 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama 21720.2 Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanju vrijednosti 221

21 Pouzdanost logike prvoga reda 225

22 Potpunost i nepotpunost 22822.1 Teorem potpunosti za logiku prvog reda 22822.2 Dodavanje konstanti koje svjedoce 23122.3 Henkinova teorija 23222.4 Eliminacijski teorem 23622.5 Henkinova konstrukcija 240

23 Lwenheim-Skolemov teorem 24923.1 Potrebni dopunski pojmovi 24923.2 Skolemov paradoks 25323.3 Teorem kompaktnosti 254

24 Gdelov teorem nepotpunosti 25824.1 Kodiranje 25924.2 Reprezentacija 25924.3 Lema samoreferencije (dijagonalna lema) 264

25 Turingovi strojevi 26825.1 Churchova teza 26825.2 Opis Turingovog stroja 26925.3 Neodlucivost logike prvoga reda 277

26 Osnovne ideje modalne logike 27926.1 Viestruko vrednovanje 27926.2 Obiljeena prirodna dedukcija 286

27 Zadaci 29127.1 Literatura za pripremu ispita 313

PredgovorSadraj ovog prirucnika vecim dijelom prati sadraj sljedecih udbenika (ponavedenim poglavljima):

1. Jon Barwise i John Etchemendy (2000) Language, Proof and Logic. CSLIPublications. Center for the study of Language and Information StanfordUniversity. Seven Bridges Press. New YorkLondon.I Poglavlja: 1, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

2. George S. Boolos i Richard C. Jeffrey(1989) Computability and Logic.CambridgeUniversity Press.I Poglavlja: 3, 5, 10.

3. L.T.F. Gamut [J. van Benthem, J. Groenendijk, D. de Jongh, M. Stokof, H.Verkuyl] (1991) Logic, Language and Meaning. Volume II: Intensional Logicand Logical Grammar. The University of Chicago Press. ChicagoLondon.I Poglavlje: 2.

Sve pogreke treba pripisati autoru ovog prirucnika, a ne autorima udbenikaciji se sadraj prati.

Vjebe logickih tehnika ostvaruju se uz primjenu interaktivnosti:

Graditelji i provjerivaci dokaza za sustav prirodne dedukcijeI U Fitch stilu:

G. Allwein, D. Barker-Plummer, A. Liu: Fitch (software koji pratiLanguage, Proof and Logic)

I U Lemmon stilu: Christian Gottschal: graditelj dokaza (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/konstruktor.htm) Za usvajanje jezika logike prvog reda:I G. Allwein, D. Barker-Plummer, A. Liu: Tarskis World (software

koji prati Language, Proof and Logic) Za gradnju istinitosnih stabala:I Wolfgang Schwarz: automatski graditelj (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/wostablo/index.html) Nik Roberts: Tableau 3 (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/stablo/konstrukcija.htm) Za gradnju dokaza u teoriji skupova:I Daniel Velleman: "dizajner" dokaza (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/skupovi/dizajner.htm) Za Turingove strojeve:I Ken Schweller: Turingov stroj (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/turing/turing.htm)

vii

viii Predgovor

Za propozicijsku modalnu logiku:I Jan Jaspars: modalni kalkulator (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/modal/modalni.htm)

Ostale logicke interaktivnosti i nastavni sadraji dostupni su na autorovimtematskim stranicama INTERAKTIVNA LOGIKA (http://www.vusst.hr/~logika/pilot)

Poglavlje 1Atomarne recenice

1.1 Predikati i individualne konstanteAtomarne recenice su najjednostavnije recenice u logickom smislu. U tipicnomsu slucaju sastavljene od predikata i imena. U negativnom smislu, mogli bismoih odrediti kao recenice koje ne sadre niti jedan logicki simbol.

Primjer 1.1 Logicku strukturu recenica Albert cijeni samoga sebe i Albert je stu-dent prikazujemo kao Cijeni(albert, albert) i Student(albert). Rijec istaknutu ve-likim pocetnim slovom nazivamo predikatom. Imena upisujemo unutar zagrada. Zarazliku od gramaticke, logicka konvencija nalae malo pocetno slovo.

U jeziku logike prvoga reda imena se nazivaju individualnim konstantama.Glavna razlika lei u cinjenici da u prirodnom jeziku isto ime moe referirati narazlicite predmete ovisno o kontekstu, dok u logici prvoga reda jedna individu-alna konstanta referira uvijek na isti na predmet. Za razliku od prirodnog jezika,jezik logike prvoga reda neovisan je o kontekstu.

Primjer 1.2 Obavijest sadranu u tekstu Naa administrativna tajnica i na sisteminenjer imaju isto ime. I ona i on zovu se "Doris". ne moemo iskazati kaoAdministrativnaTajnica(Doris)SistemInzenjer(Doris). Jezik LPR zahtijeva da napravimo razliku izmedu istih imenarazlicitih osoba. To bismo mogli uciniti pomocu dodatnih oznaka, na primjer ovako:AdministrativnaTajnica(Doris1) SistemInzenjer(Doris2).

Primjer 1.3 Recenice Albert ne cijeni samoga sebe, Albert ne cijeni nikoga osimsamoga sebe i Albert je zaposleni student nisu atomarne. Prikaz njihove logicke struk-ture zahtijeva uvodenje dodatnih simbola koji nisu ni predikati niti imena. Albert necijeni samoga sebe formaliziramo kao negaciju atomarne recenice,

Cijeni(albert, albert).

Za Albert ne cijeni nikoga osim samoga sebe treba nam konjunkcija, kvantifikacija isloeni uvjet,

Cijeni(albert, albert) x(Cijeni(albert, x) x = albert).

Albert je zaposleni student je konjunkcija dviju atomarnih recenica Student(albert)Zaposlen(albert).

1

2 Poglavlje 1 Atomarne recenice

1.2 Ime i predmetVlastita imena predstavljaju vrstu individualnih konstanti. Individualne kon-stante su simboli koje koristimo da bismo pokazali na neki odredeni pojedinacnipredmet. Moemo takoder kazati da individualne konstante imenuju ili referirajuna odredene predmete. One su svojevrsna logicka imena.

Primjer 1.4 Vlastita imenice i neke zamjenice u prirodnom jeziku obavljaju ulogureferiranja. U recenicama To je izvrsno, Ona je glazbenica, Bertrand Russell je filo-zof i Danas je ponedjeljak ta uloga redom pripada pokaznoj zamjenici, osobnoj zam-jenici, vlastitoj imenici i prilogu, Izvrsno(to),Glazbenica(ona), Filozof(bertrand_russell),Ponedjeljak(danas). Nadznak * oznacava izraze kod kojih je veza sa stvarnimsvijetom dio njihovog doslovnog znacenja. Takvi se pokazni izrazi nazivaju indek-sikalima, indeksickim izrazima ili indeksalnim izrazima.

Primjer 1.5 U recenici Ja sam ovdje sada nalazimo tri indeksikala, tri izraza kojebismo mogli shvatiti kao individualne konstante: NalaziSe(ja, ovdje, sada).

Primjer 1.6 Ne-primjeri. U recenici To su studenti filozofije! pokaznu zamjenicuto ne moramo shvatiti kao individualnu konstantu: x(NalaziSe(x, ovdje) StudentF ilozofije(x)),tj. svaka osoba koja je ovdje jest student filozofije.

U logici prvog reda:Svaka individualna konstanta imenuje.Svaka individualna konstanta imenuje tocno jedan postojeci predmet.Predmet moe imati vie imena.Predmet ne mora imati ime.

Primjer 1.7 Neki realni brojevi nemaju ime1.

1 Skup realnih brojeva nije prebrojiv, to jest, ne postoji procedura koja omogucuje da se pronadesvaki pojedini realni broj. Za racionalne brojeve postoji postupak prebrojavanja. Racionalnebrojeve treba postaviti u dvostruki beskonacni poredak na ovaj nacin:

0/1 1/1 2/1 3/1 ...0/2 1/2 2/2 3/2 ...0/3 1/3 2/3 3/3 ...0/4 1/4 2/4 3/4 ...

Zatim ih se postavi u niz po dijagonalnom postupku izbrajanja:

. . % .% ....

1.3 Broj mjesta u predikatu. 3

1.3 Broj mjesta u predikatu.Predikatni simboli iskazuju neko svojstvo predmeta ili odnos izmedu predmeta.

U recenici a je izmedu b i c nalazimo tri logicka subjekta. Zato kaemoda je predikat Izmedju(_, _, _) tro-mjesni predikat.

Mjesnost predikata oznacava broj pojava individualnih konstanti potrebnihda se on upotpuni, broj pojava imena potreban da se od toga predikata saciniatomarna recenica.

Primjer 1.8 Jednomjesni predikat: Student(_). Dvomjesni: Cijeni(_, _). Trom-jesni: Izmedju(_, _, _). Cetveromjesni npr. Preporucuje([tko], [koga], [kome], [zasto]).

Imaju li pridjevi i imenice slicno ili razlicito logicko ponaanje? Pridjevidolaze uz imenice. No, pridjevi i imenice mogu imati jednaku logicku ulogu: ipridjevi i opce imenice mogu iskazati uvjete koje netko ili neto moe ispunja-vati.

Primjer 1.9 Bertrand Russell je bio britanski filozof moemo u jednom od tumacenjapromatrati kao:

Filozof(bertrand_russell) Britanac(bertrand_russell)

Nekad pridjevi ne dodaju novi uvjet vec ogranicavaju uvjet zadan s imeni-com.

Potom se uklone brojevi ciji se duplikat vec pojavio u nizu. Na kraju se pokae da se dobiveni nizmoe postaviti u odnos 1 za 1 s prirodnim brojevima:

Q 0/1 1/1 1/2 2/1 3/1 1/3 ...N 1 2 3 4 5 6 ...

Georg Cantor (1845-1918) pronaao je dokaz da skup realnih brojeva nije iste velicine kao skupprirodnih brojeva. Pretpostavimo suprotno. Po pretpostavci, moguce je postaviti realne brojeveu niz tako da prvi medu njima odgovara prvom prirodnom broju a n-ti realni - n-tom prirodnombroju. Za tu svrhu neka se svaki realni broj predstavi kao beskonacni decimalni broj. Na primjer,1/4 se predstavlja ne kao 0, 25 nego kao 0, 24999... Radi jednostavnosti ogranicimo se na realnebrojeve izmedu 0 i 1. Neka su svi takvi brojevi posloeni u niz

0, a1a2a3...0, b1b2b3...0, c1c2c3......

Sada je lako pronaci pravilo zamjenjivanja decimala koje ce dati broj koji se ne javlja u nizu. Naprimjer, neka se takav broj napie po sljedecem pravilu na prvom decimalnom mjestu on ima bilokoji broj osim a1, 0 ili 9, na drugom mjestu on ima bilo koji broj osim b2, 0 ili 9, na trecem - bilokoji broj osim c3, 0 ili 9. Na taj nacin dolazimo do broja koji se razlikuje od bilo kojeg broja unizu. Time je osporena pretpostavka da se svi realni brojevi mogu postaviti u niz kojega moemopostaviti u korelaciju s prirodnim brojevima.


Primjer 1.10 (i)Bertrand Russell je bio dobar filozof izvorni govornik nece razum-jeti kao

Filozof(bertrand_russell) Dobar(bertrand_russell)

vec kao DobarFilozof(bertrand_russell), (ii) recenicu Dumbo je mali slon ne for-maliziramo kao

Slon(dumbo) Malen(dumbo)

vec kaoMalenSlon(dumbo).

Broj mjesta u nekom predikatu odredujemo polazeci od nekog analitickogstajalita. U analizi recenice Albert cijeni samoga sebe moemo se odluciti zajednomjesni predikat, CijeniAlbert(_) ili dvomjesni predikat, Cijeni(_, _), te,kao granicni slucaj, za 0-mjesni,CijeniAlbertaAlbert. Atomarne recenice kojedobivamo su redom: CijeniAlbert(albert),Cijeni(albert, albert),CijeniAlbertAlbert.

U logici prvog reda svaki predikatni simbol ima cvrsto utvrdeni broj mjesta,broj koji pokazuje koliko je pojava individualnih konstanti potrebno zatvorbu atomarne recenice. Svaki se predikat tumaci kao odredeno svo-jstvo ili odnos koje ima jednak broj clanova kao i njegov jezicni zastupnik- predikat.

