ЦЕЛИ ИЗРАЗИ

ПРОМЕНЛИВИ ВЕЛИЧИНИ

Величина,означена с буква,която може да приема различни стойности.

Нарича се още и неизвестно.

Записват се с последните букви на латинската азбука:

x,y,z,t,v

и т.н.

ПОСТОЯННИ ВЕЛИЧИНИ

Величина,означена с буква,която при решаване на 1 задача приема само1 стойност.

Нарича се още и константа.

Записват се с първите букви на латинската азбука: a,b,c,d,…,k,m,n,p,q и т.н.

ПОСТОЯННИ ВЕЛИЧИНИ

Величина,означена с буква,която при решаване на 1 задача приема само1 постоянна стойност,а при друга задача друга постоянна стойност се нарича параметър.

Записват се с първите букви на латинската азбука:

a,b,c,d,…,k,m,n,p,q

и т.н.

РАЦИОНАЛЕН ИЗРАЗ

Изрази, в които числата са записани с букви или с цифри,свързани със знаците на аритметичните действия,се наричат рационални изрази.

Примери: а+3х , 2+1,24.х , 5.х.у-11 , а , 5 , х

АКО U И V СА РАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ, ТО

u+v

u-v

u.v

u/v

k.u+p.v

Също са рационални изрази.

ЦЯЛ РАЦИОНАЛЕН ИЗРАЗ

Рационален израз, в който няма деление с променлива.

7,

3

14,96,2 232

a

xxxxxx

РАЦИОНАЛЕН ИЗРАЗ, В КОЙТО ИМА ДЕЛЕНИЕ С ПРОМЕНЛИВА, СЕ НАРИЧА ДРОБЕН

2,

3

14,

5

96,

1

22

232

ax

x

x

ax

x

xx

x

xx

ЧИСЛЕНА СТОЙНОСТ НА РАЦИОНАЛЕН ИЗРАЗАко в един рационален израз заместим променливите с

дадени рационални числа,получаваме числена стойност на този израз.

Например: А = 2х2.у-1

За х=-1 и у=2 числената стойност е

А = 2х2.у-1=2.(-1)2.2-1=4-1=3

За х=3 и у=5 числената стойност е

А = 2х2.у-1=2.(3)2.5-1=90-1=89

ДОПУСТИМИ СТОЙНОСТИ - ДС

Стойности,които могат да приемат означените с букви величини в даден израз или стойности,за които изразът има смисъл(могат да се извършат всички означени действия)

ДС на цял израз са всички рационални числа

ДС на дробен израз,са тези,при които знаменателя не е 0

ОПРЕДЕЛЕТЕ ДС

2

3

4

6064:

64

563

202:2

6

:5

9

:12

ххДСх

х

ххДСх

х

хДСх

хДСx

ЕДНОЧЛЕН-

Цял рационален израз,който е произведение от константи и променливи.

3ху , - 0,7ах2у

Нормален вид - Представяне на едночлен,в който има само един числов множител,а всяко произведение на една и съща буква е записано като степен.

Редът на буквите е като този на латинската азбука.

2х3у → 6ху е нормалният вид

ПОДОБНИ ЕДНОЧЛЕНИ -

Са тези,които в нормален вид се различават само по коефициенти те си.

U=2x2(-y3)= -2x2y3

V=2x2(-3y3)b= -6bx2y3

W=5zx2y3= 5x2y3z

U и V са подобни,а W не им е подобен,защото съдържа z

Събират се( или изваждат) само подобни едночлени - събираме или изваждаме коефициентите!

МНОГОЧЛЕН(ПОЛИНОМ) -Алгебричен сбор на едночлени.

Едночленът също е многочлен.

3х+4ху+5

Многочленът е

едночлен,ако има само 1 член: 4ху

двучлен,ако има 2 члена(бином): 2х+3ху

тричлен,ако има 3 члена:

8х2-4ху+у

НОРМАЛЕН ВИД -

Когато всички едночлени в него са в нормален вид и няма подобни.

