векторный анализ...

Министерство образования Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

А. И. Григорьев С. О. Ширяева

Векторный анализ в ортогональных

криволинейных координатах

Учебное пособие

Ярославль 2010

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК 530.1:51–72 ББК В151.5я73 Г 83

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2009/10 года

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Коромыслов; кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского государственного технического университета

Г 83

Григорьев, А. И. Векторный анализ в ортогональных криволи-нейных координатах: учеб. пособие / А. И. Григорьев, С. О. Ширя-ева; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2010. – 132 с.

ISBN 978-5-8397-0760-3 Пособие предназначено для студентов физических специально-

стей университетов. Изложение ведется в евклидовом пространстве таким образом, чтобы дать читателю с минимальной математиче-ской подготовкой представление о пространственной кривой, ска-лярном, векторном и тензорном полях, правилах употребления опе-ратора «набла» при бескоординатной записи физических выраже-ний, использовании координатной формы записи линейных и квад-ратичных дифференциальных выражений в ортогональных криво-линейных координатах, основах тензорной алгебры, записи и использовании дифференциальных векторных операций первого и второго порядков в тензорной форме.

При написании учебного пособия

авторы пользовались поддержкой грантов Рособразования № РНП .2.1.1/3776, РФФИ № 09-01-00084-а и № 09-08-00148-а.

УДК 530.1:51–72 ББК В151.5я73

ISBN 978-5-8397-0760-3 Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2010


3

Глава 1. Элементы дифференциальной геометрии

§1. Дифференцирование векторных функций

1. Вектор-функция. Переменный вектор A

называется век-тор-функцией скалярного аргумента t, если каждому значению скаляра t из области допустимых значений соответствует опре-деленное значение A

, т. е. tAA

.

Если A

есть функция от t, то функциями от того же аргумен-та будут его проекции на оси tAA xx ; tAA yy ; tAA zz .

Справедливо и обратное утверждение, т. е. ktAjtAitAtA zyx

.

Задание векторной функции tA

равносильно заданию трех скалярных функций: tAtAtA zyx ,, .

2. Годографом вектор-функции tA

называется геометриче-ское место точек, которое описывает конец этого вектора при изменении аргумента t, когда начало A

помещено в фикси-

рованную точку пространства – в начало координат (рис. 1). Годографом радиус-вектора движущейся точки будет сама

траектория этой точки. Годографом же скорости V

будет уже другая линия (рис. 2).

3. Пределом вектора tB

в точке 0tt называется постоян-

ный вектор A

, если модуль разности между tB

и A

по мере приближения значения t к 0t становится и остается меньше произ-вольного положительного наперед заданного числа :

AtB

, т. е. AtBtt

0

lim .

4. Производной вектора по скалярному аргументу t назы-вается предел отношения приращения вектора B

к соответ-

ствующему приращению аргумента t при 0t :


4

t

BtB

t

0

lim , здесь tBttBB

.

Рис. 1.

Рис. 2.

5. Производная вектора по скаляру есть вектор, направлен-ный по касательной к годографу исходного вектора в рассмат-риваемой точке. Направлен вектор производной в ту сторону, куда перемещается конец вектора по годографу, когда аргумент растет.

6. Дифференциалом векторной функции B

от скалярного аргумента t называется произведение производной этого вектора по его аргументу на дифференциал аргумента:

dttBBd

.

Дифференциал векторной функции – вектор, направленный по касательной к годографу. Отсюда ясно, что

dt

BdtB

.

7. Формула Тейлора для векторной функции. Как и в обыч-ном математическом анализе, производная от tB

даст вторую

производную от tB

. Производная от tB

даст tB

– третью производную от вектор-функции по скалярному аргументу.


5

Тогда векторная функция tB

(если существуют ее производ-ные до n-го порядка включительно) может быть разложена в ряд Тейлора:

tt

n

Bt

tBt

tBt

tBtBttB n

ni

!!3!2!132 ;

где 0lim0

t

t .

Это легко доказать, если расписать ktBjtBitBtB zyx

, разложить в ряд Тейлора скалярные

проекции вектора tB

, умножить разложения на орты и сложить.

§2. Дифференциальная геометрия линии в пространстве

1. Всякую линию в пространстве можно представить как годограф некоторого радиус-вектора trr

, непрерывно

зависящего от скалярного аргумента t. Уравнение зависимости радиус-вектора текущей линии от

аргумента t: trr

назовем векторным уравнением линии. 2. Касательной к линии в данной точке называется предель-

ное положение секущей, проходящей через данную точку и бесконечно к ней близкую точку.

Можно рассматривать радиус-вектор r

текущей точки кривой как функцию от ее дуги s: srr

, где дуга s берется

между данной фиксированной точкой кривой и текущей точкой той же кривой. Каждому положению точки на кривой соответствует определенное значение дуги s и радиус-вектора r

.

Дуга считается положительной, если текущая точка смещается в положительном направлении, и отрицательной в противном случае.

3. Производная от радиус-вектора по дуге ds

rdпо модулю

равна единице, а по направлению совпадает с касательной к дуге в этой точке:


6

s

r

ds

trdS 0lim ,

где – орт касательной. 4. Соприкасающейся плоскостью в данной точке M кривой

называется предельное положение плоскости, проходящей через касательную в данной точке M и точку, бесконечно близкую к точке M.

Следствие: Соприкасающаяся плоскость плоской кривой совпадает с плоскостью, в которой лежит данная кривая.

Теорема: Первая и вторая производная от радиус-вектора tr текущей точки кривой располагаются в соответствующей соприкасающейся плоскости.

Доказательство элементарно: разложив tr в окрестности

данной точки в ряд Тейлора и ограничившись первыми двумя членами, увидим, что tr

является линейной комбинацией векторов tr

и tr

, а это значит, что tr лежит в одной с ними

плоскости. Следствие: Производные tr

и tr , взятые в одной точке,

определяют положение соприкасающейся плоскости в этой точке (если tr

и tr не коллинеарны).

5. Всякая прямая, проходящая через данную точку M пространственной кривой и перпендикулярная касательной в данной точке, называется нормалью. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

Бинормаль определится вектором: trtrB

. Главная нормаль определится вектором:

trtrtrN

. 6. Кривизной линии в данной точке назовем предел отно-

шения угла поворота касательной в данной точке при пере-ходе в бесконечно близкую точку к величине дуги s , заключен-ной между точками:

sK

S

0

lim .


7

Величина, обратная к кривизне, называется радиусом

кривизны: K

RK

1 .

7. Найдем производную от орта касательной по дуге: ds

d. Для

этого рассмотрим на нашей кривой две точки: sM и ssM (рис. 1).

Рис. 1.

Проведем в них орты касательных и изменения , соот-ветствующие приращению s . Пусть повернется на , тогда модуль приращения будет равен:

2sin2

,

следовательно

sds

dS

0lim

sS

)2sin(2lim

0

sS

22

2

2sinlim

0

K

sS

00lim

2

2sinlim .

Чтобы найти направление ds

d, продифференцируем по s ра-

венство 1)( 2 ; получим 02 ds

d

, т. е. ds

d

, т. е. ds

d направ-

лен по одной из нормалей к касательной.


8

С другой стороны, ds

d

; 2

2

ds

d

ds

d , а известно, что )(tr и

)(tr определяют положение соприкасающейся плоскости. Зна-

чит, ds

d лежит в этой плоскости и совпадает по направлению с

главной нормалью.

Орт ds

d обозначается и называется ортом главной

нормали.

В итоге K

ds

d;

ds

dK

.

Производная от орта касательной по дуге равна произведению кривизны линии на направление главной нормали.

8. Перемножив векторно и , получим орт бинормали:

. 9. Кручением T кривой в данной точке M называется предел

отношения угла поворота соприкасающейся плоскости при пере-ходе из данной точки M в бесконечно близкую точку к длине дуги s , заключенной между этими точками:

sT

s

0

lim .

Кручение положительно, если при движении вдоль кривой бинормаль совершает правовинтовое движение, и отрицательно в противном случае.

10. Найдем производную ds

d

. Рассуждения, аналогичные

приведенным в пункте 7 этого параграфа, дадут нам Tds

d

.

Исследуем направление вектора ds

d

. Для этого продифферен-

цируем равенство 12

и получим

2 0d

ds

, т. е. ds

d

.

Продифференцируем тождество по s. Получим


9

ds

d

ds

d

ds

d ,

но так как K

ds

d, то 0

ds

d; остается

ds

d

ds

d

, т. е.

ds

d

.

Итак, вектор ds

d

перпендикулярен векторам и

. Следо-

вательно, он коллинеарен вектору и отличается от него только скалярным множителем, т.е.

T

ds

d

.

Знак минус в этой формуле получился потому, что направ-

ление ds

d

противоположно направлению и при движении в

направлении вектор

будет совершать правовинтовое дви-жение, что соответствует T > 0.

В итоге:

ds

dT

.

Величина, обратная к T, называется радиусом кручения:

TRT

1 .

11. Три основные формулы дифференциальной геометрии линии в пространстве:

1)

ds

rd; 2)

Kds

d ; 3)

T

ds

d .

12. Пример: Винтовая линия. Винтовой линией называется траектория какой-либо точки M твердого тела, которое вращается вокруг неподвижной оси и скользит вдоль нее так, что перемещение пропорционально углу поворота.


10

Пусть расстояние от точки 0M до оси равно a. Перемещение тела вдоль оси z при его повороте на один радиан обозначим h.

Прямоугольную систему координат расположим так, чтобы ось z совпадала с осью винтовой линии, а ось X проходила через начальное положение 0M точки M (рис. 2).

а). Пусть тело поверну-лось на угол t и, следова-тельно, сместилось вдоль оси z на th. Выразив коорди-наты текущей точки M через параметр t, получим пара-метрическое уравнение вин-товой линии:

x = a cos(t); y = a sin(t); z = ht.

Умножив эти уравнения на орты осей координат i

,

j

и k

, получим векторное уравнение винтовой линии:

htktajtaitr

)sin()cos()( .

б). Дифференциал дуги будем вычислять по формуле:

2

22

2

dt

rddtdt

dt

rdrdds

.

Это означает, что направление на кривой выбирается в сторону возрастания параметра t.

с). Для того чтобы вычислить ds

rd

, необходимо знать

дифференциалы rd

и ds : dthktajtaird ))cos()sin((

;

dthadthtatardds 2222222 )(sin)(cos

,

тогда 22

)cos()sin(

ha

hktajtai

ds

rd

.

Рис. 2


11

д). Вычислим теперь орты главной нормали и бинормали. Для главной нормали имеем:

K

ds

d ; dt

ha

tajtaid

22

)sin()cos(

,

тогда 22

)sin()cos(

ha

tajtaiK

.

Для кривизны K получим:

ds

dK

22222

2222

)(

)(sin)(cos

ha

a

ha

tata

;

или ds

d

K

1

22

22 )sin()cos(

ha

tajtai

a

ha

;

)sin()cos( tajtai

.

Для орта бинормали можем записать:

0sincos

cossin1

22

tt

htata

kji

ha

;

22

)cos()sin(

ha

akthjthi

.

е). Теперь нужно найти кручение T:

Tds

d ;

dtha

thjthid

22

)sin()cos(

;

22

)sin()cos(

ha

thjthiT

,

отсюда ds

dT

2222

22 )(sin)(cos

ha

h

ha

thth

.

ж). Из полученных формул видно, что: 1) кривизна и кручение винтовой линии постоянны:

22 ha

hK

;

22 ha

hT

;


12

2) касательная к винтовой линии образует постоянный угол с осью z:

2 2cos( ) ( )

hk k

a h

;

3) орт главной нормали направлен по перпендикуляру к оси вращения. В самом деле, векторная проекция r

на плоскость XOY

будет равна )sin()cos( tajtai

, а это совпадает с вектором: a , т. е. вектор имеет направление, противоположное векторной проекции на плоскость XOY вектора r

.

§ 3. Ортогональные криволинейные координаты

1. Ввести систему координат в некоторой области прост-ранства – значит каким-либо способом установить взаимно одно-значное соответствие между точками этой области и системами значений трех переменных величин – U1, U2, U3, называемых координатами точки.

Пусть в некоторой области введена система координат U1, U2, U3. Поэтому каждой тройке координат в этой области соответствует точка, а следовательно, и радиус-вектор r

этой

точки. Это значит, что r

является функцией координат U1, U2, U3: );;( 321 UUUrr

. Если зафиксировать одну координату 0

33 UU , то

радиус-вектор будет зависеть только от U1 и U2: );;( 0321 UUUrr

.

Конец радиус-вектора в этом случае будет описывать поверхность, которая является координатной поверхностью.

Если зафиксировать две координаты 022 UU , 0

33 UU , то

);;( 03

01 2

UUUrr

будет функцией только одной переменной и его

конец опишет линию, которую назовем координатной линией. Через произвольную точку проходит три координатные

поверхности и три координатные линии, по которым попарно пересекаются координатные поверхности.

Если орты криволинейных осей взаимно перпендикулярны во всех точках пространства, то соответствующие координаты называются ортогональными. В системе ортогональных коорди-


13

нат наиболее просто выглядит скалярное произведение векторов: 3

1i i

i

A B A B

. А поскольку операция скалярного умножения век-

торов – одна из наиболее употребительных алгебраических век-торных операций, то и наибольшее распространение в физиче-ских приложениях получили именно системы ортогональных криволинейных координат.

Рис. 1

2. Простейшим примером ортогональных криволинейных координат являются цилиндрические координаты , , z:

x = cos(); y = sin(); z = z. (1)

Отличительной чертой всех криволинейных систем координат является то, что ориентация некоторых их ортов (в нашем случае

n

и n

) зависит от положения точки, в которой они определя-

ются, и при перемещении от точки к точке ориентация ортов n

и

n

меняется (ориентация ортов xn

, yn

, zn

декартовых осей не

меняется при перемещении в пространстве).


14

Уравнение радиус-вектора в цилиндрических координатах имеет вид

znznr

. (2)

Исходя из этого выражения легко найти вид координатной линии. Зафиксируем и z, тогда конец r

опишет координатную

линию, соответствующую переменной – окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси z.

Зафиксируем и , тогда конец r

опишет координатную линию, соответствующую z, – прямую параллельную орту zn

.

Наконец, зафиксируем z = z0 и = 0, тогда конец r

опишет координатную линию, соответствующую r

, – прямую линию,

перпендикулярную орту zn

, проходящую через точку z = z0 оси OZ, лежащую в плоскости = 0 = const.

Находя производную от r

по дуге окружности ds = d, получим орт n

:

nd

nd

d

nznd

ds

rdn z

)(. (3)

Исходя из рис. 1 легко найти связь между n

, xn

и yn

:

)sin()cos( yx nnn

. (4)

Тогда из (3) найдем:

yx nnn )cos()sin( . (5)

Орт zn

цилиндрических координат совпадает с ортом zn

декартовых координат.

Наконец для орта n имеем:

nd

nd

. (6)

Из (4)–(5) видно, что ориентация ортов n

и n

зависит от

координаты . Поэтому при дифференцировании радиус-вектора


15

по некоему скалярному аргументу следует помнить, что n

и n

–

не постоянные, а изменяющиеся величины. Так, найдем скорость V

и ускорение a

материальной точки, положение которой определяется радиус-вектором (2):

zz nznnnznndt

rdV

; (7)

так как

ndt

d

d

nd

dt

nd ;

znzndt

dna

)(

1)( 2 . (8)

3. В качестве следующего примера рассмотрим сферическую систему координат.

Координатными линиями будут прямые, проходящие через начало координат – для r; окружности, плоскость которых перпендикулярна оси z, – для ; полуокружности, начинающиеся и заканчивающиеся на оси z, плоскость которых проходит через ось z, – для (рис. 2).

Уравнение радиус-вектора в сферических координатах имеет вид:

rnrr

. Легко видеть, что

)cos()sin()]sin()cos([ zyxr nnnn

. (9)

x = r cos() sin(); 0 ; y = r sin() sin(); 0 2; z = r cos(); 0 r < .


16

Рис. 2.

Определив производную от r

по дуге ds = r d при фикси-рованных r и , найдем вектор n

:

)sin()cos()]sin()cos([

zyxr nnn

d

nd

rd

rdn

. (10)

Вычислив производную от r

по дуге r sin() d при фикси-рованных r и , найдем орт n

:

)cos()sin()sin()sin(

yxr nnd

nd

dr

rdn

. (11)

4. Из (9)–(10) видно, что ориентация ортов rn

, n

, n

зависит

от координат и . Поэтому при дифференцировании вектор-функции, записанной в сферических координатах, следует помнить, что орты есть функции углов.

Например, для скорости V

материальной точки:

d

ndr

d

ndrnr

dt

rdV rr

r

;

nrnrnrV r

)sin( . (12)

Используя (12), несложно получить выражение для ускорения материальной точки


17

.)sin()sin()cos()sin(

2

2

dt

ndrnrnrnr

dt

ndrnrnr

dt

ndrnr

dt

Vd

dt

rda r

r

(13)

5. Получим выражения для производных от ортов n

и n

:

rzyx nnnnd

nd

)cos()sin()]sin()cos([ ; (14)

)sin()sin()]cos()sin([ nnn

d

ndyx

; (15)

))sin()sin(()sin()cos( nnnn

d

ndryx

; (16)

0

d

nd

. (17)

§ 4. Общее рассмотрение криволинейных координат

1. Квадратом линейного элемента ds2 или первой фунда-ментальной квадратичной формой пространства называется скалярный квадрат 2rd

полного дифференциала радиус-вектора

текущей точки. Геометрический смысл первой фундаментальной

квадратичной формы пространства заключается в том, что она определяет квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками пространства.

В декартовой системе координат:

.;; 2222 dzdydxdsdzkdyjdxirdzkyjxir

2. Пусть выражение для радиус-вектора r

в произвольных криволинейных координатах имеет вид

);;( 321 UUUrr

,


18

где зависимости от координат U1; U2; U3 могут быть весьма сложными. Тогда зафиксируем U2, U3 и найдем приращение радиус-вектора r

вдоль координатной линии U1:

11111

1ndUhdU

U

rrd U

. (1)

Аналогично

22222

2ndUhdU

U

rrd U

; (2)

3 3 3 3 33

Ur

dr dU h dU nU

. (3)

Полный дифференциал радиус-вектора будет описываться выражением

333222111 ndUhndUhndUhrd

.

Коэффициенты h1, h2 и h3 называются коэффициентами Ламе:

ii U

rh

. (4)

Коэффициенты Ламе считаются размерными, а сами криволинейные координаты – безразмерными.

3. Найдем выражение для первой квадратичной формы пространства в произвольных криволинейных координатах:

221 2 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

3 3

, 1 , 1

( ; ; )

( ) ( )

( ) .i j i j i j ij i ji j i j

ds dr U U U

h dU n h dU n h dU n h dU n h dU n h dU n

h h h h dU dU g dU dU

(5)

где ( )ij i j i jg h h h h

. (6)

Из девяти компонент gij только 6 являются независимыми. В итоге


19

2 2 2 2 2 2 21 2 3 2 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 3 2 3 1 2 2 3

( ; ; ) ( ) ( ) ( )

2 ( ) 2 3( ) 2 ( ) .

ds dr U U U h n dU dU h n dU dU h n dU dU

h h n n dU dU h h n n dU dU h h n n dU dU

4. Геометрический смысл линейного элемента пространства состоит в том, что для произвольно взятой линии )(trr

линей-

ный элемент 2rdds

дает дифференциал дуги этой линии. 5. Элементом объема в криволинейных координатах U1; U2;

U3 называется объем параллелепипеда, построенного на частных дифференциалах rdrdrd UUU

321

;; радиус-вектора текущей точки

по ее криволинейным координатам:

iiiiUU dUnhdUrrdii

.

Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен по абсолютной величине их смешанному произведению:

1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ; ; ) ( ) ( )U U UdV U U U r r r n n n h h h dU dU dU .

