Проект

Математична скарбничка

Керівник: Акініна Тетяна Борисівна

Підготували учні 8-В, 9-А, 9-В.

8-В: Уточкін Д., Вітковський Ю., Драгомір А., Олійник О., Сироватка А.

9-А: Краевой А.

9-В: Щербаков А., Коваленко О., Онищенко В., Абдурахманова Є., Глодан А., Кононенко Д., Дінжос К., Третяк К., Адамяк Н.

Виконали учні 9 – В класуЗапорізького січового колегіуму – інтернату

Третяк Каріна, Дінжос Катерина, Адамяк Анастасія, Олійник Олександра

Перевірила: Акініна Тетяна Борисівна

Аристотель

Аристотель (384 - 322 рр. до нашої ери) - великий грецький філософ, систематично розробив всі галузі знання свого часу, вперше встановив закони так званої формальної логіки і поклав початок природно-історичного дослідження природи. В 4 століття до н.е. давньогрецький вчений Аристотель заклав основи формальної логіки.

Логіка та її значення

Слово логіка означає сукупність правил, яким підкоряється процес мислення. Сам термін "логіка" походить від давньогрецького logos, що означає "слово, думка, поняття, міркування, закон".

Формальна логіка - наука про форми і закони мислення. Закони логіки відображають у свідомості людини властивості, зв'язки і відносини об'єктів навколишнього світу. Логіка як наука дозволяє будувати формальні моделі навколишнього світу, відволікаючись від змістовної сторони. Основними формами мислення є поняття, судження і умовиводи.

Поняття - це форма мислення, яка виділяє істотні ознаки предмета чи класу предметів, що відрізняють його від інших.

Судження - це форма мислення, в якій стверджується або заперечується зв'язок між предметом і його ознакою, відносини між предметами або факт існування предмету і яка може бути або істинною, або хибною.

Математична логіка

Математична логіка - розділ математики, що вивчає докази і питання основ математики. Застосування в логіці математичних методів стає можливим тоді, коли судження формулюються на деякій певній мові. Такі точні мови мають дві сторони: синтаксис і семантику. Синтаксисом називається сукупність правил побудови об'єктів мови. Семантикою називається сукупність угод, що описують наше розуміння формул і дозволяють вважати одні формули вірними, а інші - ні.

Основні закони логіки

Доказ будь-якого судження здійснюється за допомогою фактів та логікиЗа допомогою логіки не можна творити, створювати щось принципово нове. Розглянемо коротко основні закони логіки:

1. Закон тотожності 2.А і не А можуть бути в одному і тому ж місці і в одному і тому ж відношенні. 3.Закон виключеного третього. Або А або не А.

Закони логіки

Закон тотожності. «У процесі певного міркування всяке поняття і судження повинні

бути тотожні самі собі». У математичної логіки закони тотожності а = а. Тотожність є рівність предметів у будь-якому відношенні.

Закон не протиріччя Формально-логічні протиріччя - це протиріччя плутаного,

неправильного міркування. Аристотель вважав «... Неможливо, щоб одне і те ж в один і той же час було і не було притаманне одному і тому ж в одному і тому ж відношенні». Закон виключення третього

Арістотель сформулював закон виключення третього так: «Так само не може бути нічого проміжного між двома членами протиріччя, а щодо чогось одного необхідно що б то ні було одне небудь стверджувати, або заперечувати».

Математичні символи

Закон Для АБО Для А

Переміщений x ˅ y = x ˅ y X ˟ y = x ˟ y

Правило де Моргана

S̅xS S˅ S SyS = SxS ˅ SyS

xS S*̅S SyS = SxS *̅ SyS

Подвійне заперечення

x˭ = x

На межі 19-20 ст. були відкриті парадокси, зв'язані з основними поняттями теорії множин (найвідомішими є парадокси Г.Кантора та Б.Рассела). Близьким до парадокса Рассела є так званий "парадокс цирульника": цирульник - це мешканець міста, який голить тих і тільки тих мешканців міста, які не голять самі себе. Проводячи міркування, аналогічні тим, що були зроблені в парадоксі Рассела, дійдемо висновку, що цирульник голить себе в тому і тільки в тому випадку, коли цирульник не голить сам себе.

Індукція та дедукція

Дедукція (від латинського "deductio" - виведення) - перехід від загального до приватного.

Індукція (від латинського "inductio" - наведення) - вид узагальнень, пов'язаних з передбаченням результатів спостережень і експериментів на основних даних минулих років.

Традукція

Традукция (лат. traductio - переміщення) - вид опосередкованого умовиводу, в якому посилки і висновок є судженнями однаковою мірою спільності, рух думки від загального до загального, від приватного до окремого, від одиничного до одиничного.

За характером посилок і виведення традукция може бути трьох типів:

1) Висновок від одиничного до одиничного; 2) Висновок від окремого до окремого; 3) Висновок від загального до загального.