1.4 Pravo-pisani zapis atomarne receniceOrtografija atomarnih recenica doputa razlicite pristupe. Najcece koristimoprefiksni zapis: predikat se zapisuje ispred niza individualnih konstanti upisanihunutar zagrada, Predikat(_, ..., _). Ponekad se koristi infiksni zapis: dvomjesnipredikatni simbol se upisuje izmedu individualnih konstanti, xRy. Postfiksnizapis, gdje je predikat upisan iza niza individualnih konstanti, rijetko se koristi.

Primjer 1.11 Infiksni zapis: chomolungma = mt.everest, 2 > 0.

Primjer 1.12 Mijeanje sintaktickih uloga. Izmedu mene i tebe je izmedu neis-pravno je i u prirodnom i u formalnom jeziku, Izmedju(ja, Izmedju, ti).

1.5 Ontoloki design.Dizajniranje formalnog jezika ukljucuje izbor predikata i izbor objekata. Naceloekonomicnosti ili maksimalne izraajnosti uz minimalni rjecnik obicno se pre-poznaje kao rukovodeco nacelo. Nacelo uporabe samo neophodnih alata nazivase Ockhamova britva2. Ugrubo receno, cilj je doci do jezika koji moe iskazati2 Srednjovjekovno nacelo ekonomicnosti, po kojemu "teorijske entitete ne trebamo umnaatibez potrebe", postalo je poznato pod nazivom Ockhamova britva jer je William iz Ockhama(1285-1349.) odbacio mnoge entitete cije postojanje bilo postulirano u skolastickoj filozofiji.

1.5 Ontoloki design. 5

sve ono to elimo iskazati a da pri tome koristimo "najtanji moguci rjecnik".

Zadatak 1 Usporedi izraajnost dva jezika koji se razlikuju samo u rjecniku! Prvisadri unarni predikat, CijeniAlberta i individualne konstante, albert i robert, drugisadri iste individualne konstante te binarni predikat,Cijeni. Koliko atomarnih recenicamoemo saciniti u prvom, a koliko u drugom jeziku? to moramo uciniti da bi jezik manjeizraajnosti imala jednaku ekspresivnu moc kao i jezik vece izraajnosti?3

Pitanje o jednostavnosti ne moe se razrijeiti na neovisan nacin. Svojstvojednostavnosti recenice odredujemo u nekom ontolokom okviru. Recenica kojaje jednostavna unutar jednog ontolokog okvira moe biti sloena u drugome.

Primjer 1.13 Recenica Ivica je vidio jucer Maricu u Dubrovniku jest jednostavnarecenica u perspektivi ontologije koja govori o osobama, mjestima i vremenskim is-jeccima: V idio(ivica,marica, jucer, dubrovnik). U ontolokom okviru u kojemu sudogadaji predmeti o kojima govorimo ta recenica postaje sloenom recenicom kojagovori o nekom dogadaju, dogadaju x koji nije zastupljen s nekom odredenom rijecju,ali preutno jest upravo ono o cemu recenica govori,

x[V idjenje(x) Subjekt(x, ivica) Objekt(x,marica) Mjesto(x, dubrovnik) V rijeme(x, jucer)].

Primjer 1.14 Tweedledee je gurno Tweedleduma je atomarna recenica ako je pred-stavimo pomocu binarnog predikataGurnuo: Gurnuo(tweedledee, tweedledum). Akoje formaliziramo oslanjajuci se na ontologiju dogadaja, ona nije atomarna. Moguci pri-jevodi su: (i) xGuranje(x, tweedledee, tweedledum), (ii) x[Guranje(x)Subjekt(x, tweedledee)Objekt(x, tweedledum)].

[...] za svaki glagol radnje ili promjene dodajemo mjesto za do-gadaj; za takve glagole moemo reci da uzimaju dogadaj kao predmete.Na taj se nacin priloko modificiranje pokazuje kao logicki par prid-jevskoj modifikaciji: ono to priloke oznake modificiraju nisu glagoli,vec dogadaji koje odredeni glagoli uvode.

Donald Davidson (1917.-2003.). The Individuation of Events. uEssays on Actions and Events, str. 167. Oxford University Press, 1982.

Willard Van Orman Quine (1908.-2000.) pokazao je da je s logickog sta-jalita svaka ontologija jedan izbor, izbor kojeg se drimo sve dok "podnoljivofunkcionira". Izbor ontologije, po Quineovom miljenju, je odluka cija se racional-nost uvijek moe dovesti u pitanje.

Prihvacanje ontologije je, u nacelu, slicno prihvacanju znanstveneteorije, recimo sustava fizike: barem u mjeri u kojoj smo racionalni, mi

3 U prvom jeziku moemo saciniti dvije, a u drugom cetiri atomarne recenice. Da bismoizjednacili izraajnost dvaju jezika, prvome moramo pridodati unarni predikat CijeniRoberta.


usvajamo najjednostavniji pojmovni okvir u kojega se razasuti dijelovinaeg nesredenog iskustva mogu ugraditi i tu urediti.

Willard Van Orman Quine. O onome to jest. u Novija filozofijamatematike, str. 116.

Zadatak 2 Usporedite Quinovov stav i nacelo "Ockhamove britve"!

Zadatak 3 Moe li se reci da ontologiziranje dogadaja potuje nacelo "Ockhamovebritve"? Obrazloite odgovor!

1.6 Atomarne recenice: podsjetnikU logici prvoga reda atomarne recenice nastaju kada se n-mjesni predikat staviispred n pojava imena (smjetenih unutar zagrada i razdvojenih zarezom4). Jednavrsta atomarnih recenica nastaje koritenjem predikata identiteta,=; u infiksnomzapisu tog predikata argumenti su smjeteni s njegove obje strane. Poredak imenaje vaan u tvorbi atomarnih recenica.

1.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga redaU atomarnim recenicama, pored individualnih konstanti, moemo naci i drugeizraze koji obavljaju ulogu imenovanja, referiranja na tocno jedan postojeci pred-met. U nedostatku terminoloke suglasnosti, te druge izraze nazovimo funkci-jskim izrazima. Niz sacinjen od funkcijskog simbola pracenog odgovarajucimbrojem individualnih konstantama cini jednu vrstu funkcijskih izraza.

Primjer 1.15 Izraze Albertov otac i Albertov najbolji prijatelj moemo shvatiti kaofunkcijske izraze (pretpostavljajuci u drugom slucaju da najbolji prijatelj moe biti samojedan):

funkcijski izrazz }| {otac|{z}

funkcijski simbol

( albert| {z }individualna konstanta

),

najbolji_prijatelj(albert).

Primjer 1.16funkcijski izrazz }| {

2|{z}individualna konstanta

+|{z}funkcijski simbol

2|{z}individualna konstanta

.

4 Koriste se i drukcij i zapisi. Na primjer, umjesto R(a1, ..., an) neki autori koriste zapisRa1...an.

1.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga reda 7

Primjer 1.17 Ne-primjeri. Ni Albertov brat ni Albertov prijatelj ne mogu se sh-vatiti kao funkcijski izrazi jer i brace i prijatelja moe biti vie.

Zapis funkcijskih izraza moe biti prefiksni, infiksni i postfiksni. Funkcijskisimbol mora se upotpuniti s nekim drugim referirajucim izrazom. Ta notacijskaslicnost s predikatima moe navesti na krivu pomisao o srodnosti funkcija ipredikata. Zapravo i u sintaktickom smislu i u semantickom smislu funkcijskisu izrazi slicni individualnim konstantama, a ne predikatima. Prva slicnost, zafunkcijske izraze moe se naci mjesto unutar predikata i tako upotpuniti atom-arnu recenicu, a predikati se nikada ne mogu "ugnjezditi u kronji" predikata.Druga, funkcijski izrazi imenuju, a to znaci - pokazuju na (zastupaju) tocno jedanpredmet.

Primjer 1.18 Atomarne recenice upotpunjene s funkcijskim izrazom. Sintaksu receniceAlbert cijeni svog oca moemo prikazati u obliku Predikat (individualna kon-stanta, funkcijski simbol (individualna konstanta)) i formalnozapisati kao

Cijeni(albert, otac(albert)).

Primjer 1.19 Primjena funkcijskog simbola moe se ponavljati. Tako umjesto dakaemo da Albert cijeni svog djeda mogli bismo reci da on cijeni oca svog oca:

Cijeni(albert, otac(otac(albert))).

Primjer 1.20 Takve iteracije ne funkcioniraju u slucaju predikata. Nema smislenogcitanja za izraz

Cijeni(Cijeni(albert, albert)).

Da bi se neki izraz mogao ubrojiti u referirajuci funkcijski izraz, on morazadovoljiti uvjete postojanja i jedinstvenosti.Predmet kojega u logickom smislu zastupa funkcijski izraz mora postojatii biti jedan jedini.

Kada neki unarni (jednomjesni,monadicki) funkcijski simbol poveemo sindividualnom konstantom tada ne dobivamo recenicu nego novo ime, netoto bi trebalo referirati na tocno jedan predmet.

Funkcijski izraz moe imati vie simultanih "ulaznih vrijednosti", ali izlazje samo jedan. U istinitoj atomarnoj recenici 2 + 2 = 4 (zapisanoj infiksno),nalazimo jedan binarni funkcijski simbol, +, jedan binarni predikat, =, tedvije individualne konstante., 2 i 4.


Primjer 1.21 Alternativni prefiksni zapis za 2 + 2 = 4:

Identicno(zbroj(2, 2), 4).

Primjer 1.22 Zahvaljujuci cinjenici da svaki prirodni broj ima sljedbenika i to jednogjedinog, njihova imena se mogu zamijeniti s funkcijskim izrazima. Umjesto "vlastitogimena", 1, moemo upisati funkcijski izraz u prefiksnom zapisu, sljedbenik(0) ili upostfiksnom, 00 (gdje crtica ima ulogu simbola za unarnu funkciju sljedbenik). Logickipravopis doputa i 2 + 2 = 4 i Identicno(zbroj(000, 000), 00000).

1.8 Termi

Sloeni termi nastaju kada se funkcijski simbol s n mjesta stavi ispred npojava terma (jednostavnih ili sloenih).U tvorbi atomarnih recenica sloeni termi koriste se na jednaki nacin kaoi individualne konstante (imena).U logici prvog reda pretpostavljamo da sloeni termi referiraju na jedan i

1.9 Atomarne recenice u teoriji skupova i aritmetici 9

samo jedan predmet.

Termi (singularni termini) su jezicni izrazi koji referiraju ili "pokuavajureferirati na" tocno jedan predmet. U drugom slucaju, kada ne referiraju, onisadre varijablu. Neki autori singularnim terminima nazivaju samo termine sfiksnom referencijom, pri cemu isti termin moe u razlicitim prilikama referiratina razlicito (kao danas - uvijek isti naziv za razlicite intervale). Drugi (kojimase pridruujemo) pod nazivom term ukljucuju i varijable, a time i funkcijskeizraze u kojima se javljaju varijable.

1.9 Atomarne recenice u teoriji skupova i aritmeticiLogika prvog reda izvorno je razvijena za matematicke potrebe i zato su najpoz-natiji jezici prvog reda oni koji su povezani s odredenim granama matematike,posebno s teorijom skupova. Jezik teorije skupova koristi dva predikata: = i .Dvije su osnovne tvrdnje: tvrdnja o identitetu, a = b i tvrdnja o clanstvu, a b(gdje su a i b individualne konstante).

Recenice oblika a b istinite su ako je stvar oznacena s b skup, a stvaroznacena s a clan tog skupa.

Primjer 1.23 Recenica ringo thebeatles je istinito jer

thebeatles = {john, paul, george, ringo}.

Dok u nekim jezicima ne susrecemo funkcijske simbole, kod drugih je nji-hova primjena vrlo cesta, kao u aritmetici. Jedan smo nacin elimiranja imena ukorist funkcijskih izraza vec razmotrili (koristeci funkciju sljedbenika).

Primjer 1.24 Dva imena, 0 i 1, dva simbola za binarne relacije,= i


Primjer 1.25 (Osnovni uvjet) Imena 0 i 1 su termi. (Induktivni uvjet) Ako su t1 i t2termi, onda su izrazi (t1 + t2) i (t1 t2) takoder termi. (Zavrni uvjet) Nita drugo nijeterm osim onoga to se moe dobiti primjenom prethodnih uvjeta.

Zadatak 4 Koji su se uvjeti koristili u tvorbi sljedeceg izraza: (0+ (1 0))? Naveditenjihov poredak5!

Zadatak 5 Izradite induktivnu definiciju za funkcijski izraz!

Zadatak 6 Pokaite da ima beskonacno mnogo terma u aritmetickom jeziku prvogreda koji referiraju na (imenuju) broj jedan6.