6. Введем в пространстве декартову систему координат: .zkyjxir

Вычислим производные радиус-вектора по криволинейным координатам:

1 1 1 1

;r x y z

i j kU U U U

2 2 2 2

3 3 3 3

;

,

r x y zi j k

U U U U

r x y zi j k

U U U U

2 2 2

ii i i i

r x y zh

U U U U

. (7)

Представим теперь элемент объема dV криволинейного про-странства, воспользовавшись формулой для смешанного произ-ведения векторов:

1 2 31 2 3 1 2 3( ; ; ) ( )U U UdV U U U r r r dU dU dU ;


20

1 1 1

1 2 3 1 2 32 2 2

3 3 3

( ; ; ) mod

x y z

U U U

x y zdV U U U dU dU dU

U U U

x y z

U U U

.

Таким образом, элемент объема в криволинейных коорди-натах равен абсолютной величине определителя преобразования (якобиана) декартовых координат в криволинейные, умноженной на произведение дифференциалов криволинейных координат. В краткой записи

321321

321 );;(

),,();;( dUdUdU

UUU

zyxUUUdV

.

7. Как несложно проверить простым вычислением, справед-лива следующая формула для квадрата смешанного произведения трех векторов:

2.

a a a b a c

a b c b a b b b c

c a c b c c

Эту формулу легко вывести, если воспользоваться известным и очевидным соотношением 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b

и правилом разложения двойного векторного произведения.

Если воспользоваться приведенной выше формулой, то можно выразить элемент объема в криволинейных координатах через коэффициенты фундаментальной квадратичной формы:

1 1 1 2 1 2

1 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

3 1 3 3

( ; ; ) .

n n n n n n

dV U U U n n n n n n h h h dU dU dU

n n n n n n


21

8. В общем случае орты 321 ,, nnn

криволинейных координат ориентированы относительно друг друга под произвольными углами. И углы между ними можно найти следующим образом:

12 1 2 1 2 1 2 1 2 11 22( ) cos( , )g n n h h n n h h g g

;

2211

2121 ),cos(

gg

gnn

.

Аналогично

3311

3131 ),cos(

gg

gnn

; 3322

3232 ),cos(

gg

gnn

.

Если g12 = g23 = g13 = 0, то углы между ортами криволиней-ных координат прямые. В этом случае криволинейные коорди-наты называются ортогональными. Условие ортогональности можно представить в виде

0i j i j i j i j

r r x x y y z z

U U U U U U U U

.

9. Для ортогональных координат в выражение для фундамен-тальной квадратичной формы входят только квадраты одноимен-ных координат:

22 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3ds dr h dU h dU h dU

.

Частными случаями криволинейных ортогональных коорди-нат являются сферические и цилиндрические координаты.

10. Задача 1. Найти коэффициенты Ламе в цилиндрических и сферических координатах.

Задача 2. Найти элемент объема в цилиндрических и сфери-ческих координатах.


22

Глава 2. Векторный анализ в ортогональных криволинейных

системах координат

§ 1. Градиент. Производная по направлению

1. Операцию градиента в произвольных ортогональных криволинейных координатах )(r

введем так же, как это делается

в декартовых координатах. Найдем скорости изменения скалярного поля )(r

в точке 0r

вдоль осей U1, U2, U3. Для этого отметим, что дифференциал дуги вдоль координатной линии Ui есть

dli = hi dUi. Поэтому искомые скорости изменения )(r

вдоль )(r

будут:

332211

1;

1;

1

UhUhUh

. (1)

Умножая выражения (1) на орты соответствующих осей и складывая их, получим выражение для grad():

1 2 31 1 2 2 3 3

1 1 1( )grad n n n

h U h U h U

. (2)

2. Для того чтобы определить положение вектора rgrad в

пространстве, найдем дифференциал от уравнения эквипотен-циальной поверхности:

constr 0 ; 1 2 31 2 3( ) 0U U Ud r dU dU dU

.

То же самое можно записать как 0grad r dr , где rd

– прира-

щение радиус-вектора при смещении вдоль эквипотенциальной поверхности. Значит,

rdrgrad

и rdrgrad .


23

Следовательно, скорость роста скалярного поля в данной точке определяется градиентом поля в данной точке.

В некоторых книгах rgrad обозначается n

dn

d , где n

единичный вектор нормали к эквипотенциальной поверхности:

dgrad r n

dn

;

тогда dgrad r

dn

,

где dn

d имеет смысл производной по направлению нормали,

т. е. dn

d , в отличие от rgrad , – скалярная величина, численно

равная скорости пространственного роста скалярного поля в пространстве.

3. В криволинейных координатах дифференциал длины дуги

вдоль координатной линии есть iiui duhrddli

, поэтому скоро-

сти роста скалярного поля вдоль осей u1, u2, u3 будут

11

1

uh

; 22

1

uh

; 33

1

uh

и выражение для градиента примет вид

333

222

111

111e

uhe

uhe

uhrgrad

4. Если требуется опреде-лить скорость изменения век-торного поля в направлении s

,

составляющем угол с направ-лением нормали в той же точке, то это легко сделать исходя из понятия градиента.

Пусть r изменится на

d при смещении вдоль n

на Рис. 1.


24

nd

(рис. 1). Из этого рисунка видно, что такое же изменение r

вызовет и смещение на sd

вдоль s

. Причем cos

dnds , тогда

;coscoscos

,coscos

zyxrgrad

srgradsnrgraddn

d

ds

d

.gradsds

d

где cos(α), cos(β) и cos(γ) – направляющие косинусы направления s

. Отсюда видно, что grad r r определяет макси-

мальное значение скорости изменения скалярного поля в пространстве.

В самом деле, из выражения

snrgrad

ds

d ,cos видно, что

ds

d будет максимально тогда, когда 1,cos

sn .

5. Оператор производной по направлению, задаваемому единичным вектором s

, определится выражением

( )s s , (3)

где

1 2 3

1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( )( )

n s n s n ss

h U h U h U

. (4)

6. Легко показать, что перпендикулярен поверхности уровня = const. В самом деле, дифференцируя уравнение по-верхности уровня, найдем:

1 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3

1 1 1( ) 0d h dU h dU h dU dr

h U h U h U

.

Отсюда вытекает, что перпендикулярен дифференциалу радиус-вектора rd

, направленному по касательной к поверхности

уровня = const.


25

7. Пусть теперь rd

направлен от одной поверхности уровня = C1 к другой = C2. Тогда приращение поля d вдоль rd

будет

равно: ( )d dr .

Для заданного d = C2 – C1 абсолютная величина | rd

| мини-мальна, если rd

направлен параллельно . И наоборот, при

заданном | rd

| изменение скалярного поля )(r

максимально, когда ||rd

. Это и определяет как вектор, указывающий направление максимальной скорости изменения скалярного поля

)(r

. 8. В цилиндрических координатах

1zn n n

z

. (5)

В сферических координатах

1 1

sin( )rn n nr r r

. (6)

9. Пример 1. Найти ( )grad r . Поскольку функция ( )r является центрально симметричной

и зависит только от модуля радиус-вектора, то решение следует искать в сферической системе координат. В итоге

( )( ) .r

d rgrad r n

dr

Пример 2. Найти ( )grad r . Поскольку ( )r есть функция общего вида, не обладающая

никакой симметрией, то ее градиент будет записываться в виде (5) или (6) в зависимости от выбора системы координат, или в прямоугольной декартовой системе:

.x y zgrad r n n nx y z

Пример 3. Найти единичный вектор нормали к поверхности скалярного поля 2( ) .U r r


26

Поскольку функция цетрально симметирична, то расчеты проведем в сферической системе координат.

2.

2r r

rdU dr ngradU r n

n ngradU dU dr r

Пример 4. Найти градиент расстояния:

202

02

0 zzyyxxr

между точками P0={x0, y0, z0} и P={x, y, z}. Поместим начало координат в точку 0P , тогда задача сведется

к отысканию градиента скалярного поля ( ) .U r r В силу центральной симметрии поля в сферических коорди-

натах получим:

.r rgradU grad r dr dr n n

Пример 5. Найти производную по направлению радиус-вектора r

от u=sin(r).

Поскольку функция sin(r) обладает центральной симметрией, то расчеты естественно провести в сферической системе координат:

sincos .r

rdun grad u r

dr r

Пример 6. Найти производную по направлению радиус-вектора r

от

2( ) .U r r

Аналогично предыдущему примеру получим:

2

2 .r

d rdU dUn gradU r

dr dr dr

Пример 7. Найти производную функции 1u r в направ-лении единичного вектора e

. При каком условии эта производная

равна нулю?


27

2

1;ru e n

e gradr r r

если rne

, то 0

e

u.

Пример 8. Найти производную функции 1u r в направ-лении ее градиента.

2

2

11

r

dgrad ugrad uu rgrad u grad u n

drgrad u grad u grad u r

.

Пример 9. Вычислить 3

p rgrad

r

, где p – постоянный вектор

в сферической системе координат. В качестве выделенного направления, от которого будем

отсчитывать полярный угол , выберем направление, заданное p . Тогда получим:

3 2 2 2

cos cos 1 cosr

p r p p pgrad grad n n

r rr r r r

3 3

2 cos sin.r

p pn n

r r

§ 2. Циркуляция векторного поля по кривой

1. Векторное поле, являющееся градиентом скалярного поля r , называется потенциальным векторным полем. Величина

скаляра в конкретной точке называется потенциалом. Потенциальные поля обладают особыми свойствами, связанными с понятием циркуляции векторного поля по кривой.


28

Пусть дано векторное поле rA

. Выберем в нем две произ-вольные точки 11 rM

и 22 rM

и свяжем их произвольной кри-вой L (cм. рис. 1). Разобьем кри-вую L на N малых участков, которые заменим хордами kr

,

и составим скалярные произве-дения k kA r

. Далее, возьмем сумму всех таких произведений вдоль кривой L

1

N

k kk

A r

и устремим ее к пределу, полагая N (или max 0k

r ):

1

limN

k kN k L

A r A dr

.

Полученный предел назовем циркуляцией векторного поля A

по кривой L (или криволинейным интегралом второго рода):

cos ;L L L L

A dr A dl A A dl A dl

где – единичный вектор касательной к кривой L; dl dr

(cм. рис.1); dl – элемент длины кривой.

2. Докажем теорему: циркуляция rgrad вдоль

произвольной кривой L, соединяющей точки 11 rM

и 22 rM

, равна разности значений r

в начальной и конечной точках:

1 2 3 2 11 2 3

.L L L

grad r dr dU dU dU d r rU U U

Следствие: Если r – однозначная функция, то значение ее

циркуляции по произвольному контуру не зависит от пути интег-

Рис. 1.


29

рирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек интегрирования. Циркуляция вектора rgrad

по замкнутому контуру равна нулю.

Справедлива и обратная теорема: если циркуляция вектора rA вдоль замкнутого контура равна нулю, то вектор rA

является градиентом некоторого скаляра r , т. е. поле A

потенциально.

§ 3. Уравнение векторной линии

Уравнение векторной линии в произвольных ортогональных криволинейных координатах легко вывести, определив

векторное произведение орта касательной к векторной линии dl

rd

на вектор поля )(rA

:

0)(1

)(

Ard

dlA

dl

rdA

, поскольку A

|| .

Это же в развернутом виде можно записать так:

.0)()()( 322111221133311332223 ndUhAdUhAndUhAdUhAndUhAdUhA

Но сумма трех некомпланарных векторов равна нулю, только если равны нулю модули всех векторов:

.0;0;0 221112113331332223 dUhAdUhAdUhAdUhAdUhAdUhA

Отсюда сразу получаются искомые уравнения:

3

33

2

22

1

11

A

dUh

A

dUh

A

dUh .

Пример 1. Найти векторные линии векторного поля

rCrA

, где C

– постоянный вектор. Пусть eCeCeCC rr

, тогда

erCerCrCrA ,


30

а уравнение векторных линий будет иметь вид

constrdr

dr

rC

rd

rC

dr ;0;

0

sin

.

Умножим теперь числитель и знаменатель последнего выражения на Cr:

; 0;0r

r rC dr

C dr C r const C r .

Линии векторного поля rA

получаются в результате пересе-чения сфер r=const с центром в начале координат и плоскостей

C r const .

§ 4. Поток векторного поля

1. Ведем понятие о векторе элементарной площадки. Вектором элементарной площадки Sd

назовем вектор,

направленный по нормали к площадке, численно равный площади ее поверхности и связанный с направлением положительного обхода контура в правовинтовую систему (см. рис. 1). В произвольной ортогональной криволинейной системе координат:

1 1 2 2 3 3dS dS n dS n dS n dS n

2 3 2 3 1 1 3 1 3 2 1 2 1 2 3h h dU dU n h h dU dU n h h dU dU n

2. Пусть имеется бесконечно малая площадка dS dS n , такая что вектор )(rA

в пределах этой

площадки имеет постоянное значение. Тогда по-током вектора A

через площадку Sd

назовем

величину

cos , ndI A dS A n dS A dS A n A dS

.

Рис. 1.


31

Если площадка имеет не бесконечно малые, а конечные раз-меры, то поток вектора )(rA

через нее определится интегралом

nS S

I A dS A dS .

Название величины I – поток – взято из гидродинамики, так как простейший пример из физики есть поток жидкости через поверхность S.

Вектор элементарной площадки мы ввели только затем, чтобы можно было пользоваться бескоординатной (векторной) записью, применимой независимо от конкретного выбора координатных систем.

3. Пример 1 Вычислить поток векторного поля rA

(где r

– радиус-вектор) через прямой круговой цилиндр высотой h, радиусом R и осью OZ.

Поток через полную поверх-ность S (рис. 2) равен сумме по-токов через боковую поверхность

1 и основания 2 и 3 . На боковой поверхности 1

единичный вектор нормали 1nn

во всех точках параллелен плоско-сти OXY, поэтому на поверхности σ1

1 1cos ,A R r n r r n R

;

в итоге

1 1

21( ) 2 2A r dS R dS R Rh R h

;

на поверхности 2 2 2cos ,A n r n r r n h

;

в итоге 2 2

2 21A n dS h dS h R R h

.

Рис. 2.


32

На поверхности σ3 вектор 3nr

и 0A n . Значит, полный

поток через всю поверхность будет hRhRhRI 222 32 .

Пример 2. Найти поток векторного поля 3rrA

через сферу радиуса R с центром в начале координат.

Поскольку нормаль к поверхности сферы во всех точках параллельна векторному полю A

, то

2

3 3 4 2

1r rr rA n A

r rr r r

.

На самой сфере имеем r=R, следовательно, 21/A n R . В

итоге

2

2

1 4( ) 4

S S

RA n dS dS

R R

.

§ 5. Дивергенция. Теорема ГауссаОстроградского

1. Введем дивергенцию в произвольных криволинейных координатах: U1, U2, U3. Пусть векторное поле A

в этих

координатах имеет вид:

332211 nAnAnAA

.

Найдем поток A

через поверхность элементарного криволи-нейного параллелепипеда вдоль оси U1 (рис. 1). Учтем, что площадки OBCD и O'B'C'D' равны h2h3dU2dU3 и коэффициенты Ламе hi являются функциями координат. Тогда легко видеть, что поток векторного поля A

через площадку OBCD можно записать

как

11 2 3 2 3( )OBCD UdI A h h dU dU ,

где выражение, стоящее в скобках, мы определили в точке O, координаты которой (U1; U2; U3).


33

Рис. 1.

Это можно сделать, поскольку площадка бесконечно малая, и определить её величину можно в любой её точке, в том числе и в точке O, которую мы выбираем из соображений удобства. Знак «минус» перед потоком появляется из-за того, что поток вдоль орта 1n

определяется скалярным произведением 1A dS

, а еди-

ничный вектор внешней нормали к площадке OBCD, т. е. OBCDn

, направлен в сторону, противоположную орту 1n

и,

следовательно, 1OBCDn n

:

1 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1OBCDA dS A n h h dU dU n A n h h dU dU n

1

1 2 3 2 3 1 2 3 2 3.U

A h h dU dU A h h dU dU

При записи этого выражения учтено, что орт 1n

ортогонален ортам 2n

и 3n

и, следовательно,

1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1.A dS A n A n A n dS n A n dS


34

Аналогично найдем поток через площадку O'B'C'D', для которой единичный вектор внешней нормали O B C Dn

совпадает

по направлению с ортом 1n

:

1 1 11 2 3 2 3( ) ,O B C D U h dudI A h h dU dU

где выражение, стоящее в скобках, определяем в точке O' с координатами (U1 + h1dU1; U2; U3).

В итоге полный поток через объем параллелепипеда вдоль орта 1n

определится суммой

(1)O B C D OBCDdI dI dI

1 1 1 1

1 2 3 2 3 1 2 3 2 3( ) U h du UA h h dU dU A h h dU dU

1 1 1 1

1 2 3 3 1 2 3 2 3( ) .U h du UA h h A h h dU dU

В полученном выражении в квадратных скобках стоит разность значений одной и той же функции 1 2 3A h h , взятых в двух бесконечно близких точках, поэтому эту разность можно заменить первым членом разложения функции 1 2 3A h h в ряд Тейлора в малой окрестности точки O:

1 1 1 1

1 2 31 2 3 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3

1 1

( )( ) .U h du U

d A h hA h h A h h dU dU h dU dU dU

h dU

В итоге получим:

(1) 1 2 3 1 2 32 3 1 1 1 2 3

1 1 1

( ) ( )A h h A h hdI dU dU h dU dU dU dU

h U U

.

2. Аналогично найдутся потоки вдоль ортов 2n

и 3n

:

(2)2 1 3 1 3 2 2 2 1 3 1 2 3

2 2 2

( ) ( ) ;dI A h h dU dU h dU A h h dU dU dUh U U


35

(3)3 1 23 1 2 3 3 3 1 2 1 2 3

3 3 3

( ) ( ) .dI A h h dU dU h dU A h h dU dU dUh U U

Полный же поток через поверхность элементарного параллелепипеда равен алгебраической сумме потоков вдоль всех трёх ортов (1) (2) (3)dI dI dI dI :

1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 31 2 3

( ) ( ) ( )dI A h h A h h A h h dU dU dUU U U

1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3

1( ) ( ) ( )A h h A h h A h h h h h dU dU dU

h h h U U U

1 2 3 2 1 3 3 1 21 2 3 1 2 3

1( ) ( ) ( ) .A h h A h h A h h dV

h h h U U U

Любой замкнутый объем, ограниченный произвольной замк-нутой несамопересекающейся поверхностью, можно разбить на бесконечно малые криволинейные параллелепипеды и применить полученное соотношение к каждому из них в отдельности. Если потом просуммировать все потоки, то потоки через смежные грани соседних параллелепипедов компенсируются, так как поток, вытекающий из одного параллелепипеда и входящий в общую сумму со сзнаком «плюс», втекает в другой и учитывается еще раз со знаком «минус». Останутся только потоки через внешнюю поверхность объема. В результате мы получим:

1 2 3 2 1 3 3 1 21 2 3 1 2 3

1( ) ( ) ( ) .

S S V

dI A dS A h h A h h A h h dVh h h U U U

(1)

Выражение, стоящее в (1) в фигурных скобках, назовем

дивергенцией или расходимостью векторного поля ( )A r

:

1 2 3 2 1 3 3 1 21 2 3 1 2 3

1( ) ( ) ( )divA A h h A h h A h h

h h h U U U

. (2)


36

Таким образом, мы доказали теорему Гаусса-Остроград-ского: поток векторного поля ( )A r

через замкнутую поверх-

ность S равен интегралу по объему, заключенному внутри этой поверхности, от дивергенции векторного поля ( )A r

:

.S V

A dS divA dV

3. Можно определить дивергенцию и независимо от какой-либо координатной системы. Если объем V достаточно мал для того, чтобы Adiv

можно было считать постоянной внутри него,

то

S

V divA A dS

.

Отсюда найдём:

0

lim .S

V

A dS

divAV

Дивергенция векторного поля ( )A r в данной точке поля равна

пределу отношения потока вектора через поверхность, окру-жающую точку, к объему, заключенному внутри поверхности, при стремлении этого объема к нулю, т. е. при стягивании по-верхности в точку.

