Федеральное агентство по образованию _______________________________________________________________ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский Государственный технологический институт ( Технический университет ) ________________________________________________________________ Кафедра теоретической механики Ю.А. ИВАНОВ, Л.В. КОЛПАКОВА, Л.И. ПОГРЕБНАЯ

Теорема об изменении кинетической энергии Методические указания Санкт-Петербург 2009

2

УДК 531 Иванов Ю.А. Теорема об изменении кинетической энергии: методические указания ./ Иванов Ю.А., Колпакова Л.В., Погребная Л.И..- СПб., СПбГТИ(ТУ), 2009.- 23 с. В методическом указании содержится систематизированный материал по решению задач курса теоретической механики. Сделан акцент на применение основных законов динамики применительно к особенностям специальностей технологов. Методические указания предназначены для студентов первого и второго курса всех химико-технологических факультетов. Предлагаемое методическое указание соответствует рабочей программе курса теоретической механики. Рис. 6 , библиогр. Назв. 2 Рецензент: Бартенев Д.А. доц. канд. техн. наук, кафедра ТОХМ

СПбГТИ(ТУ) Утверждено на заседании методической комиссии физико-математического отделения 03.04. 2009 Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).

3

Содержание Введение……………………………………………………………...4 1. Общие теоретические положения...……………………………….5

I.I. Работа силы. Мощность………………………………………..5 I.2. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы……………………………………………………………...7 I.3. Теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы……………………………………8

2. Рекомендуемая последовательность решения задач……………...9 3. Примеры решения задач…………………………………………….10

4

ВВЕДЕНИЕ Исследование дифференциальных уравнений движения для решения задач динамики механических систем часто не дает практического результата, так как число уравнений велико, что приводит к математическим сложностям, а внутренние силы и реакции связей, как правило, заранее неизвестны. Поэтому при решении практических задач, в которых не ставится задача определения движения каждой точки системы в отдельности, отказываются от интегрирования дифференциальных уравнений, а вводят некоторые интегральные характеристики, которые описывают движение механической системы в целом. Эти интегральные характеристики движения механической системы вводятся основными теоремами динамики, которые доказываются из дифференциальных уравнений движения механический системы.

Однако введение таких динамических характеристик, как импульс и кинетический момент, не может описать движения механической системы, происходящего под действием внутренних сил, так как главный вектор и главный момент внутренних равны нулю. Проиллюстрируем это на простом примере. Пусть молекула состоит из двух атомов, соединенных между собой связью, которую можно представить в виде пружинки с определенной жесткостью. Система горизонтальна и , неподвижна. Растянув пружину, приводим систему в движение, так как под действием внутренних сил атомы начинают совершать колебания, причем их скорости в каждый момент времени равны по величине и противоположны по направлению. Так как импульс молекулы и ее кинетический момент относительно произвольного центра равны нулю, то они не могут характеризовать движение рассматриваемой системы. Поэтому в теоретической механике вводят еще одну характеристику механического движения, называемую кинетической энергией.

5

1 ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

I.I Работа силы. Мощность Элементарной работой силы F

r на бесконечно малом перемещении точки

ее приложения rdr называется скалярное произведение силы F

r на дифференциал

радиус-вектора rdr :

rdFArr

=δ (I.1)

Разложив векторы Fr

и rdr по осям декартовой системы координат:

kZjYiXFvrvr

++= kdzjdyidxrd

rrrr ++= , получим выражение для Aδ в координатной форме ZdzYdyXdxA ++=δ , (I.2) где X, Y и Z - проекции силы на оси координат.

Так как τrrdSrd = , где dS - элементарное перемещение точки приложения

силы Fr

, а τv - орт касательной оси, то ),cos( ττδ rrvr

FFdSdSFA == . (I.3) Работы силы F

r на конечном перемещении точки ее приложения равна

криволинейному интегралу, взятому вдоль кривой из положения М1 в положение М2 от элементарной работы (рисунок I.1):

А1-2 ∫ ∫ ∫ ∫ ++====M

M

M

M

M

M

M

MzdzYdyXdxFFdScjsrdFA

2

1

2

1

2

1

2

1

).(),( τδ rrrr (I.4)

Рисунок I.I.

