Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

15
  • Upload

    -
  • Category

    Education

  • view

    3.355
  • download

    7

description

Εξαιρετικά θέματα από τους μιγαδικούς αριθμούς και τα όρια από ένα βιβλίο που ξεχωρίζει! Ο φίλος και συνάδελφος, συγγραφέας και εκδότης, Γιώργος Μαυρίδης, προσφέρει μερικά πολύ ωραία θέματα για τις τελικές επαναλήψεις. Περιλαμβάνονται και προτεινόμενα διαγωνίσματα.

Transcript of Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

Page 1: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

9 786188 021495

ISBN: 978-618-80214-9-5

Page 2: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

306 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

ƲƳƱƵƧƫƯƱƮƧƯƣ ƪƧƮƣƵƣ 193. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ,

ȫıIJİ � � � �f 0 f 0 1c � țĮȚ � �f x 0cc ! ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İijĮʌIJȠȝȑȞȘȢ � �İ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ

ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ıİ ıȘȝİȓȠ � �� �ǹ 0, f 0 .

ii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ � �f x x 1t � � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

iii) ǹȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ � �f x 0c z ȖȚĮ țȐșİ x�\ , IJȩIJİ:

Į) ȞĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘ ȝȠȞȠIJȠȞȓĮ ȕ) ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȟȓıȦıȘ � �f x 0 ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȓĮ ȡȓȗĮ, Ș ȠʌȠȓĮ

ĮȞȒțİȚ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �1, 0 .�

194. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� �x 2

f x 6lim 3

x 2o

� țĮȚ � �f x 0cc � ȖȚĮ țȐșİ x�\

i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ � �f 2 .

ii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ � �f 2c .

iii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ � �f x 3xd ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

195. ǻȓȞİIJĮȚ ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0,� f o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ,

ȫıIJİ Ș İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ fC ıİ țȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ � �� �M Į, f Į ȞĮ ȑȤİȚ İȟȓıȦıȘ

� �y lnĮ x Į � � . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) � �f x x ln x x � ȖȚĮ țȐșİ x 0!

ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ iii) x ln x x 1t � ȖȚĮ țȐșİ x 0! iv) Ș İȟȓıȦıȘ � �2 x 1 ln x 4x e 1 0� � � � ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȡȓȗĮ, Ș ȠʌȠȓĮ ȕȡȓıțİ-

IJĮȚ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �1,e .

Page 3: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

ƦNJǂǗǐǒNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 307

196. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� � � �f 0 f 0 2c țĮȚ � � � � 2f x 6x f x 3xcc c� � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) � � x 3f x 2e x � ȖȚĮ țȐșİ x�\

ii) Ș fC ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ įȪȠ ıȘȝİȓĮ țĮȝʌȒȢ. 197. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȣȡIJȒ. ȃĮ ĮʌȠįİȓ-

ȟİIJİ ȩIJȚ:

i) � � � � � � � � � �f x f x 1 f x f x 1 f xc� � � � � � ȖȚĮ țȐșİ x�\

ii) ĮȞ İʌȚʌȜȑȠȞ Ș f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ IJȠʌȚțȩ ĮțȡȩIJĮIJȠ ıIJȘ șȑıȘ 0x 2, IJȩIJİ ȣʌȐȡ-ȤİȚ ȑȞĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ � �ȟ 1, 2� IJȑIJȠȚȠ, ȫıIJİ � � � �f ȟ 1 f ȟ .�

198. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ, țȠȓȜȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ,

ȫıIJİ � � � �f 1 f 0 1 � țĮȚ 1f 1.

2§ ·c �¨ ¸© ¹

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) ȣʌȐȡȤİȚ 1ȟ 0,2

§ ·�¨ ¸© ¹

IJȑIJȠȚȠ, ȫıIJİ � �f ȟ 1c

ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � � �g x f x x � ȖȚĮ țȐșİ x�\

İȓȞĮȚ țȠȓȜȘ iii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȠȜȚțȩ ȝȑȖȚıIJȠ. 199. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > @1, 3 .

ǹȞ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ IJȠʌȚțȩ ĮțȡȩIJĮIJȠ ıIJȠ 0x 2 țĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f c İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > @1, 3 , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) ȣʌȐȡȤȠȣȞ � �1ȟ 1, 2� țĮȚ � �2ȟ 2, 3� IJȑIJȠȚȠȚ, ȫıIJİ

� � � �1f ȟ f 1cc c � țĮȚ � � � �2f ȟ f 3cc c

ii) � � � �f 1 f 3 0.c c� !