Математичні символи

Виконував учень 8-В класу

Уточкін Денис

Дріб

Звична нам «двоповерхова» запис звичайного дробу використовувалася ще давньогрецькими математиками, хоча знаменник у них записувався над чисельником, а риси дробу не було. Індійські математики перемістили чисельник нагору; через арабів цей формат перейняли в Європі.Дробову риску вперше в Європі ввів Леонардо Пізанський (1202), але в побут вона увійшла лише за підтримки Йоганна Відмана (1489).

Плюс Мінус

Знаки плюс і мінус придумали, мабуть, в німецькій математичній школі «коссістов» (тобто алгебраїстів). Вони використовуються в підручнику Йоганна Відмана «Швидкий і приємний рахунок для всіх торговців», виданому в 1489 році.До цього складання позначалося буквою p (plus) або латинським словом et (союз «і»), а віднімання - літерою m (minus).

Ділення

Англії та США поширення набув символ ÷ (обелюс), який запропонував Йоганн Ран (можливо, за участю Джона Пелла, John Pell) у 1659 році.Спроба Американського національного комітету з математичним стандартам (National Committee on Mathematical Requirements) вивести обелюс з практики (1923) виявилася безрезультатною.

Дорівнює

Знак рівності запропонував Роберт Рекорд в 1557 році, він був набагато довшим нинішнього. Він пояснив, що немає в світі нічого рівного, ніж два паралельних відрізка однакової довжини.

Символ Нескінченості

Символ нескінченності придумав Валліс, опублікований в 1655 році.

Степінь

Піднесення до степеня. Сучасна запис показника ступеня введена Декартом в його «Геометрії» (1637), правда, тільки для натуральних ступенів, великих

Множення

Знак множення ввів в 1631 році Вільям Отред (Англія) у вигляді косого хрестика. Пізніше Лейбніц замінив хрестик на точку (кінець XVII століття), щоб не плутати його з буквою x; до нього така символіка зустрічалася у Региомонтана (XV століття) та англійського вченого Томаса Герріот (1560-1621).

Корінь

Знак кореня вперше вжив німецький математик Крістоф (за іншими джерелами, Томас) Рудольф, зі школи коссістов, в 1525 році. Відбувається цей символ від стилізованої першої літери слова radix (корінь).

Сума

Знак суми ввів Ейлер в 1755 році.

Функція

Символ функції «ціла частина» ввів Гаус в 1808 році. Деякі математики вважають за краще використовувати замість нього позначення E (x), запропоноване в 1798 році Лежандром.

Модуль

Позначення абсолютної величини і модуля комплексного числа з'явилися у Вейєрштрасса в 1841 році. У 1903 році Лоренц використовував цю ж символіку для довжини вектора.

Школа Піфагора

Виконала учениця 8-В класу Сироватка Аліна

Біографія Піфагора

Піфагор Самоський-давньогрецький філософ і математик, творець релігійно-філософської школи піфагорійців.Основними джерелами по життю і вченню Піфагора є твори філософа-неоплатоника Ямвліха (242-306 рр..) Таким чином, самі ранні відомі джерела про вчення Піфагора з'явилися лише 200 років після його смерті. Сам Піфагор не залишив творів, і всі відомості про нього і його вченні грунтуються на працях його послідовників.Батьками Піфагора були Мнесарх і Партеніда .Мнесарх був каменерізом .Народження дитини нібито передбачила Піфія в Дельфах, тому Піфагор і отримав своє ім'я, яке означає «той, про кого оголосила Піфія». Зокрема, Піфія повідомила, що Піфагор принесе стільки користі і добра людям, скільки не приносив і не принесе в майбутньому ніхто інший. Тому, радощах на, Мнесарх дав дружині нове ім'я Піфаїда і дав ім'я дитині Піфагор. Піфаїда супроводжувала чоловіка в його поїздках, і Піфагор народився в Сидоні приблизно в 570 до н. е..

Теорема Піфагора Ім'я Піфагора відомо не з історичних книг, а з підручників математики, завдяки його

знаменитій теоремі. Свого безприкладного рівня знань Піфагор досяг, навчаючись у найрозвиненіших в науковому відношенні країнах того часу - Єгипті і Вавілоні. Згідно з легендою, довівши цю теорему, Піфагор приніс у жертву Богу бика, випеченого з пшеничного борошна. Щоправда, залишається незрозумілим, відкривав взагалі Піфагор цю теорему. На одній з клинописних табличок, знайдених у Вавилоні і датованих приблизно 1800 роком до н. е.., є напис: «Квадрат одного числа дорівнює сумі квадратів двох чисел». Крім того, відомо, що це властивість сторін прямокутного трикутника використовувалася єгиптянами ще при будівництві пірамід. Так що Піфагор, швидше за все, запозичив цю ідею в єгипетських жерців.