Zadatak 7 Usporedimo dva jezika prvog reda. Prvi, nazovimo ga funkcijskim, sadriimena eugene, anastasie, goriot, funkcijski simbol otac, te predikate = i V isiOd.Drugi jezik, nazovimo ga relacijski, sadri ista imena i tri binarna predikata OtacOd,= i V isiOd, a ne sadri funkcijske simbole. [a] Prevedite sljedece recenice relacijskogjezika u recenice funkcijskog jezika: 1. OtacOd(goriot, eugene); 2. OtacOd(goriot, anastasie);3. V isiOd(eugene, anastasie)! [b] Prevedite iz funkcijskog na relacijski jezik! Gdjese to ne moe uciniti, objasnite zato. 4. otac(eugene) = goriot; 5. otac(eugene) =otac(anastasie); 6. V isiOd(otac(eugene), otac(goriot)).

1.9.1 Vjebe iz filozofske logike

Zadatak 8 Ocigledno je da recenica Ivica je jucer vidioMaricu u Dubrovniku povlaciIvica je vidio Maricu. S druge strane predikati s razlicitim brojem mjesta su razlicitipredikati pa ne ostvaruju odnos logicke posljedice prvoga reda, to jest ne ostvarujuodnos znacenja koji ovisi samo o logickim simbolima. Neka je e ime jednog dogadajajuceranjeg Ivicinog videnja Marice u Dubrovniku. Pokaite kako Davidsonov pristupsemantici glagola radnje objanjava spomenuti odnos "povlacenja"!

Zadatak 9 LudwigWittgenstein u svom znamenitom djelu Tractatus Logico-Philosophicuspie: 2.062 Iz postojanja ili nepostojanja atomarne cinjenice ne moe se izvesti posto-janje ili nepostojanje druge atomarne cinjenice. 3. Logicka slika cinjenica je misao.4. Misao je smisleni stav. 4.1.1 Stav prikazuje postojanje i ne-postojanje atomarnih

5 A. koristeci osnovnu klauzulu (1) dobili smo 0; B. koristeci induktivnu klauzulu (2) dobilismo (1 0); C. koristeci induktivnu klauzulu (2) nad A. i B. dobili smo (0 + (1 0)).6 Dat cemo induktivnu definiciju za beskonacni skup terma koji imenuju broj jedan: osnovnaklauzula je da 1 imenuje broj jedan, induktivna kaluzula je da ako t imenuje broj jedan onda(t+ 0) i (t 1) imenuju broj jedan. Primjer: ((((1 + 0) + 0) + 0) + 0).

1.9 Atomarne recenice u teoriji skupova i aritmetici 11

cinjenica. 4.25 Ako je elementarni stav istinit, atomarna cinjenica postoji; ako je neis-tinit, atomarna cinjenica ne postoji. Interpretirajte tekst tako da elementarni stavznaci atomarna recenica. Pretpostavljajuci takvu interpretaciju, tvrdi li Wittgensteinda su atomarne recenice logicki neovisne? Navedite razloge i odredite je li takva tvrdnjaistinita?

Zadatak 10 Proucite stavove 5.555-5.5571 iz Tractatus-a!

Zadatak 11 Pokuajte naci semanticke razloge kojima biste osporavali i sintaktickerazloge kojima biste opravdavali klasifikaciju koja u rod imenica uvrtava i vlastiteimenice i opce imenice.

Zadatak 12 U logici prvog reda predikati se interpretiraju kao sasvim odredena svo-jstva i odnosi. No neka svojstva ovise o perspektivi promatraca. Na slikama nalazimo dvapogleda na isti svijet. Odredite istinitosnu vrijednost donjih recenica i izdvoji predikatekoji oznacavaju odnose ili svojstva koja ovise o kontekstu!

V eceOd(a, b)Izmedju(c, d, b)LijevoOd(c, b)Ispred(c, b)Iza(e, b)DesnoOd(a, b)

Poglavlje 2Identitet

2.1 Dokazi u kojima se koristi simbol za identitet

Primjer 2.1 Dokaz prikazan u Fitch formatu. Okomita crta pokazuje da su recenicezdesna dio dokaza. Vodoravna crta dijeli pretpostavke (premise) od konkluzija, ispodnje se upisuju posredne konkluzije i eljena konkluzija. Zdesna svakoj izvedenoj recenici(konkluziji) upisuje se opravdanje: oznaka logickog pravila i brojevi recenica nad kojimaje pravilo primjenjeno.

1. Kocka(c)2. c = b3. Kocka(b) = Elim; 1, 2

Dvomjesni predikat identiteta zauzima poseban poloaj u filozofskoj logici.Kod drugih predikata moemo zamisliti da se skup predmeta koji imaju oznacenosvojstvo ili skup nizova predmeta koji stoje u oznacenoj relaciji moe mijenjatiovisno o okolnostima. Tako moemo zamisliti okolnosti u kojima smo uspjenijinego to jesmo i okolnosti u kojima smo manje uspjeni nego to jesmo. Moemozamisliti i okolnosti u kojima Kina nema najveci broj stanovnika. No ne moemozamisliti okolnosti u kojima nismo ono to jesmo.

Sve je identicno sa samim sobom i ni sa cime drugim. Nita

12

2.2 Refleksivnost identiteta 13

drukcije ne da se zamisliti.

w1

w2

Primjer 2.2 Ekstenzija predikata V eceOd moe se mijenati ovisno o svijetu. Usvijetu w1: a je vece od b. U svijetu w2 nema nicega to bi bilo vece od neceg drugog. Usvijetu w3: b je vece od a. U svakom svijetu u kojemu se javljaju a i b vrijedi da je a = ai b = b. Ni u jednom svijetu ne vrijedi da je a vece od a, bilo da je b vece od b. RelacijaIdentitet je refleksivna, relacija V eceOd je irefleksivna.

2.2 Refleksivnost identitetaNacelo da je sve jednako samom sebi nazivamo refleksivnocu identiteta. Bina-rnu relaciju kod koje vrijedi da je svaki predmet ostvaruje prema samome sebinazivamo refleksivnom. Zahvaljujuci refleksivnosti odnosa identiteta bilo gdje

14 Poglavlje 2 Identitet

u dokazu moemo upisati recenicu n = n. To se pravilo naziva pravilom zauvodenje simbola =.

2.3 Leibnizov zakon: nerazlucivost istovjetnog

Gottfried Wilhelm Leibniz, (1646-1716), njemacki filozof vjerojatno slaven-skog podrijetla, matematicar i dravnik. Spominje se kao vodeci europskiintelekt u 17. stoljecu. Logicka pravila povezana s identitetom ponekadse nazivaju Leibnizovim zakonom.. Eadem sunt, quae mutuo substituipossunt, salva veritate Isto je ono to se moe uzajamno zamjenijivati uzocuvanje istinitosti. Ili, ona imena cija zamjena u recenicama u kojimase javljaju, ne dovodi do promjene istintosne vrijednost tih recenica suimena koja imenuju isti predmet.

Druga vana dimenzija znacenja predikata identiteta pored refleksivnosti jestona koju se obicno naziva nerazlucivocu istovjetnog, ponekad Leibnizovim za-konom, ponekad pravilom supstitucije identiteta. Nacelo nerazlucivosti istov-jetnog moe se iskazati rijecima: ako dva terma imenuju istu stvar, onda sve tovrijedi za nju pod prvim imenom vrijedi i pod drugim.

Alfred Tarski (1936) je koristio jacu, bikondicionalom iskazanu varijantu:

x = y ako i samo ako x ima svako svojstvo koje ima y i y imasvako svojstvo koje ima x.

Nerazlucivost identicnog nalazi se u smjeru s lijeva prema desno: identicnostpovlaci da su svojstva zajednicka. No smjer s desna na lijevo iskazuje identicnostnerazlucivog: ako su sva svojstva x i y zajednicka, onda x = y.

2.4 Pravila za simbol identiteta 15

Primjer 2.3 U Formalno neodlucivim stavcima u Principia Mathematica i u srodnimsustavima (1930) Kurt Gdel: ne uvrtava = u popis osnovnih (tj. primitivnih) simbola.No definicija koju on koristi nije ona Tarskijeva. Umjesto Tarskijeve varijante:

x = y akko P (P (x) P (y)),

Gdel koristi na kondicional oslabljenu varijantu:

xn = yn akko xn+1(xn+1(xn) xn+1(yn)).

Vec prije, Russell i Whitehead su pokazali da se bikondicional u definiens-umoe oslabiti do kondicionala jer je i identicnost sa samim sobom jedno medusvojstvima, pa je to dovoljno za zakljuciti da x = y. Ako je identicnost sa samimsobom jedno od svojstava x-a, onda ako y ima sva x-ova svojstva, ima i to svo-jstvo, te y mora biti identicno s x. Uocimo da se u ovakvim definicijama sluimos logikom vieg reda, logikom u kojoj moemo govoriti ne samo o predmetimanego i svojstvima .

2.4 Pravila za simbol identitetaBarwise i Etchemendy koriste slabiju varijantu i znacenje identiteta razlau krozpravila za uvodenje i pravilo za iskljucivanje simbola =.

2.4.1 Pravilo za uklanjanje simbola identiteta

Pravilo se primjenjuje na dvije recenice. Jedna od dvije recenice mora bitiidentitetna, a u drugoj se mora koristiti term koji se javlja u identitetnoj recenici.

2.4.2 Pravilo za uvodenje simbola identiteta


U bilo kojem retku dokaza smijemo upisati n = n, gdje je n bilo koje ime.Buduci je rijec o logickoj istini prvoga reda, takva konkluzija ne ovisi ni o kojojpremisi.

2.4.2.1 Supstitucija identiteta i jednolika supstitucija

Vano je razlikovati supstituciju identiteta od jednolike supstitucije. Jednolikasupstitucija se provodi tako da se neki nelogicki simbol zamijeni s drugim nasvim mjestima u nekoj formuli. Za razliku od jednolike supstitucije, supstitu-ciju identiteta ne moramo izvriti na svakom mjestu. Dok pravilo iskljucenjaidentiteta cuva istinitost, pravilo jednolike supstitucije to ne cini. No, pravilojednolike supstitucije ipak posjeduje vano iako slabije logicko svojsvtvo: topravilo cuva teoremstvo.

Primjer 2.4

Zamjena se ne mora izvriti svugdje.

Primjer 2.5 Zadana je istinita recenica Hamlet i Ofelija se uzajamno vole. Oz-nacimo s A recenicu Hamlet voli Ofeliju i s B recenicu Ofelija voli Hamleta. Dobi-vamo: AB. Jednolikom supstitucijomAA zaA uAB dobivamo (AA)B.Ocigledno je da istinitost nije ocuvana.

Uz pomoc dvaju pravila za uvodenje i iskljucivanje identiteta moemo dokazatidaljnja svojstva tog odnosa. Posebno su zanimljiva svojstva simetricnosti i tranz-itivnosti.

Simetricnost identiteta: ako x = y, onda y = x.

2.5 Identitet u filozofskoj logici 17

Tranzitivnost identiteta: ako x = y i y = z, onda x = z.

Relacije koji su refleksivne, simetricne i tranzitivne nazivamorelacijama ekvivalencije. Ocigledno je da je identitet relacija ekviva-lencije.

2.5 Identitet u filozofskoj logici2.5.0.2 Paradoks identiteta: pitanje o informativosti identitetnihrecenica.

5.5303 Grubo govoreci, reci za dvije stvari da su identicne - besmislenoje, a reci za neku stvar da je sa sobom identicna znaci ne reci nita.

Ludwig Wittgenstein (1921) Tractatus Logico-PhilosophicusKorisni su samo oni iskazi o identitetu u kojima su imenovani

predmeti isti, a njihova imena razlicita, zato je pojam identiteta potre-ban samo kako bi ukazao na karakter jezika. Kada bi na jezik biosavrena kopija onoga o cemu on govori tada bi svaka stvar imala samojedno ime a iskazi identiteta bili bi suvini... Dvije varijable smijureferirati na razlicite predmete, ali mogu referirati i na iste. Zato znakidentiteta postaje potreban kada se pitanje istovjetnosti ili razlike u ref-erenciji postavi o varijablama. S logickog stajalita kljucna primjenaznaka identiteta vezana je uz varijable, a ne uz singularne termine.Cijela kategorija singularnih termina je teorijski suvina i postiemo


logicki dobitak uklonimo li ih.Willard Van Orman Quine,Methods of Logic, str. 222

2.5.1 Intenzionalni kontekst i neuspjeh supstititucijeidentiteta

Primjer 2.6 Russellova zagonetka. (P1) Scott je autor Waverley-a. (P2) George IVelio je znati je li Scott autor Waverley-a. (K3) Dakle, George IV je elio znati je li Scott- Scott.

