Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)
description
Transcript of Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)
9 786188 021495
ISBN: 978-618-80214-9-5
306 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ
ƲƳƱƵƧƫƯƱƮƧƯƣ ƪƧƮƣƵƣ 193. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ,
ȫıIJİ � � � �f 0 f 0 1c � țĮȚ � �f x 0cc ! ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İijĮʌIJȠȝȑȞȘȢ � �İ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ
ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ıİ ıȘȝİȓȠ � �� �ǹ 0, f 0 .
ii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ � �f x x 1t � � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
iii) ǹȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ � �f x 0c z ȖȚĮ țȐșİ x�\ , IJȩIJİ:
Į) ȞĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘ ȝȠȞȠIJȠȞȓĮ ȕ) ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȟȓıȦıȘ � �f x 0 ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȓĮ ȡȓȗĮ, Ș ȠʌȠȓĮ
ĮȞȒțİȚ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �1, 0 .�
194. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ
� �x 2
f x 6lim 3
x 2o
�
� țĮȚ � �f x 0cc � ȖȚĮ țȐșİ x�\
i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ � �f 2 .
ii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ � �f 2c .
iii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ � �f x 3xd ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
195. ǻȓȞİIJĮȚ ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0,� f o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ,
ȫıIJİ Ș İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ fC ıİ țȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ � �� �M Į, f Į ȞĮ ȑȤİȚ İȟȓıȦıȘ
� �y lnĮ x Į � � . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:
i) � �f x x ln x x � ȖȚĮ țȐșİ x 0!
ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ iii) x ln x x 1t � ȖȚĮ țȐșİ x 0! iv) Ș İȟȓıȦıȘ � �2 x 1 ln x 4x e 1 0� � � � ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȡȓȗĮ, Ș ȠʌȠȓĮ ȕȡȓıțİ-
IJĮȚ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �1,e .
ƦNJǂǗǐǒNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 307
196. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ
� � � �f 0 f 0 2c țĮȚ � � � � 2f x 6x f x 3xcc c� � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) � � x 3f x 2e x � ȖȚĮ țȐșİ x�\
ii) Ș fC ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ įȪȠ ıȘȝİȓĮ țĮȝʌȒȢ. 197. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȣȡIJȒ. ȃĮ ĮʌȠįİȓ-
ȟİIJİ ȩIJȚ:
i) � � � � � � � � � �f x f x 1 f x f x 1 f xc� � � � � � ȖȚĮ țȐșİ x�\
ii) ĮȞ İʌȚʌȜȑȠȞ Ș f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ IJȠʌȚțȩ ĮțȡȩIJĮIJȠ ıIJȘ șȑıȘ 0x 2, IJȩIJİ ȣʌȐȡ-ȤİȚ ȑȞĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ � �ȟ 1, 2� IJȑIJȠȚȠ, ȫıIJİ � � � �f ȟ 1 f ȟ .�
198. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ, țȠȓȜȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ,
ȫıIJİ � � � �f 1 f 0 1 � țĮȚ 1f 1.
2§ ·c �¨ ¸© ¹
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:
i) ȣʌȐȡȤİȚ 1ȟ 0,2
§ ·�¨ ¸© ¹
IJȑIJȠȚȠ, ȫıIJİ � �f ȟ 1c
ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � � �g x f x x � ȖȚĮ țȐșİ x�\
İȓȞĮȚ țȠȓȜȘ iii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȠȜȚțȩ ȝȑȖȚıIJȠ. 199. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > @1, 3 .
ǹȞ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ IJȠʌȚțȩ ĮțȡȩIJĮIJȠ ıIJȠ 0x 2 țĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f c İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > @1, 3 , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:
i) ȣʌȐȡȤȠȣȞ � �1ȟ 1, 2� țĮȚ � �2ȟ 2, 3� IJȑIJȠȚȠȚ, ȫıIJİ
� � � �1f ȟ f 1cc c � țĮȚ � � � �2f ȟ f 3cc c
ii) � � � �f 1 f 3 0.c c� !