А= 2х3у+х2у+ух не е в нормален вид!

Превеждане в нормален вид:

А= 2х3у+х2у+ух=6ху+х2у+ух = 7ху+х2у

КОЕФИЦИЕНТИ НА МНОГОЧЛЕН

в нормален вид са коефициентите на членовете му.

Коефициента,който няма променливи след себе си се нарича свободен коефициент.

Винаги най-напред трябва многочлена да се привежда в нормален вид!

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА МНОГОЧЛЕНИ

Многочлени се събират и изваждат по съответните правила за едночлени.

Прилагаме правилата за разкриване на скоби.След това правим приведение.

НАМЕРЕТЕ ЧИСЛЕНАТА СТОЙНОСТ НА ИЗРАЗА

А = 3х2-у2+5ху-(2х2-5ху-у2)-(х2-2ху)

За х= - 0,75 и у=-2

Разкриваме скобите

А = 3х2-у2+5ху-(2х2-5ху-у2)-(х2-2ху)=

=3х2-у2+5ху-2х2+5ху+у2-х2+2ху =

=12ху

А=12.(-0,75).(-2)=18

НАМЕРЕТЕ НАЙ-МАЛКАТА СТОЙНОСТ НА ИЗРАЗА

А = 3х4-(3х2-2х+1)-(3х4-5х2+2х)

Разкриваме скобите

А = 3х4-(3х2-2х+1)-(3х4-5х2+2х)=

= 3х4-3х2+2х-1-3х4+5х2-2х=

=2х2-1

най-малката стойност на израза се получава при х=0

А=2.0-1 = -1

НАМЕРЕТЕ НАЙ-ГОЛЯМАТА СТОЙНОСТ НА ИЗРАЗАА = 3х2+2х+1-(3х2+2х)-3х4

Разкриваме скобитеА = 3х2+2х+1-(3х2+2х)-3х4 ==3х2+2х+1-3х2-2х-3х4==1-3х4

най-голямата стойност на израза се получава при х=0 А=1-3.0 = -1

ПОКАЖЕТЕ,ЧЕ СТОЙНОСТТА НА ИЗРАЗА НЕ ЗАВИСИ ОТ ПРОМЕНЛИВИТЕ В НЕГО

А = 3х2-у2+-7ху+4-(2х2-5ху-у2)-(х2-2ху)

Разкриваме скобите

А = 3х2-у2+-7ху+4-(2х2-5ху-у2)-(х2-2ху)=

=3х2-у2+-7ху+4-2х2+5ху+у2-х2+2ху =4

Каквито и да са стойностите на

променливите,те винаги ще се унищожават

и стойността на израза ще е 4

УМНОЖЕНИЕ НА ЕДНОЧЛЕН С МНОГОЧЛЕН

Разпределителното свойство на рационалните числа е

(a+b).c = a.c+b.c или c.(a+b) = c.a+c.b

Ако a,b,c са едночлени тези равенства ни показват как да

умножаваме едночлен с двучлен и обратно.

c.(a+b) = c.a+c.b

УМНОЖАВАМЕ НА ЕДНОЧЛЕН С МНОГОЧЛЕНКато:

1. Умножим едночлена с всеки член на многочлена

2. Направим приведение

1УМНОЖИМ ЕДНОЧЛЕНА С ВСЕКИ ЧЛЕН НА МНОГОЧЛЕНА2НАПРАВИМ ПРИВЕДЕНИЕ

5(х3+х2-х)=5х3+5х2-5х

х(2х2+3х-4)= 2х3+3х2-4х

-3х(-2х3+х2-5х)=6х4-3х3+15х2

Направете приведение

7х(х+2)-2(х2+3х-1)=

=7х2+14х-2х2-6х+2=

=5х2+8х+2

УМНОЖЕНИЕ НА МНОГОЧЛЕН С МНОГОЧЛЕН

Многочлени умножаваме като всеки член на единия многочлен умножим с всеки член на другия многочлен и направим приведение.