4. В цилиндрических координатах

1 1( ) .zA A

divA A Az


2

2

1 ( ) 1 ( sin( )) 1

sin( ) sin( )r AA r A

divA Ar r rr

.


37

5. Пример 1: Найти дивергенцию векторного поля ( ) .A r r

В силу центральной симметри поля искать дивергенцию будем в сферическиой системе координат:

3

2

1 ( )3

rdiv r

rr

.

Пример 2: Показать, что векторное поле

3 3

2 cos sin( ) r

p pA r n n

r r

,

где p const , является соленоидальным. Признаком соленоидальности поля является равенство нулю

её дивергенции. Воспользуемся сферической системой координат, в которой и записано поле ( )A r

. Получим:

23 3

2

2 cos sinsin

1 1

sin

p pr

r rdivAr rr

2

3

2 2 2 3

sin2 cos1 1 1 2 cos 1 2 sin cos

0.sin( ) sin( )

ppr p pr

r r rr r r r

Задача 1. Вычислить )(rdiv в цилиндрических координатах.

6. Операция divA

характеризует наличие либо отсутствие у векторного поля A

источников или стоков. Если в некоторой

области пространства векторное поле A

не имеет источников и стоков, т. е. в этой части пространства 0divA

, то такое поле

называется соленоидальным в данной области пространства (т. е. таким, как магнитное поле соленоида). Это название связано с тем, что силовые линии магнитного поля соленоида либо замкну-ты, либо приходят из бесконечности и уходят в бесконечность. И в соленоидальной области силовые линии поля не могут начи-наться и кончаться. Они либо замкнуты, либо начинаются и


38

заканчиваются на границе области, занятой полем (приходят из-за границы и уходят за границу).

Представим, что вектор A

задает поле скоростей жидкости. Тогда из определения дивергениции видно, что дивергенция век-тора A

есть мера плотности источников жидкости – число источ-

ников в единице объема, каждый из которых выдает единицу массы жидкости в секунду. Если Adiv

имеет отрицательный

знак, можно говорить о плотности стоков. 7. Уравнение 0divA

в гидродинамике называется уравнени-

ем неразрывности несжимаемой жидкости, так как из 0divA

вытекает VS=const, которое также называется уравнением неразрывности.

Для соленоидального поля поток вектора через любое попе-речное сечение векторной трубки (трубки, образованной век-торными линиями, проходящими через каждую точку некоего замкнутого контура, – рис. 12) имеет одну и ту же величину.

Для доказательства этого положения рас-смотрим объем, заклю-ченный между двумя се-чениями S1 и S2 вектор-ной трубки (рис. 2).

Применим к выде-ленному объему теорему Гаусса-Остроградского:

S V

A dS div A dV ,

но так как поле соленоидальное, то 0divA

, значит, равен нулю и поток вектора A

через поверхность выделенного объема. Поток

A

через боковую поверхность S0 равен нулю по определению векторной трубки. Остается

1 2 1 2

0S S S S S

A dS A dS A dS A dS

.

Рис. 2.


39

Если учесть, что внешняя по отношению к объему нормаль сечения S1 направлена в сторону, противоположную потоку A

, то

ясно, что

1 2

21S S

nn dSAdSA .

8. В заключение перечислим основные свойства соленои-дального поля:

1) соленоидальное поле не имеет источников и стоков; 2) силовые линии поля замкнуты либо заканчиваются и начи-

наются на границе области, внутри области силовые линии обры-ваться не могут;

3) поток соленоидального поля через замкнутую поверхность равен нулю;

4) поток соленоидального поля через любое сечение векторной трубки – величина постоянная;

5) признак соленоидального поля: 0rAdiv

. Для произвольного векторного поля A

, приравнивая нулю

0rAdiv

, можно найти точки пространства, где поле будет соленоидально, т. е. будут разрывы непрерывности распределения стоков и источников.

Пример 3. При какой функции r будет div rrr 2 ?

Решение:

2 ;div r r r div r r grad r r

или

3 2 ln ln ln .d r d r r

r r r r r Cdr dr r

Отсюда: .r C r , где C=const. Пример 4. Найти функцию r для котрой 0.div r r

Решение:

3 0.r

d rdiv r r r div r r grad r r r n

dr

3

1 33 0 ln 3ln ln .

d r d r Cr r r r C r

dr r dr r r


40

§ 6. Ротор. Теорема Стокса

1. Покажем, что циркуляцию векторного поля ( )A r

по замк-нутому контуру L можно заменить интегралом по произвольной поверхности, натянутой на этот контур.

Рассмотрим бесконечно малый криволинейый контур L,

составленный из четырех векторов бесконечно малой длины 1ld

,

2ld

, 3ld

и 4ld

. Будем искать циркуляцию векторного поля ( )A r

по этому контуру. Чтобы сделать это наиболее простым и нагляд-ным способом, спроектируем этот контур на три координатные поверхности: 1U const , 2U const , 3U const . Найдем циркуля-

ции векторного поля ( )A r

по этим трем проекциям, а потом их сложим. У нас есть возможность для таких действий, ибо мы мо-жем всегда разложить ild

в виде 1 2 3i i i idl dl dl dl

. Компонен-

ты циркуляции iA dl

будут равны 1 2 3i i iA dl A dl A dl

, а

циркуляция по полному контуру определится суммой

3 4

1 1ij

j iL

A dl A dl

.

Рассмотрим проекцию бесконечно малого криволинейного контура dL на плоскость 3U const (рис.1).

Распишем более подробно выражение для циркуляции век-торного поля ( )A r

вдоль контура OBCD (контур обходим против

часовой стрелки):

1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

( ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ) ( ; ) ( )

O DOD DCOBCD

B OCB BO

A dl A U U h n dU A U h dU U h n dU

A U U h dU h n dU A U U h n dU

1 1 1 2 1 2 2 2 2

1 2 1 2 2 2 1 1 1

( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) .

A U h dU U A U U n h dU

A U U A U U h dU n h dU


41

Рис. 1.

Раскладывая выражения в фигурных скобках в ряд Тейлора в окрестности точки (U1; U2) и ограничиваясь первыми, линейными по приращению аргумента членами разложений, получим для циркуляции векторного поля ( )A r

по бесконечно малому контуру

ODCB:

2 2 1 11 1 2 2 1 2

1 1 2 2

1 ( ) 1 ( )( )

OBCD

h A h AA dl h dU dU h dU dU

h U h U

.

Первое слагаемое в фигурных скобках умножим и разделим на 2h , а второе – на 1h :

2 2 1 1 2 2 1 11 2 1 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) .

OBCD

h A h A h A h AA dl h h dU dU dS

h h U U h h U U

(1)

Проецируя элементарный контур L на оставшиеся две коор-

динатные поверхности 1U const и 2U const , и повторяя при-веденные рассуждения, найдем циркуляции векторного поля и этим проекциям. Полное же выражение для циркуляции вектор-ного поля ( )A r

по контуру L

в произвольных ортогональных

криволинейных координатах будет иметь вид


42

3 3 3 32 2 1 11 2

2 3 2 3 1 3 3 1

( ) ( )( ) ( )1 1

L

h A h Ah A h AA dl dS dS

h h U U h h U U

2 2 1 13

1 2 1 2

1 ( ) ( ).

h A h AdS B dS

h h U U

(2)

Мы получили, что циркуляция векторного поля ( )A r

по кон-туру L

равна потоку векторного поля B

с проекциями на орты:

3 3 2 21

2 3 2 3

( ) ( )1;

h A h AB

h h U U

3 31 12

1 3 3 1

( )( )1;

h Ah AB

h h U U

2 2 1 13

1 2 1 2

( ) ( )1,

h A h AB

h h U U

(3)

через площадку, ограниченную контуром L. Введенное таким

образом (с помощью (2)-(3)) векторное поле ( )B r

, проекции которого на орты выражаются как суперпозиция (3) производных по координатам векторного поля ( )A r

, называется ротором век-

торного поля ( )A r и обозначается как rot A

.

3 3 3 32 2 1 11 2

2 3 2 3 1 3 3 1

( ) ( )( ) ( )1 1h A h Ah A h Arot A n n

h h U U h h U U

2 2 1 13

1 2 1 2

( ) ( )1.

h A h An

h h U U

Операцию ротора векторного поля можно засписать с помощью определителя:

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1.

h n h n h n

rot Ah h h U U U

h A h A h A

Название введенной векторной дифференциальной опера-ции – ротор, или вихрь, – возникло в связи с тем, что rot A

опи-


43

сывает вращение векторного поля в точке, в которой rot A

вычисляется.

В самом деле, пусть мы имеем твердое тело, вращающееся с угловой скоростью

. Тогда линейная скорость движения некой

его точки есть rV

. Найдем rotV:

3 2rotV r r r .

Если в некоторой области пространства 0rotA

, то говорят, что в этой части пространства поле безвихревое, т. е. форма векторных линий поля отлична от вихревой.

2. Для физически малого контура L мы можем записать:

L

A dl rotA S

, (4)

где S

– вектор площадки, ограниченной контуром L . Правая часть этого равенства представляет собой поток вектора rot A

через площадку S

. Из соотношения (4) можно определить rot A

бескоординатным способом:

L

rotA S rotA n S A dl

,

где n

– единичный вектор нормали к площадке.

0lim ,L

nS

A dl

n rotA rot AS

(5)

т. е. нормальная составляющая ротора к любой площадке в данной точке пространства есть предел отношения цирку-ляции по контуру площадки к площади ее поверхности, когда контур, ограничивающий площадку, стягивается в точку. Если в (5) определить значение Srot A

для разных направлений

S

, то max SrotA rot A

и совпадает с S

по направлению.


44

Итак, под rot A

в данной точке поля rA

понимается макси-

мальное значение Srot A

на направление S

. То направление

S

, в котором Srot A

максимален, принимается за направление ротора.

3. В цилиндрических координатах для rot A получим выра-

жение:

( ) )1 1.z z

z

A AA AA Arot A n n n

z z


1sin( )

sin( )

( )1 1 1 ( ).

sin( )

r

r r

Arot A A n

r

rAA A r An n

r r r r

(6)

Пример 1. Найти .rot r

В силу центральной симметрии векторного поля A r

ротор будем искать в сферической системе кординат. Поскольку радиус вектор не имеет проекций на орты полярного и азимутального углов и не зависит от них, то сразу получаем 0

rrot .

4. Если циркуляция векторного поля ( )A r

вычисляется по ко-нечному контуру L , то его можно разбить на бесконечно малые контуры, найти по всем им циркуляцию поля ( )A r

, а потом

просуммировать. Циркуляции по смежным сторонам малых контуров компенсируются (т. е. будут иметь противоположные знаки в смежных контурах), и останется только циркуляция по внешнему контуру:

L S

A dl rotA dS

. (7)

Таким образом мы доказали теорему Стокса: Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого векторного поля через произвольную поверхность, натя-


45

нутую на контур. Мы говорим о «произвольной поверхности» потому, что при доказательстве теоремы на поверхность, ограни-ченную контуром, не накладывалось никаких ограничений.

Из теоремы Стокса следует, что поток rotA

через любую замкнутую поверхность равен нулю:

0S

rotA dS .

5. Для того чтобы циркуляция L

A dl

не обращалась в нуль,

векторные линии поля ( )A r

должны быть замкнутыми или вихре-

выми, т. е. необходимо, чтобы знак A dl

был постоянным во

всем контуре или, в случае контура сложной конфигурации, чтобы сумма положительных вкладов k k

k

A l

отличалась от

суммы отрицательных вкладов k kk

A l

. Но если 0L

A dl

, то

тогда и 0S

rot A

, а так как S – произвольная поверхность, то и

0rot A

.

Таким образом, по равенству или отличию значения rot A

от нуля можно судить о замкнутости или незамкнутости силовых линий поля.

6. Покажем, что для случая потенциальных полей (векторные линии которых не замкнуты) 0

L

A dl

.

Пусть имеется векторное потенциальное поле rA

. Разобьем произвольный контур на бесконечно малые элементарные пло-щадки линиями уровня, перпендикулярными к векторным лини-ям, и векторными линиями (рис. 2). Тогда циркуляция по любому внутреннему контуру, например ABCD, будет равна нулю.

В самом деле, циркуляция на участках BC и DA равна нулю, так как на них ldA

. А циркуляция на участке AB равна по

величине и противоположна по знаку циркуляции на участке CD.


46

Циркуляция по любому гранич-ному контуру также равна нулю, так как на участке PK ldA

, а резуль-

таты интегрирования на участках KD'

и DP' равны по величине и противоположны по знаку. Действительно,

cos ,A KD A KD A KD

A PD A DP

.

К тому же результату можно прийти из тех соображений, что для потенциального поля rgradrA

и, значит, циркуляция потенциального поля rA

по любому замкнутому контуру равна

нулю. Отсюда следует, что

0.L S S

A dl rot A r dS rot grad r dS

Поскольку это выражение не зависит от поверхности S, по которой ведется интегрирование, значит

0 rgradrot

.

Это можно проверить непосредственным вычислением ротора от градиента.

Таким образом, необходимое и достаточное условие того, чтобы поле rA

было потенциальным, запишется в виде

0

Arot . Потенциальные поля являются безвихревыми. Например,

гравитационное поле и электростатическое поле. 7. Так как для любой замкнутой поверхности 0

S

rotA dS , то

из теоремы Гаусса-Остроградского получим:

0div rot A r ,

Рис. 2.


47

т. е. векторное поле ротора (поле вихрей) не имеет источников и стоков и является соленоидальным.

Справедливо и обратное утверждение: всякий соленои-дальный вектор rB

может быть представлен как ротор некоего

другого вектора rA

, т. е. если 0div B r , то можно найти rA

такое, что B r rot A .

Так можно обосновать введение векторного потенциала. Если мы об-наружили, что 0rot B r

, то, значит, B r grad r ,

причем b

a

B r dl b a или 0

L

B r dl . Если же мы обна-

ружили, что 0rot B r , но 0div B r

, то, значит, B r rot B r и

можно ввести векторный потенциал поля rA

. Таким образом, равенство нулю или отличие от нуля div A

и

rot A указывает на форму векторных линий rA

и наличие источ-

ников и стоков. Пример 2. Показать, что векторное поле

3 3

2 cos sin( ) r

p pA r n n

r r

является потенциальным, если p const .

Признаком потенциальности поля является равенство нулю его ротора. В соответствии с примером № 9 из первого параграфа этой главы заданное поле является градиентом векторного поля

3

p r

r

, где p – постоянный вектор. Следовательно,

3 3 3

2 cos sin0.r

p p p rrot n n rot grad

r r r

Пример 3. Найти ( ) .rot r r

Поскольку рассматриваемое векторное поле является цент-рально симметричным, то вычисления проведем в сферической системе координат. Несложно видеть, что поле не имеет проекций на орты угловых переменных и не зависит от них. Поэтому из (2) получим: ( ) 0.rot r r


48

Задача 1. Показать, что векторное поле

3 3

2 cos sin( ) r

p pA r n n

r r

является соленоидальным, если

p const . Подсказка. Напомним, что векторное поле является

соленоидальным, если его дивергенция равна нулю. Напомним также, что 0div rot A

. В решаемой задаче необходимо показать,

что векторное поле 3 3

2 cos sin( ) r

p pA r n n

r r

может быть

получено как 3

p rrot

r

. Другими словами, следует показать, что

3 3.

p r p rgrad rot

r r

§ 7. Оператор Лапласа скалярного поля

1. Оператор Лапласа скалярного поля ( )r определен как ( )div grad r . Используя выражения для ( )grad r и ( )div A r

, легко

получить:

2 3

1 2 3 1 1 1

1 3 1 2

2 2 2 3 3 3

1 ( )( ) ( )

( ) ( ).

h h rr div grad r

h h h U h U

h h r h h r

U h U U h U

2. В цилиндрических координатах оператор Лапласа от ска-лярного поля будет иметь вид

2 2

2 2 2

1 ( ) ( ) 1 ( )( ) .

r r rr

z


22

2 2 2 2 2

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) sin( )

sin( ) sin ( )

r r rr r

r rr r r

.


49

§ 8. Векторные дифференциальные операции второго порядка от векторных функций

Векторных дифференциальных операций второго порядка от векторных функций насчитывается пять: ( )grad div A r

, ( )rot rot A r ,

( )A r , ( )div rot A r

и ( )rot grad r . Как было показано выше, послед-ние две операции тождественно равны нулю, поэтому сосредо-точим внимание на первых трех.

1. Для того чтобы выписать ( )grad div A r в произвольных кри-

волинейных координатах, достаточно рассмотреть )(Adiv

как некую скалярную функцию и применить к ней операцию grad:

1 1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 1 1 2 3 1 2 3

1 ( ) ( ) ( )( )

n A h h A h h A h hgrad div A r

h U h h h U U U

3

213

2

312

1

321

32122

2 )()()(1

U

hhA

U

hhA

U

hhA

hhhUh

n

.)()()(1

3

213

2

312

1

321

32133

3

U

hhA

U

hhA

U

hhA

hhhUh

n

2. Пример 1. Выписать ( )grad div A r в цилиндрических коор-

динатах:

2 2

2 2 2

( )1( )

( ) ( )1 1

1 1 1

z

z zz

AA Agrad div A r n

z

n A AA AA An

z z z

A AA A An

22 2

2 2 2

22 2

2

1 1 1 1

1 1.

z

z

zz

A

z

AA A An z

AA A An z

z z z z


50

Пример 2. Выписать ( )grad div A r в сферических координатах:

2

2

2

2

2

2

( )1 ( sin( )) ( sin( ))( )

sin( )

( ) sin1 ( sin( ))

sin( )

1 ( sin( )) ( sin( )

sin( ) sin( )

rr

r

r

A rA r A rgrad div A r n

r rr

A r A rn A r

r rr

n A r A r

r rr

( )) A r

r

A

r

A

rr

A

r

A

rr

A

r

A

rr

An rrr

r

2

2

22

2

2

)sin(

1

)sin(

1)sin(

)sin(

1

))sin((

)sin(

1122

2 2

2 2 2

2 1 1 1 1 ( sin( ))

sin( ) sin( )r rAA A A

nr rr r r

2

2 2

2

2 2 2

2 1 1 1 ( sin( ))

sin( ) sin( )sin( ) sin( )

1.

sin ( )

r rA A An

r rr r

A

r

3. Для записи операции rot rot A

в произвольных ортогоаль-ных криволинейных координатах достаточно рассмотреть rot A

как некоторую векторную функцию ( )B r и применить к ней

операцию rot :

3 2 2 1 11 1

1 2 3 2 1 2 1 2

2 1 1 3 3 1 3 3 2 22 2

3 1 3 3 1 3 2 3 2 3

1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

h h A h Arot rot A h n

h h h U h h U U

h h A h A h h A h Ah n

U h h U U U h h U U


51

.)()(

)()()()(

3

22

2

33

32

1

2

1

33

3

11

31

2

133

2

11

1

22

21

3

1

U

Ah

U

Ah

hh

h

U

U

Ah

U

Ah

hh

h

Unh

U

Ah

U

Ah

hh

h

U

4. Задача 1. Вычислить операцию rot rot A

в цилиндрической системе координат.

Задача 2. Вычислить операцию rot rot A

в сферической системе координат.

5. Как будет показано в следующей главе, операция взятия оператора Лапласа от векторной функции ( )A r

представляется как линейная комбинация операций ( )grad div A r

и ( )rot rot A r :

( ) ( )A r grad div A r

( )rot rot A r .

Задача 3. Выписать проекции A

на оси цилиндрической и сферической систем координат.

Глава 3. Бескоординатная форма записи операций векторного анализа

§ 1. Оператор Гамильтона – «набла». Дифференцирование по радиусвектору

1. Все рассмотренные векторные операции: grad , Adiv

, Arot

– представляют собой не что иное, как производные по векторному аргументу или пространственные производные. Это особенно хорошо видно на примере оператора grad , который можно записать иначе, введя символический оператор Гамильтона или «наблу», например, в прямоугольной декартовой системе координат:

.grad i j kx y z


52

Оператор Гамильтона kz

jy

ix

– формально бу-

дем рассматривать как линейный дифференциальный опе-ратор.