Нині знайдено понад триста способів докази його теореми. Але досягнення Піфагора не зводилися до теореми, названої його ім'ям. Ще Аристотель визнавав, що Піфагор і його учні першими почали вивчати математику, що саме завдяки піфагорійцям відбулося становлення її як науки. У ту епоху філософів перш за все цікавило питання: «Що є джерелом всього сущого?» У кожній реальної речі вони бачили кількісну, математичну, форму. Пізніше ідеї Піфагора дуже вплинули на формування філософії Платона.Про смерть Піфагора відомо мало, існує як мінімум три версії смерті великого вченого. Безсумнівно одне - це сталося через переслідування. За збереженим даними, Піфагор прожив близько 100 років. Спогади про Піфагора дійшли до нас завдяки тим небагатьом його учням, яким вдалося втекти з Південної Італії до Греції.

Фото з життя Піфагора

Три задачі стародавнього світу

Виконали учні 9-А і 9-В класу

Щербаков А. і Краєвий А.

Вступ…

Мистецтво побудови геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки було у високій мірі розвинено в Стародавній Греції. Проте античним геометрам ніяк не удавалося виконати деякі побудови, використовуючи лише циркуль і лінійку, а побудови, виконані за допомогою інших інструментів, не вважалися геометричними. До таких завдань належать так звані три знамениті класичні завдання старовини.

Про квадратуру круга та трисекцію кута

Завдання про квадратуру круга

Одного з прадавніх і найпопулярніших математичних завдань, що займала

розуми людей впродовж 3 – 4 тисячоліть, є завдання про квадратуру

круга, тобто про побудову за допомогою циркуля і лінійки квадрата,

рівновеликому даному кругу. Якщо позначити радіус круга через r, то мова йтиме про побудову квадрата, площа

якого рівна πr, а сторона рівна r.

Сліди задачі про квадратуру кола можна зустріти ще в староєгипетських і вавілонських пам'ятках II тисячоліття до н.е. Однак безпосередня постановка задачі про квадратуру кола зустрічається вперше в грецьких творах в V ст. до н.е. У своєму творі «Про вигнанні» Плутарх розповідає, що філософ і астроном Анаксагор (500 - 428 г до н.е.). Перебуваючи у в'язниці, відганяв сум роздумами над задачею про квадратуру кола.

У комедії «Птахи» (414 г до н.е.). Знаменитий грецький поет Арістофан, жартома на тему про квадратуру кола, вкладає в уста Астронома Метона наступні слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут –

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!..

Ці вірші говорять про те, що завдання вже була на той час дуже популярна в Греції. Один із сучасників Сократа - софіст Антифон вважав, що квадратуру кола можна здійснити наступним чином: впишемо в коло квадрат і, поділяючи навпіл дуги, відповідні його сторонам, побудуємо правильний вписаний восьмикутник, потім шістнадцятикутник і т.д.

Квадратурою кола займався також найвідоміший в геометр V. до н.е. - Гіппократ Хіоський. У багатьох займалися цим завданням виникало сумнів, чи можливо взагалі побудувати прямолінійну фігуру, рівновелику криволінійної. Ця можливість була доведена Гіппократом, побудував лунообразное фігури (Мал. 1), відомих під назвою «Гиппократовом луночек». У півколо з діаметром вписаний рівнобедрений прямокутний трикутник BAC. На і, як на діаметрах, Рис. 1 описуються півкола.

Квадратурою кола займався також найвідоміший в геометр V. до н.е. - Гіппократ Хіоський. У багатьох займалися цим завданням виникало сумнів, чи можливо взагалі побудувати прямолінійну фігуру, рівновелику криволінійної.

Ця можливість була доведена Гіппократом, побудував місяцеобразні фігури (Мал. 1), відомих під назвою «Гиппократові луночки». У півколо з діаметром вписаний рівнобедрений прямокутний трикутник BAC. На і, як на діаметрах, Рис. 1 описуються півкола.

У півколо з діаметром вписаний рівнобедрений прямокутний трикутник BAC. На і, як на діаметрах, Рис. 1 описуються півкола.Фігури-меніски ADCE ALBM і, обмеженими круговими дугами, і називаються ямочками.За теоремою Піфагора:Відношення площ кіл або напівкіл BMAEC і АЕСD одно, як вперше довів сам Гіппократ, відношенню квадратів відповідних діаметрів, які в силу

BC = AB + АC = 2AC рівне

Отже, площа сектора OAC рівна площі півкола, побудованого на діаметрі. Якщо з обох цих рівних площ відняти площу сегмента ACE, то і отримаємо, що площа трикутника AOC рівна площі луночки ADCE, або сума площ обох луночек дорівнює площі рівнобедреного трикутника BCA. Гіппократ знайшов і інші луночки, допускають квадрату, і продовжував свої дослідження в надії дійти до квадратури кола, що він, звісно, не вдалося.