Primjer 2.7 Prethodni primjer interpretirao bi se u okviru modalne logike na nacinslican sljedecem:

(P1) Zeligeorge IV.

Znageorge IV.(scott = x(x je autor Waverleya))Znageorge IV.(scott 6= x(x je autor Waverleya))

(P2) scott = x(x je autor Waverleya)

(K3) Zeligeorge IV.Znageorge IV.(scott = scott)Znageorge IV.(scott 6= scott))

Mnogi ce se sloiti da je gornji niz recenica zadovoljiv.

Primjer 2.8 Za Davidsona izuzece od vaenja Leibnizovog zakona predstavlja raz-likovno obiljeje psihickog rjecnika:

One glagole koji izraavaju sudne stavove kao to su vjerovanje,namjeravanje, eljenje, nadanje, znanje, zapaanje, sjecanje i sl. moemonazvati mentalnim. Takvi su glagoli obiljeeni cinjenicom da se javl-jaju u recenicama ciji se gramaticki subjekt odnosi na osobe, a upotpun-juju ih uklopljene recenice u kojima izgleda da ne vrijede uobicajenapravila supstitucije.

Primjer 2.9 Kripkeova zagonetka vjerovanja . Pretpostavimo da je govornik nor-malan ako nije sveznajuci, ako je iskren, svjestan sebe i ako poznaje znacenja rijecikoje koristi. Prihvatimo u svrhu istraivanja sljedece nacelo (N ): Ako obican govornikjezika L iskreno i promiljeno prihvaca da je istinita recenica r iz jezika L, onda tajgovornik vjeruje da r, pri cemu r oznacava prijevod recenice r na jezik u kojemu jeiskazano nacelo (N ). Razmotrimo jedan primjer. Francuz Pierre, koji dobro govori kakosvoj materinski tako i engleski jezik, za vrijeme svog ivljenja u Parizu vie je puta cuoda je London jedan vrlo lijep grad. Na osnovi uvjerenja proirenog u krugu njegovihpoznanika i gledanja lijepih londonskih veduta prikazanih na razglednicama, Pierreprihvaca da je recenica (i) Londres est jolie istinita. Po nacelu (N ) slijedi da Pierrevjeruje da (i) London jest lijep grad jer je recenica (i) prijevod recenice (i). Kasnije,Pierre se seli u Veliku Britaniju i nastanjuje u Londonu. Nakon obilaenja grada on

2.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacija 19

stjece uvjerenje da London nije lijep i prihvaca da je recenica (ii) London is not prettyistinita. Pierre ne zna da je taj neugledni grad u kojem sada ivi onaj isti grad cije jeslike s divljenjem gledao dok je ivio u Parizu. Buduci da Pierre iskreno prihvaca da suobje recenice (i) i (ii) istinite, vjeruje li on kao normalni govornik da (i) London jestlijep ili vjeruje da (ii) London nije lijep, ili vjeruje i jedno i drugo?

Problem supstitucije identiteta i dalje predstavlja zanimljiv problem u filo-zofskoj logici, problem koji ukazuje na posebnost "jezika o doivljajima, radn-jama i osobama" i koji jo uvijek nema opceprihvatljivo rjeenje. U literaturi sekontekst u kojem nacelo "supstitutivnosti koekstenzivnih izraza" (tj. zamjeneidenticnih terma, koesktenzivnih predikata te ekvivalentnih recenica) doputaiznimke naziva "intenzionalnim kontekstom".

2.6 Za zapamtitiCetiri vana nacela odnosa identiteta:

1. = Elim: Ako b = c, onda sve to vrijedi za b vrijedi i zac. Nacelo se takoder naziva nacelom nerazlucivosti identicnoga.

2. = Intro: Recenice ciji je oblik b = b uvijek su istinite (ulogici prvoga reda). Nacelo se naziva nacelom refleksivnosti identiteta.

3. Simetricnost identiteta: Ako je b = c, onda c = b.4. Tranzitivnost identiteta: Ako je a = b i b = c, onda je

a = c.Posljednja dva nacela mogu se izvesti iz prva dva.

2.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacijaRazmiljajuci o drugim predikatima na nacin na koji smo razmiljali o identitetu,mogli bismo i za njih uvesti niz slicnih pravila. Na primjer, mogli bismo zapojedinu relaciju pitati je li simetricna, refleksivna ili tranzitivna.

Primjer 2.10 Relacija LijevoOd je tranzitivna. Relacija IstiOblik je simetricna,refleksivna i tranzitivna; dakle, ona jest relacija ekvivalencije.

Analitickom posljedicom moemo nazvati pravilo izvodenja koji se oslanjana znacenja rijeci koje se javljaju u premisama. Taj postupak moe koristiti iznacenja predikata.

1. LijevoOd(a, c)2. LijevoOd(c, d)3. LijevoOd(a, d) Ana Con; 1, 2

U gornjem se primjeru iskoristila tranzitivnost relacije LijevoOd.


Neke binarne relacije mogu biti inverzne u odnosu na druge. Relacija injezina inverzija vrijede za iste predmete ali u suprotnom smjeru. RelacijaLijevoOd inverzna je u odnosu na DesnoOd: LijevoOd(a, b) ako i samo akoDesnoOd(b, a).

U ovom dokazu 4. je recenica analiticka posljedica od 1. jer je predikatLijevoOd inverzija predikata DesnoOd. 5. je recenica dobivena iz 3. i 4.zahvaljujuci nerazlucivosti identicnog: to vrijedi za b vrijedi i za d jer b = d.Zahvaljujuci tranzitivnosti predikata LijevoOd, iz 5. i 2. izvodimo 6.

Zadatak 13 Odredite jesu li relacije iz prethodnog dokaza refleksivne, simetricne itranzitivne!

Poglavlje 3Propozicijska logika i teorija

dokaza

Aksiomatski sustav Istinitosno stablo Prirodna dedukcijatableaux metoda

David Hilbert Evert Beth Gerhard GentzenZakljucak cije su premise P1, ..., Pn a konkluzija K ispravan je ako (je):

teorem zatvoreno stablo za postoji dokaz`aksiomatski(P 1... Pn) K {P1, ..., Pn ,K} P1, ..., Pn`prirod.deduk.K

3.1 Aksiomatski sustavLogika se moe izloiti kao aksiomatski sustav u kojem ce teoremi biti logickeistine. Za poseban slucaj propozicijske logike, to znaci da ce takva aksiomatskateorija obuvacati tautologije. Daljnja su pitanja: obuvaca li ta teorija samo tau-tologije i obuhvaca li sve tautologije.

21

22 Poglavlje 3 Propozicijska logika i teorija dokaza

3.1.1 to je aksiom?U logici i matematici, osnovno nacelo za koje se, bez dokaza, pretpostavlja da jeistinito.

Primjer 3.1 Aristotel (384-322) znanost je obiljeena ne samo s istinitocu recenicakoje je tvore vec i s njihovim ustrojstvom. Znanost se treba izlaiti kao deduktivan sustavu kojemu su manje opcenite recenice dokazane pomocu prvih, najopcenitijih nacela.

Primjer 3.2 (Nacelo neproturjecnosti) Nijedna recenica ne moe istodobno biti i is-tinita i neistinita.

Primjer 3.3 Euklid (oko 330-260) u knjizi Elementi aksiomatizira geometriju. "Opcenitanacela" obuhvacaju 23 definicije, 5 postulata i 5 opcenitih ideja.

Primjer 3.4 5. opcenita ideja: "Cjelina je veca od svakog svog dijela."

Primjer 3.5 Spinoza (1632 - 1677) daje grandiozni filozofski sustav u aksiomatskomobliku (Ethica more geometrico demonstrata). Primjer aksioma: Sve to jest, jest ili usebi ili u drugome.

3.1.1.1 Izbjegavanje beskonacnog regresa

Dokazivanje ne moe ici u beskonacnost. Ono mora negdje stati. Ako dokazshvatimo u smislu dedukcije, onda su krajnje tocke dokaza aksiomi. Iskustvenisudovi, zapisi opaanja (promatranja, mjerenja) ne mogu biti polazite dedukcije.

3.1.1.2 Kako prepoznajemo aksiome?

U tradiciji su aksiomi bili shvaceni kao istine jasne po sebi (samo-evidentneistine).

Primjer 3.6 Descartes, Ren (1596-1650): "I uocivi da mi u postavcimislim, daklejesam ba nita drugo ne jamci da govorim istinu, osim da vidim vrlo jasno kako moramopostojati da bismo mislili, doao sam do uvjerenja da mogu postaviti opce pravilo, dasu stvari koje shvacam jasno i razgovijetno potpuno istinite."

Primjer 3.7 Aksiomski nacin razmiljanja protee se i izvan granica filozofije. UDeklaraciji nezavisnosti (1776) tvrdnja o ljudskim pravima shvaca se kao aksiom (uociteuporabu pridjeva self-evident): "We hold these truths to be self-evident, that all men arecreated equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights,that among these are Life, Liberty, and the pursuit of Happiness."

3.2 eljena svojstva aksiomatskog sustava 23

U novije vrijeme naputen je zahtjev da aksiomi moraju biti "jasni sami posebi". Razlozi naputanja vjerojatno su povezani s racionalistickom pristranocutakvog pojma i cinjenicom da on ukljucuje nepouzdana psiholoka obiljeja.

3.1.2 Anatomija formalnog aksiomatskog sustavaFormalni aksiomatski sustav (i) koristi neki rjecnik (popis simbola, alfabet) (ii)od kojega se po pravilima tvorbe slau recenice. Na taj se nacin zadaje jezikteorije. K tome, (iii) neke recenice (aksiomi) uzimaju se (iv) za polazite prim-jene pravila za dokazivanje drugih recenica. Aksiomatska teorija obuhvaca onerecenice iz zadanog jezika koje se mogu dokazati. Dokaz je niz recenica gdje jesvaka recenica ili aksiom ili je dobivena primjenom pravila dokaza iz prethodnihrecenica u nizu. Neka je recenica R teorem ako postoji njezin dokaz, to jest akopostoji dokaz R1, ..., Rn i R = Rn.

Svrha teorije je da iz zadanog jezika izdvoji neki dio. Konstrukcija teorijekoja bi obuhvacala sve recenice zadanog jezika besmislen je i bezvrijedan po-duhvat.

Primjer 3.8 Jedan "igracka-sustav". Simboli: a, b. Recenice: (a) a i b su recenice,(b) ako je R recenica onda su Ra i Rb recenice, (c) nita drugo osim onoga to moemodobiti primjenom pravila (a) i (b) nije recenica. Aksiom: a. Pravilo dokaza:

RRa

(Rdokazuje Ra). Odredite koji uvjet trebaju zadovaljavati recenice u zadanom jeziku dabi bile teoremima! Uocite da pravilo koje ste otkrili nije teorem igracka-sustava, vecmetateorijska tvrdnja, tj. tvrdnja o teoriji!

3.2 eljena svojstva aksiomatskog sustavaNeki aksiomatski sustav mora, ako je to moguce, zadovoljiti nekoliko uvjeta.

Konzistentnost: sustav ne smije omoguciti dokaz obje recenice iz para pro-turjecnih recenica, tj. ne smije biti slucaj da je dokaziva neka recenice kao injezina negacija. Ovaj se uvjet mora ispuniti.

Potpunost ne znaci isto za ne-logicke i logicke aksiomatske. U ne-logickimsustavima, potpunost zahtijeva da iz para kojeg cine recenica i njezina negacijauvijek jedna medu njima bude dokaziva. U mnogim se slucajevima ovaj uvjet nemoe ispuniti.U logickom sustavu potpunost znaci neto drugo. Ovdje poeljnosvojstvo teorem nije samo istinitost, vec nuna istinitost. Negacije kontingentnerecenice je kontingentna recenica. No, ni jedna niti druga ne smiju biti dokaziveu nekom logickom sustavu.

Neovisnost: (i) i (ii) nijedan teorem nije aksiom. Ako uvjet neovisnosti nijezadovoljen, greka nije fatalna.

Uvjeti o kojima ima smisla govoriti povodom nekog ne-logickogaksiomatskog sustava sa skupom aksioma T . Znak ` oznacava troclaniodnos dokazivosti Dokazivo([recenica], [skup aksioma], [logicki sus-tav]). Npr. T `L P citamo recenica P (iskazana u jeziku teorije)


moe se dokazati polazeci od pretpostavki T koristeci pravila dokazaL.

