Σπάσιμο συμμετρίας

TO ΠΑΙΜΟ ΣΗ SU(2)XU(1) ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΣΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΣΤΠΟ.

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΣΟ «ΠΑΙΜΟ» ΣΗ

SU(2)W XU(1)Y ΤΜΜΕΣΡΙΑ

ΣΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΣΤΠΟ

ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ

ΥΤΙΚΟ

MSc. ΘΕΩΡΗΣΙΚΗ ΥΤΙΚΗ

ΑΘΗΝΑ 2011



τα επόμενα θα δούμε το αυτόματο σπάσιμο της μη Αβελιανής συμμετρίας, που αφορά

το «ηλεκτρασθενές» (electroweak) κομμάτι του λεγόμενου Καθιερωμένου Προτύπου (Standard

Model).

Ξεκινάμε με την Lagrangian:

2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ( )( ) ( )4

L

(1)

όπου , η SU(2) διπλέτα (SU(2) douplet) μποζονίων:

1 2

0

3 4

1 ˆ ˆ( )ˆ 2ˆˆ 1 ˆ ˆ( )

2

i

i

(2)

Σο μιγαδικό βαθμωτό πεδίο «καταστρέφει» θετικά φορτισμένα σωματίδια και

«δημιουργεί» αρνητικά φορτισμένα, ενώ το μιγαδικό βαθμωτό πεδίο 0 «καταστρέφει»

ουδέτερα σωματίδια και δημιουργεί ουδέτερα αντισωματίδια. (Η Λαγκρανζιανή (1) εκτός της

SU(2) συμμετρίας, διαθέτει και μια U(1) συμμετρία και έτσι η πλήρης συμμετρία είναι: SU(2)

Φ U(1) ).

Με την επιλογή του + 2 ˆ ˆ η Lagrangian έχει την κατάλληλη επιλογή προσήμου του

2 για να οδηγήσει σε «αυτόματο σπάσιμο» συμμετρίας. (Με το «κανονικό» πρόσημο για το

2 , δηλαδή με αντικατάσταση του + 2 ˆ ˆ με τον όρο - 2 ˆ ˆ , ( 2 0 ), η free ( 0 )

Lagrangian (1) θα περιέγραφε μια μιγαδική διπλέτα με 4 βαθμούς ελευθερίας, καθέναν με την

ίδια μάζα m).

Για την Λαγκρανζιανή (1) λοιπόν , (με 2 0 ), το ελάχιστο του δυναμικού βρίσκεται

στο σημείο:

2 2

min

2ˆ ˆ( )2

(3)

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian



όπου όπως στην U(1) περίπτωση, ερμηνεύουμε την (3) σαν την συνθήκη για την vacuum

expectation value (vev) του ˆ ˆ :

2

ˆ ˆ0 02

(4),

όπου το 0 είναι η θεμελιώδης κατάσταση (ground state).

H Lagrangian λοιπόν (1):

i) Είναι αναλλοίωτη κάτω από τον glοbal μετασχηματισμό:

.ˆ ˆ ˆexp( )2

ai

(5)

ii) Είναι αναλλοίωτη κάτω από τον U(1) glοbal μετασχηματισμό:

ˆ ˆ ˆexp( )ia (6)

Η πλήρης συμμετρία αναφέρεται σαν SU(2) Φ U(1) συμμετρία.

την «τοπική έκδοση» (local version), θα πρέπει να εισάγουμε 3 SU(2) gauge πεδία, που

θα τα ονομάσουμε ˆ ( ),iW x 1,2,3i και ένα U(1) πεδίο βαθμίδας ˆ ( )B x .

Σώρα όμως πάνω στη διπλέτα:

0

ˆˆ

ˆ

,

Πρέπει να δρα η «συναλλοίωτη» (covariant) παράγωγος:

ˆ.