Квадратура кола була в колишні часи самої привабливою і спокусливою завданням. Армія «квадратурщіков» невпинно поповнювалася кожним новим поколінням математиків. Всі зусилля були марними, але кількість їх не зменшувалась. У деяких умах доказ, що рішення не може бути знайдено, запалювало ще більше завзяття до вишукувань. Що це завдання до цих пір не втратила свого інтересу, кращим доказом служить поява до цих спроб її вирішити.

Задача про трисекції кута Знаменитої була в давнину і наука про

трисекції кута (від латинських слів Tria - три і розділ - розсічення, розрізання), тобто поділ кута на три рівні частини за допомогою циркуля і лінійки. Кажуть, що таке обмеження допоміжних приладів знаменитим грецьким філософом Платоном.

Так, розподіл прямого кута на три рівні частини вміли робити ще піфагорійці, грунтуючись на тому, що в рівносторонньому трикутнику кожен кут дорівнює 60°. Нехай потрібно розділити на три рівні частини прямий кут MAN (Мал. 2). Відкладаємо на півпрямій AN довільний відрізок AC на якому будуємо рівносторонній трикутник ACB. Так як кут Рис. 2 CAB дорівнює 60°, то ВАМ= 30°. Побудуємо бісектрису кута САВ, отримуємо шукане поділ прямого кута MAN на три рівних кути: NAD, DAB, BAM.

Задача про трисекції кута виявляється розв'язною та при деяких інших приватних значеннях кута (наприклад, для кутів в 90˚: 2˚, п - натуральне число), однак не в загальному випадку, тобто будь-який кут неможливо розділити на три рівні частини за допомогою тільки циркуля і лінійки. Це було доведено лише в першій половині ХІХ ст.

Задача про трисекції кута стає розв'язною та загальному випадку, якщо не обмежуватися в геометричних побудовах одними тільки класичними інструментами, циркулем і лінійкою. Спроби вирішення задачі за допомогою інструментів і засобів були зроблені ще в у V. до н.е.

Так, наприклад, Гіппій еллінською, знаменитий софіст, що жив близько 420 р. до н.е., користувався для трисекції кута квадратрису. Олександрійський математик Нікомед (II ст. До н.е.) вирішив завдання про трисекції кута за допомогою однієї кривої, названої конхоїди Никомеда (рис. 3), і дав опис приладу для креслення цієї кривої.

Цікаве рішення задачі про трисекції кута дав Архімед у своїй книзі «Леми», в якій доводиться, що якщо продовжити хорду AB кола радіуса R на відрізок = R і провести через С діаметр FE, то дуга BF буде втричі менше дуги АЕ. Дійсно на основі теорем про зовнішній вугіллі трикутника і про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо:

Кут AOE = кут AOB + кут АСООАВ = АВО, АСО – ВОСЗвідси =>AOE = 3 BOC

Звідси випливає так званий спосіб «вставки» для поділу на три рівні частини кута AOE. Описавши коло з центром O і радіусом OE і, OA проводимо діаметр EF. Лінійку CB на якій нанесена довжина CB радіуса r (наприклад, допомогою двох штрихів), докладаємо і рухається так, щоб її точка C ковзала по продовженню діаметра EF, а сома лінійка весь час проходила б через точку A кола, поки точка B лінійки не опиниться на окружності . Тоді кут BCF і буде шуканої третьою частиною кута AOE.

Як видно, в цьому прийомі використовується вставка відрізка CB між продовженням діаметра EF і колом так, щоб продовження відрізка CB пройшло через задану точку A окружності. У зазначеному вище побудові застосовується, крім циркуля, не просто лінійка як інструмент для проведення прямих, а лінійки з поділками, яка дає довжину певного відрізка.

Задача про подвоення куба

Подвоєння куба - так називається третя класична задача давньогрецької математики. Це завдання на ряду з двома першими зіграла велику роль у розвитку математичних методів.

Завдання полягає в побудові куба, який має обсяг, вдвічі більше обсягу даного куба. Якщо позначити через а ребро даного куба, то довжина ребра х шуканого куба має задовольняти рівнянню

X³=2a³ ,або ³√2

Завдання є природним узагальненням аналогічним завданням про подвоєння квадрата, яка вирішується просто: стороною квадрата, площа якого дорівнює 2а², служить відрізок довжиною а√2, тобто діагональ даного квадрата зі стороною а. Навпаки подвоєння куба, обсяг якого дорівнює 2а3, тобто відрізок х а³, рівний, не може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки. Однак це було доведено лише в першій половині XIX ст.

Завдання про подвоєння куба носить так само назву «делоське завдання » у зв'язку з наступною легендою.