Из формулы (1.4) следует, что вычисление криволинейного интеграла возможно в тех случаях, когда сила постоянна, или зависит от координат точки приложения силы. В общем случае, когда сила является функцией других переменных, вычислить ее работу нельзя. Поэтому элементарная работа обозначается Aδ , а не dA , так как не является полным дифференциалом некоторой функции координат точки пространства.

6

∑=

=n

iiAA

1δδ , а ∑

=− =

n

iiAA

121 .

Работа постоянной силы. Работа постоянной силы на прямолинейном

перемещении точки равна произведению модуля силы на величину перемещения и на косинус угла между ними (рисунок I.2)

αcos21

FSA =− (I.5)

Из формулы (I.5) следует, что если угол α острый, то работа силы Fr

положительна, если угол α тупой, то работа отрицательна, а если α =0, то работа равна нулю.

Рисунок I.2

Работа силы тяжести. Работа силы тяжести материальной точки равна

произведению величины силы тяжести на перемещение токи по вертикали (рисунок I.3):

mghA =−21 (I.6)

где 21 zzh −= .

Рисунок 1.3

Работа силы упругости. Работа силы упругости равна половине

произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации упругого элемента (рисунок I.4):

2

21 21 λcA =− , (I.7)

где xx 21−=λ .

7

Рисунок 1.4

Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу. Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся относительно неподвижной оси вращения на элементарный угол поворота тела:

ϕδ dA M z= .

Если M z= const, то

)(1221 ϕϕ −=− MA z

(I.8)

VFdt

AN

rr== δ , (I.9)

т.е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости точки ее приложения. Единица измерения мощности – ватт ( I Вт = I Дж/c).

ωM zN = . (I.I0)

I.2. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы

2

21

mvT = (I.II)

2

11 2

1i

n

ii

n

ii vmTT ∑∑

==

== .

Vmv i

n

iic

mT2*

1

2

2

1

2

1∑

=

+= , (I.I2)

где cv - скорость центра масс; *iv - скорость i-й точки относительно центра масс.

- при поступательном движении ( *iV =0)

2

2

1cmVT = ; (I.I3)

- при вращательном движении ( cV =0)

2

21 ωzIT = ; (I.I4)

22

21

21 ω

cIc ImVT += , (I.I5)

где IС - мгновенная ось вращения твердого тела с началом в центре масс.

8

I.3. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы

Amv

d δ=

2

2

(I.I6)

Разделим обе части уравнения на dt и получим иной вид записи теоремы в дифференциальной форме:

Nmv

dt

d =

2

2

,

которая читается так: производная по времени кинетической энергии материальной точки равна мощности равнодействующей всех сил, приложенных к данной точке.

21

21

22

22 −=− Amvmv . (I.I7)

IE AAdT δδ += , (I.I8) которая читается так: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил, действующих на эту систему. Необходимо отметить, что в указанной теореме речь идет о элементарной работе всех сил, внешних и внутренних. Лишь для твердого тела

i

n

i

Ei rdFA

rr

∑=

=1

δ .

IE AATT 212112 −− +=− , (I.I9) где EA 21− и IA 21− - работа внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы, на перемещениях, произошедших за время изменения кинетической энергии от значения 1Т до значения 2Т .

Заметим, что работа внутренних сил в общем случае не равна нулю и лишь для абсолютно твердого тела IA 21− =0, поэтому

EATT 2112 −=− (I.20) C помощью интегральной формы теоремы следует решать те задачи, в

которых число данных или искомых величин входят масса m, начальная 1V и конечная 2V скорости, силы (постоянные или зависящие от положения), действующие на точку или систему и перемещение S.

9

2 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Выберем величину, определяющую положение точки и указать

начало отсчета данной координаты. 2. Изобразить точку в промежуточном положении (t>0). 3. изобразить на рисунке все силы, действующие на материальную

точку (активные и реакция связей). 4. Вычислить сумму элементарных работ всех сил на бесконечно

малом перемещении точки по формулам (I.I)-(I.3). 5. Вычислить сумму работ всех сил на конечном перемещении

точки приложения по формуле (I.4). При действии на точку постоянных сил – силы тяжести и силы упругости, минуя два последних пункта, вычислить работу этих сил на конечном перемещении точки по формулам (I.5)-(I.7).

6. Вычислить кинетическую энергию точки в текущем положении, выразив ее как функцию скорости. Если используется теорема в интегральной форме, то определить кинетическую энергию точки в ее начальном и конечном положениях.