308 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ
200. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȣȡIJȒ. ǹȞ Ș f ʌĮ-
ȡȠȣıȚȐȗİȚ IJȠʌȚțȩ ĮțȡȩIJĮIJȠ ıİ țȐʌȠȚȠ 0x ,�\ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:
i) IJo 0x İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȩ
ii) IJȠ � �0f x İȓȞĮȚ ȠȜȚțȩ İȜȐȤȚıIJȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f.
201. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f, Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıIJȠ \ . ǹȞ Ș f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ
IJȠʌȚțȩ ĮțȡȩIJĮIJȠ ıİ țȐʌȠȚȠ 0x ,�\ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ � �� �0 0M x , f x
įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ.
202. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȠȓȜȘ. ȃĮ ĮʌȠįİȓ-
ȟİIJİ ȩIJȚ: i) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � � �g x f x 2xc � ȖȚĮ țȐșİ x�\
İȓȞĮȚ 1 1�
ii) Ș ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ȑȤİȚ IJȠ ʌȠȜȪ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ ȝİ IJȘȞ ʌĮȡĮȕȠȜȒ 2y x .
203. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0, ,� f o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȣȡIJȒ. ȃĮ
ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �h : 0, � f o \ ȝİ IJȪʌȠ
� � � � 1h x f x
xc � ȖȚĮ țȐșİ x 0!
İȓȞĮȚ 1 1� ii) ȠȚ ȖȡĮijȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ f țĮȚ � �g : 0, � f o \ ȝİ IJȪʌȠ
� �g x ln x ȖȚĮ țȐșİ x 0!
ȑȤȠȣȞ IJȠ ʌȠȜȪ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ.
326 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ � ƦƫƣƥƺƯƫƴƮƣ 4
ƪƧƮƣ ƣ
ƣ1. DzıIJȦ ȝȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ı’ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ � �Į,ȕ ȝİ İȟĮȓȡİıȘ ȓıȦȢ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ 0x , ıIJȠ ȠʌȠȓȠ ȩȝȦȢ Ș f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ. ǹȞ � �f x 0c ! ıIJȠ � �0Į, x
țĮȚ � �f x 0c � ıIJȠ � �0x ,ȕ , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ � �0f x İȓȞĮȚ IJȠʌȚțȩ ȝȑȖȚıIJȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f.
ƣ2. DzıIJȦ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ıȣȞİȤȒȢ ı’ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ ǻ țĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıIJȠ İıȦ-IJİȡȚțȩ IJȠȣ ǻ. ȆȩIJİ șĮ Ȝȑȝİ ȩIJȚ Ș f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ țĮȚ ʌȩIJİ țȠȓȜȘ ıIJȠ ǻ;
ƣ3. ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ, ȖȡȐijȠȞIJĮȢ ıIJȠ IJİIJȡȐįȚȩ ıĮȢ, įȓʌȜĮ ıIJȠ ȖȡȐȝȝĮ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıİ țȐșİ ʌȡȩIJĮıȘ IJȘ ȜȑȟȘ ȈȦıIJȩ, ĮȞ Ș ʌȡȩ-IJĮıȘ İȓȞĮȚ ıȦıIJȒ, Ȓ ȁȐșȠȢ, ĮȞ Ș ʌȡȩIJĮıȘ İȓȞĮȚ ȜĮȞșĮıȝȑȞȘ.
ǂ) ǹȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ ı’ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ ǻ, IJȩIJİ Ș İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ f ıİ țȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ ǻ ȕȡȓıțİIJĮȚ “ʌȐȞȦ” Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘ.
ǃ) ǹȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȠȓȜȘ ıIJȠ \ , IJȩIJİ � �f x 0cc � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
DŽ) Ǿ İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ ȝȚĮȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ıİ țȐșİ ıȘ-ȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ “ įȚĮʌİȡȞȐ ” IJȘȞ fC .
Dž) ǹȞ IJȠ ıȘȝİȓȠ � �� �0 0A x , f x İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐ-
ıIJĮıȘȢ IJȘȢ f țĮȚ Ș f İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ, IJȩIJİ � �0f x 0.cc
dž) ǹȞ ȝȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f c įİȞ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩIJȠȞȘ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ ǻ, IJȩIJİ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ȠȪIJİ țȣȡIJȒ, ȠȪIJİ țȠȓȜȘ ıIJȠ ǻ.