2

WD ig

,



στην οποία θα πρέπει να προστεθεί και ο U(1) όρος: ˆ

2

Big

Η Λαγκρανζιανή λοιπόν γράφεται:

2 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )4 4 4

GL D D F F G G

(7),

όπου:

ˆ

ˆ ˆ( . )2 2

W BD ig ig

(8)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆF W W gW W (9)

ˆ ˆ ˆG B B (10)

τη συνέχεια θα πρέπει να επιλέξουμε τη μη μηδενική αναμενόμενη τιμή του κενού που

σπάει τη συμμετρία. Σο «κλειδί» της υπόθεσης είναι ότι μετά το σπάσιμο της συμμετρίας θα

πρέπει να μείνουμε με τρία μποζόνια βαθμίδας που έχουν μάζα (που θα αντιστοιχούν στα

0, ,W W Z ) και με ένα άμαζο μποζόνιο βαθμίδας (το φωτόνιο). Μπορούμε τότε να

υποθέσουμε ότι το άμαζο μποζόνιο (φωτόνιο) σχετίζεται με κάποια συμμετρία που δεν σπάει

από την vev που επιλάξαμε.

Η επιλογή λοιπόν που έγινε από τον Weinberg (1967) είναι:

0ˆ0 0

2

(11),

όπου: 2

2

Η επιλογή (11) είναι τέτοια ώστε:



1( )2

3

1 ˆ( ) 0 0 02

t (12),

δηλαδή το κενό παραμένει αναλλοίωτο κάτω από τον μετασχηματισμότης U(1) και της τρίτης

συνιστώσας του SU(2) isospin.

Steven Weinberg

Έτσι λοιπόν:

1( )2

3

1ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 ( 0 0 ) exp[ ( ) 0 0 0 02

ia t (13),

όπου 1

(32

3)2

t

, είναι η τρίτη συνιστώσα του «αθενούς» (weak) isospin.

τη συνέχεια θεωρούμε «ταλαντώσεις» γύρω από τη «θέση ισορροπίας» (12) , που

παραμετροποιούμε μέσω της:

http://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Weinberg



0ˆ ˆexp( ( ). ) 1 ˆ( ( ))2

2

i xH x

(14)

Μπορούμε να θεωρήσουμε την βαθμίδα στην οποία η «φάση» μηδενίζεται, οπότε ο

εκθετικός όρος γίνεται μονάδα και η (14) ανάγεται στην απλούστερη μορφή (για την

θεωρούμενη βαθμίδα):

0ˆ 1 ˆ( ( ))

2H x

(15)

Ακολούθως εισάγουμε την (15) στην Lagrangian κάνουμε πράξεις και κρατώντας όρους

μέχρι δεύτερη τάξη στα πεδία (δηλαδή όρους κινητικής ενέργειας και μάζας), καταλήγουμε:

2 21ˆ ˆ ˆ ˆ2

Free

GL H H H

2 2

1 1 1 1 1 1

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )4 8

W W W W g W W

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )4 8

W W W W g W W

3 3 3 3

1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )( )4 4

W W W W G G

2

3 3

1 ˆ ˆ ˆ ˆ( )( ).8

gW g B gW g B

(16),

όπου η δράση του στο (αν πολλαπλασιασθεί με το συζυγή της), θα δώσει απ΄ευθείας τον

όρο: ˆ ˆH H , ενώ από τον όρο του δυναμικού θα προκύψει το 2 2H .



Για να βρούμε τους άλλους δευτεροβάθμιους όρους, πρέπει να δούμε πως δρα η

συναλλοίωτη παράγωγος στο .

Με την επιλογή:

0ˆ 1 ˆ( ( ))

2H x

, έχουμε:

1 2

3

1ˆ ˆ ˆ( ) ( ( ))ˆ ˆ 2 2ˆ( . )12 2 ˆ ˆ ˆ ˆ( ( )) ( ( ))

2 22

igW iW H x

W Big ig

ig igW H x B H x

, διότι:

1 1 1 2 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ.W W W W

1 2 3

0 1 0 1 0ˆ ˆ ˆ

1 0 0 0 1

iW W W

i

3 1 2

1 2 3

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

W W iW

W iW W

, οπότε:

ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ( . ) .