(a+b+р).(c+d) = ac+ad+bc+bd+рc+рd

(a+b+р).(c+d+к)=

=ac+ad+ак+bc+bd+bк+рc+рd+ рк

УМНОЖЕНИЕ НА МНОГОЧЛЕН С МНОГОЧЛЕНВсяко с всяко

Знак по знак

Число по число

Буква по буква

(х-1)(2х2+5х-3)=

=2х3+5х2-3х-2х2-5х+3=2х3+3х2-8х+3

(2х-1)(х2+4х-5)=

=2х3+8х2-10х-х2-4х+5=2х3+7х2-14х+5

МНОГОЧЛЕНИТЕ

СА ЦЕЛИ ИЗРАЗИ

ТЪЖДЕСТВЕНО РАВНИ ЦЕЛИ ИЗРАЗИ

Са тези,които имат:

съответно равни числени стойности за произволни стойности на променливите,допустими и за двата израза. т.е.

Ако А(х) = В(х) за всяко х Є ДС, то А и В са

тъждествено равни цели изрази

ПРИМЕР

А=(х+1)2

В=х2+2х+1

А и В са тъждествено равни цели изрази

ТЪЖДЕСТВО - РАВЕНСТВО, ДВЕТЕ СТРАНИ НА КОЕТО СА ТЪЖДЕСТВЕНО РАВНИ ИЗРАЗА

Ако А(х) = В(х) за всяко х Є ДС, то А и В са

тъждествено равни цели изрази

А(х) = В(х) е тъждество

ОСНОВНИ ТЪЖДЕСТВА:

u + v =v + u

u.v = v.u

(u + v) + t = u + (v + t)

(uv)t = u(vt)

(u + v)t = ut + vt

ДОКАЗВАНЕ НА ТЪЖДЕСТВА:

Начин 1: Извършват се означените действия само в едната страна на тъждеството, за да приеме вида на другата

Начин 2: От едната страна вадим другата и извършваме означените действия

Начин 3: Извършват се означените действия и в двете страни на тъждеството, за да приемат едни и същи вид

Формули за съкратено умножение – използват се за представяне като многочлен

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2 ab+b2

Формули за съкратено умножение- използват се за

представяне като многочлен

a3+b3 =(a+b)(a2-ab+b2)

а3-b3 =(a-b)(a2+ab+b2)

а2-b2 = (a+b)(a-b)

Формули за съкратено умножение – използват се за разлагане многочлени на множители

a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3

a3-3a2b+3ab2-b3 = (a-b)3

a2+2ab+b2 = (a+b)2

a2-2 ab+b2 = (a-b)2

Формули за съкратено умножение - използват се за разлагане многочлени на множители

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3

(a-b)(a2+ab+b2) = а3-b3

(a+b)(a-b) = а2-b2

ДОКАЖЕТЕ ТЪЖДЕСТВОТО: (а-х)(а+х) – (а-х)2 = 2х(а-х)

Повече действия има в л.с, затова тях извършваме:

Л.с= (а-х)(а+х) – (а-х)2 = а2 –х2 –(а2 – 2ах + х2) =

= а2 –х2 – а2 + 2ах - х2 = 2ах – 2х2 = 2х (а –х) = д.с

ДОКАЖЕТЕ ТЪЖДЕСТВОТО:

сд

xx.л.с

36)215(2 x)26)(3-(x2

Работим и по двете страни:

2(3х-2хх-18+12х) = 30х-4х2-36

6х-4х2-36+24х = 30х-4х2-36

30х-4х2-36 = 30х-4х2-36

РАЗЛОЖЕТЕ НА МНОЖИТЕЛИ:

2х+4= 2х + 2.2= 2(х+2)

5(2х-1) -2х+1= 5(2х-1)- (2х-1)= (2х-1)(5-1)= 4 (2х-1)

25 – а2 = 52-а2 =(5+а)(5-а)

(х+2)3 –х2-4х-4 = (х+2)3 –(х2+4х+4) = (х+2)3 - (х+2)2 =

= (х+2)2 (х+2-1) = (х+2)2 (х+1)