ƪƧƮƣ Ƥ
ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � 1 2x
2f x
1 e � �
ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
Ƥ1. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f cc . Ƥ2. ȃĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f, ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘȞ țȣȡIJȩIJȘIJĮ. Ƥ3. ȃĮ ȕȡİȓIJİ, ĮȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ, IJĮ ıȘȝİȓĮ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ f.
Ƥ4. ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ � � 1f x x .
2 �
ƦNJǂǗǐǒNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 327
ƪƧƮƣ ƥ DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıIJȠ \ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ
� � � �f 0 1, f 0 2c țĮȚ � � � � � �f x f x 2f xcc c� ! ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: ƥ1. Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � � � xg x f x e� ȖȚĮ țȐșİ x�\
İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ ƥ2. Ș İȣșİȓĮ � �İ ȝİ İȟȓıȦıȘ y x 1 � İijȐʌIJİIJĮȚ ıIJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ
ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ g ıIJȠ ıȘȝİȓȠ � �� �A 0, g 0
ƥ3. � � � � xf x x 1 et � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ƪƧƮƣ Ʀ DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : ,o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ:
• � �
x 1
f x 1lim 1
x 1o
�
�
• � �f x 1c d ȖȚĮ țȐșİ x�\
• Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f cc İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩIJȠȞȘ.
Ʀ1. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ f ıIJȠ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ ȝİ IJİIJȝȘȝȑȞȘ 0x 1.
Ʀ2. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ȡȓȗİȢ țĮȚ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f .cc
Ʀ3. ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ IJȠ ȩȡȚȠ � �x 1
1lim .
f x xo �
540 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ
128. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� �� �
4
44
xf xx 1 x
� �
ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ
� � � �f x f 1 x 1� � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮ-ıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f , IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x xc țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x 0 , x 1.
129. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0, � f o\ ȝİ IJȪʌȠ
� � 2f x 9x ln x ȖȚĮ țȐșİ � �x 0,� �f .
i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ � �E Ȝ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ
ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f , IJȠȞ ȐȟȠȞĮ IJȦȞ x țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x 1 țĮȚ x Ȝ, ȝİ Ȝ 1.!
ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩȢ � �Ȝ 2,e� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ � �E Ȝ 17.
130. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ *f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � 21f x 2Įxx
� ȖȚĮ țȐșİ *x�\
ȩʌȠȣ Į ıIJĮșİȡȩȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȝİ Į 1.!
i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ � �Ǽ Į IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ
ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f, IJȠȞ ȐȟȠȞĮ xxcțĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x 1 țĮȚ x Į. ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ � �Į 1, 2� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ � �Ǽ Į 3.
131. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ
� � xf x e , x 0 ! .
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ � �� �M Į, f Į IJȑIJȠȚȠ, ȫıIJİ Ș fC
ȞĮ ȤȦȡȓȗİȚ IJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȅǹȂǺ ȩʌȠȣ � � � � � �� �O 0, 0 , A Į, 0 țĮȚ Ǻ 0, f Į ıİ
įȪȠ ȚıİȝȕĮįȚțȐ ȤȦȡȓĮ.
ƱnjǐNjnjLjǒǚǕNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 541
132. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � � � xf x x 2 e 2 � � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș fC ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȚĮ ĮıȪȝʌIJȦIJȘ İȣșİȓĮ � �İ . īȚĮ ʌȠȚİȢ
IJȚȝȑȢ IJȠȣ x�\ Ș fC ȕȡȓıțİIJĮȚ țȐIJȦ Įʌȩ IJȘȞ İȣșİȓĮ � �İ ;
ii) ȃĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘȞ țȣȡIJȩIJȘIJĮ țĮȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ
Ș fC ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ. ȈIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ
IJȘȢ İijĮʌIJȠȝȑȞȘȢ � �Ș IJȘȢ fC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ.