Konzistentnost: ni za jednu recenicu P ne vrijedi da T `L P iT `L P

[Ne postoji recenica P takva da je dokazivo P i da je dokazivo P .]

Potpunost: za svaku recenicu P vrijedi da T `L P ili T `L P

[Svaka recenica P je takva da je dokaziva ili recenica P ili recenica P .]

Neovisnost: za svaki aksiom vrijedi da ako A T , onda (T {A} `L A)

[Njedan aksiom A ne moemo dokazati polazeci skupa aksioma iz kojihje on uklonjen (tj. polazeci od T {A}).]David Hilbert. Matematicki problemi (predavanje na Medunarodnom kon-

gresu matematicara u Parizu, 1900.)

U pomnijem razmatranju, javlja se pitanje: ovise li neki iskazipojedinih aksioma jedni o drugima, te ne sadre li zato aksiomi nekezajednicke elemente, koji moraju biti izdvojeni ako elimo doci do sus-tava aksioma koji su posve neovisni jedni o drugima. Ali iznad svegaelim sljedece istaknuti kao najvanije medu mnogobrojnim pitanjimakoja se mogu postaviti u vezi aksioma: dokazati da oni nisu kontradik-torni, naime, da odredeni broj, na njih oslonjenih logickih koraka nemoe nikada dovesti do kontradiktornog rezultata.

Zadatak 14 O kojim poeljnim svojstvima aksiomatskog sustava govori Hilbert? Prip-isuje li on istu vanost svim svojstvima?

Zadatak 15 Deduktivna teorija je konzistentna, ili neproturjecna ako [. . . ] se odsvaka dva proturjecna iskaza bar jedan ne moe dokazati. [. . . ] teorija je potpuna akose za svaka dva proturjecna iskaza formulirana u terminima te teorije barem jedan moedokazati. Za iskaz koji ima svojstvo da se njegova negacija moe dokazati kaemo da semoe osporiti A. Tarski. Koristeci termine dokazati i osporiti iskai uvjet konzistent-nosti i uvjet potpunosti drugim rijecima!

3.2.1 Logicki aksiomski sustavJedan nacin razmiljanja o ispravnosti zakljucaka u analitickom okviru propozi-cijske logike je sljedeci: logika je teorija, a ispravni zakljucci njezini su teoremi.U tom okviru kretala su razmiljanja formalnih logicara poput Fregea, Russella,Hilberta i Heytinga.


Logicka aksiomatska teorija i ne-logicka aksiomatska teorija odnose se kaofundirajuci i fundirani sustavi ( foundational and postfoundational systems, Shef-fer). Fundirajuci logicki sustavi imaju svoja pravila dokaza. S druge strane,fundirana teorija u svojim dokazima polazi od svojih ekstralogickih aksioma ikoristi logicke teoreme kao svoja pravila dokaza.

Za izgradnju jedne fundirajuce aksiomatske logike trebamo odrediti sintaksunjezinog jezika: navesti popis osnovnih simbola i pravila za tvorbu recenica utom jeziku. Dalje cemo analizirati jednu aksiomatizaciju propozicijska logike,Frege-Lukasiewiczev sustav.

3.2.1.1 Frege-Lukasiewiczev sustav

Sintaksa.Neka su u jeziku teorije LP osnovni simboli: propozicijska slova:

P1, P2,..., pomocni simboli: (, ), i konstante: i .Pravilo tvorbe recenica neka glasi: propozicijska slova su recenice

u jeziku teorije LP, a ako su A i B recenice u tom jeziku onda su i A i(A B) recenice u tom jeziku, te nita drugo nije recenica tog jezika.

Aksiomi, definicije i pravila dokazivanja.Aksiomski oblici:A1. (A (B A))A2. ((A (B C)) ((A B) (A C)))A3 ((B A) (A B))Definicije veznika:(A B) oznacava A B, itd.Pravilo dokazivanja:Ako je (A B) teorem i ako je A teorem, onda je B teorem.

3.2.1.2 Primjer dokazivanja logickog teorema

Dokaz ispravnosti za hipoteticki silogizma u aksiomatskom sustavu LP :(1) aksiom tipa A1:((A (B C)) ((A B) (A C))) ((B C) ((A

(B C)) ((A B) (A C))))(2) aksiom tipa A2:((A (B C)) ((A B) (A C))(3) teorem dobiven iz (1) i (2) primjenom pravila modus ponens:((B C) ((A (B C)) ((A B) (A C))))(4) aksiom tipa A2:((B C) ((A (B C)) ((A B) (A C)))) (((B

C) (A (B C))) ((B C) ((A B) (A C))))(5) teorem dobiven iz (3) i (4) primjenom pravila modus ponens:(((B C) (A (B C))) ((B C) ((A B) (A

C))))


(6) aksiom tipa A1:((B C) (A (B C)))(7) teorem dobiven iz (5) i (6) primjenom pravila modus ponens:(B C) ((A B) (A C))(7) je izraz za hipoteticki silogizam. Dakle, ispravnost hipotetickog silo-

gizma dokazana je u LP jer je na osnovi definicija recenica (B C) ((AB) (A C)) samo drukciji zapis za ((B C) (A B)) (A C).

Iako dokaz izlaemo od vrha prema dnu, dokaza traimo suprotnim smjerom,od dna prema vrhu. Osnovni nacrt algoritma traenja dokaza za izraz ciji je oblikA K u sustavu LP sastoji se od sljedecih koraka: 1. ako ciljna recenica nijeaksiom, onda je dobivena primjenom pravila modus ponens iz recenica X (A K) i X, 2. no tada recenica X ili mora biti istovjetna s K, koja morabiti aksiom ili, ako to nije slucaj, onda treba pronaci recenicu X takvu da (a)X (A K) i (b)X budu dokazive, cime dobivamo dvije nove ciljne recenice(a) i (b) za koje ponavljamo postupak.

Dokaz se oslanja na instance aksioma (1, 2, 4, 6). Primjenom samo jednogpravila zakljucivanja (MPP, tj. modus ponendo ponens) dobivaju se teo-remi (3, 5, 7) medu kojima je i ciljni teorem (hipoteticki silogizam, 7).


Zadatak 16 Neka je zadan gornji logicki aksiomski sustav. Aksiomski oblici: A1.(A (B A)), A2. ((A (B C)) ((A B) (A C))), A3.((B A) (A B)). Pravilo dokazivanja: Ako je (A B) teorem i ako je Ateorem, onda je B teorem. Dokaite7 A A!

3.2.1.3 Zanimljivost

U 1956. sastavljen je Logic Theorist, pionirski rad u podrucju umjetne inteligen-cije (AI). Autori su bili A. Newell, J.C. Shaw i H.A. Simon. Zadatak koji jeprogram trebao moci rijeiti bio je dokazati teoreme iz Russellove i WhitheadovePrincipia Mathematica iz 2. glave. Rezultat: program je uspio dokazati 38 odprvih 52 teorema.

Kod jednog teorema, dokaz do kojeg je doao Logic Theoristbio je elegantniji od onoga kojeg su dali Russell i Whitehead.[. . . ] Trisu autora napisala kratki clanak s novim dokazom i u popis imena au-tora pored vlastitih uvrstili Logic Theorist kao koautora. To je bio prviakademski clanak u povijesti u kojemu je stroj bio jedan od autora, ali,naalost, urednik The Journal of Symbolic Logic nije prihvatio clanakza objavljivanje .

J. Copeland. Artificial Intelligence: a Philosophical Introduc-tion. str. 8.

3.2.2 Izbori pri izgradnji aksiomskog sustava propozicijskelogike3.2.2.1 Broj logickih konstanti (logicke operacije i vrijednosti)?

Jednoclane opcije: (i) ne istodobno, inkompatibilnost, ekskluzija, NAND, , (ii)ni niti, binegacija, NOR, . Dvoclane opcije: (i) samo s istinitosnofunkcionalnimveznicima (npr. kao u Frege-Lukasiewiczevom sustavu: i), (ii) jedan vezniki istinitosna vrijednost neistinitog (npr. i ).7 (1) aksiom A1:

A ((A A) A)

(2) aksiom A2:

(A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A))

(3) modus ponens; (1),(2):

(A (A A)) (A A)

(4) aksiom A1:

A (A A)

(5) modus ponens; (3),(4):

A A


3.2.2.2 Neizbjena negacija

Ako usmjerimo panju na veznike , , , i , lako cemo uociti da oni nisudovoljni da bi izrazili sve istinitosne funkcije. Ako je recenica R neistinita uvrednovanju u kojem su sva propozicijska slova istinita, onda tu recenicu nemoemo iskazati pomocu spomenuta cetiri veznika. Dakle, u svim dvoclanimizborima veznika u kojim koristimo neki od spomenuta cetiri veznika potrebnanam je negacija .3.2.2.3 Normalne forme: disjunktivna i konjunktivna

Teorem 1 Sve se istinitosne funkcije mogu iskazati u disjunktivnoj normalnojformi i u konjunktivnoj normalnoj formi.

Literalima nazivamo atomarnu recenicu i njezinu negaciju. Disjunktivnanormalna forma je disjunkcija konjunkcija u kojima se javljaju samo literali.Konjunktivna normalna forma je konjunkcija disjunkcija u kojoj se javljaju samoliterali. Njihovo postojanje pokazat cemo putem postupka konstrukcije.

Najprije pokazujemo nacin konstrukcije disjunktivne normalne forme. Nekaje zadana neka recenica propozicijske logike, tj. istinitosna funkcija. Motrimosamo vrednovanja u kojima je ona istinita, te zapiimo atomarnu recenicu akoje ona istinita pod tim vrednovanjem, a u protivnom zapiimo njezinu negaciju.Tako dobivene literale poveimo u konjunkciju. Postupak ponavljamo na svakomistinitom slogu, a dobivene konjunkcije povezujemo u disjunkciju. Na ovaj nacinbiljeimo okolnosti u kojima je recenica istinita, a njezino znacenje je disjunkcijatakvih uvjeta.

Kod konjunktivne normalne forme cinimo suprotno: biljeimo pod kojim jeuvjetima neistinita. Motrimo vrednovanja kojima je ona neistinita, te zapiimonegaciju atomarne recenice ako je ona istinita pod tim vrednovanjem, a u pro-tivnom (tj. ako je neistinita) upisujemo samu atomarnu recenicu. Tako dobiveneliterale spojimo u disjunkciju. Postupak ponavljamo i sve dobivene disjunkcijespajamo u konjunkciju.

Primjer 3.9

DNF KNFP Q zadana i.f. (P Q) (P Q) (P Q) P Q> > > P Q> P Q > > P Q > P Q

Zadatak 17 Pronadite DNF i KNF za istinitosne funkcije po vaem izboru. Rjeenjamoete provjeriti pomocu analizatora na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/analizator.htm!


3.2.2.4 Ekspresivna potpunost

Je li neki izbor veznika dovoljan za iskazati sve istinitosne funkcije? Na topitanje je prilicno lako odgovoriti. Evo jednog medu odgovorima. Ako pomocutog izbora veznika moemo definirati konjunkciju i negaciju, onda je taj izborekspresivno potpun. Zato? Svaku istinitosnu funkciju moemo prikazati u ob-liku disjunktivne normalne forme, a iz nje moemo ukloniti disjunkciju koristeciDeMorganove zakone. Time smo pokazali da su i istinitosno funkcionalnopotpuni, pa ce onda i izbor veznika koji omogucuje definiciju za i biti potpun.Na slican nacin moemo argumentirati u slucaju kad se pozivamo na konjunk-tivnu normalnu formu, tj.na ekspresivnu potpunost disjunkcije i negacije.

binegacija ekskluzijaP Q P Q P Q> > > > > > > >

Redukcija na dva simbola{,} {,} {,}

P P P P P Q (P Q) P Q (P (Q )) P Q P Q (P Q) (P ) Q

Redukcija na jedan simbol{} {}

P P P P PP Q (P P ) (Q Q) (P Q) (P Q)P Q (P Q) (P Q) (P P ) (Q Q

3.2.2.5 Format aksioma i pravila dokazivanja.

Daljnji izbori u gradnji aksiomatskog sustava propozicijske logike odnose se naizbor izmedu aksioma ili aksiomskih oblika, gdje prva opcija zahtijeva doda-vanje supstitucije u skup pravila dokazivanja. Jedna aksiomska shema (Nicod-ukasiewicz aksiomski sustav za propozicijsku logiku) ili vie aksiomskih shema?Aksiomske sheme (aksiomski oblici) bez pravila jednolike supstitucije (kao uFrege-Lukasiewiczevom sustavu) ili aksiomi s pravilom jednolike supstitucije?