На острові Делос (в Егейському морі) поширювалася епідемія чуми. Коли жителі острова звернулися до оракула за порадою, як позбавиться від чуми, вони отримали відповідь: «Подвойте жертовник храму Аполлона ». Спочатку вони вважали, що завдання легке. Так як жертовник мав форму куба, вони побудували новий жертовник, ребро якого було в два рази більше ребра старого жертовника. Делосці не знали, що таким чином вони збільшили обсяг куба не в 2 рази, а у 8 разів. Чума ще більше посилилася, і у відповідь на вторинне звернення до оракула останній порадив: «Краще вивчайте геометрію ...» Згідно з іншою легендою, бог приписав подвоєння жертовника не тому, що йому потрібен вдвічі більший жертовник, а тому, що хотів дорікнути греків, «які не думають про математику і не дорожать геометрією ».

Суть одного механічного рішення завдань про подвоєння куба, що відноситься до IV ст. до н.е. , засноване на методі двох середніх пропорційних. Відкладемо на стороні прямого кута відрізок = а, де а-довжина ребра куба , а на іншій його стороні - відрізок = 2а. На продовженнях сторін прямого кута намагаємося знайти такі точки M і N, щоб (АМ) і (ВN) були перпендикулярні до (MN); тоді (х) і (у) будуть двома серединами пропорційними між відрізками і. Для цього влаштовується кутник з рухомою лінійкою.

Архіт Тарентський дав цікаве стереометрическое рішення «делосской завдання ». Після нього, крім Евдокса, дали свої рішення Ератосфен, Нікомед, Аполлоній, Герон.

Отже, всі старання вирішити три знамениті задачі при відомих обмежують умовах (циркуль і лінійка) призвели тільки до доведення, що подібне рішення неможливо. Інший, мабуть, з цього приводу скаже, що, отже, робота сотень умів, які намагалися протягом століть вирішити завдання, звелася ні до чого ... Але це буде не так. При спробах вирішити ці завдання було зроблено величезну кількість відкриттів, що мають набагато більший інтерес і значення, ніж самі поставлені завдання. Спроба Колумба відкрити новий шлях до Індії, пливучи все на захід, закінчилася, як відомо, невдачею. І тепер ми знаємо, що так необхідно і повинно було статися. Але геніальна спроба великої людини призвела до «попутному»відкриттю цілої нової частини світу, перед багатством і розумовим розвитком якого бліднуть нині всі скарби Індії.

Стародавність заповіла рішення всіх трьох завдань наших часів.

Числа Фібоначчі

Виконав учень 8 – в класу

Запорізького січового колегіуму

Вітковський Юрій

Перевірила: Акініна Тетьяна Борисівна

Числа Фібоначчі Послідовність Фібоначчі була добре відома в

стародавній Індії, де вона застосовувалася в метричних науках (просодії, іншими словами - віршуванні), набагато раніше, ніж вона стала відома в Європі.

Знаменитий ряд чисел Фібоначчі утворює початковий принцип золотого відносини. Цей ряд утворений постійним складанням попередніх двох чисел, що виражається в наступному нескінченному чисельному ряду: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 ... і так далі. Кожне наступне число виходить шляхом підсумовування двох попередніх. Співвідношення між усіма цими числами приблизно дорівнює золотому перерізу.

Ряд чисел Фібоначчі І так до нескінченності. За формулою :Fn=Fn-1+Fn-

2. F(0) = 0

F(1) = 1 F(2) = 1 F(3) = 2 F(4) = 3 F(5) = 5 F(6) = 8 F(7) = 13 F(8) = 21 F(9) = 34 F(10) = 55 F(11) = 89 F(12) = 144 F(13) = 233 F(14) = 377 F(15) = 610

F(16) = 987 F(17) = 1597F(18) = 2584………

Леонардо Фібоначчі

• Леона�рдо Піза�нський (Leonardo Pisano), більш відомий як Фібоначчі (Fibonacci (син Боначчі), близько 1170 — близько 1250), — італійський математик, який розглянув ідею так званих чисел Фібоначчі і вважається одним з найвидатніших західних математиків Середньовіччя.

Золотий прямокутник і спіраль Фібоначчі

Прямокутник з послідовності, являє шириною і висотою до двох сусідніх числах собою так званий "Золотий прямокутник", ідеальний прямокутник. Золотий прямокутник можна розбити на більш дрібні, з розмірами, відповідними сусіднім числах Фібоначчі. Якщо ми візьмемо цей золотий прямокутник і розіб'ємо його на більш дрібні відповідно до послідовності Фібоначчі і розділимо кожний з них дугою , систематичне набувати якусь форму - ми побачимо так

звана "Спіраль Фібоначчі".

Числа Фібоначчі у природі

• Відстані між листям (або гілками) на стовбурі рослини відносяться приблизно як числа Фібоначчі.

• Зерна соняшника розташовуються відповідно до послідовності Фібоначчі.

• Осередки ананаса, створюють точно таку ж спіралевидну послідовність.