2 2 2 2

W B ig igig ig W B

=

3 1 2

1 2 3

0ˆ ˆ ˆ

1 ˆˆ ˆ ˆ ( ( ))22

W W iWig

H xW iW W

0ˆ 1 ˆ( ( ))2

2

igB

H x

1 2

3

1ˆ ˆ ˆ( ) ( ( )2 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ) ( ( ))2 22 2

igW iW H x

ig igW H x B H x

(17)



Πολλαπλασιάζοντας την (17) με τη συζυγή της, και κρατάντας τους δευτεροβάθμιους

όρους, οδηγούμαστε στην παράσταση:

2 2 2 2 2

1 2 3 3

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )( )8 8

g W W gW g B gW g B

,

η οποία εμφανίζεται στη Λαγκρανζιανή (16).

την πρώτη γραμμή της (16) έχουμε ένα βαθμωτό πεδίο με μάζα:

2Hm (το μποζόνιο του Higgs)

τις επόμενες δύο γραμμές βλέπουμε ότι οι συνιστώσες 1W και

2W της τριπλέτας

(1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,W W W ) αποκτούν μάζα, ίση προς:

1 22

W

gM M M

τις δύο τελευταίες γραμμές, τα πεδία 3W και B αναμιγνύονται. Όμως βλέπουμε ότι ο

τελευταίος όρος είναι:

2

3 3

1 ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )8

gW g B gW g B

,

δηλαδή ο σύνθετος όρος 3ˆ ˆgW g B είναι που αποκτά μάζα.

Οδηγούμαστε έτσι στην εισαγωγή του γραμμικού συνδυασμού:

3ˆ ˆ ˆcos sinW WZ W B (18),

όπου:

1

2 2 2

cos

( )

W

g

g g

και 1

2 2 2

sin

( )

W

g

g g

(19),

http://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_boson



μαζί με τον ορθογώνιο συνδυασμό:

3ˆ ˆ ˆsin cosW WA W B (20)

Οπότε πλέον για τις δύο τελευταίες γραμμές της (16), έχουμε:

3 3 3 3

1 ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )4

W W W W

2

3 3

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )4 8

G G gW g B gW g B

=

=1 ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )4

Z Z Z Z

2 2 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ( )8 4

g g Z Z F F

(21),

με : ˆ ˆF A A (22)

Η γωνία W , για την οποία έχουμε:

tan W

g

g

,

και η οποία συσχετίζει τις σταθερές σύζευξης g και g ονομάζεταιγωνία Weinberg (αν και

πρωτοεμφανίσθηκε στην εργασία του Glashow) ή επίσης και γωνία «ασθενούς μίξης» για τον

λόγο ότι αναμειγνύει τα πεδία βαθμίδας, έτσι ώστε να είναι:

3

3

ˆ ˆ ˆcos sin

ˆ ˆ ˆsin cos

W W

W W

Z W B

A W B

(23)



Σώρα, μπορούμε να δούμε τις παραπάνω σχέσεις σαν μια στροφή των πεδίων 3W και

B , μέσω του πίνακα στροφής ( )WR ,

δηλαδή:

3

ˆˆ( )

ˆˆ W

BAR

WZ

,

ή

3

ˆˆ cos sin

ˆˆ sin cos

W W

W W

BA

WZ

(24)

(Απόλυτα δικαιολογημένος λοιπόν ο όρος «γωνία» για αυτή την πολύ σπουδαία παράμετρο του

Καθιερωμένου Προτύπου).

Αντιστρέφοντας την (24), παίρνουμε:

3

ˆ ˆ( )

ˆ ˆW

B AR

W Z

ή

3

ˆ ˆcos sin

ˆ ˆsin cos

W W

W W

B A

W Z

(25)

3

ˆˆ ˆcos sin

ˆˆ ˆsin cos

W W

W W

B A Z

W A Z

(26)

Εισάγοντας λοιπόν τις (26) στο πρώτο μέλος της (21), καταλήγουμε μετά από πράξεις

στο δεύτερο μέλος της (21).



