МЕТОД ЗАМЕНЫ МНОЖИТЕЛЕЙВыполнила: Позднякова Виктория 11 «А» класс

Руководитель: Митусова Светлана Викторовна.

1

ОСНОВНАЯ ИДЕЯ МЕТОДА Любое неравенство можно привести к виду:

При работе с таким неравенством нас интересует только знак любого множителя в числителе и знаменателе, а не его абсолютная величина

Поэтому любой множитель можно заменить на другой: знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни

ВНИМАНИЕ! Замена множителя осуществляется только когда требуется сравнить произведение с нулем! 2

МОНОТОННОСТЬ

• Утверждение 1: функция f(x) строго возрастающая, если большему значению X соответствует большее значение У; для любых двух значений t1 и t2 из области определения функции верно:

• t1 – t2 f(t1) – f(t2)• Утверждение 2: функция f(x) строго

убывающая, если большему значению Х соответствует меньшее значение У; для любых двух значений t1 и t2 из области определения функции верно:

• t1 – t2 f(t2) – f(t1) 3

AX2 + BX + C ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНОМ ДИСКРИМИНАНТЕ

4

• y = ax2 + bx + c, a < 0• D < 0, D = b2 – 4ac 4ac

> 0 • a < 0, c < 0

• y = ax2 + bx + c, a > 0• D < 0, D = b2 – 4ac 4ac >

0 • a > 0, c > 0

х

х

Следовательно, любой трехчлен ax + bx + c с отрицательным дискриминантом можно заменить на старший коэффициент или на свободный член:ax + bx + c a c

ФУНКЦИЯ Y = Xⁿ

5

При любом x функция возрастает

x1 – x2 x12k-1 - x2

2k-1

При х > 0 функция y = xⁿ возрастает

x1 – x2 x1ⁿ - x2ⁿ

n = 2k

n = 2k – 1, k   N

6

Отсюда:x1 > x2 x1

2 > x22 √x1 >

√x2;x1 – x2 x1

2 - x22;

√x1 - √x2 x1 – x2, где x1, x2 ≥ 0

Т.к. lml ≥ 0 и lml2 = m2 ,

lx1l – lx2l lx1l2 - lx2l2 x12 -

x22

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ И ВЫЗЫВАЕМЫЕ ИМИ ЗАМЕНЫ

Функция y = at

at1 – at2 = (10lga)t1 – (10lga)t2 = 10t1lga – 10t2lga at1 – at2 t1lga - t2lga

at1 – at2 (t1 - t2)lga

Функция y = lgx – возрастающая, след.x1 – x2 lgx1 – lgx2 (при соблюдении ОДЗ)

Если x1 = а, x2 = 1, то a – 1 lga – lg1,

то есть lga a – 1 7

Убывает при 0 < a < 1

Возрастает при a > 1

at1 – at2 (t1 - t2)(a – 1)

Аналогично:

Отсюда:

8

ПРИМЕР №1

9

Ответ: (0; ] (3; + ).

0 3

++

ПРИМЕР №2

ОДЗ: x – 1 > 0 x + 1 > 0 x > 0

10

ОДЗ: X > 1

0 1 2

++

Ответ: (1; 2].

ОДЗ: x – 1 > 0 x + 1 > 0 x > 0

ПРИМЕР №3

11

+++

- 4 - 1 1

Ответ: [-4; -1] {1}.

0

ПРИМЕР №4

12

++-2,5 -1 1

2-2 -1+ +

Ответ: (-2,5; -2] (1; 2].

ВОЗМОЖНЫЕ ЗАМЕНЫ1. 2.

3.

4. 5.

6.

13

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

14