Векторный оператор можно применять к векторным функциям векторно и скалярно.

2. Применим скалярно к векторной функции rA

. Сна-чала используем векторную операцию, а потом – диффе-ренциальную:

.x y zA r A A A div A rx y z

Векторное применение оператора Гамильтона к rA

даст rArot

:

.

x y z

y yz x z x

i j k

A rx y z

A A A

A AA A A Ai j k rot A r

y z z x x y

3. Обозначения пространственных производных значком «набла» весьма удобны в векторном анализе благодаря большой наглядности и сжатости записей. При доказательстве любых общих соотношений не нужно прибегать к разложению векторов на составляющие, если пользоваться «наблой».

В отношении алгебраических операций «набла» во всем подобна вектору. Умножением на оператор «набла» назовем ее применение к данному выражению.

Так как «набла» – линейный оператор, то результат ее применения к суммам функций равен сумме произведений оператора «набла» на каждое слагаемое как для grad φ, так и для rot A r

и div A r .

4. На примере оператора rgrad

видно, что rgrad

можно называть пространственной производной, так как этот


53

вектор вполне характеризует изменение скалярной функции r

при смещении в соседнюю точку. Подобно этому и любые другие выражения, включающие в себя «наблу», (например, rot A r

и rgrad

), также характеризуют связь между значениями вектор-ных функций в соседних точках пространства. В итоге можно считать, что знак в векторном анализе подобен знаку производ-ной в обычном анализе.

5. В некоторых книгах вместо оператора пишется производная по радиус-вектору:

;kz

jy

ixrd

d

смысл у такой операции такой же, как у . Однако следует разли-чать производную по направлению и производную по вектору.

Отметим очевидные соотношения:

.d rgrad r r

dr

Уравнение Больцмана в таких обозначениях запишется в виде

.d d

V Ft dr dV t

Иногда Adiv

называют скалярной производной вектора A

по радиус-вектору r

:

;ddiv A r A r

dr

Arot

называют векторной производной по радиус-вектору:

.rot A r A r


54

§ 2. Применение оператора «набла» к произведениям скалярных и векторных функций

1. Приведем правила операций с оператором Гамильтона. Следует помнить, что по отношению к дифференцированию – знак производной, а по отношению к правилам преобразования координат – вектор.

Результат действия на произведения A

и равен сум-ме произведений каждого множителя на результат применения оператора ко второму сомножителю:

;

; .

grad r r r r r r r r

div r A r r A r r A r r A r

rot r A r r A r r A r r A r

В вышезаписанных соотношениях учтено, что оператор несет две функции – дифференциальную и векторную. И обе эти функции должны быть использованы.

2. Применим теперь оператор скалярно к векторному произведению двух векторных функций:

( ) ( ) ( ) ( ).A Bdiv A B A B A B A B

В крайнем правом выражении индексом внизу оператора указано, на какой из векторов A

или B

он действует, поскольку по

правилам работы с операторами считается, что они действуют на все, что стоит справа от них. В обоих слагаемых произведем циклические перестановки:

( ) ( ) ( ) .A Bdiv A B B A A B B rot A A rot B

Во втором слагаемом предварительно поменяеи местами A

и B

. 3. Теперь применим оператор векторно к векторному

произведению двух векторных функций:

.)()()()( BABABABArot BA

(1)


55

Сначала определим оператор a . Далее воспользуемся

формулой разложения двойного векторного произведения трех векторов ,A B

и C

по формуле «бац минус цап»:

( )A B C B A C C A B

. (2)

Двойное векторное произведение трех векторов равно средне-му из них, умноженному на скалярное произведение двух ос-тальных, минус тот из крайних векторов, который стоит в скобках, умноженный на скалярное произведение двух остав-шихся.

Теперь применим это правило к правой части соотношения (1):

( )

.

A A B B

A A B B

rot A B B A A B B A A B

B A B A B A A B

B A B div A A B A div B

4. Найдем теперь градиент скалярного произведения двух векторов:

.A Bgrad A B A B A B A B (3)

Воспользуемся правилом разложения двойного векторного произведения (2):

( ) ( ) .A rot B A B A B A B

В итоге получим:

( ) ;

;( ) ;

B B

A A

A B A B A B

A B B A B A

Эти соотношения используем в (3):

( ) ( );A A B Bgrad A B B A B A A B A B


56

и окончательно получим:

.grad A B B A B rot A A B A rot B

5. Пример 1а-е. Используя основные приемы разложений произведений векторных полей, докажем тождества:

а) ( ) ( ) ( )C grad A B A C B B C A .

Обыграем то обстоятельство, что оператор C скалярный и

примем правило перестановочности векторов в скалярном произведении:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .C grad A B C A B C A B A C B B C A

б) ( )( ) ( ) ( )C A B A C B B C A .

Доказательство строится аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере, но с учетом того, что при перемене мест векторов в векторном произведении изменяется знак:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )B AC A B A C B C A B A C B B C A .

в) ( ) ( ) .A B A B B divA

Используем свойство перестановочности векторов в скалярном произведении:

( ) ( ) ( ) ( ) .A BA B A B A B B divA A B

г) ( ) ( ) ( ) .A B rot C B A C A B C

Рассматривая ( )A B

как один вектор D

и совершая цикличе-

скую перестановку, получим серию преобразований:

( ) .D rot C D C C D D C A B C

В последнем слагаемом распишем двойное векторное произве-дение по формуле «бац минус цап» и, учитывая, что оператор «набла» действует только на поле C

, получим:


57

( ) ( ) ( ) ( ) ( )D rot C A B C B A C A B C B A C A B C

.A B C B A C

д) ( ) ( ) .A B A B A B A B

В выражении, стоящем слева, распишем двойное векторное умножение:

( ) .A B A B A B

Учтем, что оператор «набла» действует только на поле B

и, расписывая градиент от скалярного произведения A B

,

получим:

( ) ( ) .A B A B A B A B

е) ( ) ( ) .A B A B A B A B B A

В выражении, стоящем слева, учтём, что оператор «набла» действует и на поле A

и на поле B

и распишем двойные

векторные произведения:

( ) ( ) ( )A B A AA B A B A B B A A B

B BA B A B B A A B A B B A A B

B A B rot A A B A rot B

.A divB B rotA A B A rot B

Пример 2. Доказать, что A A A rotA при constA 2 .

Используя разложение двойного векторного произведения, докажем данное выражение:

( ) ( )

( ) ,

A rot B A B A B A B

A A A A A A A rot A

где было учтено, что 0A A .


58

Пример 3. Найти a r .

Эту операцию проведем в прямолинейных декартовых координатах

.x y z x x y y z zr r r

a r a a a a n a n a n ax y z

При выводе учтено, что в прямолинейных декартовых координатах:

.x y zr x n y n z n

Пример 4. Найти ( ) .a r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a r r r a r r a r r a grad r r a

( ) ( )( ) ( ) .r

r a rd r d rr a n r a r a

dr r dr

Пример 5. Найти ( ) ,div a r b где a

и b

– постоянные

вектора. Используя формулу для ( ) ( )div r A r

, получим:

( ) ( ) ( ).div a r b a r divb b grad a r

Теперь распишем градиент скалярного произведения векторов:

( ) ( ) .div a r b b grad a r b a r b a a b

При выводе учтено, что 0rot r

и .a r a

Пример 6. Найти ( ) ,rot a r b где a

и b

– постоянные

вектора. Используем формулу для ( ) ( ) .rot r A r

Получим:

( ) ( ) .rot a r b b grad a r b a a b


59

§ 3. Производные по направлению скалярной и векторной функций

1. В последних двух выражениях предыдущего параграфа ис-пользовались операторы типа A

. Распишем этот оператор в

декартовой прямолинейной системе координат:

.x y zA A A Ax y z

Выписанная операция скалярная, и ее можно вносить под знак умножения векторного и скалярного. Применим этот оператор к B

, получим вектор A B

. Его первой компонентой

будет

.x x xx x y z x x

B B BA B A A A A B A grad B

x y z

Две другие компоненты A B определяются аналогичным

образом:

;

.

y y yy x y z y y

z z zz x y z z z

B B BA B A A A A B A grad B

x y zB B B

A B A A A A B A grad Bx y z

2. Из приведенного определения оператора A видно, что

такой оператор при постоянном A s , где 2 1s

, будучи примененным к скалярной функции r

, даст не что иное, как

производную от r

по направлению e

. В самом деле,

cos , cos , cos , ..

s s i s j s kx y z s

Так, чтобы получить направляющие косинусы вектора s ,

можно применить оператор s к ортам осей: OX, OY и OZ.


60

Если 1|| A

и A

представляет собой некое криволинейное

векторное поле, то оператор A , действуя на скалярную

функцию r

, даст нам производную от r

по направлению A

, умноженную на || A

. В самом деле, вектор | |A r a r A r

, где

a r – единичный вектор, касательный к векторной линии поля

A

, но его направление изменяется от точки к точке. Тогда

| |

| | cos , cos , cos , | | .

A A a

A a i a j a k A r a rx y z

3. Оператор s , где s

– единичный вектор произвольного

постоянного направления, будучи применен к векторной функции rB

, даст нам производную от этой функции по

направлению s

:

cos , cos , cos , .dB B B B

s B s i s j s kds x y z

Аналогично определяется и более общая операция «произ-водная вектора rB

по вектору rA

». В этом случае вектор rA

не единичный, и его величина и ориентация в пространстве изменяются от точки к точке:

| | | | ;

| | cos , cos , cos , .

dB dBA B A a B A

da dA

B B BA B A a i a j a k

x y z

Проекции результирующего вектора на оси координат запи-саны в п.1 этого параграфа. Таким образом, для определения в данной точке производной вектора B

по направлению A

необхо-

димо задать девять величин вида j

i

x

B

, которые представляют со-

бой компоненты тензора. Таким образом мы определили тензор-


61

ную величину, характеризующую скорость изменения векторного поля в данной точке.

Производная от векторного поля ( )A r по направлению

радиус-вектора есть тензор-производная векторной функции

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

, .

A A A

x x x

dA r A A AA

dr x x x

A A A

x x x

(1)

Фактически задание тензор-производной векторной функ-ции A

аналогично заданию трех градиентов от скалярных

функций A1, A2, A3:

.

;

;

3

3

2

3

1

33

3

2

2

2

1

22

3

1

2

1

1

11

kx

Aj

x

Ai

x

AAgrad

kx

Aj

x

Ai

x

AAgrad

kx

Aj

x

Ai

x

AAgrad

(2)

При любых поворотах системы координат проекции на оси grad A1, grad A2, grad A3 будут изменяться по законам преобразо-вания проекций тензоров. Это и доказывает тот факт, что вы-ражение (1) определяет тензор. Такой тензор полностью характе-ризует скорость пространственного изменения векторного поля в окрестности точки, в которой он определен.

§ 4. Континуальная производная

1. Пусть мы имеем движение некой сплошной среды поле скоростей которой задается функцией trV ,

. Рассмотрим

некоторую скалярную функцию tr ,

, например концентрацию примесей в среде. Будем интересоваться изменением функции r

со временем. Но изменение со временем tr ,

мы можем


62

измерить в одной точке при constr

. В этом случае изменение r

со временем определится частной производной по времени

t

(эту производную еще можно назвать частной, или локаль-

ной, учитывая, что она берется в данной точке пространства). Можно измерить изменение φ(t) в некотором выделенном

малом объеме среды, который перемещается вместе со средой. В этом случае изменение tr ,

определится уже полной произ-

водной:

,;

d r t x y z

dt t x t y t z t

; ; ,x y z

x y zV V V

t t t

тогда

,, ;

,.

x y zd r t

V V V V grad r tdt t x y z t

d r tV r

dt t

2. Если нас будет интересовать не скалярная функция tr ,

, а некоторая векторная функция trB ,

, то ее частная и полная

производная по времени определятся аналогично:

,, .x y z

dB r t B B B BV V V V B r t

dt t x y z

3. Компоненты полных производных ,V r t и

,V B r t , входящие в различные уравнения механики сплош-

ных сред, называются конвективными членами, так как они проявляются только при движении сплошной среды и связаны с переносом вещества. Самый простой пример – уравнение Эйлера

,V p

V V gt

фактически представляющее собой уравнение движения физически малого объема под действием поля сил тяжести и поля давлений.


63

В задачах механики сплошной среды встречаются ситуации, когда необходимо найти субстанциональную производную (именно так называют полную производную по времени) от инте-грала по множеству (объему, площади, контуру), движущемуся вместе со средой. Тогда и подынтегральная функция и форма области интегрирования зависят от времени. Не останавливаясь на строгом доказательстве, можно сформулировать правило вы-числения таких производных. Полная производная по времени от интеграла состоит из двух слагаемых: первое слагаемое вычис-ляется при условии неизменности области интегрирования и по-лучается из исходного интеграла частным дифференцированием по t под знаком интеграла; второе слагаемое вычисляется в предположении неизменности во времени подынтегральной функции и учитывает вклад в значение субстанциональной про-изводной, вносимый изменением во времени формы множества (объема, площади, контура), по которому осуществляется интегрирование.

4. Пусть V – объем, движущийся вместе со средой, для ко-торой задано поле скоростей )(rU

, а ),( tr

– скалярная функция

(например, концентрация примеси); t – время. Тогда для вычис-ления значения выражения

tV

dD I dV

dt

нужно воспользоваться сформулированным правилом. Поверх-ность S, ограничивающая область V, за промежуток времени dt опишет объем dtU dS

. Умножая это изменение объема на соот-

ветствующую величину подынтегральной функции и суммируя по всей поверхности S, получим изменение величины интеграла, вызванное деформацией области V в процессе движения. Поэ-тому результатом применения правила субстанционального диф-ференцирования интегрального соотношения будет выражение

tV S V S

dD I dV dt U dS dV U dS

t dt t

.

К последнему слагаемому можно применить формулу Гаусса:


64

( )tV

D I div U dVt

.

Если воспользоваться ранее установленными формулами

( ) ( ) ; ( ) ,d

div U divU U Udt t

то выражение для DtI легко преобразовать к следующему виду:

( )tV

dD I div U dV

dt

.

5. Рассмотрим теперь полную производную по t от потока пе-ременного векторного поля ),( trA

через движущуюся вместе со

средой (как и прежде, с заданным полем скоростей U

) поверхность S:

tS

dD A dS

dt

.

Вид первого слагаемого, связанного с изменением во времени подынтегрального слагаемого, очевиден.

Определим второе слагаемое, связанное с движением самой поверхности S. Пусть L – контурная граница S, а ld

–

направленный элемент дуги контура L. За промежуток времени dt поверхность S опишет объем V, ограниченный тремя поверхностями: положением поверхности S в момент t, положением S' поверхности в момент t + dt и поверхностью , описанной контуром L за промежуток времени dt (рис. 1).Пусть

Sd

ориентирована внутрь V, а Sd

и

d вне V. За положительное направление обхода L удобно принять такое, чтобы ориентация тройки векторов ( ld

,U

dt, Sd

) совпадала с ориентацией координатных осей. Тогда ( )A d A dl Udt

, так что по формуле Гаусса

( ) ( )S S L V

A dS A dS dt A dl U div A dV

. (*)

Знак "–" перед интегралом по S указывает на то, что Sd

на-правлена внутрь V. Воспользовавшись правилами векторной ал-


65

гебры и формулой Стокса, несложно установить справедливость равенства

( ) ( ) ( )L L S

A dl U dl U A rot U A dS

.

Если объем V разбить на элементарные объемы SddtUdv

, где Sd

– ориентированный элемент площади поверхности S, то

( ) ( )V S

div A dV dt U div A dS

.

С помощью последних двух соотношений выражение (*) преобразуется к виду

( ) ( )S S S

A dS A dS dt U div A rot A U dS

.

Теперь можно непосредственно воспользоваться правилом субстанционального дифференцирования интегральных соотно-шений:

( ) ( )tS S

d AD A dS U div A rot A U dS

dt t

.

Если S замкнутая поверхность, то в выражении для про-изводной будет отсутствовать член, содержащий )( UArot

. К

аналогичному соотношению приведет применение формулы, выве-денной в примере д), если сначала перейти в исходном выражении для DtФ к интегралу по объему с помощью теоремы Гаусса.

Выведенная формула для DtФ играет фундаментальную роль в гидродинамике несжимаемой жидкости. Если эта жидкость невязкая, а внешние силы консервативны, то ее основное динамическое уравнение сводится к следующей связи между полем скоростей U

и вихрем этого вектора Urot

:

0)(

Urott

.


66

Поэтому, заменяя в фор-муле для DtФ вектор A

на

и замечая, что 0][ Frotdiv

для любого вектора F

, мож-но получить важный резуль-тат механики вихревого дви-женя идеальной жидкости:

0S

dn dS

dt .

Это означает, что в не-сжимаемой невязкой жидко-сти, при консервативном ха-рактере внешних сил, враща-тельное движение не может ни возникнуть, если оно от-сутствовало, ни прекратить-

ся, если оно когда-либо существовало. 6. Построим полную производную от циркуляции

переменного вектора A

по движущейся кривой:

tL

dD A dl

dt

.

Не останавливаясь на выражении для слагаемого, связанного с изменением A

во времени, определим добавку, связанную с

движением кривой L. За промежуток времени dt кривая L опишет поверхность S, ограниченную четырьмя линиями: положением кривой L в начальный момент времени t, ее положением L' в близкий момент времени t + dt, а также линиями (11') и (22'), которые опишут начало и конец исходной кривой за промежуток времени dt (см. рис. 2).

Рис. 1.


67

Рис. 2.

Формула Стокса дает

2 1(22 ) (1 1)

( )L L S

A dl A dl A dl A dl rot A dS

.

Ввиду малости dt, малы будут и дуги (11'), (22'), так что ин-тегралы по ним можно заменить произведением величины подынтегральной функции на длину пути интегрирования:

1 1 2 2,dl U dt dl U dt

. За направление Sd

удобно выбрать такое,

чтоб тройка векторов ( ld

,U

dt, Sd

) на L имела ту же ориентацию, что и координатные оси. Тогда

( ) ( ) ( ) ( )rot A dS rot A dl U dt U rotA dl dt

. В связи со сказанным, выписанный выше результат применения формулы Стокса к V можно переписать в виде:

2 2 1 1

2 2 1 1

( ) ;

1( ) .

L L L

L L L

A dl A dl A U dt A U dt dt U rotA dl

A dl A dl A U A U rotA U dldt

Теперь можно выписать выражение для DtГ:

2 2 1 1 ( ) .tL L

d AD A dl A U A U rotA U dl

dt t


68

В случае замкнутой поверхности формула не будет содер-жать неинтегральных слагаемых и может быть просто получена преобразованием первоначального интеграла по формуле Стокса к поверхностному интегралу с последующим применением формулы, выведенной в качестве предыдущего примера.

Рассмотрим циркуляцию поля скоростей U

, например жидкого потока, вдоль контура, перемещающегося вместе с потоком:

2 1

2 2 ( ) .L L

d UU dl U U rot U U dl

dt t

Для преобразования подынтегрального выражения в правой части можно воспользоваться определением полной производной скорости по времени:

2

2 2

( ) ( ) 2( ) 2 ( );

1 1( ) ( ) ( ) ( ).

2 2

grad U U U U U U rot U

U U Urot U U U U grad U grad U

t t t

Если воспользоваться свойством потенциальности поля градиента

2 2 22 1( )

L

grad U dl U U

,

то искомую производную по циркуляции можно записать в виде

2 22 1

2L L

d U U dUU dl dl

dt dt

.

Очевидно, под интегралом справа стоит вектор ускорения частицы в контуре. Получается, что для замкнутого контура

L L

d dUU dl dl

dt dt

.


69

§ 5. Векторные дифференциальные операции второго порядка от векторных функций

a) Всего в математической теории поля существует пять век-торных дифференциальных операций второго порядка:

1. rot(grad(φ)) ( ( φ)) ( ) φ) 0. 2. ( ) ( ) ( ) 0div rot A A A

3. ( ) ..div grad

4. ( )rot rot A A A A

,

или AAdivgradArotrot

. Последнее равенство обычно принимают за определение опе-

ратора Лапласа от векторного поля, так как в криволинейных координатах ∆φ и A

выражаются различно.