Page 4: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

308 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

200. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȣȡIJȒ. ǹȞ Ș f ʌĮ-

ȡȠȣıȚȐȗİȚ IJȠʌȚțȩ ĮțȡȩIJĮIJȠ ıİ țȐʌȠȚȠ 0x ,�\ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) IJo 0x İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȩ

ii) IJȠ � �0f x İȓȞĮȚ ȠȜȚțȩ İȜȐȤȚıIJȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f.

201. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f, Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıIJȠ \ . ǹȞ Ș f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ

IJȠʌȚțȩ ĮțȡȩIJĮIJȠ ıİ țȐʌȠȚȠ 0x ,�\ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ � �� �0 0M x , f x

įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ.

202. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȠȓȜȘ. ȃĮ ĮʌȠįİȓ-

ȟİIJİ ȩIJȚ: i) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � � �g x f x 2xc � ȖȚĮ țȐșİ x�\

İȓȞĮȚ 1 1�

ii) Ș ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ȑȤİȚ IJȠ ʌȠȜȪ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ ȝİ IJȘȞ ʌĮȡĮȕȠȜȒ 2y x .

203. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0, ,� f o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȣȡIJȒ. ȃĮ

ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �h : 0, � f o \ ȝİ IJȪʌȠ

� � � � 1h x f x

xc � ȖȚĮ țȐșİ x 0!

İȓȞĮȚ 1 1� ii) ȠȚ ȖȡĮijȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ f țĮȚ � �g : 0, � f o \ ȝİ IJȪʌȠ

� �g x ln x ȖȚĮ țȐșİ x 0!

ȑȤȠȣȞ IJȠ ʌȠȜȪ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ.

Page 5: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

326 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ � ƦƫƣƥƺƯƫƴƮƣ 4

ƪƧƮƣ ƣ

ƣ1. DzıIJȦ ȝȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ı’ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ � �Į,ȕ ȝİ İȟĮȓȡİıȘ ȓıȦȢ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ 0x , ıIJȠ ȠʌȠȓȠ ȩȝȦȢ Ș f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ. ǹȞ � �f x 0c ! ıIJȠ � �0Į, x

țĮȚ � �f x 0c � ıIJȠ � �0x ,ȕ , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ � �0f x İȓȞĮȚ IJȠʌȚțȩ ȝȑȖȚıIJȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f.

ƣ2. DzıIJȦ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ıȣȞİȤȒȢ ı’ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ ǻ țĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıIJȠ İıȦ-IJİȡȚțȩ IJȠȣ ǻ. ȆȩIJİ șĮ Ȝȑȝİ ȩIJȚ Ș f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ țĮȚ ʌȩIJİ țȠȓȜȘ ıIJȠ ǻ;

ƣ3. ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ, ȖȡȐijȠȞIJĮȢ ıIJȠ IJİIJȡȐįȚȩ ıĮȢ, įȓʌȜĮ ıIJȠ ȖȡȐȝȝĮ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıİ țȐșİ ʌȡȩIJĮıȘ IJȘ ȜȑȟȘ ȈȦıIJȩ, ĮȞ Ș ʌȡȩ-IJĮıȘ İȓȞĮȚ ıȦıIJȒ, Ȓ ȁȐșȠȢ, ĮȞ Ș ʌȡȩIJĮıȘ İȓȞĮȚ ȜĮȞșĮıȝȑȞȘ.

ǂ) ǹȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ ı’ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ ǻ, IJȩIJİ Ș İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ f ıİ țȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ ǻ ȕȡȓıțİIJĮȚ “ʌȐȞȦ” Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘ.

ǃ) ǹȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ țȠȓȜȘ ıIJȠ \ , IJȩIJİ � �f x 0cc � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

DŽ) Ǿ İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ ȝȚĮȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ıİ țȐșİ ıȘ-ȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ “ įȚĮʌİȡȞȐ ” IJȘȞ fC .

