ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ

СВОЙСТВАУчитель математики МБОУ

«Александровская СОШ №23» Хинельцева Галина

Григорьевна

ТРЕУГОЛЬНИКИ7 класс

•

••

А

В

С

▲ АВС АВ, ВС, АС - стороны треугольника

С - углы треугольника ے ,Вے ,А ے

А

В

С1. 2 3.

1. Остроугольный 2. тупоугольный3. прямоугольный

равносторонний равнобедренный

разносторонний

Первый признак равенства треугольников

Дано: АВС и АС = АВ = А = Доказать: АВС =

Доказательство первого признака равенства

треугольника Наложением Соединяем точку с точкой

А Направляем АВ по Получаем точку По условию теоремы АВ = Получим см. рис2 Точка совпадает с точкой

Доказательство первого признака равенства треугольника (продолжение)

По условию теоремы А = Значит АС пойдёт по

стороне См. рис 3. получили точку Но по условию теоремы АС = См. рис 4 точка совпадает с

точкой Треугольники совпали Значит АВС = ч.т.д.

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, т о такие треугольники равны.

Дано: АВС и АС = АВ = ВС = Доказать: АВС =

ЗАДАЧИ на ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА -ов

 

Сумма углов треугольника

ТЕОРЕМА    СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНА 180°

Доказательство Пусть дан Δ ABC. Проведем через

вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC). Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.

Внешний угол треугольника

СЛЕДСТВИЕ 1ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН СУММЕ ДВУХ

УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА, НЕ СМЕЖНЫХ С НИМ.

Доказательство Пусть дан Δ ABC. Точка D

лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.

Следствие 2 о внешнем угле треугольника

Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

ТЕОРЕМА :В ТРЕУГОЛЬНИКЕ: 1) ПРОТИВ БОЛЬШЕЙ СТОРОНЫ ЛЕЖИТ БОЛЬШИЙ УГОЛ; 2) ОБРАТНО, ПРОТИВ БОЛЬШЕГО УГЛА ЛЕЖИТ БОЛЬШАЯ СТОРОНА.

Дано: ▲ЕКD ED> EK Док-ть:ےК >ےЕ Доказательство : 1. отложим на ED EM =

EK 2. получили ▲ЕКМ

равнобед. Т.е. 2ے = 1ے , а ےК = 2ے

ے+ + МKD ےК >ےЕ

ч.т.д. 2) доказать

самостоятельно.

М

1

2

Соотношения между сторонами и углами треугольника

СЛЕДСТВИЯ: 1.В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ГИПОТЕНУЗА БОЛЬШЕ КАТЕТА.

1. АВ > АС или АВ > ВС

2.Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Если в ▲АВС ےА = ے С , то АВ = ВС т.е. ▲ АВС - равнобедренный.

С

А

В

Неравенство треугольника

Терема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Дано ; ▲ АВС Доказать : АС < АВ +

ВС Отложим на продолжении АВ ВD = ВС в ▲ DВС равнобед.

2ے = 1ے . в ▲ АСD 1ے < AСD ے и ے AСD > 2ے , то

AD > AC т.е. AC < ADAC < AB + BD AC < AB + CB

D

1

2

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

7 КЛАСС

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

А

D С В

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300 , равен половине гипотенузы.

Дано : ▲ АВС ےА = 300 ےС = 900

Доказать : СВ = 1/ 2 АВ. в ▲ АВС ے В = 600 продолжим

сторону ВС и отложим от С СD = CB

▲ АВС = ▲ АDС Получили

▲ АDВ ے В = ے D = 600 DB = AB

ВC = ½ DВ ВC = ½ AB ч.т.д.

30

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

А

D С В

Если катет прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 300 .

Дано : ▲ АВС ےС = 900 СВ = 1/ 2 АВ.

Доказать : ےА = 300 в ▲ АВС продолжим сторону ВС и

отложим от С СD = CB

▲ АВС = ▲ АDС Получили

▲ АDВ DB = AB = AD ےDAB = 600

.CAВ = 300 ч.т.д ے CABے DAB = 2ے

30

Тригонометрические функции в прямоугольном

треугольнике 8 класс

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

8 класс

ПЛОЩАДИ ФИГУР  

Подобие треугольников

Определение: Два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть

Подобие треугольников

1. Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобныДано:

Доказать:

Подобие треугольников

2. ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ДВУМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, А УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ЭТИМИ СТОРОНАМИ РАВНЫ, ТО ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ

Второй признак подобия треугольников

Дано :

Док:

Подобие двух треугольников

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ЕСЛИ ТРИ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ТРЕМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ.

Дано:

Док-ть:

Свойства подобных треугольников

ЕСЛИ ,

то

m и m1 — любые соответствующие медианы

(проведенные к соответствующим сторонам)

b и b1— любые соответствующие биссектрисы

(проведенные к соответствующим сторонам)

h и h1— любые соответствующие высоты

(проведенные к соответствующим сторонам)

Подобие прямоугольных треугольников.

Высота, проведенная из вершины прямого угла

ТЕОРЕМА : ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ, ПОВЕДЕННАЯ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА ОБРАЗУЕТ ДВА ТРЕУГОЛЬНИКА, ПОДОБНЫХ ИСХОДНОМУ. ДЛЯ КАТЕТОВ И ВЫСОТЫ ИСХОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ВЕРНЫ СЛЕДУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ:

Свойство медиан в треугольнике

Теорема 1 Все медианы

треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. Т.е.

Свойство медиан в треугольнике

Теорема 2 Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями)

То есть

Свойство медиан в треугольнике.

Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть

Свойство биссектрис в треугольнике

Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника. То есть

Свойство биссектрис в треугольнике

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к

сторонам треугольника: Теорема: все серединные

перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность и только одну.

Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

11) Средняя линия треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Теорема синусов 9 класс

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов 9 класс

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть

Теорема Менелая

Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице. То есть

14) Теорема Чевы

Теорема:Если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.