5. .AArotrotAdivgrad

b) Введение понятия оператора Лапласа от векторной

функции

A grad divA rot rotA

(1)

сопряжено с известными трудностями, связанными с его гро-моздкостью по сравнению с оператором Лапласа от скалярной функции

div grad . (2)

В этой связи представляется целесообразным определить оба оператора, введенные соотношениями (1) и (2) с помощью одного выражения на основе векторного оператора Гамильтона (оператра "набла") в виде:

. (3)

В этих выражениях значок "•" означает скалярное приме-нение оператора Гамильтона , а значок "" – векторное. Примем


70

в соответствии с классическими представлениями о свойствах векторного дифференциального оператора Гамильтона , что при его применении к произвольной скалярной функции значки скалярного и векторного умножения просто опускаются и вектор-ная функция оператора сводится к производству из скалярного поля )(r

поля векторного )(rA

через операцию градиента:

( ) ( ) ( )A r grad r r

.

Тогда, применяя оператор , определнный в (3), к скаляр-ному полю )(r

, получим:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( );

r r r r r

r r div grad r rot grad r r

поскольку 0))(( rgradrot . При применении того же оператора к

векторному полю )(rA найдем:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ( )).

A r A r A r A r A r

grad div A r rot rot A r

Таким образом оператор , веденный с помощью формулы (3), является обобщением понятия оператора Лапласа и позволяет ввести единообразно оператор Лапласа от векторной функции и оператор Лапласа от скалярной функции.

§ 6. Интегрирование полей. Формулы Грина

1. Согласно теореме Гаусса- Остроградского

.a dV a dS (1)

Для любого ra можно подобрать такие r

и r

, что

;rrra

тогда


71

2 .a (2)

С другой стороны,

.a dS dS n dS dSn

(3)

Подставим (2) и (3) в (1) и получим 1-ю формулу Грина:

V S

dV dSn

. (4)

Поменяем в (4) местами и :

V S

dV dSn

. (4a)

Теперь вычтем (4a) из (4) и получим 2-ю формулу Грина:

SV

dSnn

dV . (5)

Формула Грина связывает значения функций r

и r

внутри объема V с их значениями на границе S.

2. Пример 1. Найти S

I dn

,

если S: x2 y2 z2 1; x2 y2; y2 z2.

Воспользуемся первой формулой Грина:

2 2

2 2

4 4 ;

4 2 .

V V

V

I dV x y x i y j y j z k dV

I x y dV

Задача сведена к вычислению тройного интеграла, который легко вычисляется в сферических координатах:


72

x r cos()sin(); y rsin()sin(); dV r2d(cos())d dr;

2 2 2 2 2

2 12 2 2 4

0 0 0

2 12 2 2

0 1

4 cos 2sin sin cos ;

;4 cos 2sin sin ;

4 161 sin 1 cos cos .

5 5

V

I r r d d dr

I d d r dr

I d d

Пример 2. Найти интеграл

dnn

IS

,

если S образуется пересечением поверхностей:

x2 y2 R2; z 0 и z Hx; (x2 x) y2 z; x2 y2 2z x.

По 2-й формуле Грина найдем:

VV

dVzdVI .4

Перейдем к цилиндрическим координатам:

x cos(); y sin(); z z; dV d d dz;

22 2

0 0 0

4 2 .H R

I z dz d d R H

Пример 3. Найти интеграл

dn

IS

,

если S образуется пересечением поверхностей: x y z 1; x 0; y 0; z 0, а функция eхsin(y) 1.


73

.158

1

.0sinsin;cossin

;cossin;

21

0

1

0

1

0

22

22222

2

edzdydxedVeI

yeyeeyye

jyiyedVI

yxxx

V

x

xxxx

x

V

§ 7. Обобщенная формула Остроградского

1. Пусть r

, rA

– некоторые скалярные или векторные поля, обладающие непрерывными производными по всем координатам; пусть, далее, p

произвольный вектор и ,...,, rArpTpT

– некоторое выражение, имеющее смысл

числа или вектора при любом выборе вектора p и также

обладающее непрерывными производными по координатам. Предположим далее, что T – линейная функция вектора p, иными словами, для любых вещественных a1 и a2 имеет место равенство

1 1 2 2 1 1 1 1 .T a p a p a T p a T p

Важнейшие выражения такого типа, содержащие, кроме p ,

еще только один аргумент – r

или rA

, – следующие: а) rp

(численное произведение);

б) p A r (скалярное произведение);

в) rAp (векторное произведение).

Более сложные выражения могут содержать несколько аргументов вида r

и rA

, например:

)(; 21 AApAp и т. п.

Сопоставим с каждым выражением pT

, удовлетворяющим поставленным условиям, некоторое дифференциальное выражение.

Пусть kcjbiap

; тогда в силу линейности

kcTjbTiaTpT

. (1)

Положим по определению, что


74

kTz

jTy

iTx

T

, (2)

заменяя в выражении (1) координаты вектора p на знаки диффе-

ренцирования по соответствующим переменным. Так, для операций а) – б) мы имеем: а) rcjbiarp

, поэтому

z

ky

jx

ikz

jy

ix

; (3)

б) если , kAjAiAA zyx

, то x y zp A aA bA cA

, поэтому

yx zAA AA

x y z

; (4)

в) если kAjAiAA zyx

, то

xyzxyz

zyx

bAaAkaAcAjcAbAi

AAA

cba

kji

Ap

y

A

x

Ak

x

A

z

Aj

z

A

y

Ai

AAAzyx

kji

A xyxxyz

zyx

.(5)

В выражение T() явно входит дифференцирование по аргу-ментам x, y и z, поэтому на первый взгляд может показаться, что T() существенно зависит от выбора координатных осей. Но в действительности величина T() не зависит от выбора координатных осей. Докажем это утверждение, дав величине T() новое определение, в котором оси Ox, Oy и Oz вообще не будут участвовать.

Предположим вначале, что pT

имеет числовые значения. Составим вектор-функцию


75

kkTjjTiiTrA .

Применяя к этой функции формулу Гаусса – Остроградского и полагая kTAjTAiTA zyx

,, , получим:

cos cos cos

V S

S

T kT i T jdV A dS

x y z

T i T j T k dS

.

Выписанное равенство имеет место для любой области V с границей S. Далее используем линейность функции pT

и

выражение для орта нормали к поверхности: coscoscos kjin

, (, и – углы, образуемые

вектором нормали с осями Ox, Oy и Oz соответственно). Это позволяет записать равенство:

nTkjiTkTjTiT

coscoscoscoscoscos ,

откуда в силу определения T (2)

V S

T dV T n dS (6)

Формула (6) называется обобщенной формулой Остроград-ского. Она переходит в обычную формулу Остроградского, если положить T p p A

.

Если разделим обе части равенства (6) на объем области, то при стягивании объема к произвольной фиксированной точке P левая часть будет иметь предел, равный значению величины T в точке P. Правая часть, равная левой, также будет иметь этот предел; отсюда в точке P

1lim

V PS

T T n dSV

. (7)


76

Правая часть равенства (7), очевидно, не зависит от выбора системы координат. Выражение T , следовательно, также не зависит от выбора системы координат, что и требовалось доказать.

Теперь предположим, что pT

имеет смысл вектора; будем писать в этом случае pT

. Разлагая pT

по осям, получим,

например, следующее выражение:

kpTjpTipTpT

321 .

Каждая из численных функций pT

1 , pT

2 , pT

3 , очевидно, удовлетворяет поставленным условиям. Поэтому для каждой из них имеет место обобщенная формула Остроградского (6):

1 1 2 2 2 2; ;V S V S V S

T dV T n dS T dV T n dS T dV T n dS .(8)

Умножим каждую из формул (8) соответственно на kji

,, и сложим результаты; мы получим обобщенную формулу Остроградского для векторного выражения pT

:

S

T dV T n dS . (9)

Отсюда так же, как и выше, делением на V и переходом к пределу мы получаем:

1lim

V PS

T T n dSV

. (10)

Таким образом, и в случае векторного выражения T(p) соот-ветствующее дифференциальное выражение pT

не зависит от

выбора системы координат. 2. Пример 1. Интеграл по объему

V

grad rot A dv

преобра-

зовать в интеграл по поверхности:


77

( ( ) ( ( )) ( ( ))V V V

A dV rot A dV div rot A dV

.

Поскольку 0))(( Arotdiv

, то второй интеграл равен нулю, а первый преобразуем согласно обобщенной теореме Гаусса:

( ( )) ( ( )) ( ( ))V S S

rot A dV n rot A dS rot A dS .

Пример 2. Вычислить интеграл ( )S

r a n dS , где a

–

постоянный вектор, n

– вектор нормали к поверхности S. Умножим искомый интеграл скалярно на постоянный

вектор c

:

( ) ( )( ) ( )( )S S S

c r a n dS c r a n dS n a c r dS

и воспользуемся обобщенной теоремой Гаусса:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )S V V V

n a c r dS a c r dV a r c dV a c dV .

Окончательно получим:

( ) ( ) ( )S

c r a n dS a c V c a V

и поскольку c

произвольный вектор, то для исходного интеграла получим:

( )S

r a n ds a V .

Пример 3. Вычислить интеграл ( )S

a r dS .

Умножим этот интеграл на постоянный вектор c

:

( ) ( )( ) ( )( )S S S

c a r dS a r n c dS n c a r dS .

Воспользуемся теоремой Гаусса:


78

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )S V V V

n c a r dS c a r dV c a r dV c a dV .

( )( ) ( )S

c n a r dS c a V .

Поскольку вектор c

произволен, то искомый интеграл ведет себя как вектор Va

:

( )S

a r ds a V .

Пример 4. Интеграл по поверхности S

dS

преобразовать в

интеграл по объему. Здесь следует прямо применять обобщенную теорему Гаусса:

( ) ( ) ( )S S V V

dS n dS dV grad dV .


SdAn

)( преобразо-

вать в интеграл по объему. Применим к этому интегралу обобщенную теорему Гаусса:

( ) ( ) ( )S V V

n A dS A dV rot A dV .


SdAbn

)( преобразо-

вать в интеграл по объему, если b

– постоянный вектор. Применим к интегралу обобщенную теорему Гаусса:

( ) ( ) ( )S S V

n b A dS b n A dS b AdV .


79

Пример 7. Вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к элементам поверхности погруженного в жид-кость тела.

Пусть на тело объемом V, погру-женное в жидкость с плотностью , действует со стороны окружающей жидкости сила давления )(rP

(см. рис. 1). Тогда полная сила, действую-щая на тело, определится интегралом

SSS

dSPndSnPSdP )()(

.

Знак "–" появляется из-за того, что направление действия силы противоположно направлению внешней нормали к поверхности. Применим к этому интегралу обобщенную теорему Гаусса:

( ) ( ) ( )S V V V

n P dS P dV grad P dV F dV .

Учтем, что давление P есть сумма постоянного внешнего дав-ления P0 и гидростатического давления, определяющегося глуби-ной элемента поверхности тела z. Тогда в системе декартовых координат с началом на свободной поверхности жидкости и

gn

|| получим:

gzPrP 0)(

.

Знак "–" появляется из-за того, что глубина z отрицательна. Тогда

( ) zF P r g n .

Подставим это выражение в интеграл для полной силы и получим:

( )z z zV V

FdV gn dV gV n Mgn .

Рис. 1.


80

Пример 8. Интеграл по контуру L

ld

преобразовать в

интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур. Умножим этот интеграл скалярно на постоянный вектор a

и

применим к получившемуся интегралу теорему Стокса:

( ) ( )

( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) .

L L S

S S

S S

a dl a dl rot a dS

grad a rot a dS a grad n dS

grad n a dS a grad n dS

Откуда 0)(

SL

dSngradlda .

Ввиду произвольности вектора a

, выписанное тождество реализуется, только если

SL

dSngradld

)( .

Пример 9. Интеграл по контуру L

d преобразовать в

интеграл по поверхности, опирающиеся на этот контур, где )(r

и )(r

– скалярные поля. Преобразуем интеграл к интегралу типа циркуляции, чтобы

можно было воспользоваться формулой Стокса. Для этого подынтегральную функцию умножим и разделим на дифференциал длины дуги контура:

( ) ( ) ( )L L L L L

dd dl dl dl dl

dl

.

Воспользуемся теоремой Стокса:

( ) ( ) ( )L S S

dl rot dS dS

;

L S

d dS

, поскольку rot[grad()] 0.


81

Пример 10. Доказать тождество:

( [ ]) ( [ ]) ( ) ( )V S

A rot rot B B rot rot A dV B rot A A rot B dS .

Для доказательства преобразуем поверхностный интеграл, пользуясь известным соотношением:

( ) ( ) ( )div C D D rot C C rot D

;

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( ) [ ( )]

( ) ( ) [ ( )] .

S S

V V

B rot A A rot B dS n B rot A A rot B dS

div B rot A A rot B dV rot A rot B B rot rot A

rot B rot A A rot rot B dV

Сокращая первое и третье слагаемое в этом выражении, получим искомый интеграл.

§ 8. Инвариантность и ковариантность физических законов

1. Ясно, что физические величины и физические законы не должны меняться при переходе от одной системы отсчета к другой. Классическая механика, например, прямо исходит из того, что все инерциальные системы равноправны. Или, другими словами, со-гласно принципу относительности Галилея все законы и уравнения механики, установленные для замкнутой системы, не изменяются при переходе внутри замкнутой системы к любой другой инерциальной системе.

Принято говорить: Законы инвариантны по отношению к некоторым преобразованиям (т. е. не меняются при таких преоб-разованиях), если:

а) после выполнения преобразований структура равенств, выражающих эти законы, имеет совершенно такой же вид, как и до преобразования;

б) все функции координат, скоростей, ускорений и полей (до-пустим, энергия, количество движения системы и т. п.), содержа-


82

щиеся в равенствах, выражающих законы, в результате преобра-зований не меняются, т. е. как функции новых переменных они имеют совершенно такой же вид, какой имели до преобразования, как функции старых переменных.

2. Если система не замкнута, т. е. если учитывается влияние на систему других материальных объектов, не входящих в нее, то при произвольных преобразованиях структура уравнений, описывающих физические законы, может изменяться. Часто, однако, удается придать этим уравнениям такой вид, что при переходе от одной инерциальной системы к любой другой структура уравнений не изменяется, хотя вид функций от координат, скоростей, ускорений и полей может измениться. В таких случаях говорят, что форма записи законов и уравнений ковариантна по отношению к данному типу преобразований.

Пример 1: Рассмотрим движение системы, описываемое уравнением:

2

2

)(dt

rdmrF

, где

r

r

r

MrF

2

)(

.

Это уравнение инвариантно по отношению к сдвигу во вре-мени attrr *;*

, так как время входит в него в дифференци-альной форме. Но по отношению к сдвигу начала отсчета прост-ранственных координат ttarr *;*

это уравнение только ко-вариантно. При таком сдвиге получим:

|*|

**

)*()*(*)*;(*

*22

2

ar

ar

ar

MrFrF

dt

rdm

,

т. е. первоначальная функция F

от переменной r

зависит совсем не так, как функция F

зависит от *r

;. 3. Скаляры и псевдоскаляры. Ясно, что скалярные

физические величины инвариантны относительно ортогональных преобразований, т. е. например, масса, объем и плотность тела будут одинаковы во всех системах, которые можно получить из данной путем ортогональных преобразований. Однако отдельные величины, которые иногда в общей физике ошибочно называют скалярами, не являются таковыми. Речь идет о проекциях различных векторных величин на координатные оси. Проекции,


83

например, вектора скорости зависят уже от выбора системы координат и не являются истинными скалярами. Их называют псевдоскалярами.

Поскольку в физике приходится оперировать с большим количеством скалярных величин, желательно иметь правило, по которому можно было бы отличить истинный скаляр от псевдоскаляра. Такое правило устанавливается на основе понятия операции инверсии координатной системы.

Если при инверсии знак скалярной величины не меняется, то это будет истинный скаляр. Если же знак изменится, то объект называется псевдоскаляром.

4. Векторы и псевдовекторы. С помощью инверсии отличают также истинный вектор от псевдовектора. Только в этом случае правило обратное. Если при инверсии знак вектора некой физической величины изменится, то мы имеем истинный (настоящий, или полярный вектор). Если же при инверсии знак вектора не меняется, то такой вектор будет аксиальным, или псевдовектором.

При вращении же координатной системы и истинные, и аксиальные векторы ведут себя одинаково.

5. Примеры истинных (полярных) векторов: а) радиус-вектор r

;

б) вектор скорости: dt

rdV

;

в) вектор импульса: Vmp

;

г) вектор силы: dt

pdF

;

д) оператор "набла": и результат его применения к скалярной функции.

Ясно, что аксиальный вектор получается при векторном умножении двух истинных векторов.

6. Примеры аксиальных векторов (псевдовекторов): а) вектор момента импульса )( prM

;

б) вектор момента силы )( FrK

; в) результат векторного применения оператора "набла" к

истинному вектору AH

.


84

7. Аксиальные и истинные векторы можно умножать между собой и векторно и скалярно, но нельзя складывать и вычитать, так как при инверсии такая комбинация изменит свою величину. В физически культурном выражении не должно содержаться суммы истинного и аксиального векторов.

8. Ясно, что псевдоскаляр можно получить при скалярном умножении истинного вектора на псевдовектор. Псевдоскаляры нельзя складывать с истинными скалярами.

Если E

– истинный вектор, а )(ArotH

– псевдовектор, то их скалярное произведение )( HE

– псевдоскаляр.

§ 9. Тензорпроизводная

Вектор A

можно определить, как некую физическую величину, в каждой системе пространственных трехмерных координат характеризующуюся набором трех псевдоскалярных величин Ax, Ay, Az, которые при поворотах выбранной системы координат преобразуются в Ax', Ay', Az' по закону:

).,cos(),cos(),cos(

);,cos(),cos(),cos(

);,cos(),cos(),cos(

zzAyzAxzAA

zyAyyAxyAA

zxAyxAxxAA

zyxz

zyxy

zyxx

(1)

Исторически понятие вектора было введено в связи с необхо-димостью описания скоростей изменения скалярных функций по величине и направлению. Мы уже знаем, что если задано скаляр-ное поле )(r

, то скорость его изменения в любой точке описы-

вается градиентом – )(rgrad

. Если в данном выше определении

иметь в виду под A

именно )(rgrad

, то несложно видеть, что вектор определяется как характеристика скорости изменения скалярного поля.

Если в том же контексте рассматривать скорость изменения векторного поля )(rB

, то необходимо говорить о скорости

изменения каждой из трех его компонент )(rBx

, )(rBy

и )(rBz

. Но


85

скорость изменения скалярной величины описывается вектором, который является градиентом этой величины. Поэтому скорость изменения векторного поля определяется тремя векторами –

)(rgradBx

, )(rgradBy

и )(rgradBz

. Принято объект,

характеризующий скорость изменения векторного поля B

, описывать с помощью квадратной матрицы, i-ю строку которой образуют координаты градиента от iB

от i-й компоненты вектора

B

; (I = x, y, z). Построенный объект называют "тензор-производная" от векторной функции )(rB

, а элементы

сконструированной матрицы – компонентами соответствующего тензора-производной в данном базисе:

z

B

y

B

x

Bz

B

y

B

x

Bz

B

y

B

x

B

B

zzz

yyy

xxx

321

. (2)

Компонента тензора-производной – символ с двумя индексами (номер строки и номер столбца). Форма записи (2) удобна тем, что элементарное изменение Bd

вектора B

при

переходе из точки rв точку rdr

можно записать на языке

алгебры матриц:

1 2 3

.

x x x

x xy y y

y y

z zz z z

B B B

x y zdB dr

B B BdB dr или dB B dr

x y zdB dr

B B B

x y z

Заметим, что строки матрицы (2) при ортогональных преобразованиях системы координат изменяются по векторным законам (1). Всякую физическую величину, обладающую девятью компонентами, изменяющимися при ортогональных


86

преобразованиях трехмерного евклидова пространства по такому же правилу, называют ортогональным тензором второго ранга.