3.2.2.6 Usporedba: logicki i izvan-logicki aksiomski sustav

Usporedimo aksiomski sustav propozicijske logike i nelogicki aksiomski sus-tav u odnosu na eljena svojstva konzistentnosti i potpunosti. U sintaktickom


smislu neki aksiomatski sustav nazivamo konzistentnim ako se u njemu ne moedokazati i recenicaA i recenicaA. U tom pogledu nema razlike izmedu logickihi ekstralogickih sustava. Uocimo da konzistentnim u sintaktickom smislu moemonazvati i sustav koji nije semanticki konzistentan. No, od logickog sustava miocekujemo puno vie. Ne samo da bude istinit (semanticki konzistentan) vec i dabude istinit u svakoj interpretaciji. Zbog toga je sintakticka potpunost logickogsustava razlicit pojam od potpunosti ekstralogickog sustava.

Razliku u pojmu konzistentnosti prati i razlika u pojmu potpunosti. Tarskipotpunost definira u odnosu na par proturjecnih recenica, uvijek jedna od njih,bilo A bilo A mora biti dio sustava (moda i obje). Ocigledno je da pri tomemisli samo na ekstralogicke sustave. Kod logickih sustava potpunost u takvomsmislu nipoto nije poeljna. S ulaskom kontingentnih recenica ne samo da binestala razlika logike prema njoj bliskoj matematici8 vec bi nestala i razlikaprema empirijskim znanostima.

SLIKA: I lijevi i desni sustav su potpuni (kose crtice ukazujuna prazninu, na ne-postojanje). Kuda nas vodi negacija u ek-stralogickim (lijevo) i logickim (desno) konzistentnim i potpunim sus-tavima pokazuju nam zakrivljene crte.

Primjer 3.10 Razmotrimo primjer jednog sustava koji sve kontradikcije i samo kon-tradikcije preuzima kao teoreme. Neka jeK racun sudova zadan na sljedeci nacin:aksiomski oblici su zadani s nekim skupom antitautologija (tj. kontradikcija), a jedinopravilo izvoda je iz A B i A, izvedi B. Ispitajmo je li racunK konzistentan!

8 Promotri tvrdnju: x : x N 0 = sljedbenik_od(x). Ona nije logicka istina prvog reda.Metodom zamjene moemo dobiti i ovakvu recenicu: x : adam = otac_od(x). Nije stvarlogike prvog reda pitanje o tome ima li Adam potomaka ili ne. Jednako tako, nije pitanje logikeprvog reda je li nula iciji sljednik.


Rjeenje 1 U dokazu treba pokazati da pravilo dokaza prenosi kontradiktornost,tj. da cemo primjenom pravila izvoda uvijek iz kontradikcija izvesti novu kon-tradikciju. Ispitajmo prijenos kontradiktornosti Neka su A B i A aksiomi,dakle kontradikcije. Buduci da je A kontradikcija, onda je A tautologija.Kako je A B kontradikcija a A tautologija, onda B mora biti kontradik-cija. Pretpostavimo da se kontradiktornost ne prenosi. Neka je recenica S prvakoja ne uspijeva sacuvati kontradiktornost. Tada S nije aksiom, vec mora bitidobivena pomocu pravila. Ako je dobivena pomocu pravila, onda je nastala iznekih prethodnih recenica uz primjenu pravila. Buduci da su prethodne recenicekontradikcije a pravilo cuva to svojstvo, slijedi da je S kontradikcija. Timesmo osporili pretpostavku. Dalje treba pokazati da se ne moe dogoditi da parkontradiktornih recenica bude uK. Ocigledno je da to ne moe biti slucaj jer jenegacija kontradikcije tautologija, a po prethodnom dokazu pouzdanosti u pri-jenosu kontradiktornosti, znamo da se u sustavuK nalaze jedino kontradikcije.

Primjer 3.11 Dodajmo Frege-Lukasiewiczevom aksiomskom sustavu jo dvije aksiomskesheme, A4: A i A5: A. Po sintaktickom kriteriju, novonastala teorija je inkonzistentna.Dokaite da je u toj teoriji svaka recenica teorem9!

Primjer 3.12 U sljedecoj definiciji ispitajmo je li rijec o pojmu potpunosti za logickeili ne-logicke aksiomske sustave. Sustav je sintaticki potpun ako i samo ako ne postojinedokaziva shema B koja bi se mogla dodati sustavu a da pri tome ne unese inkonzis-tentnost to bi se dogodilo kada bismo jednom logickom sustavu tautologija pridodalikontingentni iskaz?

9 Proizvoljna recenica R je teorem. Dokaz:(1) A3:(R A) (A R)(2) A2:A (R A)(3) A4:A(4) modus ponens; (2),(3):R A(5) modus ponens; (1), (4)A R(6) A5:A(7) modus ponens; (5),(6):R


Sintaktiki Semantiki Ekstra-logiki sustav

Logiki sustav

Ekstra-logiki sustav Logiki sustav

Konzistentnost Nije sluaj da su teoremi i A i A

Mogue je da sve reenice sustava budu istinite (postoji istinita interpretacija, sustav ima model)

Sve reenice sustava nuno su istinite (sve interpretacije su istinite, svaki model je model sustava)

Potpunost U paru A i A uvijek

je barem jedna reenica teorem

?

Sustav izdvaja sve istinite reenice pod danom interpretacijom

Sustav izdvaja sve logike istine.

Zadatak 18 ukasiewicz je bio duboko uvjeren da je aksiomska istinitisno-funkcionalnalogika vjebaonica za druge i vanije primjene aksiomske metode. Ja sam vie uvjerenu njezinu tetu. Aksiomska logika, sa svojim aksiomskim shemama i posebnim pravil-ima zakljucivanja, ne slici puno post-fundiranim aksiomskim sustavima. Ako se vec elinekoga obuciti za primjenu aksiomske metode u post-fundiranim sustavima, onda nekase ta osoba uvjebava u takvim sustavima. Glavna komponenta takve obuke je njegov-anje sposobnosti za prepoznavanje ili dokazivanje implikacije, jer implikacija je ono topovezuje post-fundirane aksiome s logickim teoremima. W.V. Quine. (1974) Methodsof Logic. str. 75. Ponudite razloge kojima cete potvrditi Quine-ov stav da vjebanjeu aksiomskoj logici nije isto to i vjebanje primjene aksiomske metode u fundiranimsustavima!

3.2.3 Pouzdanost, konzistentnost i potpunostFrege-Lukasiewiczeovog sustavaVano svojstvo nekog logickog sustava je svojstvo pouzdanosti. U slucaju ak-siomatskog sustava propozicijske logike, trebamo dokazati da su samo tatuologijeteoremi. Taj je dokaz prilicno jednostavan. najprije trebamo pokazati da susvi aksiomi tautologije. Zatim trebamo dokazati da pravilo (ili pravila) dokazacuvaju istinitost.

Teorem 2 Frege-Lukasiewiczev sustav je pouzdan.

Koristeci oznake za teoremstvo u tom sustavu, `FregeLukasiwicz i tautologicnost,


Taut, teorem moemo zapisati ovako:

`FregeLukasiwicz A Taut(A)

Dokaz 1 Shema A (B A) je shema tautologije. Pretpostavimo suprotno.tada mora postojati neka instanca ove sheme gdje je A istinito a B A neis-tinito. Ako je A istinito, onda po definiciji kondicionala B A mora (protivnopretpostavci) biti istinito. Dakle, aksiomska shema je tautologija. Dokaite samida je A3. shema tautologije! Nakon to smo pokazali da su svi aksiomi tau-tologije, trebamo pokazati da pravila dokaza primjenjena na tautologijama mogudokazati jedino tautologije. Ako pravilo modus ponens cuva tautologicnost, ondane moe biti slucaj da su A B i A tautologije, a B da nije. Pretpostavimosuprotno, daB nije tautologija. Tada postoji vrednovanje u kojem jeB neistinito,a buduci da je A tautologija, u tom je vrednovanju kondicional A B neistinit,pa nije tautologija. Kontradikcija. Dakle, modus ponens cuva tautologicnost. Nakraju trebamo ispitati mogucnost deriviranja recenice koja nije tautologija. ovajse dokaz obicno izvodi putem matematicke indukcija. Buduci da cemo matem-aticku indukciju obradivati kasnije, primijenit cemo drukciji dokaz. Promatramoproizvoljni dokaz koji derivira recenicuR koja nije tautologiju i koja je prvi takavnevaljan korak. Recenica R je ili aksiom ili je dobivena primjenom pravila.Razmotrimo oba slucaja. Ako je R aksiom, onda je tautologija. Zato to nijenevaljan korak. Kontradikcija. U drugom slucaju, ako je dobivena primjenompravila i ako je R prvi nevaljan korak onda je dobivena iz prethodnih koraka kojisu tautologije. Kako modus ponens cuva tautologicnost, R mora biti tautologija.Kontradikcija. Dakle, samo se tautologije mogu dokazati.

3.2.3.1 Njegova konzistenost

Teorem 3 0FregeLukasiwicz

Dokaz 2 Konzistenost izravno sijedi iz pouzdanosti. Buduci da su svi teoremitautologije i buduci da nijedna tautologija nije negacija druge tautologije, nijemoguce da obje iz para proturjecnih recenica budu teoremi.

3.2.3.2 Njegova neovisnost

Neovisnost se moe dokazati uvodenjem posebne funkcije dodjeljivanja istini-tosnih vrijednosti. Oznacimo jednu takvu funkciju s f . Funkcija f uzima receniceiz LPL i dodjeljuje im jednu od vrijednosti: 0, 1, 2 po sljedecem pravilu:


A A0 11 12 0

A B A B0 0 01 0 22 0 00 1 21 1 22 1 00 2 21 2 02 2 0

Nazovimo recenicu cija je vrijednost jednaka 0 u svakom vrednovanju odabranom recenicom. Pravilo modus ponens cuva odabranost: ako jeA odbrana,f(A) = 0 i dokaziva te ako je A B odabrana, f(A B) = 0 i dokaziva,onda je B odabrana. Time smo utvrdili da je aksiomski sustav koji koristi shemeA2 i A3 pouzdan u odnosu na zadanu semantiku. Pretpostavimo da taj sustavdokazuje A1. Zbog pozdanosti, svaki A1 aksiom mora biti "odabran". No, tonije slucaj. Uspostavljena kontradikcija pokazuje da niti jedan izvod ne moe izA2 i A3 izvesti A1. Zato je A1 neovisan o njima.

3.2.3.3 Njegova potpunost

Teorem 4 Ako je A tautologija, onda se A moe dokazati u Frege-Lukasiwiczaksiomatskom sustavu:

Taut(A)`FregeLukasiwicz A

Dokaz 3 Dokaz potpunosti je tei i zahtijeva koritenje stroge (matematicke)indukcije, koja ce tek kasnije biti uvedena. Zbog tih razloga navodimo samoskicu dokaza. Klasicni dokaz sadri tri osnovne etape i nekoliko pomocnih (*),kojima se pokazuje da se odredene valjane recenice, potrebne za dokaz mogudokazati u sustavu. (Radi lakeg zapisa, oznaku dokazivosti dalje cemo pisatibez podznaka.) (1) Najprije treba dokazati teorem dedukcije:

{A} ` B ` A B.Dokaz teorema dedukcije provodi se tako da se pokae da postojanje dokaza d1koji koristi {A} i koji dokazuje B jamci postojanje dokaza d2 koji koristi i dokazuje A B. Drugim rijecima, ako postoji dokaz R1, ..., Rn| {z }

d1

i Rn = B,


koji koristi premise {A}, onda postoji dokaz S1, ..., Sm| {z }d2

i Sm = A B koji

koristi samo premise iz skupa . U induktivnom dokazu (vie o induktivnomdokazu naci cete na str. 190) pokazati da teorem vrijedi (i) u osnovnom slucajukada n = 1 te pokazati da (ii) da ako tvrdnja vrijedi za dokaz s n recenica, ondace ona vrijediti i za dokaz s n + 1 recenicom. (i) Ako dokaz sadri samo jednurecenicu R1, onda je ona ili (i.i) aksiom ili (i.ii) recenica iz ili (i.iii) recenicaA. Ako je (i.i) ili (i.ii) slucaj, onda d2 izgleda ovako:

B (A B)| {z } ,A1

A B| {z }MPP :R1,A1

.

