Серединный перпендикулярСерединный перпендикулярФакультатив по математике Тепер Анна, 7б класс,МОУ «Гимназия №1».

Определение Определение Серединный перпендикуляр – это

прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему.

M NX

Теорема о серединном Теорема о серединном перпендикуляреперпендикуляреВсякая точка серединного

перпендикуляра равноудалена к концам отрезка.

M N

a

P

• Дано: отрезок MN, a – серединный перпендикуляр, a ∩ MN = X.

• Доказать:

любая точка на прямой a равноудалена от концов отрезка.

X

ДоказательствоДоказательство Пусть прямая a – серединный

перпендикуляр к данному отрезку MN. a∩MN= X.

Возьмем произвольную точку P на серединном перпендикуляре. Соединим P с M и N.

Так как a ┴ MN и MX=XN, то ∆MPN – равнобедренный. Следовательно, MP=PN.

Так как точка P выбрана произвольно на прямой a, то требуемое доказано.

M NX

a

P

Обратная теорема Обратная теорема о серединном перпендикулярео серединном перпендикуляреВсе точки, равноудаленные от концов

отрезка, принадлежат его серединному перпендикуляру.

• Дано: отрезок MN, P – произвольная точка плоскости, такая что P не принадлежит MN и MP=PN• Доказать: точка P принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку MN.

M N

P

ДоказательствоДоказательство Так как MP=PN, то ∆MPN –

равнобедренный. Опустим высоту из вершины P

треугольника MPN. PX∩MN=X Так как ∆MPN равнобедренный,

то PX является также и медианой, т.е MX=XN.

Таким образом, PX ┴ MN и проходит через его середину, то есть является серединным перпендикуляром.

Так как Р выбрана произвольно, то доказательство относиться ко всем равноудаленным точкам. Требуемое доказано.

M NX

P

M N

P

ЗадачаЗадачаДаны три различные точки не на одной

прямой. Построить точку, равноудаленную от них.

• Дано:

точки A, B и С.

• Построить:

точку O, равноудаленную от них.А

B

С

ПостроениеПостроение

Соединим A и B. ω(A, r)∩ ω(B, r) = D(D1). DD1 ┴ AB. Соединим B и C. ω(B, r1)∩ ω(C, r1) = E(E1). EE1 ┴ BC. DD1 ∩ EE1 = O. О – искомая точка.

А

B

С

D

D1

E

E1

О

ДоказательствоДоказательство Так как DD1 – серединный

перпендикуляр, то OA=OB. Так как EE1 – серединный

перпендикуляр, то OB=OC. OA=OB, OB=OC, следовательно

OA=OB=OC. Таким образом О – искомая

точка.

А

B

С

D

D1

E

E1

О

ИсследованиеИсследование Задача имеет одно решение, так как серединные

перпендикуляры пересекаются в одной точке.

ЗадачаЗадачаПрямая а пересекает окружность в

точках Х и У. На окружности найдите точки равноудалённые от точек Х и У.

• Дано:

ω(О;r), пр. а, а∩(О;r)=Х(У).

• Построить:

точки, равноудалённые от точек Х и У.

У

Х

a

ПостроениеПостроение

b ┴ a. b∩a=M. ХМ=МУ. b∩ ω(O, r) = A(B). A и B –искомые точки.

У

Х

a ДоказательствоДоказательство Так как точки А и В лежат на серединном перпендикуляре и на окружности, то это искомые точки, ч. т. д.

ИсследованиеИсследование•Задача имеет одно решение, так как отрезок ХУ имеет один серединный перпендикуляр.

A

Bb

M

ЗадачаЗадачаВершины треугольника АВС лежат на

окружности, центр которой не отмечен. Найти положение центра О.

• Дано:

∆АВС, ω(О;r), А,В и С принадлежат ω(О;r).

• Построить:

центр О.

А

С

В

ПостроениеПостроение а ┴ АВ, а∩АВ=Х, АХ=ХВ. b ┴ ВС, b∩ВС=У, ВУ=УС. а∩b=О.

ДоказательствоДоказательство•О принадлежит а, значит ОА=ОВ.

•О принадлежит b, значит ОВ=ОС.

•Из предыдущего следует, что ОА=ОВ=ОС, то есть точка О равноудалена от точек А,В и С, следовательно точка О – центр данной окружности, ч. т. д.

ИсследованиеИсследование•Задача имеет одно решение, так как серединные перпендикуляры a и b построены единственным образом.

А

С

В

а

b

ХУ

О С

ЗадачаЗадачаОтрезок MN не имеет общих точек с

∆АВС. На ∆АВС найдите точки равноудаленные от точек M и N.

• Дано:

∆АВС, отрезок MN.

• Построить:

на ∆АВС точки,равноудалённые от точек M и N.

А

В

СM

N

ПостроениеПостроение b ┴ MN, b∩MN=Х, MХ=ХN. b∩ВС=У. b∩AB=Z.

ДоказательствоДоказательство•У принадлежит b, значит МУ=УN.

•Z принадлежит b, значит MZ=ZN.

•Из вышесказанного следует, что точки У и Z равноудалены от точек M и N, то есть требуемое доказано.

А

N

В

C

Mb

ХУ

Z

ИсследованиеИсследование

Задача имеет решение, если серединный перпендикуляр к отрезку MN имеет хотя бы одну общую точку со сторонами данного треугольника. Согласно теореме таких точек может быть одна или две, то есть задача может иметь два решения. Задача не будет иметь решений, если серединный перпендикуляр не пересекает сторон треугольника АВС.

Дали определение серединному перпендикуляру.

Доказали две теоремы о нём.Решили задачи с помощью серединного

перпендикуляра.

Серединный перпендикулярСерединный перпендикуляр