Ранг тензора – число индексов у его компонент. Число компонент тензора непосредственно связано с размерностью пространства, на котором тензор определен. Вышеприведенные рассуждения относились к случаю трехмерного евклидова пространства. Аналогичные рассуждения можно провести, когда размерность пространства равна двум. В этой ситуации тензор второго ранга будет иметь лишь четыре компоненты.

Ортогональный тензор второго ранга – частный случай более общего понятия тензора произвольного ранга на линейном прост-ранстве произвольной размерности, с которым можно познакомиться в специальной литературе. Мы ограничились рассмотрением лишь ортогональных тензоров второго ранга ввиду их особой важности для курса общей физики. Объектами именно такого типа являются тензор инерции, тензор деформации, тензор натяжений, тензор поляризации.

Глава 4. Тензорная алгебра

§ 1. Правила преобразования ортонормированного базиса

1. Пусть в трехмерном пространстве задан ортонормированный базис },,{ 321 lll

с началом в точке O. Зададим

в том же пространстве другой ортонормированный базис },,{ 321 lll

с началом в той же точке O, произвольным образом ориентированный относительно старого базиса.

Орты нового базиса могут быть разложены по старому базису:

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

;

;

,

l l l l

l l l l

l l l l

(1)


87

где ij (i, j = 1, 2, 3) имеет смысл проекций il

на орты старого

базиса jl

. Так как 1|||| ji ll

, то ясно, что ),cos( jiij ll .

Три равенства (1) можно записать в виде:

jiji ll

(2)

В (2) использовано правило суммирования Эйнштейна, заключающееся в том, что по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Числа ij можно записать в виде квадратной матрицы:

333231

232212

131211

. (3)

Эту матрицу назовем матрицей перехода от старого базиса к новому.

2. Аналогично орты старого базиса могут быть разложены по новому базису:

jiji ll

. (4)

Здесь ),cos( jiij ll

– проекция il

на орт нового базиса jl

.

Можно также определить матрицу перехода от нового базиса к старому, т. е. матрицу, обратную к Г:

333231

232212

1312111 . (5)

Несложно видеть, что jiij , т. е. матрица Г–1 является

транспанированной по отношению к Г. А это означает, что матрица Г ортогональная.

Таким образом, переход от одного ортонормированного базиса к другому задается ортогональной матрицей.


88

3. Задача 1. Написать матрицу перехода от ортонормирован-ного базиса },,{ 321 lll

к ортонормированному базису },,{ 321 lll

,

если: а) 331221 ;; llllll

;

б) 231231 ;; llllll

. Задача 2. Как изменится матрица перехода от одного базиса

к другому, если: а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса; в) записать векторы базисов в обратном порядке. 4. Элементы матрицы Г (и, естественно, элементы Г –1)

подчиняются условиям:

ijjkikkjki , (6)

где

.0

,1

jiпри

jiприij

В самом деле,

ijjijijijijkik ll ),(332211

.

Равенство (6) можно переписать в виде:

;03

;0

;1

331332122111

231322122111

213

212

211

(6a)

и т. д. Таким образом, сумма произведений элементов какой-нибудь

строки (столбца) на соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю, а сумма квадратов элементов любой строки (столбца) равна единице.

5. Задача 3. Доказать, что следующие матрицы являются ортогональными.


89

а)

3

2

3

2

3

13

2

3

1

3

23

1

3

2

3

2

1 ; б)

02

2

2

22

2

2

1

2

12

2

2

1

2

1

2 .

6. Рассмотрим определитель ортогональной матрицы :

333231

232212

131211

|| .

Легко видеть из (1), что | Г | равен смешанному произведению ортов 321 ,, lll

:

]),[,(|| 321 lllГ

. (7)

Модуль этого смешанного произведения равен единице, так как он равен объему куба, построенного на этих ортах как на сторонах. Значит, определитель любой ортогональной матрицы равен единице. Причем знак плюс или минус будет в зависимости от того, имеют ли базисы },,{ 321 lll

и },,{ 321 lll

одинаковую или

противоположную ориентацию. В первом случае новый базис может быть совмещен со старым путем поворота, а во втором случае для совмещения базисов придется прибегнуть к инверсии.

7. Пусть теперь в пространстве задан вектор X

. Его можно разложить по обоим базисам:

ii lXX

, (8)

jj lXX

. (8a)

Ясно, что должно выполняться равенство

jjii lXlX

, (9)

так как и (8) и (8a) определяют один и тот же вектор, который не должен зависеть от выбора системы координат.


90

Заменим в (9) il

по (4):

jjjiji lXlX

.

Или в силу линейной независимости ортов jl

:

ijij XX . (10)

Учитывая, что jiij , из (10) получим:

ijij XX . (11)

Формула (11) дает выражение новых координат через старые. Легко получить и выражение старых координат через новые:

jiji XX . (12)

Для этого нужно в (9) заменить jl

по формулам (1).

§ 2. Тензорное определение вектора и скаляра

1. На основании результатов предыдущего параграфа можно сформулировать утверждение: трехмерным вектором называется упорядоченная совокупность трех чисел, которые при поворотах ортонормированного базиса преобразуются так же, как координаты X1, X2, X3, т. е. по законам (1) или (12) из §1.

Величина, не изменяющаяся при поворотах базиса, называется скаляром.

2. Пример 1. Показать, что скалярное произведение двух век-торов ii BABA ),(

не изменяется при поворотах системы

координат и, следовательно, является скаляром. В повернутой системе координат

kjikijkikjijii BABABABA )())((),(

.

Но в силу (6) § 1 jkikij , поэтому


91

jjkjjkii BABABA

.

3. Пример 2. Пусть правило, задающее в каждой системе координат некоторую тройку чисел (A1, A2, A3), существует. Если это правило таково, что AiBi есть скаляр для всякого вектора

),,( 321 BBBB

, то величина ),,( 321 AAAA

также является вектором.

Доказательство. При поворотах базиса координаты вектора преобразуются по закону:

jiji BB .

Пусть при повороте базиса (A1, A2, A3) переходят в (A1, A2, A3). Мы должны показать, что

jiji AA .

Но, по предположению,

jjii BABA

. (1)

Кроме того,

jijijijiii BABABA )()(

.

В силу (1)

jjjiji BABA )(

.

Отсюда, поскольку B

– произвольный вектор, следует:

ijij AA

.

Умножим это на kj и просуммируем по j:

kkiiijkjijkj AAAA )(

или

jkjk AA .


92

Значит, ),,( 321 AAAA

– действительно вектор.

§ 3. Определение тензора

1. Многие величины, важные с физической точки зрения, не являются ни скалярами, ни векторами. В качестве примера можно привести величины Xi Xj, связанные с моментом инерции тела. При вращениях базиса эти величины преобразуются по закону:

i j ik jl k lX X X X (1)

и являются компонентами тензора. Будем говорить, что в трехмерном пространстве задан тензор

n-го ранга, если каждой декартовой системе координат сопоставлена совокупность 3n чисел Ti1 i2 ... in (где i1, i2, ... in пробегают значения 1, 2, 3), которая при переходе от одной системы координат к другой преобразуется по закону:

1 2... 1 1 2 2 1 2......i i in i j i j in jn j j jnT T , (2)

где ij – матрица перехода от старого базиса к новому.

2. Пример 1. Тензор нулевого ранга имеет одну (30 = 1) компоненту, которая при переходе от одного базиса к другому не меняется. Тензор нулевого ранга является скаляром.

Пример 2. Тензор первого ранга имеет три (31 = 3) компоненты, которые при переходе от одного базиса к другому меняются по закону (12) § 1. Тензор первого ранга является вектором.

Пример 3. Тензор второго ранга имеет девять (32 = 9) компонент, преобразующихся при переходе от одного базиса к другому по закону (1).

Пример 4. В некоторой системе ортогональных координат двухмерный тензор имеет вид:

321

03mnP .


93

Вычислить его компоненты в новой системе координат, повернутой относительно старой на 60.

Известно, что при поворотах базиса компоненты тензора преобразуются по закону:

kl km ln mnP P ,

т. е. компонента тензора klP в новом базисе выражается через произведения косинусов между новыми и старыми осями и через все компоненты тензора в старом базисе.

Матрица перехода от старого базиса к новому в данном случае имеет вид:

2

1

2

32

3

2

1

mn .

Поэтому

3222121221111212121111111111 PPPPP ;

022221221211212221111211112 PPPPP ;

122122221112212122111112121 PPPPP ;

322222221212212222111212122 PPPPP .

В итоге в новом базисе получается тензор:

31

032mnP .

Задача 1. В некотором трехмерном ортонормированном базисе задан тензор второго ранга, компоненты которого представлены в виде матрицы:


94

400

040

004

mnP .

Выяснить, какой вид будет иметь этот тензор в базисе, повернутом на 45 вокруг оси OY.

Задача 2. В двухмерном ортонормированном базисе задан тензор:

10

01ik .

Вычислить его компоненты в базисе, повернутом относительно данного на 120.

Задача 3. Написать закон преобразования компонент тензора пятого порядка.

Задача 4. Доказать, что если компоненты тензора произ-вольного ранга равны нулю в заданном базисе, то они равны нулю и во всех остальных базисах.

Задача 5. Компоненты тензора aij равны соответствующим компонентам тензора bij, то есть aij = bij в некотором заданном базисе. Показать, что это равенство сохранится в любом базисе.

Задача 6. Показать на примере двухмерного тензора второго ранга, что сумма диагональных элементов матрицы, составленной из элементов тензора, не изменяется при переходе к другому базису. Такая комбинация называется его следом (шпуром).

3. Данное выше определение тензора можно перефразировать в виде первого тензорного признака: для того чтобы совокупность величин Ti1 i2 ... in , зависящая от выбора базиса, была тензором, необходимо и достаточно, чтобы при переходе от одного ортонормированного базиса к другому она изменялась по закону (2).

Задача 7. В двухмерной декартовой системе координат некая математическая величина характеризуется матрицей:


95

04

21;

в другой декартовой системе координат, повернутой относительно данной на 45, эта же величина характеризуется матрицей:

2

7

2

32

1

2

5

Выяснить, является ли данная величина тензором. Пример 5. Если (X1, X2, ..., Xn) – инвариантная функция

декартовых координат, то величины iX и

ji XX 2

образуют

тензоры первого и второго ранга соответственно. Докажем это утверждение.

а) в новом базисе:

j

i

ij X

X

XX

.

Но jiji XX , отсюда

ijj

i

X

X

.

В итоге

iji

iij

j XXX

.

2. Аналогично поступаем и со второй производной:


96

.2

2

lkiljk

lil

kjk

ikjk

kjk

ijiji

XXXX

XXXXXXXX

Отсюда видно, что и первая и вторая производные от инвариантной функции при переходе от одного базиса к другому преобразуются как тензоры по закону (2). Значит, в силу первого тензорного признака они и являются тензорами.

Пример 6. Показать, что совокупность величин aijkl , которая в любом ортонормированном базисе определяется равенствами

1 при ,

;0 в остальных случаях,ijkli k j l

a

образует тензор четвертого ранга. Если aijkl – тензор, то его компоненты должны преобразо-

вываться при переходе к другому базису по закону (2), т. е.

mprslskrjpimijkl aa .

Пусть теперь m = r и p = s, тогда

jlikmpmplpjpkmimijkl aa ))(( .

Отсюда видно, что ijkla отлично от нуля только при i = k и

j = l и в этом случае равно единице. Итак, мы показали, что существует тензор, ведущий себя при

переходе к другому базису так же, как величина, заданная в условии задачи. Отсюда на основании первого тензорного признака заключаем, что она является тензором четвертого ранга.

Задача 8. Проверить, являются ли тензорами следующие величины:

1.

2

2

XXY

XYYaij ; 2.

2

2

XXY

XYYbij ;

3.

XYY

XXYcij

2

; 4.

XYX

YXYdij 2

2

.


97

Задача 9. Образуют ли тензор направляющие косинусы ij ?

2. Тензор называют инвариантным (или изотропным), если его компоненты не меняются при переходе от одного базиса к другому.

Пример 7. На основе символа Кронекера в трехмерном пространстве можно определить единичный тензор ik 2-го ранга:

100

010

001

ik .

Показать, что такой тензор будет инвариантным. Решение. Выпишем преобразование ik к новому базису:

lp li pk ik lk pk lp .

Задача 10. Показать, что инвариантного тензора первого ранга не существует.

§ 4. Сложение тензоров. Умножение тензора на вещественное число.

Тензорное произведение тензоров

1. Суммой тензоров aijk...m и bijk...m называется тензор cijk...m, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент тензоров aijk...m и bijk...m:

cijk...m = aijk...m + bijk...m.

Складывать можно только тензоры одного ранга. Пример 1. Сложить два тензора, заданные матрицами:

;2

2

XXY

XYYaij ;

2

XYY

XXYbij

.)()1(

)()(

YXXXY

YXXYYXcij


98

Задача 1. Сложить два тензора: а) Ai = (1, 2, 4) и Bi = (–3, 0, 7);

б)

321

03ija и

31

032ijb .

Задача 2. Рассмотреть суммы aijk + bijk компонент тензоров aijk и bijk в произвольном ортонормированном базисе и показать, что они являются компонентами тензора.

2. Произведением тензора n-го ранга 1 2 ... ni i ia на вещественное

число назовем тензор 1 2... ni i ib того же ранга, компоненты

которого равны компонентам 1 2 ... ni i ia , умноженным на .

Пример 2. Умножить тензор Ai = (2, 4, 3) на = 2.5. В соответствии с правилом Bi = (5, 10, 7.5). Пример 3. Умножить тензор

.2на2

2

XXY

XYYaij

Согласно правилу

2

2

2 22 .

2 2ij ij

Y XYb a

XY X

3. Компоненты тензорного произведения двух тензоров пред-ставляют собой произведение каждой компоненты первого тензора на каждую компоненту второго. Ранг тензора, получающегося в результате такой операции, равен сумме рангов перемножаемых тензоров.

Пример 4. Доказать, что если 1 2 ... ni i iS – компоненты тензора

n-го ранга, а 1 2... mj j jT – компоненты тензора m-го ранга, то

величины 1 2 1 2... ...n mi i i j j jS T являются компонентами тензора ранга

m + n. Докозательство. При повороте системы координат компо-

ненты данных тензоров преобразуются по закону:


99

1 2 1 1 2 2 1 2... ......n n n ni i i i k i k i k k k kS S ;

1 2 1 1 2 2 1 2... ......m m m nj j j j l j l j l l l lT T .

Поэтому величины 1 2 1 2... ...n mi i i j j jS T преобразуются так же, как

и компоненты тензора ранга m + n, а именно

1 1 1 1 1 1 1 1... ... ... ...( ) ... ... ( )n m n n m m n mi i j j i k i k j l j l k k l lS T S T . (1)

Задача 3. Показать, что суммы вида Bijkl Akl компонент тензоров Bijkl и Akl в произвольном ортонормированном базисе являются компонентами тензора.

Пример 5. В векторной алгебре были введены операции скалярного и векторного произведения векторов. Теперь мы можем ввести также тензорное произведение векторов, под которым мы будем понимать операцию (1) для двух тензоров первого ранга (векторов). То есть если Ai и Bi – компоненты векторов A

и B

, то в результате их тензорного умножения

получим тензор второго ранга, называемый диадой: Cij = AiBj.

Ясно, что диада содержит 9 компонент. В матричной форме диаду можно представить в виде:

332313

322212

312111

BABABA

BABABA

BABABA

Cij .

Задача 4. В каком случае диада имеет только один, отличный от нуля элемент?

§ 5. Свертывание тензора

Для любого тензора не ниже второго ранга определена опера-ция свертки по выделенной паре индексов. Компоненты тензора, получающегося в результате свертки, образуются суммированием тех компонент исходного тензора, у которых индексы выделенной пары имеют одинаковые значения. Остальные индексы исходного тензора (если его ранг больше двух) при


100

такой операции считаются неизменными. При свертывании по паре индексов ранг тензора понижается на две единицы. Если ранг исходного тензора достаточно велик, то операцию свертки можно провести по нескольким парам индексов.

1. Пример 1. Доказать, что если 1 2... ni i iT является тензором n-

го ранга, то величина 3 4 1 2 1 2... ...n ni i i i i i i iH T есть тензор (n – 2)

ранга. Доказательство. Очевидно, что величина

3 4... ni i iH имеет 3n–2

компонент. Выясним, как преобразуется каждая из компонент

3 4... ni i iH при переходе к новому базису:

3 4... 1 2 1 2... 1 2 1 1 2 2 1 2...

1 1 2 2 3 3 1 2... 1 2 3 3 1 2...

...

( ) ... ...

i i in i i i i in i i i j i j injn j j jn

i j i j i j injn j j jn j j i j injn j j jn

H T T

T T

3 3 1 2 1 2... 3 3 3 4...... ( ) ... .i j injn j j j j jn i j injn j j jnT H

Отсюда видно, что величина 3 4...j j jnH преобразуется согласно (2) и, следовательно, является тензором.

2. Операцию свертки можно определить и несколько иначе, через умножение компонент исходного тензора на символ Кронекера ij с последующим суммированием по i = j.

Пример 2. kkkkijijk baaaa 332211 .

Пример 3. При свертывании тензора второго ранга мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр, – величину, инвариантную по отношению к переходу к другому базису. Этот тензорный инвариант называют следом (шпуром) тензора aij и обозначают так:

Sp aij = aij ij = a11 + a22 + a33 ,

т. е. видно, что след тензора есть просто сумма диагональных элементов квадратной матрицы, которой принято изображать тензоры второго ранга.

Sp – первые буквы от немецкого слова Spur – след. В англоязычной физической литературе след тензора aij обозначают так же, как


101

tr aij = a11 + a22 + a33,

где tr – первые две буквы от английского слова trace – след. Поэтому иногда след тензора и на русском языке называют шпуром, или трейсом.

3. Свертывание произведения тензоров состоит в их умножении и свертывании полученного в результате умножения тензора по индексам, принадлежащим разным сомножителям. В результате свертывания по паре индексов произведение тензоров ранга n и m будет тензором ранга n + m – 2.

Пример 4. Рассмотрим два тензора aijk и blm и образуем их произведение aijk blm, а результат свернем по индексам l и k:

aijk blm lk = aij1b1m + aij2b2m + aij3b3m = cijm,

т. е. получаем тензор третьего ранга. Пример 5. Особенно простой вид носит свертывание произ-

вольного тензора с единичным: aijk kl = aijl. 4. Ясно, что свертывание тензоров можно производить по

любой паре индексов и по любому количеству таких пар. Причем при свертывании данного тензора по различным парам индексов мы получим различные результаты. Так,

aijklkl aijklil.

В результате m-кратного свертывания тензора ранга n полу-чится тензор ранга n – 2m. В пределе тензор четного ранга может быть свернут к скаляру, а тензор нечетного ранга – к вектору.

Задача 1. Построить инвариант путем свертывания индексов у тензора aij, который представлен матрицей:

407

653

012

ija

.

Задача 2. Пусть даны тензоры aijk и blm. Получить из них путем умножения и свертывания тензор 5-го ранга, все тензоры третьего ранга и первого ранга. Сколько их будет?


102

Задача 3. Дан тензор aij. Доказать, что алгебраические дополнения Aij определителя a, составленного из компонент тензора aij, также составляют тензор второго ранга, который удовлетворяет соотношению:

Aik akj = a ij. Пример 6. Дан тензор второго ранга aij, матрица которого в

определенном базисе равна

754

215

302

ija

,

и тензор первого ранга: Xi = (2, 1, 4). Найти: а) aij Xj; б) aij Xi. Решение: а) 164310221 jj Xa ;

194211252 jj Xa ;

414715243 jj Xa ;

)41,19,16( jiji Xac .

б) 254415221 ii Xa ;

214511202 ii Xa ;

364712233 ii Xa ;

)36,21,25( iijj Xad .