• Рукава багатьох спіралеподібних галактик розташовані згідно з цією послідовністю

Числа Фібоначчі у архітектурі

Багато хто намагався розгадати секрети піраміди в Гізі. На відміну від інших єгипетських пірамід це не гробниця, а скоpее нерозв'язна головоломка з числових комбінацій. Чудові ізобpетательность, майстерність, час і працю аpхітектоpов піраміди, використані ними при зведенні вічного символу, вказують на надзвичайну важливість послання, яке вони хотіли передати майбутнім поколінням. Kлюч до геометро-математичному секрету піраміди в Гізі, так довго колишньому для людства загадкою, насправді був переданий Геродоту храмовими жерцями, повідомивши йому, що піраміда побудована так, щоб площа кожної з її граней була дорівнює квадрату її висоти.

Піраміди в Мексиці. Hе тільки єгипетські піpаміди побудовано відповідно до совеpшенно пpопоpціями золотого перерізу, те ж саме явище обнаpужено і в мексиканських піpамід.

Календарна система

Підготувала

Драгомір Аліна

учениця 8-В

Єгипетський

Юліанський

Григоріанський

Майя

Оптичні ілюзії та неоднозначні фігури

Виконали учні 9-В класу

Коваленко Олександра

Оніщенко Іван

Що ж таке оптичні ілюзії ?

Оптичні ілюзії - це оптичний обман нашого мозку. Око бачить, що нарисований один об'єкт, проте мозок розуміє цей об'єкт по-своєму. Коли око одержує картинку - включається велика кількість процесів в нашому мозку. Ми починаємо аналізувати цей процес, як комп'ютер. Починається аналіз розташування основних граней і кутів, структура кольору або позиція джерел світла. І у багатьох випадках цей аналіз несвідомо є неточним - проходить кореція зорових образів. Розрізняють різні типи оптичних ілюзій. Розглянемо деякі з них.

Різновиди оптичних ілюзій

Ілюзії сприйняття кольору Ілюзії руху Неможливі рисунки Перевернуті зображення Стерео-ілюзії Парейдолічні ілюзії

Ілюзії сприйняття кольору - в основі цих оптичних ілюзій лежить те, що об'єкти мають однакове освітлення, але так зображені, що мозок "думає", що вони мають різні відтінки, кольори і т.д

Бачите блакитні та зелені спіралі?

А адже блакитного тут нічого немає. Всі спіралі одного відтінку зеленого.

Ілюзії руху - це ілюзії, коли коли статичний і нерухомий рисунок "оживає" і починає рухатись, або починає крутитись в одну, а потім в іншу сторону (яскравим прикладом цього - є ілюзія дівчини, яка крутиться). Є рисунки, які пульсують, хоча насправді - це є статичний рисунок.

Слід дивитися на чорну точку в центрі і рухати головою вперед-назад. Кола навколо точки почнуть рухатися.

Неможливі рисунки - на перший погляд - звичайний рисунок, проте коли придивитися уважніше, можна помітити дуже багато різних парадоксів. Одним з перших почав створювати такі рисунки відомий голандський графік Моріс Корнеліс Ешер. Ілюзії сприйняття глибини - неадекватне сприйняття елемента і його властивостей. Найбільш вивченими є ілюзії, які утворюються при зоровому сприйнятті двовимірних контурних зображень. Мозок несвідомо бачить рисунки тільки одновипуклі(одновгнуті). Сприйняття залежить від напрямку зовнішнього освітлення. Ілюзії сприйняття розміру - оковимірні оцінки реальних величин дуже сильно залежать від характеру фону зображення. Це відноситься до довхин, площ, радіусам кривизни, кутів, форм і т.д

Перевернуті зображення - вид оптичної ілюзії, коли від напрямку погляду залежить характер об'єкта, що сприймається.

Стерео-ілюзії - стереопари, що накладені на періодичну структуру дозволяються спостерігати стереозображення так само, як і звичайну стереопару. Періодичне зображення полегшує "розведення" очей (як правило на нескінченність), що після фокусування очей на відстані декілька десятків сантиметрів дає побачити стереозображення. Метод дозволяє частково суміщати зображення стереопари, знімаючи обмеження на їх розмір, але накладає деякі обмеження на зміст рисунків і практично розраховується за допомогою комп'ютерів.

Парейдолічні ілюзії - це ілюзорне сприйняття реального об'єкта. На відміну від подвійних зображень, картинок на розпізнавання образів, де зображення створено спеціально, щоби провокувати виникнення ілюзій, парейдолії виникають при сприйнятті самих об'єктів. Наприклад, при розгляданні візерунків килима чи обоїв, тріщин і плям на стелях, хмарах можна побачити фантастичні пейзажі, обличчя людей, звірів і т.д.

Усі відрізки рівні.

Візерунок як би згинається у всередину?