Dž) ǹȞ IJȠ ıȘȝİȓȠ � �� �0 0A x , f x İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐ-

ıIJĮıȘȢ IJȘȢ f țĮȚ Ș f İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ, IJȩIJİ � �0f x 0.cc

dž) ǹȞ ȝȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f c įİȞ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩIJȠȞȘ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ ǻ, IJȩIJİ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ȠȪIJİ țȣȡIJȒ, ȠȪIJİ țȠȓȜȘ ıIJȠ ǻ.

ƪƧƮƣ Ƥ

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � 1 2x

2f x

1 e � �

ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

Ƥ1. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f cc . Ƥ2. ȃĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f, ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘȞ țȣȡIJȩIJȘIJĮ. Ƥ3. ȃĮ ȕȡİȓIJİ, ĮȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ, IJĮ ıȘȝİȓĮ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ f.

Ƥ4. ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ � � 1f x x .

2 �

Page 6: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

ƦNJǂǗǐǒNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 327

ƪƧƮƣ ƥ DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıIJȠ \ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� � � �f 0 1, f 0 2c țĮȚ � � � � � �f x f x 2f xcc c� ! ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: ƥ1. Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � � � xg x f x e� ȖȚĮ țȐșİ x�\

İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ ƥ2. Ș İȣșİȓĮ � �İ ȝİ İȟȓıȦıȘ y x 1 � İijȐʌIJİIJĮȚ ıIJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ

ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ g ıIJȠ ıȘȝİȓȠ � �� �A 0, g 0

ƥ3. � � � � xf x x 1 et � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ƪƧƮƣ Ʀ DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : ,o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ:

• � �

x 1

f x 1lim 1

x 1o

• � �f x 1c d ȖȚĮ țȐșİ x�\

• Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f cc İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩIJȠȞȘ.

Ʀ1. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ f ıIJȠ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ ȝİ IJİIJȝȘȝȑȞȘ 0x 1.

Ʀ2. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ȡȓȗİȢ țĮȚ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f .cc

Ʀ3. ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ IJȠ ȩȡȚȠ � �x 1

1lim .

f x xo �

Page 7: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

540 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

128. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� �� �

4

44

xf xx 1 x

� �

ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ

� � � �f x f 1 x 1� � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮ-ıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f , IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x xc țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x 0 , x 1.

129. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0, � f o\ ȝİ IJȪʌȠ

� � 2f x 9x ln x ȖȚĮ țȐșİ � �x 0,� �f .

i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ � �E Ȝ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ

ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f , IJȠȞ ȐȟȠȞĮ IJȦȞ x țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x 1 țĮȚ x Ȝ, ȝİ Ȝ 1.!

ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩȢ � �Ȝ 2,e� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ � �E Ȝ 17.

130. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ *f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � 21f x 2Įxx

� ȖȚĮ țȐșİ *x�\

ȩʌȠȣ Į ıIJĮșİȡȩȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȝİ Į 1.!

i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ � �Ǽ Į IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ

ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f, IJȠȞ ȐȟȠȞĮ xxcțĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x 1 țĮȚ x Į. ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ � �Į 1, 2� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ � �Ǽ Į 3.

131. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ

� � xf x e , x 0 ! .

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ � �� �M Į, f Į IJȑIJȠȚȠ, ȫıIJİ Ș fC

ȞĮ ȤȦȡȓȗİȚ IJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȅǹȂǺ ȩʌȠȣ � � � � � �� �O 0, 0 , A Į, 0 țĮȚ Ǻ 0, f Į ıİ

įȪȠ ȚıİȝȕĮįȚțȐ ȤȦȡȓĮ.

Page 8: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

ƱnjǐNjnjLjǒǚǕNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 541

132. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � � � xf x x 2 e 2 � � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș fC ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȚĮ ĮıȪȝʌIJȦIJȘ İȣșİȓĮ � �İ . īȚĮ ʌȠȚİȢ

IJȚȝȑȢ IJȠȣ x�\ Ș fC ȕȡȓıțİIJĮȚ țȐIJȦ Įʌȩ IJȘȞ İȣșİȓĮ � �İ ;

ii) ȃĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘȞ țȣȡIJȩIJȘIJĮ țĮȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ

Ș fC ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ. ȈIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ

IJȘȢ İijĮʌIJȠȝȑȞȘȢ � �Ș IJȘȢ fC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ IJȘȢ.

iii) NĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ IJȠ ȩȡȚȠ

� �xx 0

0

xlim .f t t dt

o § ·�¨ ¸© ¹

´µ¶

iv) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ İȣșİȓĮ x Į ȝİ 4 Į 2� � � � IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ IJȠ

İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ ĮȣIJȒ IJȘȞ İȣșİȓĮ, IJȘ fC țĮȚ IJȚȢ İȣ-

șİȓİȢ � � � �İ , Ș ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ 11 .e

133. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : ,o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� � � � � �x

2

0f x f t dt x 1 � �µ́

¶ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ȝİ

� � � �f x 2 f x 2xc � � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ii) NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ IJȪʌȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f .

iii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ.

iv) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ Cf , IJȘȞ İijĮ-

ʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ fC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ � �� �ǹ 0, f 0 țĮȚ IJȘȞ İȣșİȓĮ x 2.

Page 9: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

542 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

134. ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f , g ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ ıIJȠ \ țĮȚ IJȑIJȠȚİȢ, ȫıIJİ

� � � �x

0f x 1 x g t dt � � ³ ȖȚĮ țȐșİ x�\

țĮȚ

� � � �x

0g x f x t dt �³ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȠȚ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f țĮȚ g İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝİȢ ıIJȠ \ . ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ h : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � � � � �xh x e f x f x� c �ª º¬ ¼ ȖȚĮ țȐșİ x�\

İȓȞĮȚ ıIJĮșİȡȒ. iii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ IJȪʌȠȣȢ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ f țĮȚ g. iv) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮ-

ȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f g,� IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x xc țĮȚ IJȘȞ İȣșİȓĮ x 1.

135. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : ,o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ȝİ � �f \ \ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ,

ȫıIJİ � � � �3f x 3f x 4x� ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ȡȓȗİȢ țĮȚ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f. ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. iii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ 1f � țĮȚ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x ȖȚĮ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ Ș ȖȡĮijȚțȒ IJȘȢ

ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȕȡȓıțİIJĮȚ țȐIJȦ Įʌȩ IJȘȞ İȣșİȓĮ y x. iv) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȚȢ ȖȡĮijȚțȑȢ

ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ f țĮȚ 1f � țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x 0 țĮȚ x 1. 136. DzıIJȦ ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ z IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ

2z 1 1 z 1 z 1� � � � � țĮȚ � �Im z 0.t

i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ z 1 1 Ȓ z 1 1.� �

ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ƞ ȖİȦȝİIJȡȚțȩȢ IJȩʌȠȢ IJȘȢ İȚțȩȞĮȢ IJȠȣ z ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ İȓȞĮȚ Ș ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ

� � > @2f x 2 x x , x 2, 2 � � � .

iii) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ � �2

2f x dx

´µ¶

.

Page 10: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

ƱnjǐNjnjLjǒǚǕNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 551 � ƦƫƣƥƺƯƫƴƮƣ 4

ƪƧƮƣ ƣ

ƣ1. DzıIJȦ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ıȣȞİȤȒȢ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� �f x 0t ȖȚĮ țȐșİ > @x Į, ȕ� .

ȉȚ İțijȡȐȗİȚ ȖİȦȝİIJȡȚțȐ IJȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ � �ȕ

Įf x dx³ ;

ƣ2. ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ, ȖȡȐijȠȞIJĮȢ ıIJȠ IJİIJȡȐįȚȩ ıĮȢ,

įȓʌȜĮ ıIJȠ ȖȡȐȝȝĮ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıİ țȐșİ ʌȡȩIJĮıȘ IJȘ ȜȑȟȘ ȈȦıIJȩ, ĮȞ Ș ʌȡȩ-

IJĮıȘ İȓȞĮȚ ıȦıIJȒ, Ȓ ȁȐșȠȢ, ĮȞ Ș ʌȡȩIJĮıȘ İȓȞĮȚ ȜĮȞșĮıȝȑȞȘ.