iii) NĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ IJȠ ȩȡȚȠ
� �xx 0
0
xlim .f t t dt
o § ·�¨ ¸© ¹
´µ¶
iv) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ İȣșİȓĮ x Į ȝİ 4 Į 2� � � � IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ IJȠ
İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ ĮȣIJȒ IJȘȞ İȣșİȓĮ, IJȘ fC țĮȚ IJȚȢ İȣ-
șİȓİȢ � � � �İ , Ș ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ 11 .e
�
133. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : ,o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ
� � � � � �x
2
0f x f t dt x 1 � �µ́
¶ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ȝİ
� � � �f x 2 f x 2xc � � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ii) NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ IJȪʌȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f .
iii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ.
iv) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ Cf , IJȘȞ İijĮ-
ʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ fC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ � �� �ǹ 0, f 0 țĮȚ IJȘȞ İȣșİȓĮ x 2.
542 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ
134. ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f , g ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ ıIJȠ \ țĮȚ IJȑIJȠȚİȢ, ȫıIJİ
� � � �x
0f x 1 x g t dt � � ³ ȖȚĮ țȐșİ x�\
țĮȚ
� � � �x
0g x f x t dt �³ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȠȚ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f țĮȚ g İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝİȢ ıIJȠ \ . ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ h : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � � � � �xh x e f x f x� c �ª º¬ ¼ ȖȚĮ țȐșİ x�\
İȓȞĮȚ ıIJĮșİȡȒ. iii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ IJȪʌȠȣȢ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ f țĮȚ g. iv) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮ-
ȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f g,� IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x xc țĮȚ IJȘȞ İȣșİȓĮ x 1.
135. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : ,o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ȝİ � �f \ \ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ,
ȫıIJİ � � � �3f x 3f x 4x� ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ȡȓȗİȢ țĮȚ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f. ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. iii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ 1f � țĮȚ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x ȖȚĮ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ Ș ȖȡĮijȚțȒ IJȘȢ
ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȕȡȓıțİIJĮȚ țȐIJȦ Įʌȩ IJȘȞ İȣșİȓĮ y x. iv) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȚȢ ȖȡĮijȚțȑȢ
ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ f țĮȚ 1f � țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x 0 țĮȚ x 1. 136. DzıIJȦ ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ z IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ
2z 1 1 z 1 z 1� � � � � țĮȚ � �Im z 0.t
i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ z 1 1 Ȓ z 1 1.� �
ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ƞ ȖİȦȝİIJȡȚțȩȢ IJȩʌȠȢ IJȘȢ İȚțȩȞĮȢ IJȠȣ z ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ İȓȞĮȚ Ș ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ
� � > @2f x 2 x x , x 2, 2 � � � .
iii) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ � �2
2f x dx
�
´µ¶
.
ƱnjǐNjnjLjǒǚǕNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 551 � ƦƫƣƥƺƯƫƴƮƣ 4
ƪƧƮƣ ƣ
ƣ1. DzıIJȦ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ıȣȞİȤȒȢ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ
� �f x 0t ȖȚĮ țȐșİ > @x Į, ȕ� .
ȉȚ İțijȡȐȗİȚ ȖİȦȝİIJȡȚțȐ IJȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ � �ȕ
Įf x dx³ ;
ƣ2. ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ, ȖȡȐijȠȞIJĮȢ ıIJȠ IJİIJȡȐįȚȩ ıĮȢ,
įȓʌȜĮ ıIJȠ ȖȡȐȝȝĮ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıİ țȐșİ ʌȡȩIJĮıȘ IJȘ ȜȑȟȘ ȈȦıIJȩ, ĮȞ Ș ʌȡȩ-
IJĮıȘ İȓȞĮȚ ıȦıIJȒ, Ȓ ȁȐșȠȢ, ĮȞ Ș ʌȡȩIJĮıȘ İȓȞĮȚ ȜĮȞșĮıȝȑȞȘ.