Всі квадрати насправді однакові та неперекручені.=)

Неоднозначні фігури

Оскільки існує нескінченне число можливих тривимірних форм, що дають одну і ту ж проекцію на площину (одну і ту ж картину), немає нічого дивного, що сприйняття може бути неточним і неоднозначним. Чудово якраз те, що нас так рідко турбує і обманює неоднозначність оптичної проекції об'єктів на сітківці ока. На звичайні об'єкти в нормальних умовах ми дивимося обома очима, бо на те кожне око отримує дещо іншу проекцію об'єкта, багато глибинні форми сприймаються однозначно. До того ж за допомогою рухів голови ми (подібним чином) позбавляємося від неоднозначності. Проте ні той, ні інший спосіб не годяться для сприйняття глибини на картинах - та все ж ми сприймаємо глибину на картинах в основному однозначно. Є, втім, винятки. Ці виключення показують, як реагує мозок у тих випадках, коли не вдається прийти до єдиного рішення.

Найбільш відомий приклад такого роду - каркасний куб, намальований без дотримання правил перспективи (ближня і дальня грані куба однакового розміру); це знаменитий куб Неккера. Швейцарський кристалограф Л. А. Неккер описав свій куб в 1832 році. З тих пір - в різних варіаціях і з різних приводів - куб фігурує у психологічних роботах. Ретинальної зображення такого куба виходить при проекції з будь-якою з двох різних позицій. Тому тут однаково можливі два різних відповіді на один і той же вічне питання перцепції: що є цей предмет і де він знаходиться? Один загальний відповідь на ці запитання дати не можна-не вистачає інформації. І мозок, не даючи остаточної відповіді у цій неясною ситуації, приймає по черзі кожну з двох можливих гіпотез

Куб Неккера - це площинна проекція куба, видимого з дуже великої відстані. Перспектива відсутня - різниці в розмірах граней немає. При спостереженні фігура спонтанно (мимовільно) «перевертається»: одна об'ємна проекція змінюється іншою. Мабуть, в даному випадку є не одне, а два рівноправних рішення перцептивної проблеми: що є даний об'єкт? Мозок «пробує» кожну з цих гіпотез по черзі, не зупиняючись остаточно на жодній з них.

ФракталиВиконали учениці 9-В класу:

Абдурахманова Єсенія

Глодан Альона

Кононенко Дарина

Детально про поняттяФрактал – це складна геометрична фігура,

що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна всій фігурі цілком. У більш широкому сенсі під фракталами розуміють безлічі точок у евклідовому просторі, мають дробову метричну розмірність (в сенсі Минковского або Хаусдорфа), або метричну розмірність, суворо велику топологічної.

Якщо сказати загалом, то фрактал - це нескінченна самоподібна геометрична фігура, кожен фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу.

Слід зазначити, що слово «фрактал» не є математичним терміном і не має загальноприйнятого суворого математичного визначення. Воно може вживатися, коли розглянута фігура володіє якими-небудь з перерахованих нижче властивостей:

Володіє нетривіальною структурою на всіх шкалах. У цьому відмінність від регулярних фігур (таких, як коло, еліпс, графік гладкої функції):якщо ми розглянемо невеликий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, він буде схожий на фрагмент прямій. Для фрактала збільшення масштабу не веде до спрощення структури, на всіх шкалах ми побачимо однаково складну картину.

Є самоподібною або наближено самоподібною. Володіє дробової метричною розмірністю або метричною

розмірністю, яка перевершує топологічну.

Історія відкриття Перші приклади самоподібних множин з

незвичайними властивостями з'явилися в XIX столітті. Термін «фрактал» був введений Бенуа Мандельброт в 1975 році і отримав широку популярність з виходом в 1977 році його книги «Фрактальна геометрія природи».

Класифікація

• Алгебраїчні фрактали Безліч Мандельброта Безліч Жюліа Басейни (фрактали) Ньютона Біоморфи Трикутники Серпінського

• Геометричні фрактали Крива Коха (сніжинка Коха)

Крива Леві o Крива Гільберта Ламана (крива) дракона (Фрактал Хартера-

Хейтуея) Безліч Кантора Трикутник Серпінського Килим Серпінського Дерево Піфагора

• Стохастичні фрактали • Рукотворні фрактали • Природні фрактали • Детерміновані фрактали • Недетермінірованние фрактали

Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих

Існує проста рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, звану генератором. Далі, замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаної, подібної генератора). У ламаної знову замінимо кожен відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, в межі отримаємо фрактальну криву. На малюнку ліворуч наведено три перших кроки цієї процедури для кривої Коха.

Побудова кривої Коха

Фрактали в комплексній динаміці

Фрактали природним чином виникають при вивченні нелінійних динамічних систем. Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається итерациями многочлена або голоморфної функції комплексної змінної на площині. Перші дослідження в цій області відносяться до початку XX століття і пов'язані з іменами Фату і Жюліа.

Нехай F (z) - многочлен, z0 - комплексне число і розглянемо наступну послідовність:

Нас цікавить поведінка цієї послідовності при . Ця послідовність може:• Прагнути до нескінченності; • Прагнути до кінцевого межі; • Демонструвати в межі циклічне поведінка, тобто поведінка виду • Демонструвати більш складну поведінку.Множини значень z0, для яких послідовність демонструє один конкретний

тип поведінки, а також безлічі точок біфуркації між різними типами, часто мають фрактальними властивостями.