Ako je (i.iii) slucaj, onda je d2 dokaz za A A, a takav dokaz postoji (str. 27).Za (ii), pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za dokaz d1 sastavljen od n recenica.Trebamo pokazati da tada teorem vrijedi i za dokaz od n + 1 clanova. Ako je(ii.i) B aksiom ili (ii.ii) jedna od recenica u ili (ii.iii) recenica A, dokaz je vari-janta prethodnog. Preostaje samo slucaj (ii.iv) u kojem je B dobiven primjenom(jedinog) doputenog pravila dokaza. Dakle, B je dobiven iz nekih prethodnihrecenica Ri = X B i Rj = X, i, j < n. Po pretpostavci indukcije vrijedi ` A (X B) i ` A X. Koritenje instance aksioma A2:

(A (X B)) ((A X) (A B))

pokazuje da uz dvije primjene modus ponens-a moemo doci do traenog `A B. (2) U drugoj etapi ostvaruje se povezivanje semantickih i sintaktickihsvojstava. Buduci da je cilj dokaza upravo pokazati da su sve tautologije (tau-tologija je semanticki pojam) dokazive (dokazivost je sintakticki pojam), ovajbi se korak mogao shvatiti kao "nerv dokaza". Najprije definiramo funkciju hkoja za svako dodjeljivanje h istinitosnih i recenicu S ispostavlja daljnju recenicupo sljedecem "receptu":

h(S) =

S ako h(S) = >,S ako h(S) = .

Neka se u recenici S javljaju jedino propozicijska slova iz skupa {P1, ..., Pn}.Tada vrijedi:

{h(P1), ..., h(Pn)} ` h(S). ((*))Dokaz ovog koraka zahtijeva koritenje indukcije koja uzima o obzir sloenostrecenice S. Po doputenoj sintaksi, S mora ili biti propozicijsko slovo ili imatioblik negacije ili kondicionala. Pogledajmo samo treci slucaj. Ako je S kondi-cional, onda postoje receniceA iB takve da je S = A B. Ispitajmo slucajeve:ili h(A B) = > ili h(A B) = . Za razumjeti ideju dokaza dovoljno je daproucimo drugi slucaj. U drugom slucaju mora vrijediti h(A) = > i h(B) = .Trebamo dokazati da tada:

{h(P1), ..., h(Pn)} ` h(A B),to jest, {h(P1), ..., h(Pn)} ` (A B).


Po pretpostavci indukcije traena tvrdnja vrijedi za recenice cija je sloenostimanja od sloenosti S-a. Zato,

{h(P1), ..., h(Pn)} ` h(A),to jest, {h(P1), ..., h(Pn)} ` A,i{h(P1), ..., h(Pn)} ` h(B),to jest, {h(P1), ..., h(Pn)} ` B.

Pomocni korak koristi teorem A (B (A B)) i do traenog se lakodolazi. (3) U trecem koraku povezujemo prethodna dva. Trebamo dokazati daako je K tautologija, da je tada K teorem, ` K. To cemo uciniti eliminirajucipretpostavku po pretpostavku u smjeru s lijeva na desno. Najprije pokaimo damoemo ukloniti Pn. Definirajmo dva vrednovanja: h+ tako da za svaki i {1, .., n} vrijedi h+(Pi) = >, te h tako da za svaki i {1, .., n 1} h(Pi) => a h(Pn) = . Primjenom (*) dobivamo {h+(P1), ..., h+(Pn)} ` K. i{h(P1), ..., h(Pn)} ` K. Primjena teorema dedukcije daje

{h+(P1), ..., h+(Pn1)} ` h+(Pn) K,to jest, {P1, ..., Pn1} ` Pn K,

i

{h(P1), ..., h(Pn1)} ` h(Pn) K,to jest, {P1, ..., Pn1} ` Pn K.

Koristeci pomocni korak po kojemu ako ` A B i ` A B, onda ` B, dobivamo {P1, ..., Pn1} ` K. Istovrsni postupak treba primijenitiredom na preostale pretpostavke i na kraju cemo dobiti ono to smo htjeli: ` K.

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda)"Tableaux" sustave uveo je nizozemski logicar Evert Beth u 50-tim godinamadvadesetog stoljeca. Temeljito ih proucava Raymond Smullyan. Pedagoki gledano,one su lake za koritenje jednom kada se nauce pravila. Slabost proizlazi izcinjenice da ne odgovaraju stvarnom deduktivnom zakljucivanju, u cemu, inace,lei glavna prednost sustava prirodne dedukcije.

Sam sustav lei negdje izmedu semantike i sintakse. Semanticko obiljejeproizlazi iz cinjenice da se gradnjom stabla opisuju minimalne okolnosti u kojimasu sve recenice iz nekog skupa istinite. Sintakticka strana proizlazi iz cinjeniceda se na recenicama primjenjuju pravila zakljucivanja (u kojima se neki istini-tosnofunkcionalni veznik uklanja).

Tablica je stablo (koje raste odozgo prema dolje). Stablom se naziva. struk-tura koja ima pocetnu tocku i gdje svaka tocka, s iznimkom korijena, ima tocno

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 37

jednog od sebe razlicitog neposrednog prethodnika.Pravila se dijele u tri dijela: pravilo za dvostruku negaciju, pravila dodavanja

(konjunkcije) ili -pravila, pravila grananja (disjunkcije) ili -pravila.

I. II. III.A | | / \A 1 1 2

|2

pravila 1 2 -pravila 1 2A B A B A B A B(A B) A B (A B) A B(A B) A B A B A B

A B AB

AB

(A B) AB

AB

Ako grana (put, staza) stabla sadri recenicni atom (propozicijsko slovo) injegovu negaciju, nazivamo je zatvorenom. Stablo je zatvoreno ako su mu svegrane zatvorene. Ispod zatvorene grane upisuje se kriic. Za slucaj propozicijskelogike, svaka recenica nad kojom je primijenjeno neko pravilo oznacava se kvaci-com. Skup recenica cije je stablo zatvoreno je nezadovoljiv skup (neispunjiv).

Ispravnost zakljucka utvrduje se gradnjom stabla za skup recenica koji sadrisve premise i negaciju konkluzije. Zakljucak cije su premise P1, ..., Pn a kon-kluzija K, ispravan je akko skup recenica {P1, ..., Pn,K} nije zadovoljiv. Akoje stablo zatvoreno za neki skup recenica, onda taj skup nije zadovoljiv.

Primjer 3.13 Ispravnost zakljucka [A C], [B C], [A B] C utvrduje seispitivanjem zadovoljivosti skupa {A C,B C,A B,C}. Gradnja istinitosnog


stabla za taj skup pokazuje da je on nezadovoljiv, tj. da je zakljucak ispravan.

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 39

Pregled pravila za istinitosno funkcionalne veznike.


3.3.0.4 Ocitavanje stabla

Recenica S zadvoljiva nezadovoljivaBroj otvorenih grana sve samo dio nijedna

valjana nevaljana

Ispravnost zakljucka moemo provjeriti ispitujuci je li zadovoljiv skup {K}recenica koji obuvaca sve premise P i negaciju konluzije K. Ako {K} nije zadovoljiv, zakljucak ` K jest ispravan. Ispravnost zakljuckamoemo odrediti i ispitujuci je li negacija njegovog korespondentnog kondi-cionala nezadovoljiva. Korespondentni kondicional zakljucka ` K jest

^P

P

K. Ako ^P

P K!

nije zadovoljivo, zakljucak je valjan.

Zadatak 19 Na otoku, ciji su jedini stanovnici vitezovi koji uvijek govore istinu i var-alice koje uvijek lau, susrecemo dvojicu domorodaca. Jedan medu njima kae: "Baremje jedan od nas dvojice varalica." Odredite tko je tko gradnjom istinitosnog stabla!

Odgovor 1 Shema prevodenja: A: Govornik je vitez. B: Drugi stanovnik jevitez. Formalni zapis:

(A (A B)) ((A B) A).Rjeenje: govornik je vitez a drugi stanovnik je varalica.

Zadatak 20 Na otoku, ciji su jedini stanovnici vitezovi koji uvijek govore istinu ivaralice koje uvijek lau, susrecemo dvojicu domorodaca. Jedan medu njima, pokazujucina drugoga, kae: "Ja sam varalica ali on nije." Odredite tko je tko gradnjom istinitsnogstabla!

Zadatak 21 Znamo da tocno jedan od dva kovcega, od kojih svaki ima neki natpis,sadri blago. Znamo i to da je barem jedan natpis laan. Na prvom, drvenom kovcegupie: "Blago je ovdje", a na drugom, eljeznom kovcegu pie: "Blago nije ovdje". Odred-ite gdje je blago koristeci metodu gradnje istinitosnog stabla!

3.3.1 Pouzdanost metode istinitosnog stabla

Teorem 5 Ako je stablo za recenicu S zatvoreno, onda je S tautologija.

3.4 Prirodna dedukcija 41

Koristeci oznaku za zatvorenost stabla `tableaux S, koja tvrdi da se S moedokazati metodom istinitosnog stabla (tj. da je stablo za S je zatvoreno), tvrd-nju moemo zapisati ovako:

`tableaux S S

Dokaz 4 Najprije trebamo dokazati dvije pomocne tvrdnje (leme) o tome dapravila prenose istinitost: 1. ako je korijen pravila istinit, onda su istiniti injegovi nasljednici, 2. ako je korijen istinit, onda je istinit barem jedan njegovnasljednik. Leme je lako dokazati pozivanjem na definicije pojedinih veznika.Za dokaz potpunosti, pretpostavimo suprotno: da je stablo za S zatvoreno a daje S zadovoljivo. Ako je S zadovoljivo, onda postoji vrednovanje u kojem jeono istinto. Tada po lemama mora postojati otvorena grana. Kontradikcija.

3.4 Prirodna dedukcijaDag Prawitz. Ideje i rezultati teorije dokaza. u Novija filozofija matematike.

Cini se da su najistaknutija svojstva Gentzenovih sistema prirodnededukcije (i) analiza zakljucivanja do atomarnih koraka, kojima su razd-vojene deduktivne uloge logickih konstanti, i (ii) otkrice dvovrsnostiovih atomarnih koraka, tj. otkrice uvodenja i uklanjanja, koja stoje uodredenoj simetricnoj relaciji.

Encyclopaedia Britannica 98

Najprije, 1934. njemacki je matematicar Gerhard Gentzen razviometodu Sequenzen (pravila za konzekvente), koja je bila posebno ko-risna za izvodenje metalogickih rezultata o odlucivosti. Ovakvu jemetodu inicirao Paul Hertz 1932, a slicnu je metodu opisao StanislawJashkowski 1934. Sljedeca na redu bila je slicna metoda bez aksioma metoda "prirodne dedukcije," koja koristi samo pravila zakljucivanja;ta je metoda potekla iz sugestije Bertranda Russella iz 1925 a razvili suje Quine i logicari iz SAD-e Frederick Fitch i George David WhartonBerry. Tehnika prirodne dedukcije iroko se koristi u nastavi logike,iako time demonstracija metalogickih rezultata postaje poneto tea[. . . ]

U sustavu prirodne dedukcije ne tedi se na pravilima transformacija: zasvaki logicki znak u jeziku kojeg promatramo postoji pravilo za uvodenje i prav-ilo za uklanjanje tog znaka. Logicki znakovi u jeziku propozicijske logike suveznici (ukljucujuci negaciju). Zakljucivanje se u sustavu prirodne dedukcijemoe opisati kao proirivanje teksta koji sadri premise s izvedenim recenica naosnovi jednostavnih koraka u kojima se neka logicka konstanta ili introducira ilieliminira.


Dokaz u sustavu prirodne dedukcije za recenicu R koji polazi od skupapremisa p: niz recenica R1, . . . , Rn dokaz je za recenicu S na osnovi skupapretpostavki p ako i samo ako su ispunjeni sljedeci uvjeti:

(i) svaka je recenica u nizu ili pretpostavka iz p ili je privremena pretpostavkaili je dobivena putem primjene pravila izvodenja iz prethodnih recenica u nizu,

(ii) -posljednja recenica u nizu je recenica S, tj. Rn = S(iii) posljednja recenica u nizu ne citira niti jednu privremenu pretpostavku

ili recenicu koja ovisi o nekoj privremenoj pretpostavci (drugim rjecima, nijednaprivremena pretpostavka nije na snazi).