ǂ) � �Į
Įf x dx 0. ³
ǃ) ǹȞ f, g İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ țĮȚ Ȝ, ȝ ,�\ IJȩIJİ
ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ
� � � � � � � �ȕ ȕ ȕ
Į ĮĮȜf x ȝg x dx Ȝ f x dx ȝ g x dx.� �ª º¬ ¼µ́
¶ ³ ³
DŽ) DzıIJȦ f ȝȚĮ ıȣȞİȤȒȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ . ǹȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ
� �f x 0t ȖȚĮ țȐșİ > @x Į,ȕ�
țĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ʌĮȞIJȠȪ ȝȘįȑȞ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ ĮȣIJȩ, IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ
� �ȕ
Įf x dx 0.!³
Dž) ȀȐșİ ʌĮȡȐȖȠȣıĮ F ȝȚĮȢ ıȣȞİȤȠȪȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ ǻ İȓȞĮȚ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ
� � � �x
ĮF x f t dt, x ǻ �³ ȖȚĮ țȐʌȠȚȠ Į ǻ.�
dž) ǹȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ , IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ
� � � � � �ȕ
Įf t dx f ȕ f Į . �³
552 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ
ƪƧƮƣ Ƥ
DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0, � f o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ
� � � �2
1
2 3f x xt f t dtx 13
� µ́¶
ȖȚĮ țȐșİ � �x 0, .� � f
Ƥ1. NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ � �2
1
13tf t dt .3
µ́¶
Ƥ2. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ İȝȕĮįȩ � �Ǽ Į IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ
ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ f, IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x xc țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x Į, x Į 1 � ȝİ Į 0! İȓȞĮȚ
� � 1 1Ǽ Į 2ln 1 ĮĮ 2
§ · � � �¨ ¸© ¹
.
Ƥ3. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȠȣ İȝȕĮįȠȪ � �Ǽ Į .
ƪƧƮƣ ƥ
DzıIJȦ įȪȠ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f ,g : o\ \ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ țĮȚ IJȑIJȠȚİȢ, ȫıIJİ � �g x 0z ȖȚĮ țȐșİ x�\
țĮȚ
� � � �x x
1 0f t dt x g t dt 1 � �³ ³ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:
ƥ1. � �1
0g t dt 1 �³
ƥ2. � �g x 0� ȖȚĮ țȐșİ x�\
ƥ3. � � � � � �x
0f x g t dt xg x �³ ȖȚĮ țȐșİ x�\
ƥ4. Ș İȟȓıȦıȘ � � � �f x g x 2� � ȑȤİȚ ȝȓĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȡȓȗĮ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �0,1 ƥ5. ĮȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ � �g 0 1, � IJȩIJİ:
ǂ) � �x
0
x 0
g t dtlim 1
xo �
³
ǃ) Ș İȣșİȓĮ ȝİ İȟȓıȦıȘ y 2x � İijȐʌIJİIJĮȚ ıIJȘ fC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ ȝİ IJİIJȝȘ-ȝȑȞȘ 0x 0.
ƱnjǐNjnjLjǒǚǕNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 553
ƪƧƮƣ Ʀ
ǻȓȞİIJĮȚ ıȣȞȐȡIJȘıȘ > @f : 1,1� o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ
� �
1 2Ȟ
Ȟ1
xǿ dx, Ȟ1 f x�
��
´µ¶
` .
Ʀ1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ
� �
1 2Ȟ
Ȟ1
xǿ dx,1 f x�
� �
´µ¶
Ȟ�` .
Ʀ2. AȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ
� � � �1f x
f x� ȖȚĮ țȐșİ > @x 1,1� � ,
ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:
ǂ) � �� �
1 2Ȟ
Ȟ1
x f xǿ dx
1 f x�
�
�´µ¶
, Ȟ�`
ǃ) Ȟ1ǿ
2Ȟ 1
�, Ȟ�` .
Ʀ3. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ 1 100
x1
x dx.1 e� �
´µ¶
572 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ
ƧƲƣƯƣƭƩƲƵƫƬƣ ƪƧƮƣƵƣ
43. DzıIJȦ įȪȠ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f ,g : o\ \ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ țĮȚ IJȑIJȠȚİȢ, ȫıIJİ
� � � � � �x
1g x f x f t dt � ³ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
DzıIJȦ İʌȓıȘȢ, Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ h : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � � �� �2x
1
1h x f t dt
2 ³ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ǹȞ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩIJȠȞȘ, IJȩIJİ: i) ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ h İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ii) ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ hC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ ȝİ IJİIJȝȘȝȑȞȘ 0x 1
iii) ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ h İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ iv) ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ g.
44. ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ
� �x
20
1f x dt
1 t
�´µ¶
, x�\ țĮȚ � �g x İijx , ʌ ʌ
x , .2 2
§ ·� �¨ ¸© ¹
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g ȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ IJȚȝȫȞ IJȠ \
iii) � �� �f g x x ȖȚĮ țȐșİ ʌ ʌx ,
2 2§ ·� �¨ ¸© ¹
iv) 1
20
1 ʌdt .
41 t
�´µ¶
45. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : ,o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ
� �1
0f t dt 1 µ́
¶ țĮȚ � �
x2
0f t dt xdµ́
¶ ȖȚĮ țȐșİ x�\
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) � �f 0 0 țĮȚ � �f 1 2
ii) ȣʌȐȡȤİȚ � �ȟ 0,1� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ � �f ȟ 2ȟ
iii) Ș İȟȓıȦıȘ � �f x 2c ȑȤİȚ įȪȠ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȡȓȗİȢ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �0,1 iv) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ȠȪIJİ țȣȡIJȒ ȠȪIJİ țȠȓȜȘ.
ƧǑǂǎǂnjLjǑǕNJNjƽ ƪƾǍǂǕǂ 573
46. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � 2xf x e ȖȚĮ țȐșİ x .�\
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > �0, � f
ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ ıIJȠ \ iii) � �f x 2ex et � ȖȚĮ țȐșİ x�\
iv) � � � �2
0f x dx 2f 1!µ́
¶
v) ĮȞ F İȓȞĮȚ ȝȚĮ ĮȡȤȚțȒ IJȘȢ f ıIJȠ \ , IJȩIJİ ȣʌȐȡȤİȚ � �ȟ 1, 2� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ
� � � � � �F 2 F 0 2f ȟ .�
47. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0, � f o \ ȝİ IJȪʌȠ
� � xf x x 1 e� � � ȖȚĮ țȐșİ � �x 0,� � f .
i) ȃĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘ ȝȠȞȠIJȠȞȓĮ țĮȚ IJĮ ĮțȡȩIJĮIJĮ. ii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ, ĮȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ, IJȚȢ ĮıȪȝʌIJȦIJİȢ IJȘȢ fC .
iii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ
� � � � � �x 1
x
f x 1 f t dt f x�
� d d´µ¶
ȖȚĮ țȐșİ x 0! .
iv) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȩȡȚȠ � �x 1
x x
lim f t dt.�
o�f
´µ¶
48. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ
� � 31 6f x x
7 7 � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
i) NĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘ ȝȠȞȠIJȠȞȓĮ țĮȚ ıIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȚȝȫȞ IJȘȢ.
ii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ Ș ĮȞIJȓıIJȡȠijȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ 1f � IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ IJȪʌȠ IJȘȢ.
iii) NĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ IJȦȞ ȖȡĮijȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ f țĮȚ 1f � ȝİ IJȘȞ İȣșİȓĮ y x.
iv) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ
ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ 1f � țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ y x , x 1 țĮȚ x 2 .
574 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ
49. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ
� � � �1
x
0
f x e 1 x f xt dt � �´µ¶
ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ
� � xf x xe ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ii) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ
ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f, IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x xc țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x Į 1 �
țĮȚ x Į ȝİ Į 0� .
iii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ȖȚĮ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ IJȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȝȕĮįȩ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ.
50. DzıIJȦ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f , g : o\ \ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝİȢ țĮȚ IJȑIJȠȚİȢ,
ȫıIJİ:
• � �f 0 1 �
• � �f x 3x 2! � ȖȚĮ țȐșİ x�\
• � � � �g x f x 3x 2 � � ȖȚĮ țȐșİ x�\
• � � � �� �233 f x 4x f x 3x 2c� � � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .
ȃĮ ȕȡİȓIJİ: i) IJȠȣȢ IJȪʌȠȣȢ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ g țĮȚ f ii) IJȚȢ ĮıȪȝʌIJȦIJİȢ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f iii) IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣ-
ȞȐȡIJȘıȘȢ
� � � � > �x
1F x g t dt, x 0, � � f´
µ¶
IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ x x, y yc c țĮȚ IJȘȞ İȣșİȓĮ x 1.