Стохастичні фрактали

Природні об'єкти часто мають фрактальну форму. Для їх моделювання можуть застосовуватися стохастичні (випадкові) фрактали. Приклади стохастичних

фракталів:• траєкторія броунівського руху на площині і в просторі; • кордон траєкторії броунівського руху на площині. У 2001 році

Лоулер, Шрам та Вернер довели припущення Мандельброта про те, що її розмірність дорівнює 4 / 3.

• еволюції Шрамма-Левнера - конформно-інваріантні фрактальні криві, що виникають в критичних двовимірних моделях статистичної механіки, наприклад, в моделі Ізінга і перколяції.

• різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введений випадковий параметр. Плазма - приклад використання такого фрактала в комп'ютерній графіці.

Застосування Економіка Останнім часом фрактали стали популярним інструментом у трейдерів для

аналізу стану біржових ринків Природничі науки У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних

процесів, таких, як турбулентний плин рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари і т. п. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії. У біології вони застосовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин).

Радіотехніка Фрактальні антени Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було

вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлення зовнішніх антен на будівлі. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, потім приєднав до приймача. Коену заснував власну компанію і налагодив їх серійний випуск.

Інформатика

Стиск зображеньІснують алгоритми стиснення зображення за допомогою

фракталів. Вони засновані на ідеї про те, що замість самого зображення можна зберігати стискуюче відображення, для якого це зображення (або якийсь близький до нього) є нерухомою точкою.

Комп'ютерна графікаФрактали широко застосовуються в комп'ютерній графіці для побудови зображень природних об'єктів, таких, як дерева, кущі, гірські ландшафти, поверхні морів і так далі. Існує безліч програм, що служать для генерації фрактальних зображень, див Генератор фракталів (програма).

Фрактальні дерева

Фрактальна геометрія природи,

Б. Б. МандельбротАвтор цієї книги - відомий американський математик Б. Мандельброт, засновник теорії фракталів. Це класичне виклад теорії, починаючи з 1977 року, витримало декілька видань за кордоном на різних мовах і, нарешті, з великим запізненням вперше вийшло російською мовою. Втім, минулі роки не зробили книгу менш актуальною, і на сьогоднішній день вона залишається найкращою роботою щодо введення в теорію фракталів та фрактальну геометрію. Дуже добре проілюстрована, вона написана в оригінальній манері і безліч яскравих прикладів з різних з галузей науки.

Найцікавіші фотокартки з його книги

Фрактальна геометрія

Всі чудово знають і багато разів чули і вживали в своїй творчості теорію золотого перерізу, але чомусь про такий теорії як фрактальна геометрія у фотографії практично не чутно. У науці ця теорія (або концепція) була відкрита лише в сімдесятих роках минулого століття, хоча в людській культурі вона існує вже тисячі років. І це тільки якщо говорити про людській культурі. У природі ця теорія існує з моменту її створення."Геометрію часто називають" холодною "і" сухою". Одна з причин цього полягає в її нездатності описати форму хмари, гори, берегової лінії або дерева. Хмари - не сфери, гори - не конуси, берегові лінії - не окружності, деревна кора не гладка, блискавка поширюється не по прямій. Багато природних об'єктів настільки іррегулярні і фрагментовані, що в порівнянні зі стандартною геометрією Евкліда природа має не просто більшу складність, а складність зовсім іншого рівня. "

Лінійні фрактали мають самоподібністю в чистому вигляді - будь-яка

частина є точна копія цілого.

Нелінійні фрактали мають не точним самоподібністю - в них частина є

не точна, а деформована копія цілого.Фрактальна геометрія - це теорія побудови сніжинки, хмари

і всесвіту в цілому. За допомогою фрактальної геометрії можна навіть

виміряти ступінь хаосу і описати форму хмари.

Зупинимося на будові галактики для прикладу. Всі елементи галактики

обертаються навколо центру. За останніми науковими даними цим

центром є чорні діри. Обертовими елементами виступають сузір'я,

елементами сузір'їв - сонячні системи, в сонячних системах - планети, в

планетах - молекули, атоми ... система побудови атома ідентична

будові сонячної системи і галактики в цілому. Є ядро і є рухається

навколо нього на певному видаленні об'єкт або група об'єктів.

Фрактально також будуються і листя папороті, і квітки кульбаби ... і

багато інших елементів природи. Подивіться на відбитки своїх пальців

вони завжди різні, але будуються на основі однієї теорії - це

фрактали. Ваші легені - це теж фрактальна модель.

Фрактальний алгоритм

"Лист папороті"

Чимало об'єктів у природі мають

фрактальними властивостями, наприклад,

узбережжя, хмари, крони дерев, кровоносна

система і система альвеол людини або тварин.