Ας δούμε τώρα την παράσταση:

2 2 21 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( ) ( ) ( )( )4 8 4

Z Z Z Z g g Z Z A A A A

Παρατηρούμε λοιπόν ότι:

i) Λείπει ο όρος ˆ ˆA A

, δηλαδή 0AM . Αναγνωρίσουμε λοιπόν ότι στο πεδίο A αντιστοιχεί

το φωτόνιο, το οποίο παραμένει άμαζο.

ii) Σο Z αποκτά μάζα:

1

2 2 21

( )2 cos

WZ

W

MM g g

(27),

(και αντιστοιχεί στο 0Z της τριπλέτας ( 0, ,W W Z ).

Ας μετρήσουμε τώρα τους βαθμούς ελευθερίας. Ηαρχική Λαγκρανζιανή (7) έχει 12

βαθμούς ελευθερίας ήτοι:

3 Άμαζα W’s άμαζο Β, που μας κάνουν 8 (=4Φ2) βαθμούς ελευθερίας, μαζί με τους 4 βαθμούς

ελευθερίας που αντιστοιχούν στα 4 πεδία (Σο άμαζο vector σωμάτιο έχει 2 βαθμούς

ελευθερίας, αφού επιτρέπεται μόνον η εγκάρσια πόλωση).

Μετά το σπάσιμο συμμετρίας έχουμε:

3 διανυσματικά πεδία: 1 2ˆ ˆ,W W και Z με μάζα, ήτοι: 3Φ3=9 βαθμούς ελευθερίας, ένα άμαζο

διανυσματικό πεδίο A με 2 βαθμούς ελευθερίας και ένα βαθμωτό

πεδίο H με μάζα (1 βαθμός ελευθερίας).

τη συγκεκριμένη λοιπόν βαθμίδα:



0ˆ 1 ˆ( ( ))

2H x

,

τα W’s και το 0Z , έχουν διαδότες που δίνονται από τη σχέση: 2

2 2

.[ ]i gM

M i

Η αντιστοιχία του πεδίου A με το πεδίο του φωτονίου, φαίνεται πιο καθαρά αν

θεωρήσουμε τη συναλλοίωτη παράγωγο ˆD (με όρους τα A και Z ),

η οποία είναι:

23 3 31 1ˆ ˆ ˆˆ{ sin ( ) [ sin ( )] }2 cos 2 2

W W

W

igD ig A Z

(28)

Σώρα, όταν ο τελεστής 31 δράσει πάνω στην ˆ0 0 δίνει (όπως είδαμε στη σχέση

(12)) μηδέν και αυτός είναι ο λόγος που το A δεν αποκτά μάζα, όταν ˆ0 0 0 .

Μπορούμε να ερμηνεύσουμε την μηδενική ιδιοτιμή του 31 σαν το ηλεκτρομαγνητικό

φορτίο του κενού (που επιθυμούμε να είναι μηδέν). Για να πάρουμε τη σωστή

«ηλεκτρομαγνητική» D πρέπει να ορίσουμε:

sin We g (29)

Η μορφή (16) της Λαγκρανζιανής αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη επιλογή βαθμίδας που

κάναμε. Μπορούμε φυσικά να διαλέξουμε άλλες βαθμίδες (που ενδεχομένως πλεονεκτούν στους

υπολογισμούς βρόχων στην επανακανονικοποίηση). τις περιπτώσεις αυτές διαλέγουμε την

γενικότερη παραμετροποίηση:



2 1

3

0 ˆ ˆ1ˆˆ2

2

i

i

,

μαζί με του όρους ’t Hooft:

2 2 2

3

1,2

1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ{ ( ) ( ) ( ) }2

i W i Z

i

W M Z M A

(30)

την περίπτωση αυτή τα μποζόνια βαθμίδας έχουν διαδότες που δίδονται από την

παράσταση:

2 2 1

2 2

(1 )[ ]( )i g M

M

(31)

(εξαρτώνται δηλαδή από το ξ).