Задача 4. Для тензоров aij и Xi из «примера 6» и тензора Yi = (3, 7, –1) найти: а) aij Yj; б) aij Yi; в) aij X Yj;

г) aij Yi Xj; д) aij ij; е) aij – 2/5 dij all;

ж) (aij – 2/5 dij all) Xi; з) (aij – 2/5 dij all) Xi Yj.

Задача 5. Пусть tij – компоненты тензора в ортонормированном базисе li.

а) показать, что набор ij = tij (например, 12 = t21) является компонентами некоторого тензора.

б) равны ли свертки: ij ui uj и tij ui uj, где ui и uj – компоненты векторов?


103

Пример 7. Расписать перечисленные выражения, используя числовые значения индексов. Указать равные между собой выражения:

pijuj, ujpij, pijui, uipij.

Решение: Первые два выражения равны и представляют при i = 1, 2, 3 соответственно суммы

p11u1 + p12u2 + p13, p21u1 + p22u2 + p23u3, p31u1 + p32u2 + p33u3.

Третье и четвертое выражения равны и при j = 1, 2, 3 представ-ляют соответственно суммы, вообще говоря, неравные предыду-щим:

p11u1 + p21u2 + p31u3, p12u1 + p22u2 + p23u3, p31u1 + p32u2 + p33u3.

Задача 6. Найти равные выражения: a) qijaibj, qijbjai, bjqijai, aiqijbj, aibjqij, bjaiqij, qijajbi; б) aijbij, ajibji, aijbji, bijaji. Пример 8. Вычислить суммы с единичными тензорами:

ii, ijji, ijjkki.

Решение: ii = 1 + 1 + 1 = 3; ijji = 1 + 1 + 1 = 3; ijjkki = 1 + 1 + 1 = 3. Задача 6. Пусть tij – компоненты тензора в ортонормиро-

ванном базисе ei. Учитывая, что набор ij = tji, (например, 12 = t21) также определяет некоторый тензор, выяснить равны ли свертки:

1) ijuiuj и tijuiuj; 2) ijuivj и tijuivj,

где ui и vj – компоненты векторов. Ответ: 1) ijuiuj = tijuiuj; 2) свертки ijuivj и tijuivj, в общем

случае не равны. Задача 7. Показать, что если в некотором ортонормирован-

ном базисе компоненты тензора удовлетворяют соотношениям

а) tij = tji; б) tij = –tji,


104

то аналогичные соотношения будут выполнены для его ком-понент в любом ортонормированном базисе.

В первом случае тензор второго ранга называется симмет-ричным, во втором – антисимметричным (кососимметричным).

5. Несложно видеть, что для произвольного вектора Ai и еди-ничного тензора ik будет выполняться соотношение Aiik = Ak. В этой связи единичный тензор часто используется для тождест-венных преобразований тензорных соотношений. Например:

SikPk – Pi SikPk – ikPk Pk(Sik – ik).

Используя единичный тензор ik, можно определить и тензор 1

ikS , обратный данному Sik на основе соотношения:

1ik mk ikS S .

Задача 8. Показать, что при умножении тензора Sik на обрат-ный ему не слева, а справа снова получится единичный тензор.

§ 6. Симметричные и антисимметричные тензоры

1. Тензор Tij называют симметричным тензором второго ран-га, если Tij = Tji. Если же Tij = –Tji, то Tij называют антисим-метричным тензором второго ранга.

Пример 1. Доказать инвариантность свойства симметрии (антисимметрии) тензора 2-го ранга.

Доказательство. Пусть ij ik jl klT T ; ji jl ik lkT T . Сложим

эти равенства для антисимметричных тензоров (или вычтем для симметричных): ( )ij ji ik jl kl lkT T T T .

Ясно, что сумма слева тождественно равна нулю, а поскольку в общем случае 0ik jl , то в нуль должно обращаться выраже-

ние в скобках, т. е. свойство симметрии (антисимметрии) сохра-няется в любом базисе.


105

2. В общем случае тензора ранга n можно определить свойст-во симметрии (антисимметрии) для пары индексов. Тензор Ti1 i2 ... in , удовлетворяющий условию

Ti1 i2 i3 ... in = Ti3 i2 i1 ... in ,

назовем симметричным по индексам i1 и i3, если же

Ti1 i2 i3 ... in = –Ti3 i2 i1 ... in ,

то тензор назовем антисимметричным по индексам i1 и i3. 3. Тензор произвольного вида Tij может быть представлен в

виде суммы симметричного T(ij) и антисимметричного T[ij] тензоров.

Причем

( )1

2ij ij jiT T T ; (1)

[ ]1

2ij ij jiT T T . (2)

Операция (1), с помощью которой выделяется симметричная часть тензора, называется симметрированием тензора. А операция (2) – выделение антисимметричной части тензора – называется альтернированием тензора.

Задача 1. Показать, что любой тензор второго ранга пред-ставляется в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Единственно ли такое представление?

4. Для произвольного тензора третьего ранга aijk операции симметрирования и альтернирования имеют следующий вид:

( )1

6ijk ijk jki kij jik ikj kjia a a a a a a ; (3)

[ ]1

6ijk ijk jki kij jik ikj kjia a a a a a a . (4)

5. Доказать, что если aijk симметричен по индексам i и j и антисимметричен по индексам j и k, то он равен нулю.


106

Доказательство очевидно из

aijk = ajik = – ajki = – akji = akij = aikj = – aijk.

Задача 2. Показать, что если для тензора второго ранга при любом векторе v выполнено tij vi vj = 0, то тензор tij антисимметричен.

Пример 2. Показать, что полная свертка симметричного sij и антисимметричного akl тензоров равна нулю: sijakl = 0.

Решение: Произведем переобозначение немых индексов в свертке:

sijaij = sjiaji.

Отметим также, что по определению

sji = sij и aji = –aij,

тогда

sijaij = –sjiaji = 0.

Задача 3. Доказать, что если aijk симметричен по первым двум индексам (aijk = ajik) и для любого вектора iilXX

имеет

место соотношение aijkXiXjXk = 0, то aijk + ajki + akij = 0. Указание. Привести подобные члены, приравнять коэффици-

енты при разных Xi Xj Xk к нулю и воспользоваться симметрией по первым индексам.

Задача 4. Доказать, что если для тензора aij и для любого век-тора i iX X l

выполняется aijXj = Xi (где не зависит от X

), то

aij = aij. Задача 5. Доказать, что если тензор aijk симметричен по

индексам i и j, то

( )1

3ijk ijk jki kija a a a .

Задача 6. Доказать, что если тензор aijk антисимметричен по индексам i и j, то


107

[ ]1

3ijk ijk jki kija a a a .

Задача 7. Разложить тензор aij, матрица из элементов которого имеет вид:

044

275

232

ija

,

на симметричный bij и антисимметричный cij тензоры. Найти: а) cijaij; б) bijcij; в) cijdij; г) cijXi; д) cijXiXj; е) bijdij; ж) bijXi; з) bijXiXj,

где Xi = (2, 3, –4). 6. Антисимметричный тензор второго ранга обладает

следующими свойствами: T11 = T22 = T33 = 0; T12 = –T21; T13 = –T31; T23 = –T32.

Отсюда ясно, что антисимметричный тензор второго ранга Tik вполне определяется тремя независимыми величинами T12, T13, T23. И с ним можно, естественно, связать вектор Cj, который иногда называют «вектором, сопутствующим тензору Tik», и определяют с помощью соотношений:

C1 = T23, C2 = T31, C3 = T12

(или Ci = ijkTjk, где ijk – тензор Леви-Чивита). Видно, что в данном определении сопутствующего вектора значения индексов в правых и левых частях соотношений подчиняются правилу круговой перестановки 1231.

Название «сопутствующий» призвано подчеркнуть, что, хотя компоненты вектора Cj и совпадают с тремя из девяти компонент тензора Tik, о равенстве вектора и тензора речь не идет, поскольку это объекты различающиеся рангом.

7. Шаровой составляющей t(s) и девиатором t(d) симметричного тензора t второго ранга называются соответственно тензоры с компонентами:


108

( ) 1

3s

kk ijijt t и ( ) 1

3d

ij kk ijijt t t .

Задача 8. Найти девиатор шаровой составляющей (t(s))(d) и шаровую составляющую девиатора (t(d))(s).

§ 7. Псевдотензоры

1. До сих пор мы рассматривали преобразования координат, сводящиеся к чистым вращениям. Введем теперь преобразование инверсии (преобразование смены ориентации осей координат на противоположные):

Yij = –dij. (1)

При таком преобразовании

ii XX . (2)

Радиус-вектор ),,( 321 XXXr

при преобразовании инверсии трансформируется следующим образом:

),,(),,( 321321 XXXXXXr

. (3)

Все векторы, которые при инверсии ведут себя аналогичным образом, называются полярными, или истинными, векторами.

2. Но существуют и векторы, которые при инверсии ведут себя иначе. Возьмем, к примеру, векторное произведение двух полярных векторов A

и B

: ],[ BAC

. Компоненты результирую-

щего вектора определяются соотношениями: C1 = A2B3 – A3B2 и т. д. Но при инверсии Ai – Ai, Bj – Bj, а Ck Ck, то есть знак Ck при инверсии не меняется. Векторы, ведущие себя при инвер-сии подобным образом, называются псевдовекторами, или акси-альными векторами.

3. Истинный вектор при инверсии не меняет своей ориента-ции в пространстве, т. е. является величиной инвариантной. Псев-довектор же при инверсии меняет свою ориентацию на противо-положную.


109

4. Пример 1. Псевдовекторы часто используются потому, что возникают при описании процессов, связанных с вращением:

а) угловая скорость: )( vr

; б) момент импульса: )( prL

;

в) момент вращения: )( frM

;

г) магнитное поле: ( )B E

. 5. Псевдовекторы преобразуются при поворотах по закону:

kiki CC , (4)

где – определитель, составленный из элементов таблицы для коэффициентов ik. Появление множителя || связано с тем, что в правой системе координат вектор C

характеризует вращение, ко-

торое связывают с правилом правой руки. В левой же, инверси-рованной, системе координат направление вращения меняется на противоположное.

6. В случае инверсии определитель || имеет вид:

1

100

010

001

.

При инверсии одной лишь оси

1

100

010

001

.

При инверсии двух осей:

1

100

010

001

.

Но, с другой стороны, легко видеть, что инверсия двух осей эквивалентна повороту на 180 вокруг третьей оси.


110

7. Определим по аналогии псевдотензор второго ранга как совокупность 9 величин Aij, преобразующихся при поворотах по закону:

kljlikij AA . (5)

Псевдотензоры при вращениях ведут себя как истинные тензоры, но при инверсии меняют знак.

8. По аналогии с псевдотензорами первого и второго ранга можно определить и псевдотензор нулевого ранга – псевдоскаляр, который при инверсии меняет свой знак. Смешанное произведение трех истинных векторов )],,([ CBAV

ведет себя

как истинный скаляр при вращениях, однако при инверсии координат знак смешанного произведения изменяется на противоположный. Значит, V – псевдоскаляр.

9. Для дальнейшего удобно ввести единичный трехмерный антисимметричный тензор Леви-Чивита ijk, равный 1, если порядок ijk получен четным числом перестановок из совокупности чисел (1, 2, 3) и – 1, если ijk получается из (1, 2, 3) нечетным числом перестановок, т. е

123 = 231 = 312 = 1;

132 = 321 = 213 = –1. (6)

Все остальные компоненты ijk = 0. Пусть псевдотензор 3-го ранга ijk в некоторой системе

координат равен ijk. Тогда, по определению тензора

ijk = ||ipjqkrpqr. (7)

Легко видеть, что

1p2q3rpqr ||.

Тогда из (7) получим

2123 .

Аналогично легко показать, что


111

2231312

и что

2321132213 .

В итоге для вращений и инверсий:

ijkijk .

Таким образом, мы доказали теорему: величина ijk представ-ляет собой инвариантный, изотропный псевдотензор, компоненты которого не меняются при произвольных поворотах декартовой системы координат. Этот тензор называют единичным аксиальным тензором третьего ранга или тензором Леви-Чивита.

§ 8. Свойства тензора ЛевиЧивита

1. Пример 1. Пусть даны два вектора Ak и Bm. Зададимся вопросом: какой смысл имеет сумма

ikmAkBm? (1)

Здесь k и m – повторяющиеся индексы. Следовательно, для каждого i это сумма девяти членов. Но если k = i или k = m или m = i, то ikm = 0. В итоге от нуля будут отличны только два члена с разными значениями k и m (при фиксированном i). Если, например, i = 1, то или k = 2, m = 3 и ikm = 1, или k = 3, m = 2 и ikm = –1. Значит,

1kmAkBm = A2B3 – A3B2.

А это выражение есть не что иное, как проекция на первую ось векторного произведения BA

.

В общем случае

ikm k m iA B A B

, (2)


112

т. е. (1), (2) дает короткую запись проекции векторного произведения на ось i.

Задача 1. Доказать, что для любых Aj: ilkAlAk = 0. Указание. Записанное соотношение есть не что иное, как ана-

литическая формулировка того факта, что векторное произведение вектора на себя или произвольный параллельный ему вектор равно нулю.

Задача 2. С помощью тензора Леви-Чивита, вводя векторный оператор «набла»

33

22

11 X

lX

lX

l

,

записать выражение для проекции ротора вектора )(rA

на ось i.

Пример 2. Показать, что любому антисимметричному тензору второго ранга Cij можно сопоставить дуальный псевдовектор Ci, определенный как

jkijki CC 2

1.

Антисимметричный тензор задан таблицей

0

0

0

2331

2312

3112

CC

CC

CC

C jk .

Двойное свертывание псевдотензора пятого ранга ijk Cmn

показывает, что при вращениях базиса величина Ci должна вести себя как вектор, но наличие псевдотензора ijk приводит к тому, что в действительности Ci является псевдовектором. Компоненты псевдовектора C

заданы как

),,(),,( 123123321 CCCCCCC

.

Дуальность, зафиксированная в последнем выражении, озна-чает, что векторное произведение в трехмерном пространстве


113

можно записать либо в виде псевдовектора, либо в виде антисимметричного тензора второго ранга.

Пример 3. Выяснить смысл суммы ijkAiBjCk, где AiBjCk – три произвольных вектора.

Легко видеть, что

321

321

321

CCC

BBB

AAA

CBA kjiijk ,

т. е. исследуемое выражение представляет собой аналитическое выражение для смешанного произведения трех векторов. Ясно, что эта величина есть псевдоскаляр, равный по модулю объему параллелепипеда, построенного на векторах AiBjCk как на сторонах.

Замечание. Если с помощью трех полярных векторов A

, B

, C

определить тензор

kkk

jjj

iii

ijk

CBA

CBA

CBA

V ,

то объем параллелепипеда, построенного на A

, B

, C

как на сторонах, определится дуальным псевдоскаляром:

kjiijk CBAV !3

1.

Вопрос. В чем отличие определения объема V в замечании от определения, данного в примере 3?

Задача 3. Доказать, что ijijk = 0. Пример 4. Доказать, что

ikmpsm = ipks – iskp. (3)

Доказательство. Одним из наиболее важных свойств чисел ikm является то, что 81 число ikmpsm, представляющее тензор чет-вертого ранга, удовлетворяет некоторому тождеству. В этой


114

комбинации один – немой индекс и четыре – (i, k, p, s) – говорящие. Поскольку каждый из четырех говорящих индексов может принимать только три значения – 1, 2, 3, то в каждом выражении хотя бы два из них имеют одинаковое значение.

Очевидно, что если i = k или p = s, то слагаемые равны нулю. Если i k, то ikm не обращается в нуль только при одном значении m: m i k. Тогда чтобы psm отличалось от нуля, p и s должны принимать те же значения, что i и k в любом порядке. Причем если порядок одинаковый, то оба сомножителя слева ikm и psm равны +1 или –1 и произведение равно +1. Если же порядок различен, то произведение равно –1. Итак,

.,или,0

;,1

;,1

;0

;0

spkspi

pksi

skpi

sp

ki

psmikm

Рассмотрим теперь набор чисел, стоящих в (3) справа:

ipks – iskp,

которые также образуют тензор четвертого ранга. Если i = k или p = s, то слагаемые взаимно уничтожатся. Если i p и s или k p и s (при этом имеем в виду, что i k, p s), то один из сомножителей каждого слагаемого равен нулю. Следовательно, ненулевыми будут выражения, у которых i, k равны p, s в любом порядке и i k, p s.

Если i = p и k = s, то первое слагаемое равно 1, а второе – нулю, а если i = s и k = s, то первое слагаемое равно нулю, а второе –1. В итоге

ikmpsm = ipks – iskp.

Замечание. Поскольку psm = smp = mps при всех значениях индексов, то выражения в левой части (3) не изменятся по величине, если мы заменим ikm на kmi или mik. Можно, следовательно, сформулировать общее правило знаков: положим,


115

что i и p – индексы, которые следуют за индексом суммирования в соответствующем сомножителе (если индекс суммирования последний, полагаем соответственно i или p первым), тогда ip появляется с положительным знаком и формулу можно дописать до симметрии.

Пример 5. Используя соотношение (3), записать аналитическое выражение для двойного векторного произведения

)( CBAD

. Обозначим )( CBK

. Тогда i-я компонента векторного

произведения

( )i i ikm k mD A K A K

.

И уже в это выражение подставим аналитический вид проекции

Km = mpsBpCs.

Получим:

Di = ikmAkmpsBpCs = ikmmpsAkBpCs = (ipks – iskp)AkBpCs =

= ksAkBiCs – kpAkBpCi = BiAkCk – CiAkBk.

А это то же самое, что

)()()( BACCABCBA

.

Задача 4. Доказать, что ijkljk = 2il. Задача 5. Доказать, что ijkijk = 6. Задача 6. Пусть обозначает определитель |aij|, доказать, что

ikm = jlnaijaklamn;

jln = ikmaijaklamn;

6 = ikmjlnaijaklamn.

Задача 7. Записать с помощью ikl условие компланарности трех векторов Ai, Bi, Ci.


116

Задача 8. Задана антисимметричная таблица, элементы которой C1, C2, C3 образуют псевдовектор:

0

0

0

0

0

0

2331

2312

3112

12

13

23

CC

CC

CC

CC

CC

CC

.

Предполагая, что соотношение Ci = ½ ijkCjk выполняется во всех системах координат, доказать, что Cjk – тензор.

2. Если работать не в трехмерном, а в четырехмерном прост-ранстве, то можно ввести четырехмерный тензор Леви-Чивита по аналогии с ijk. Единичный четырехмерный тензор, антисимметричный по отношению к любой паре своих индексов, пробегающих значения 1, 2, 3, 4, будем обозначать ijkl, где ijkl равен 1, если порядок ijkl получен четным числом перестановок из совокупности чисел (1, 2, 3, 4) и –1, если ijkl получается из (1, 2, 3, 4) нечетным числом перестановок.

Аналогично тому, как это было сделано для ijk, легко показать, что ijkl – псевдотензор.

Введя тензор четвертого ранга

,

i i i i

j j j jijkl

k k k k

l l l l

A B C D

A B C DH

A B C D

A B C D

элементами которого служат компоненты полярных векторов, можно определить дуальную величину

ijklijkl HH !4

1,

причем H, имеющее смысл объема параллелепипеда в четырех-мерном пространстве, является псевдоскаляром.

Пример 6. Доказать, что элемент объема в пространстве Минковского является инвариантом по отношению к любым поворотам четырехмерного пространства (к преобразованиям Лоренца).

Доказательство. Пусть )0,0,0,( 1dXA

; )0,0,,0( 2dXB

; )0,,0,0( 3dXC

; ),0,0,0( 4dXD

. Тогда элемент объема


117

dX4 = H = dX1dX2dX3dX4

и является псевдоскаляром. Задача 9. Проверить, будут ли изотропными три тензора чет-

вертого ранга: 1. ikmp; 2. imkp + ipkm; 3. imkp – ipkm. Два первых тензора встречаются при выводе уравнений движения вязкой жидкости и упругой твердой среды. Напомним, что изотропными называются тензоры, компоненты которых не изменяются при произвольных поворотах.