Zadatak 22 Analizirajte sljedeci citat! Alfred Tarski: "Za dokazati: Ako je x = y,onda je y = x. Dokaz: 1. Po Leibnizovom zakonu, x = y ako i samo ako x ima svakosvojstvo koje ima x i y ima svako svojstvo koje ima x. 2. Zamijenimo u Lebnizovomzakonu x s y i y s x. Dobivamo: y = x ako i samo ako y ima svako svojstvo x i x imasvako svojstvo koje ima y. 3. Po zakonu komutacije za logicko mnoenje, desne strane ubikondicionalima iz 1. i 2. su ekvivalentne. 4. Lijeve strane, tj. formule x = y i y = x,moraju takoder biti ekvivalentne. Zato, vrijedi da ako x = y, onda y= x." Izdvojite praviladokaza u citatu? Jesu li ona elementarna? Prikaite strukturu dokaza graficki!

3.4.1 Pregled pravila i usporedba prirodne dedukcije uLemmon i Fitch stilu

Oznaka Lemmon FitchPretpostavke navodenje rednih brojeva pretpostavke koje su na snazi

pretpostavki o kojima korak ovisi iznad i s lijeva crte dokazaBroj koraka u zagradama redni broj ispred recenicePravilo iza dobivene recenice s citiranjem recenica na kojima se primjenjujeStavljanje pretpostavke van snage izostavljanje broja pretpostavke izlaenje izvan crte poddokaza

Fitch stil dokaza.

3.4.1.1 Konjunkcija


3.4.1.2 Elim

Lemmon

a1, ..., an (i) A B...a1, ..., an (j) A [ili B] i Elim

Fitch

(i)P1 ... Pi ... Pn...(j)Pi Elim: i

3.4.1.3 Intro

Lemmon

a1, ..., an (i) A...b1, ..., bm (j) B...a1, ..., an, b1, ..., bm (k) A B [ili B A] i,j Intro

Fitch

(i)P1(j)Pn...(k)P1 ... Pn Intro: i,...,j

3.4.1.4 Disjunkcija

3.4.1.5 Elim

Lemmon

a1, ..., as (i) A B...j (j) A pretpostavka...b1, ..., bt (k) C


...l (l) B pretpostavka...c1, ..., cu (m) C...Pret (n)..C i, j, k, l, m Elimgdje Pret = {a1, ..., as} {b1, ..., bt} {j} {c1, ..., cu} {l}

Fitch

(i) P1 ... Pn...

(j) P1...

(k) S(l) Pn...(m) S

...(n) S Elim: i, j-k,..., l-m

3.4.1.6 Intro

Lemmon

a1, ..., an (i)..A...a1, ..., an (j)..A B [ili B A] i Intro

Fitch

(i)Pi...(j)P1 ... Pi ... Pn Intro: i

3.4.1.7 Kondicional

3.4.1.8 Elim

Lemmon

a1, ..., an (i) A B


...b1, ..., bm (j) A...a1, ..., an, b1, ..., bm (k)..B i, j Elim

Fitch

(i)A B...(j)A...(k)B Elim: i,j

3.4.1.9 Intro

Lemmon

i (i) A...a1, ..., an (j) B...{a1, ..., an} {i} (k) A B i, j Intro

Fitch...(i) A...(j) B

(k) A B Intro: i-j3.4.1.10 Negacija

3.4.1.11 Elim

Lemmon

a1, ..., an (i) A...a1, ..., an (j) A i Elim


3.4.1.12 Elim

Fitch

(i)A...(j)A Elim: i

3.4.1.13 Intro

Lemmon

i (i) A...a1, ..., an (j) [bilo koja eksplicitna kontradikcija]...{a1, ..., an} {i} (k) A i, j Intro

Fitch

...(i) A...(j)

(k) A Intro: i-j3.4.1.14 Neistina (apsurd, falsum)

3.4.1.15 Elim

Fitch

(i)...(j)A Elim: i


3.4.1.16 Intro

Fitch

(i)A...(j)A...(k) Intro: i, j

3.4.1.17 Bikondicional

3.4.1.18 Elim

Lemmon

a1, ..., an (i)..A B...a1, ..., an (j)..(A B) (B A) i D

Fitch

(i)A B [ili B A]...(j)A...(k)B Elim: i, j

3.4.1.19 Intro

Lemmon

a1, ..., an (i)..(A B) (B A)...a1, ..., an (j)..A B [ili B A] i D


Fitch

(i) A...

(j) B...(k) B...(l) A

(m) A B Intro: i-j, k-l3.4.1.20 Reiteracija

Fitch

(i) A...

(j) A Reit: i

Zadatak 23 Usporedite na primjerima po vaem izboru dokazivanje u Lemmon-stilukoristeci interaktivnost na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/konstruktor.htmi dokazivanje u Fitch-stilu koristeci interaktivnost na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/joj/joj.htm!

3.4.2 Pravila prvog i drugog redaRazmotrena pravila prirodne dedukcije za istinitosno funkcionalne veznike ne"lee na istoj razini". Jedna vrsta takvih pravila koristi recenice da bi se izvelaneka recenica, druga koristi dokaze da bi se dokazala neka recenica. Te dvijevrste pravila, po sugestiji Davida Makinsona, mogli bismo nazvati: (i) izravnapravila ili pravila prvog reda, koja recenice ili recenica na recenicu, i (ii) neizravnapravila ili pravila drugog reda, koja doputaju prijelaz sa zakljucka na zakljucak.

Primjer 3.14 Pravila drugog reda u Makinsonovom zapisu. A je skup recenica, ,1, 2, su recenice.

[Kondicionalan dokaz] A{}`A`

[Disjunktivan dokaz]

A {1} ` A {2} ` A{12}`

[Reductio ad absurdum] A{}`A`

3.4.3 Pitanja za razmiljanja

Zadatak 24 Kojem biste sustavu dokaza dali prednost za svrhu pocetnog ucenja logike?


Zadatak 25 Kako biste objasnili povijesni redoslijed javljanja sustava dokaza (ak-siomatski; prirodna dedukcija; istinitosno stablo)?

Zadatak 26 Kako se odnose jezicna i logicka sposobnost, razumijevanje znacenjarecenica i razumijevanje odnosa znacenja medu recenicama? Koji od razmotrenih sus-tava bolje objanjava vezu izmedu dviju sposobnosti?

Zadatak 27 Usporedite dva nacina ispitivanja zadovoljivosti: putem istinitosnih tablicai putem istinitosnog stabla! Koji je medu njima kompleksniji, tj. koji ukljucuje vie korakai zahtjeva veci "prostor" u memoriji?

Zadatak 28 Kako biste odredili znacenje izraza elegantni dokaz?

Poglavlje 4Pouzdanost sustava prirodnededukcije za propozicijsku

logiku

Zadatak 29 Ekskluzivna disjunkcija. Prikai P Y Q u konjunktivnoj i disjunktivnojnormalnoj formi.

Zadatak 30 Je li sljedece pravilo dokazivanja prihvatljivo:

, P YQ ` S , P YQ ` T, P YQ ` S Y T ?

Zadatak 31 Iskaite pravila uvodenja (YIntro) i iskljucivanja (YElim) za ovaj veznik!

Odgovor 2 Jedno od mogucih rjeenja:

Y Intro, P ` Q ,P ` Q ` P YQ [ili Q Y P ]

Y ElimP YQ [ili Q Y P ],P ` Q

4.1 Tautoloka posljedicaQ je tautoloka posljedica od P1, ..., Pn ako i samo ako je Q istinito usvakom vrednovanju u kojemu je svaka recenica P1, ..., Pn istinita.

Primjer 4.1 DesnoOd(b, a) je analiticka posljedica recenice LijevoOd(a, b) jer sute dvije relacije inverzne. Ipak prvospomenuta recenica nije tautoloka posljedica druge

50

4.2 Pouzdanost 51

jer metoda istinitosnih tablica zanemaruje znacenje predikata koji se javljaju u atom-arnim recenicama.

Korespondentni kondicional nije tautologija.

Druga recenica je analiticka posljedica prve, ali nije njezina tautolokaposljedica..

4.2 PouzdanostPouzdanost (soundness) zakljucka i pouzdanost formalnog logickog sustava surazliciti pojmovi. Prvo je svojstvo valjanog zakljucka cije su sve premise istinite.Drugo je svojstvo logickog sustava, a posebnom slucaju propozicijske logikerijec je o svojstvu da se u sustavu samo tautoloke posljedice premisa mogudokazati.

Primjer 4.2 Pronadite korespondentni kondicional za metodu dokazivanja iz Prim-jera 29! i umjesto ekskluzivne disjunkcije posluite se s bikondicionalom. Pronadite

52 Poglavlje 4 Pouzdanost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku

protuprimjer!

Protuprimjer za dokaz iz Primjera 29. Jo jedan dobivamo s vrednovanjem 0; 1; 1; 1 zaP ;Q;S;T .

Kako moemo biti sigurni da pravila za uvodenje i iskljucivanje veznika necena kraju nekog dugog dokaza uspostaviti konkluziju koja zapravo nije tautolokaposljedica premisa? Kako moemo znati moemo li se pouzdati u dani formalno-logicki sustav? Da bismo postigli takvu sigurnost moramo dokazati pouzdanost(soundness) sustava.

4.3 Dokaz pouzdanostiUvedimo sljedece oznake:

FT , za dio razmatranog deduktivnog sustava koji sadri pravila uvodenja iiskljucivanja za logicke simbole , , , , , .`T , za odnos dokazivosti u sustavu FT

Recenicu zapisanu u infiksnom obliku P1, ..., Pn `T Q citamo zaQ postojiformalni dokaz iz premisa P1, ..., Pn u sustavu FT ili Q se moe dokazati usustavu FT pomocu premisa P1, ..., Pn.

Teorem 6 (Pouzdanost sustava FT ) Ako P1, ..., Pn `T S, onda je S tautolokaposljedica recenica P1, ..., Pn.

Dokaz 5 Pretpostavimo da je d neki dokaz sacinjen u sustavu FT . Pokazatcemo da je bilo koja recenica koja se javlja u bilo kojem koraku dokaza d tau-toloka posljedica pretpostavki koje su na snazi u tom koraku. Ova se tvrdnja

4.3 Dokaz pouzdanosti 53

ne odnosi samo na recenice koje su premise dokaza vec i na recenice koje sejavljaju u poddokazu, ma koliko duboko one bile "ukopane". Pretpostavke kojesu na snazi uvijek ukljucuju glavne premise dokaza, ali ako promatramo ko-rak u nekom poddokazu, onda pretpostavke na snazi na tom koraku ukljucujusve pretpostavke tog poddokaza. Tvrdnja da je bilo koja recenica u dokazud tautoloka posljedica pretpostavki na snazi u tom koraku povlaci teorem opouzdanosti. Naime, ako se S javlja na glavnoj razini u d, onda su P1, ..., Pnjedine pretpostavke na snazi u tom koraku pa je S njihova tautoloka posljedica.

U dokazu tvrdnje koristit cemo dokaz kontradikcijom (reductio ad absur-dum). Pretpostavimo da postoji korak u dokazu d koji nije tautoloka posljedicapretpostavki koje su na snazi u tom koraku. nazovimo taj korak nevaljanimkorakom. Nerv dokaza je u tome da se pokae da niti jedno od 12 pravila nijemoglo opravdati taj nevaljani korak. Drugim rijecima, primijeniti cemo dokazispitivanja slucajeva i pokazati da koje god pravilo iz FT primijenimo na tom ko-raku uvijek dobivamo kontradikciju. Ta nam cinjenica omogucuje da zakljucimou dokazima u FT ne moe biti nevaljanih koraka.

Elim : Pretpostavimo da je prvi nevaljani korak derivira recenicu Rputem primjene pravila iskljucivanja kondicionala nad recenicama Q R iQ koje se javljaju ranije u dokazu d. Neka je A1, ..., An popis pretpostavki kojesu na snazi pri derivaciji recenice R. Ako je ovaj korak nevaljan, onda R nijetautoloka posljedica recenica A1, ..., An. No pretpostavka o nevaljanosti togkoraka vodi nas u kontradikciju.

Buduci da je R prvi nevaljan korak u dokazu d, znamo da su i Q R iQ valjani koraci, tj. tautoloke posljedice pretpostavki koje su na snazi u timkoracima. Vano je uociti da zahvaljujuci cinjenici da nam FT dozvoljava samocitirati glavne premise i pretpostavke iz poddokaza koje su jo na snazi znamoda su recenice koje su na snazi u Q R i u Q takoder na snazi u R. Zatose pretpostavke za te korake nalaze medu recenicama A1, ..., An. Slika moe

54 Poglavlje 4 Pouzdanost susta

Логика - скрипте

Documents

Transcript of Логика - скрипте