미분-적분학

돼지고기(구경원)

게임기초수학

극한과 연속성 - 극한

n이 무한히 커짐에 따라 an이 일정한 값 α에 한없

이 가까워지면, α를 그 수열의 극한 또는 극한값

이라 한다.

f (x)l i mLax

이라고 하면

식을 만족한다.f (a)axl i mf(x)l i m 22

axax

2xf(x )

1x

1xg(x )

2

다음 함수를 고려해보자

X = 1일때 분모가 0 이기 때문에 정의되지 않는다.

그래프와 같이 1에 가까워질수록 함수의 값은 2에 가까

워진다. 이러한 경우 x=1 일 때 극한은 2라고 한다.

1x

1xg(x )

2

21x

1xlim

2

ax

비연속적인 함수이면서 x=0 에서 양측

극한이 존재하지 않는다.

1h(x )lim

1h(x )lim

0x

0x

극한과 연속성 - 연속성

X가 a로 접근할 때, 함수 f(x)의 극한에 관

련된 기능 세가지 가능성.

1. \

함수를 펜을 떼지 않고 그릴 수 있다면 연속

이라고 말할 수 있다.

않는다. 존재하지 f( x )가lim

않다. 동일하지 f( a)와 존재하고 f( x )가lim

동일하다 f( a)와 존재하고 f( x )가lim

ax

ax

ax

도함수 - 정의

함수 y=f(x)을 미분하여 얻은 함수 f'(x)를 말한다.

일반적으로 f(x)의 미계수 또는 미분계수 라고도

한다.

1차 도함수 라고 부르며 f'(x) 또는 df/dx 로 표현

한다.

h

f(x)h)f(xl i m(x)f '

0h

f'(x) 가 양수라면 f(x) 는 그점에서 증가한다.

f'(x) 가 음수라면 f(x) 는 그점에서 감소한다.

f'(x) 는 변화율의 크기를 나타낸다.

도함수는 임의의 함수의 정의역 안의 모든

값에서 존재하지 않을 수 있다.

“그 함수는 x에서 미분할수 없다.”

불연속성

기울기가 갑자기 변화거나 방향이 갑자기 변

화하는 것을 나타낸다.

h

f( b)h)f ( blim

h

f( a)h)f ( alim

0h

0h

변수의 지수형과 f(x) = x^k 에 대한 도함수

선형함수 g(x) = x 에 대한 도함수

상수항 f(x) = a 에 대한 도함수.

도함수 - 변수의 지수형

1kkx(x )f '

1x1(x )g' 0

0(x )f '

두 함수의 합의 도함수는 도함수의 합이다.

두 함수의 차의 도함수는 도함수의 차이다.

두 함수의 곱의 도함수.

두 함수들의 나눗셈의 도함수

도함수 - 함수의 산술 연산

(x)g '(x)f 'g(x))(f(x)dx

d

(x)g'-(x)f 'g(x))-(f (x)dx

d

(x)f(x)g '(x)g(x)f '(f (x)g(x))dx

d

2g(x )

(x ) f(x )g'(x )g(x )f '

g(x )

f(x )

dx

d

두 함수들의 합성 함수.

예>

도함수 - 합성 함수

g)(x )( ff(g(x ) )h(x )

52 1)(2xh(x )

42

42

25

1)20x ( 2x

4x1)5(2x

( x )( g( x ) ) g 'f '( x )h '

12xg(x ),uf( u)

도함수 - 삼각함수

c s c x c otxc s c xdx

d

s ec x tanxs ec xdx

d

x )c ot( 1xc s cc otxdx

d

xtan1xs ectanxdx

d

s inxc os xdx

d

c os xs inxdx

d

22

22

도함수-테일러급수

무한번 미분가능한 함수를 다항함수의 무한 합으

로 표현하는 방법.

0k

h

k h)(xa

2

432

2

321

2

210

2

210

h)(hah)(haa(h)'f '

h)(hah)(haa(h)f '

h)(hah)(haaf(h)

h)( xah)(xaaf( x )

1262

32

k !

(h)fa

( k )

k

0k

k(k )

h)(xk !

(h)ff( x )

적분 - 정의

임의의 함수 f(x)가 주어지면 f(x)의 부정적분은

다음과 같이 표기한다.

CF(x)f(x)dx

F (a)F (b) [F ( x ) ]f ( x )dx

f( x )dx

정적분 함수f(x )의 통해서 b]를구간[a,

C이다.x x적분하면 1을2x x에대해서

1이다.2x(x )g '( x )f ' 미분하면 를

12xxg(x )

1xxf( x )

b

a

b

a

b

a

2

2

2

적분 - 평가하기

일반 함수에 대해서 적분 계산은 쉽지가 않다.

게임에서는 대부분 정적분의 평가를 위해 수치적 방법이 사

용된다.

1. 두함수의 합의 적분은 그 함수의 적분들의 합이다.

2. 임의의 함수에 상수를 곱했다면, 적분 밖으로 그 상수를끄집어 낼 수 있다.

3. 적분의 한계가 뒤바뀐다면, 그 때의 결과는 부정된다.

4. 다항식의 항 x^k에 대한 적분은 다음과 같다.

5. 만약 k = -1 이라면, 다음과 같다는 것을 기억하자.

f(x) = x^2 + x + 1

g(x) = x^2 + x - 12

를 미분하면 f’(x) = g’(x) = 2x + 1

를 적분하면 x^2 + x + C 이다.

두 함수의 합의 적분은 그 함수의 적분들의 합니다

임의의 함수에 상수를 곱했다면 적분 밖으로 뺄 수있다.

적분의 한계가 뒤바뀐다면, 결과는 부정이다.

다항식의 항 x^k에 대한 적분

g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)

f (x)dxaf(x)dxa

b

a

a

bf( x )dxf(x )dx

c1k

xdxx

1kk

사다리꼴 법칙

뉴턴-코츠 법칙중 하나로서, 정적분의 근사값을 구하기 위

한 하나의 식이다.

N개의 동일한 공간의 부분 구간들을 잘라서, 사다리꼴 영

역들을 계산해서 서로 더함으로써 좀더 나은 근사값을 얻을

수 있다.

가우스 구적법

사다리꼴 법칙은 적은 비용으로 근사값을 제공 하지만 가우

스 구적법으로 좀더 나은 근사값을 구할 수 있다.

가우스 구적법은 -1에서 1까지 적분할때만 유효하다.

일반적인 구간 [a, b]를 가진다면 다음 식을 이용하여 간격

을 변화할 수 있다.

공간곡선- 매개변수 t를 사용해서 3개의 함수로 분해되는 곡선을

이용한다.

Q(t) = (x(t), y(t), z(t))

- 공간 곡선의 1차 도함수

Q'(x) = (x'(t), y'(t), z'(t))

매개변수 t에서 Q' 는 기울기값 대신 Q(t)에서 그 곡선에

접하는 벡터이다.

벡터의 크기는 상대적으로 변하는 속력을 나타낸다.

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