ǂ) � �Į

Įf x dx 0. ³

ǃ) ǹȞ f, g İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ țĮȚ Ȝ, ȝ ,�\ IJȩIJİ

ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ

� � � � � � � �ȕ ȕ ȕ

Į ĮĮȜf x ȝg x dx Ȝ f x dx ȝ g x dx.� �ª º¬ ¼µ́

¶ ³ ³

DŽ) DzıIJȦ f ȝȚĮ ıȣȞİȤȒȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ . ǹȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ

� �f x 0t ȖȚĮ țȐșİ > @x Į,ȕ�

țĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ʌĮȞIJȠȪ ȝȘįȑȞ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ ĮȣIJȩ, IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ

� �ȕ

Įf x dx 0.!³

Dž) ȀȐșİ ʌĮȡȐȖȠȣıĮ F ȝȚĮȢ ıȣȞİȤȠȪȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ ǻ İȓȞĮȚ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ

� � � �x

ĮF x f t dt, x ǻ �³ ȖȚĮ țȐʌȠȚȠ Į ǻ.�

dž) ǹȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ , IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ

� � � � � �ȕ

Įf t dx f ȕ f Į . �³

Page 11: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

552 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

ƪƧƮƣ Ƥ

DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0, � f o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� � � �2

1

2 3f x xt f t dtx 13

� µ́¶

ȖȚĮ țȐșİ � �x 0, .� � f

Ƥ1. NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ � �2

1

13tf t dt .3

µ́¶

Ƥ2. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ İȝȕĮįȩ � �Ǽ Į IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ

ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ f, IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x xc țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x Į, x Į 1 � ȝİ Į 0! İȓȞĮȚ

� � 1 1Ǽ Į 2ln 1 ĮĮ 2

§ · � � �¨ ¸© ¹

.

Ƥ3. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȠȣ İȝȕĮįȠȪ � �Ǽ Į .

ƪƧƮƣ ƥ

DzıIJȦ įȪȠ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f ,g : o\ \ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ țĮȚ IJȑIJȠȚİȢ, ȫıIJİ � �g x 0z ȖȚĮ țȐșİ x�\

țĮȚ

� � � �x x

1 0f t dt x g t dt 1 � �³ ³ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

ƥ1. � �1

0g t dt 1 �³

ƥ2. � �g x 0� ȖȚĮ țȐșİ x�\

ƥ3. � � � � � �x

0f x g t dt xg x �³ ȖȚĮ țȐșİ x�\

ƥ4. Ș İȟȓıȦıȘ � � � �f x g x 2� � ȑȤİȚ ȝȓĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȡȓȗĮ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �0,1 ƥ5. ĮȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ � �g 0 1, � IJȩIJİ:

ǂ) � �x

0

x 0

g t dtlim 1

xo �

³

ǃ) Ș İȣșİȓĮ ȝİ İȟȓıȦıȘ y 2x � İijȐʌIJİIJĮȚ ıIJȘ fC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ ȝİ IJİIJȝȘ-ȝȑȞȘ 0x 0.

Page 12: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

ƱnjǐNjnjLjǒǚǕNJNjǝǓ ƭǐDŽNJǔǍǝǓ 553

ƪƧƮƣ Ʀ

ǻȓȞİIJĮȚ ıȣȞȐȡIJȘıȘ > @f : 1,1� o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ

� �

1 2Ȟ

Ȟ1

xǿ dx, Ȟ1 f x�

��

´µ¶

` .

Ʀ1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ

� �

1 2Ȟ

Ȟ1

xǿ dx,1 f x�

� �

´µ¶

Ȟ�` .

Ʀ2. AȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ

� � � �1f x

f x� ȖȚĮ țȐșİ > @x 1,1� � ,

ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

ǂ) � �� �

1 2Ȟ

Ȟ1

x f xǿ dx

1 f x�

�´µ¶

, Ȟ�`

ǃ) Ȟ1ǿ

2Ȟ 1

�, Ȟ�` .

Ʀ3. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ 1 100

x1

x dx.1 e� �

´µ¶

Page 13: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

572 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

ƧƲƣƯƣƭƩƲƵƫƬƣ ƪƧƮƣƵƣ

43. DzıIJȦ įȪȠ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f ,g : o\ \ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ țĮȚ IJȑIJȠȚİȢ, ȫıIJİ

� � � � � �x

1g x f x f t dt � ³ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

DzıIJȦ İʌȓıȘȢ, Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ h : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � � �� �2x

1

1h x f t dt

2 ³ ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ǹȞ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩIJȠȞȘ, IJȩIJİ: i) ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ h İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ii) ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İijĮʌIJȠȝȑȞȘ IJȘȢ hC ıIJȠ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ ȝİ IJİIJȝȘȝȑȞȘ 0x 1

iii) ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ h İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ iv) ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ g.

44. ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ

� �x

20

1f x dt

1 t

�´µ¶

, x�\ țĮȚ � �g x İijx , ʌ ʌ

x , .2 2

§ ·� �¨ ¸© ¹

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ g ȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ IJȚȝȫȞ IJȠ \

iii) � �� �f g x x ȖȚĮ țȐșİ ʌ ʌx ,

2 2§ ·� �¨ ¸© ¹

iv) 1

20

1 ʌdt .

41 t

�´µ¶

45. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : ,o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� �1

0f t dt 1 µ́

¶ țĮȚ � �

x2

0f t dt xdµ́

¶ ȖȚĮ țȐșİ x�\

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) � �f 0 0 țĮȚ � �f 1 2

ii) ȣʌȐȡȤİȚ � �ȟ 0,1� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ � �f ȟ 2ȟ

iii) Ș İȟȓıȦıȘ � �f x 2c ȑȤİȚ įȪȠ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȡȓȗİȢ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �0,1 iv) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ȠȪIJİ țȣȡIJȒ ȠȪIJİ țȠȓȜȘ.

Page 14: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

ƧǑǂǎǂnjLjǑǕNJNjƽ ƪƾǍǂǕǂ 573

46. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � 2xf x e ȖȚĮ țȐșİ x .�\

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > �0, � f

ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡIJȒ ıIJȠ \ iii) � �f x 2ex et � ȖȚĮ țȐșİ x�\

iv) � � � �2

0f x dx 2f 1!µ́

v) ĮȞ F İȓȞĮȚ ȝȚĮ ĮȡȤȚțȒ IJȘȢ f ıIJȠ \ , IJȩIJİ ȣʌȐȡȤİȚ � �ȟ 1, 2� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ

� � � � � �F 2 F 0 2f ȟ .�

47. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ � �f : 0, � f o \ ȝİ IJȪʌȠ

� � xf x x 1 e� � � ȖȚĮ țȐșİ � �x 0,� � f .

i) ȃĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘ ȝȠȞȠIJȠȞȓĮ țĮȚ IJĮ ĮțȡȩIJĮIJĮ. ii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ, ĮȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ, IJȚȢ ĮıȪȝʌIJȦIJİȢ IJȘȢ fC .

iii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ

� � � � � �x 1

x

f x 1 f t dt f x�

� d d´µ¶

ȖȚĮ țȐșİ x 0! .

iv) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȩȡȚȠ � �x 1

x x

lim f t dt.�

o�f

´µ¶

48. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � 31 6f x x

7 7 � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

i) NĮ ȝİȜİIJȒıİIJİ IJȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘ ȝȠȞȠIJȠȞȓĮ țĮȚ ıIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȚȝȫȞ IJȘȢ.

ii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ Ș ĮȞIJȓıIJȡȠijȘ ıȣȞȐȡIJȘıȘ 1f � IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ IJȪʌȠ IJȘȢ.

iii) NĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ IJȦȞ ȖȡĮijȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ f țĮȚ 1f � ȝİ IJȘȞ İȣșİȓĮ y x.

iv) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ

ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ 1f � țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ y x , x 1 țĮȚ x 2 .

Page 15: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Β)

574 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

49. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� � � �1

x

0

f x e 1 x f xt dt � �´µ¶

ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ

� � xf x xe ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ii) NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ

ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f, IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x xc țĮȚ IJȚȢ İȣșİȓİȢ x Į 1 �

țĮȚ x Į ȝİ Į 0� .

iii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ȖȚĮ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ IJȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȝȕĮįȩ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ.

50. DzıIJȦ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f , g : o\ \ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝİȢ țĮȚ IJȑIJȠȚİȢ,

ȫıIJİ:

• � �f 0 1 �

• � �f x 3x 2! � ȖȚĮ țȐșİ x�\

• � � � �g x f x 3x 2 � � ȖȚĮ țȐșİ x�\

• � � � �� �233 f x 4x f x 3x 2c� � � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ȃĮ ȕȡİȓIJİ: i) IJȠȣȢ IJȪʌȠȣȢ IJȦȞ ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ g țĮȚ f ii) IJȚȢ ĮıȪȝʌIJȦIJİȢ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f iii) IJȠ İȝȕĮįȩ IJȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİIJĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣ-

ȞȐȡIJȘıȘȢ

� � � � > �x

1F x g t dt, x 0, � � f´

µ¶

IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ x x, y yc c țĮȚ IJȘȞ İȣșİȓĮ x 1.