§ 9. Тензорные поля. Тензорная запись дифференциальных векторных операций

1. Если тензор задан как функция точки пространства, то говорят о тензорном поле. Тензорным полем n-го ранга

1 2 ... ( )ni i iT r

в трехмерном пространстве называется совокупность 3n функций, которые в любой точке пространства, определяемой радиус-вектором r

, образуют тензор n-го ранга.

Пример 1. n = 0 – имеем скалярное поле: )(r

. Пример 2. n = 1 – имеем векторное поле:

)(),(),()( 321 rArArArA

. Задача 1. Доказать, что если

1 2 ... ( )ni i iT r

– тензорное поле n-го

ранга, то величина

1 2... ( )ni i i

jT r

X

будет тензорным полем n + 1 ранга. Пример 3. Доказать тождество ( ,[ , ]) 0A

для любого A

.

Доказательство. Имеем:

2 2 2k k k

ijk k ijk jik jiki j i j i j j i

A A AA

X X X X X X X X

.

С другой стороны, переобозначая в последнем выражении индексы суммирования, получим:


118

2 2

,k kjik ijk

j i i j

A A

X X X X

что и доказывает тождество, поскольку последнее выражение в этом ряду тождественных преобразований равно самому себе с обратным знаком (второму выражению в цепочке преобразований).

Пример 4. Доказать тождество ( ( )) 0 для любых . Доказательство. Аналогично предыдущему

2

2 2 2

( ( ))

0.

ijk ijkj k j k

ikj ijk ijkj k k j j k

X X X X

X X X X X X

Задача 2. Доказать тождество AAA

)())(( . 2. Гладким называется тензорное поле, каждая компонента

которого обладает непрерывными частными производными по всем аргументам.

Теорема Гаусса-Остроградского. Пусть дано гладкое тензорное поле

1 2 ... ( )ni i iT r

. Тогда имеет место равенство:

1 2 1 2 111 1

... ... .n ni i i i i i i

ii iS

T dr T dSX

(1)

Пример 5. Случай n = 1:

divFdV F dS

.

Пример 6. Случай n = 2:

ijij i

ii i

TdV T dS

X

.

3. Во всех выражениях, имеющих физический смысл, должны стоять суммы либо аксиальных, либо истинных


119

тензоров. Сумма аксиального и истинного тензоров физического смысла иметь не может.

Образуем из векторов A

и B

и единичного аксиального тензора комбинацию

Ci = iklAkBl,

т. е. имеем свертку по k и l, которая в компонентах имеет вид:

Cx = AyBz – AzBy;

Cy = AzBx – AxBz;

Cz = AxBy – AyBx.

т. е. фиксируем i, тогда k и l могут принимать только по два значения, неравных друг другу. Все остальные члены обращаются в нуль. Таким образом, у нас получились составляющие векторного произведения векторов A

и B

. Аналогично можно записать операцию ротора от вектора A

:

( )l l kikl i i i

k k l

A A AA rot A l

X X X

.

.yx iAA AAzdivA

X Y Z X

§ 10. Тензор производная. Деформация и ротация векторного поля

Как отмечалось ранее, дифференциальная диада ,D a ,

определенная как результат тензорного произведения оператора Гамильтона и вектрного поля a

, с компонентами

jij i j

i

aD a

x

и таблицей


120

31 2

1 1 1

31 2

2 2 2

31 2

3 3 3

aa a

x x x

aa aD

x x x

aa a

x x x

может служить мерой неоднородности векторного поля a

. Только равенство ее нулю во всех точках указывает на однородность векторного поля.

Сопряженная диада D* с компонентами D*ij = Dji имеет

таблицу

1 1 1

1 2 3

* 2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

a a a

x x x

a a aD

x x x

a a a

x x x

Простым, но полезным для дальнейшего примером может служить дифференциальная диада радиус-вектора ),,( 321 xxxrr

точек поля ,r с таблицей

1 2 3

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 0 0

0 1 0 .

0 0 1ik

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

Тензору D, в столбцах которого располагаются элементы градиента проекций вектора a

, приписывают обозначение

, ,D a Grad a

где оператор «градиент вектора», в отличие от градиента скалярной функции, отмечают заглавной буквой.


121

Выражение полного дифференциала вектора можно представить равенствами

* *( ) ( ) ,ii j ji j ij j i

j

ada dx D dx D dx D dr

x

или в зависящей от координат форме rdDad * .

Введем операцию «производную вектора a

по вектору b

» и

обозначим ее символом bd

ad

; тогда будем иметь

* .da

Ddr

Меру неоднородности векторного поля общего вида – тензор D – можно разложить на две составляющие: симметричную – определяющую деформацию поля, и антисимметричную – опре-деляющую ротацию (кручение) поля. Для этого воспользуемся ранее установленным разложением тензора на симметричную и антисимметричную части:

;2

1

2

1

;2

1

2

1

***

**

ASDDDDD

ASDDDDD

(8)

Симметричную часть S, равную

1,

2

daS Grad a def a

dr

назовем мерой дефформации, или деформацией векторного поля. Ее компоненты в декартовой системе координат будут

1( ) ; ( , 1, 2, 3).

2ji

ijj i

aadtf a i j

x x

Антисимметричная часть

1,

2

daA Grad a

dr


122

с компонентами в прямоугольной декартовой системе

1,

2ji

ijj i

aaA

x x

имеющая в качестве «сопутствующего вектора»

1 1; ( 1, 2, 3; ...),

2 2ji

k ij kj i

aac A rot a k i j k

x x

ротор поля a

1,

2c rot a

называется ротацией векторного поля.

§ 11. Ковариантные и контравариантные компоненты тензоров.

Ковариантное дифференцирование

Приведенное выше изложение основ тензорной алгебры и за-писи операций векторного анализа в тензорной форме ориентиро-вано на использование при математическом описании физи-ческих явлений, реализующихся в эвклидовом пространстве при нерелятивистских скоростях движения. В ограниченной подоб-ным образом части физического знания (которая, тем не менее, включает подавляющее большинство разделов теоретической и общей физики, изучаемых в высшей школе) можно выбрать (что и было сделано выше) единую для всего пространства прямо-угольную декартову систему координат, в которой введенный выше тензорный аппарат наиболее прост и доступен для вос-приятия, но справедлив и применим без ограничений. И все-таки за рамками приведенных определений и проведенных рассужде-ний остается существенная по своей значимости часть физиче-ской науки, связанной с релятивистскими движениями в эвклидо-вых пространствах и физикой неэвклидовых пространств. В этой связи представляется целесообразным хотя бы кратко познако-


123

миться с элементами тензорной алгебры в косоугольных и произвольных криволинейных системах координат.

Использованное в последней главе ограничение прямоуголь-ными декартовыми системами координат, принятое при опреде-лении тензоров, хотя и удобно с точки зрения простоты, но не оправдано суживает проведенное рассмотрение аппарата тензор-ной алгебры. Требование независимости физического (геометри-ческого) описания подразумевает более широкое определение инвариантности по отношению к заменам произвольных криво-линейных систем координат. Уже простейшее обобщение на случай декартовых косоугольных (не ортогональных) систем координат в покомпонентном описании приводит к появлению особенностей в описании уже компонент тензора первого ранга (вектора). Появляются две возможности описания вектора: в основном (исходном) косоугольном координатном базисе с помощью проекций, которые называются «ковариантными»:

jjr x n

; j j

rn

x

; j

jx r n ,

и во «взаимном» базисе (базисные вектора которого не нормиро-ваны и перпендикулярны базисным векторам, также ненормиро-ванным, исходного базиса), в котором проекции вектора на ба-зисные вектора имеют другую величину и называются «контрава-риантными»:

jjr x n

; j

j

rn

x

; j

jx r n .

Связь базисных векторов исходного 1 2 3, ,n n n

и взаимного 1 2 3, ,n n n

базисов определяется соотношениями:

1 1 2 1 3 12 3 3 1` 1 2[ , ]; [ , ]; [ , ];n V n n n V n n n V n n

1 2 3

1,[ , ]; .

0,j j

i i

i jV n n n n n

i j


124

Очевидно, что ортогональным к «взаимному» базису (кото-рый также называется «дуальным» или «сопряженным») будет снова исходный базис (это обстоятельство накладывает естест-венное ограничение на степень усложнения покомпонентного описания векторов всего лишь двукратным усложнением). В случае ортогональных декартовых координат не существует раз-личия между разложением вектора по исходному и взаимному базисам и, следовательно, между ковариантными и контравари-антными проекциями вектора.

Отметим, что в системах криволинейных координат, опреде-ленных в эвклидовом пространстве, общие закономерности разложения вектора по исходному и взаимному базисам локально сводятся к рассматриваемым, за исключением зависимости ори-ентации базисных векторов криволинейных координат от поло-жения точки пространства (см. сказанное ранее). Иными словами, для векторов и тензоров второго ранга в случае криволинейных координат будут выполняться соотношения:

;j jj jA A n A n

.ij m k l p

i j mk p lT n n T n n T n n

Локальная замена криволинейных координат и обратная к ней

' ' '( ); ( ); , 1,2,3i i j j j ix x x x x x i j

определяются на основе дифференциальных соотношений:

'' '

'; .

i ii j i j

j j

x xdx dx dx dx

x x

А для исходных и взаимных базисных векторов будут выполняться соотношения:

' '' '

'; .

'

k k k

j k j kj k j j j

r r x x xn n n n

x x x x x

В итоге любую совокупность трех чисел jA , отнесенных к

исходному координатному базису, преобразующихся по закону


125

'' ,

kk j

j

xA A

x

будем называть контравариантными компонентами вектора A

. Приставка «контра» в используемом термине связана с законом преобразования, обратным закону преобразования ортов исходной координатной системы. Инвариантность вектора

' '

k

j kjA A n A n

обусловлена взаимной обратностью законов преобразования его компонент и базисных векторов:

'

'.

k jj

kj k

x x

x x

Преобразование проекций вектора на базисные вектора при замене криволинейных координат:

' '' ' '

k k

j j kj k j j

r r x xA A n A A A

x x x x

является основанием для введения ковариантных компонент век-тора как величин, преобразующихся по закону

''

.k

j kj

xA A

x

Приставка «ко» указывает на одинаковость закона преобра-зования проекций вектора с преобразованием базисных векторов. Простейшим примером ковариантного вектора является градиент скалярного поля:

,j

gradx

проекции которого при замене координат изменяются по закону:

' ',

j

i i j

x

x x x


126

т. е. преобразуются так же, как базисные векторы, поскольку величина скаляра (в конкретной точке) при этом не меняется. Дифференциалы координат jdx могут служить примерами контравариантных компонент вектора.

Как следует уже из вышеизложенного, компоненты контрава-риантного вектора (тензора) обозначаются индексами, стоящими сверху, а ковариантного – индексами, стоящими снизу.

Если компоненты тензора первого ранга или вектора могут быть только ковариантными или контравариантными, то компо-ненты тензоров более высоких рангов могут быть и смешанными:

' '' '

'

' '' '

' '

; ;

; .

i j k pij kp

ij kpk p i j

i p k ji k j pj p i kk j i p

x x x xA A B B

x x x x

x x x xC C D D

x x x x

В приведенных соотношениях тензор kpA контравариантен по обоим индексам, тензор kpB ковариантен по обоим индексам, тензор k

pC контравариантен по верхнему индексу и ковариантен

по нижнему, а тензор pkD – наоборот. Тензора k

pC и pkD смешан-

ные. В прямоугольных декартовых координатах все четыре тен-зора совпадают. Примером смешанного тензора второго ранга в криволинейных координатах является символ Кронекера j

i : ji

.j j i ii i j jn n n n

При умножении компонент ковариантного и контрава-риантного векторов получается смешанный тензор.

Внутри смешанных тензоров определяется операция сверты-вания: два индекса, ковариантный и контровариантный, полага-ются равными друг другу и в соответствии с правилами суммиро-вания по дважды повторяющемуся индексу проводится суммиро-вание. В итоге ранг тензора понижается на две единицы.

Ковариантные и контровариантые индексы могут опускаться и подниматься с помощью метрического тензора kig :


127

' ;k ki i k i kiA A n A n n A g

;ij k p k p p ki j kp p k k pg n n g n n n n n n

; .ij i j jiij i j jii j

r rg n n g g n n g

x x

С помощью компонент метрического тензора определяется квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками:

2 ,i j i ji j ijds dr dr n n dx dx g dx dx

а также связь между исходными базисными векторами и базисными векторами взаимного базиса:

; .i ij jj i ijn g n n g n

Дифференцирование тензора в произвольных криволинейных координатах является более сложной операцией, чем в ортого-нальных. Как выше отмечалось, особенности дифференциро-вания тензоров в криволинейных координатах связаны с зави-симостью от криволинейных координат базисных векторов. В итоге будем иметь:

,j j

j k k jkj j ik ji i i i i

nA A AA n n A A n

x x x x x

где jik – символы Кристофеля второго рода, определенные

соотношением

,jkik ji

nn

x

обладающие симметрией по нижним индексам. Выписанные со-отношения определяют ковариантную производную контрава-риантных компонент тензора первого ранга (обобщение на случай тензора произвольного ранга очевидно):

.j

j k ji iki

AA A

x


128

Символы Кристофеля первого рода ,ik j получаются из сим-

волов Кристофеля второго рода jik опусканием верхнего индек-

са. В эвклидовом пространстве символы Кристофеля первого рода выражаются через производные компонент метрического тензора:

,

1.

2jk ij ik

ik j i k j

g g g

x x x

Подчеркнем, что в общем случае в произвольных криволинейных координатах символы Кристофеля не являются компонентами тензора, также как символ Леви-Чивита ijk .


129

Рекомендованная литература

1. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. Т. 2 / В. И. Смирнов. – Л.; М.: Гостехтеориздат, 1933. – 521 с.

2. Ландау, Л. Механика / Л. Ландау, Л. Пятигорский. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1940. – 200 с.

3. Шилов, Г. Е. Лекции по векторному анализу / Г.Е. Шилов. – М: Гостехтеориздат, 1954. – 140 с.

4. Кочин, Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления / Н. Е. Кочин. – М: Изд. АН СССР, 1961. – 426 с.

5. Акивис, М. А. Тензорное исчисление / М. А. Акивис, В. В. Гольдберг. – М: Наука, 1969. – 351 с.

6. Батыгин, В. В. Сборник задач по электродинамике / В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин. – М: Наука, 1970. – 503 с.

7. Погорелов, А. В. Дифференциальная геометрия / А. В. По-горелов. – М: Наука, 1974. – 176 с.

8. Лаптев, Г. Ф. Элементы векторного исчисления / Г. Ф. Лап-тев. – М: Наука, 1975. – 335 с.

9. Мисюркеев, И. В. Сборник задач по методам математической физики / И. В. Мисюркеев. – М: Просвещение, 1975. – 167 с.

10. Краснов, М. Л. Векторный анализ / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. – М: Наука, 1978. – 160 с.

11. Ильин, В. А. Основы математического анализа. Ч. 2 / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М: Наука, 1980. – 448 с.

12. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лой-цянский. – М: Наука, 1987. – 840 с.

13. Позняк, Э. Г. Дифференциальная геометрия: Первое зна-комство / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. – М: Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

14. Виноградова, И. А. Математический анализ в задачах и упражнениях / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовни-чий. – М: Изд-во МГУ. 1991. – 352 с.

15. Механика сплошных сред в задачах. Т. 1: Теория и задачи / Под ред. М. Э. Эглит. – М: Московский лицей, 1996. – 395 с.


130

16. Механика сплошных сред в задачах. Т. 2: Ответы и решения / Под ред. М. Э. Эглит. – М.: Московский лицей, 1996. – 394 с.

17. Ветрова, И. Т. Сборник физических задач по общему курсу высшей математики / И. Т. Ветрова. – Минск: Высшая школа, 1997. – 202 с.

18. Ильин, В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М: Физматлит, 1999. 294 с.

19. Гольдштейн, Р. В. Механика сплошных сред: Ч. 1. Основы и классические модели жидкостей / Р. В. Гольдштейн, В. А. Городцов. – М: Наука, 2000. – 256 с.

20. Бутузов, В. Ф. Математический анализ в примерах и задачах / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев, А. А. Шишкин. – М.: Физматлит, 2001. – 479 с.

21. Краснов, М. Л. Вся высшая математика. Т. 4 / М. Л. Крас-нов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко, Е. В. Шикин, В. И. Заляпин, С. К. Соболев. – М: Эдиториал УРСС, 2001. – 352 с.

22. Григорьев А.И. Введение в векторный анализ. / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко. – Ярославль: Изд. ЯрГУ, 1998. – 76 с.

23. Григорьев А.И. Тензорная алгебра в примерах и задачах А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, А.Н. Жаров. – Ярославль: Изд. ЯрГУ, 1999. – 50 с.


131

Оглавление

Глава 1. Элементы дифференциальной геометрии .................................................. 3

§1. Дифференцирование векторных функций .......................................... 3

§2. Дифференциальная геометрия линии в пространстве .................... 5

§ 3. Ортогональные криволинейные координаты ................................. 12

§ 4. Общее рассмотрение криволинейных координат .......................... 17

Глава 2. Векторный анализ в ортогональных криволинейных системах координат ................................................................................. 22

§ 1. Градиент. Производная по направлению ........................................ 22

§ 2. Циркуляция векторного поля по кривой .......................................... 27

§ 3. Уравнение векторной линии ............................................................. 29

§ 4. Поток векторного поля .................................................................... 30

§ 5. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского ............................. 32

§ 6. Ротор. Теорема Стокса ................................................................... 40

§ 7. Оператор Лапласа скалярного поля ................................................ 48

§ 8. Векторные дифференциальные операции второго порядка от векторных функций ..................................... 49

Глава 3. Бескоординатная форма записи операций векторного анализа .............. 51

§ 1. Оператор Гамильтона – «набла». Дифференцирование по радиус-вектору ....................................... 51

§ 2. Применение оператора «набла» к произведениям скалярных и векторных функций ................................................... 54

§3. Производные по направлению скалярной и векторной функций ....................................................................... 59

§ 4. Континуальная производная ............................................................ 61

§ 5. Векторные дифференциальные операции второго порядка от векторных функций ..................................... 69

§ 6. Интегрирование полей. Формулы Грина ......................................... 70

§ 7. Обобщенная формула Остроградского .......................................... 73

§ 8. Инвариантность и ковариантность физических законов ........... 81

§ 9. Тензор-производная ........................................................................... 84

Глава 4. Тензорная алгебра ........................................................................................ 86


132

§ 1. Правила преобразования ортонормированного базиса ................. 86

§ 2. Тензорное определение вектора и скаляра ..................................... 90

§ 3. Определение тензора ........................................................................ 92

§ 4. Сложение тензоров. Умножение тензора на вещественное число. Тензорное произведение тензоров .................................................................... 97

§ 5. Свертывание тензора ....................................................................... 99

§ 6. Симметричные и антисимметричные тензоры ......................... 104

§ 7. Псевдотензоры ................................................................................ 108

§ 8. Свойства тензора Леви-Чивита ................................................... 111

§ 9. Тензорные поля. Тензорная запись дифференциальных векторных операций ................................... 117

§ 10. Тензор производная. Деформация и ротация векторного поля ............................................................................. 119

§ 11. Ковариантные и контравариантные компоненты тензоров. Ковариантное дифференцирование ............................................. 122

Рекомендованная литература ................................................................................... 129

Учебное издание

Григорьев Александр Иванович Ширяева Светлана Олеговна

Векторный анализ

в ортогональных криволинейных координатах

Редактор, корректор Л. Н. Селиванова Верстка И. Н. Иванова

Подписано в печать 25.06.10. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman". Усл. печ. л. 7,67. Уч.-изд. л. 5,88.

Тираж 50 экз. Заказ .

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова. 150000, Ярославль, ул. Советская, 14.

Отпечатано на ризографе. ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.

Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37 тел. (4852) 73-35-03, 58-03-48, факс 58-03-49.


векторный анализ...

Documents

Transcript of векторный анализ...