(Για οιαδήποτε πεπερασμένη τιμή του ξ, η συμπεριφορά του διαδότη (31) στις υψηλές

ενέργειες, είναι –πρακτικά- ανάλογη του 2

1

, δηλαδή είναι εξ ίσου καλά

επανακανονικοποιήσιμη με την QED στη βαθμίδα Lorentz).

Η γωνία Weinberg W μπορεί να εκφρασθεί ως:

cos WW

Z

M

M (32),

και η τιμή της εξαρτάται από την μεταφορά ορμής Q, στην οπία γίνεται η μέτρηση. Οι πιο

ακριβείς μετρήσεις έχουν γίνει σε πειράματα σύγκρουσης ηλεκτρονίων-ποζιτρονίων με

Q=91,2GeV/c, που αντιστοιχεί στη μάζα ZM του Ζ-boson. Η πειραματική τιμή λοιπόν είναι:

2sin 0,23W , που αντιστοιχεί σε γωνία: 28,7W



τα παραπάνω είδαμε πως με την βοήθεια του μηχανισμού Higgs (Higgs, Englert,

Brout) αποκτούν μάζα τα 3 διανυσματικά μποζόνια – διαδότες της ασθενούς δύναμης. Όμως

επίσης το Higgs (στα πλαίσια του Standard Model) δίνει επίσης μάζα και στα φερμιόνια. Κάθε

σωματίδιο που αλληλεπιδρά με το πεδίο Higgs αποκτά μάζα. Όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η

αλληλεπίδραση, τόσο «βαρύτερο» καθίσταται το σωμάτιο. Όσα σωματίδια δεν αλληλεπιδρούν

με το πεδίο Higgs παραμένουν χωρίς μάζα (άμαζα).

Όμως το μποζόνιο του Higgs διαφεύγει ακόμα. (Η μάζα του δεν προβλέπεται στο

Καθιερωμένο Πρότυπο κάτι που καθιστά πιο δύσκολη την ανίχνευσή του). Οι περισσότεροι

ερευνητές πιστεύουν ότι το Higgs θα κάνει την εμφάνισή του στα πειράματα του LHC στο

CERN (τη στιγή πάντως που γράφονταν αυτές οι γραμμές – επτέμβριος 2011- το

πολυαναμενόμενο μποζόνιο δεν είχε κάνει ακόμα την εμφανισή του...).



Glashow-Salam-Weinberg

Από αριστερά προς τα δεξιά: Sheldon Lee Glashow, USA, Abdus Salam, Pakistan,

and Steven Weinberg, USA, πριν παραλάβουν το βραβείο Nobel του έτους 1979 για την

Υυσική (τοκχόλμη).

http://en.wikipedia.org/wiki/Sheldon_Lee_Glashow

http://en.wikipedia.org/wiki/Abdus_Salam

http://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Weinberg

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1979/

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1979/



Το καθιερωμένο πρότυπο

Διανυζμαηικά μποζόνια = vector bosons

Higgs ?

Φερμιόνια= λεπτόνια και quarks

Και τα ανηιζωμαηίδιά τους



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ

1. Gauge Theories in Particle Physics, I J R Aitchison-A J G Hey, volume (II): QCD and the

Electroweak Theory, Taylor & Francis 2004.

2. A Modern Introduction to Quantum Field Theory, Michele Maggiore, Oxford University Press

2005

3. An Introduction to Quantum Field Theory, M E Peskin-D V Schroeder,Reading MA: Addison

Wesley, 1995.

4. The Quantum Theory of Fields, volume (II) Modern Applications, Steven Weinberg, Cambridge

University Press, 1996.

5. Quantum Field Theory in a Nutshell, A.Zee, Princeton University Press, 2003

6. Field Quantization, W. Greiner-J. Reinhardt, Springer 1996.

Σπάσιμο συμμετρίας

Documents

Transcript of Σπάσιμο συμμετρίας