7. Подставить полученные значения в уравнения (I.I6) или (I.I7) и решить их относительно неизвестной величины.

8. Выбрать величину, определяющую положение системы и указать начало ее отсчета.

9. Изобразить на рисунке все кинематические характеристики тел, входящих в эту систему.

10. Определить кинетическую энергию механической системы в начальном и конечных положениях как сумму кинетических энергий тел, входящих в эту систему, по формулам (I.I3)-(I.I5), в зависимости от вида их движения.

11. Изобразить на рисунке все внешние силы. 12. Вычислить сумму полных работ всех внешних сил на конечном

перемещении механической системы, пользуясь формулами (I.5)-(I.7).

13. Подставить результаты вычислений в пунктов 3 и 5 в теорему об изменении кинетической энергии в виде (I.20) и из решения полученного уравнения определить неизвестную величину.

10

3 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 3.I Частица массы m движется горизонтально в вязкой жидкости. Сила

сопротивления движению пропорциональна квадрату скорости частицы, т.е 2kVR = . Начальная скорость частицы равна 0V . Определить перемещение точки

к моменту времени, когда скорость частицы станет kV .

РЕШЕНИЕ

В качестве величины, определяющей положение точки, выбираем

координату x и пусть в начальный момент времени 0xx = (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1

090cos)( 0 == GdxGA

rδ

090cos)( 0 == NdxNAr

δ

dxkVRdxRA 20180cos)( −==r

δ .

dxkVA 2−=δ

Кинетическая энергия частицы 2

2mvT = .

Подставив полученные выражения в уравнение (I.I6), получим

dxkVmv

d 22

2−=

.

Разделив переменные, получаем

dxv

vd

k

m −=2

2)(2

.

Интегрируем в пределах изменения переменных:

∫∫ −=x

x

V

V

dxv

vd

k

m k

00

2

2)(2 .

Окончательно

11

2

20

0 ln2 kv

v

k

mxx += .

dxkVmvmv x

x

k ∫−=−0

220

2

22.

Интеграл, стоящий в правой части теоремы, вычислить нельзя, поскольку неизвестна функция )(xVf = .

ПРИМЕР 3.2

Для нанесения полимерных покрытий на криволинейную поверхность используется механизм, схема которого указана на рисунке 3.2. Вычислить кинетическую энергию данного механизма, состоящего из звеньев длины ,1 lАО =

,3lAB = ,84 lBC = соединенных шарнирно, и барабана D радиуса R и массой m3 . Массы однородных стержней соответственно равны ,m ,2m m3 . Звено AO1 вращается с угловой скоростью 1ω . Расстояние lOO 521 = , lBO 32 = . В положении, указанном на рисунке, α=∠ ABO1 и β=∠ BOO 21 .

РЕШЕНИЕ

4321 TTTTT +++= , где 21,TT и 3T - кинетические энергии стержней AO1 , AB и 4BC , а 4T -

кинетическая энергия барабана D . Кинетическая энергия стержня, вращающегося вокруг неподвижной оси

1O перпендикулярной плоскости рисунка

Рисунок 3.2

2101 12

1 ωIT = ,

12

где 10I - момент инерции стержня относительно оси 1O , 1ω - угловая скорость

вращения.

3

2

01

mlI = .

Звено AB совершает плоскопараллельное движение. Его кинетическая энергия

22

222 22 2

121 ωcc IVmT += ,

где 2m - масса стержня AB ; 2cV - скорость центра масс стержня; 2cI -

момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс стержня

перпендикулярно к плоскости его движения; 2ω - величина мгновенной угловой скорости стержня.

Звено 4BC совершает вращательное движение относительно оси 2O , перпендикулярной к плоскости рисунка. Кинетическая энергия

2303 22

1 ωIT = .

Момент инерции 20I относительно оси вращения определим, используя

теорему о моментах инерции относительно параллельных осей:

2

30 32dmII c += , (3.I)

где 3cI - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через

центр масс стержня, d - расстояние между параллельными осями. Подставляя в формулу (3.I) исходные данные, получим

( ) 22

3

23

0 19128

2mllm

lmI =+= .

Барабан D совершает плоскопараллельное движение. Кинетическую энергию определяем по формуле

24

244 44 2

121 ωcc IVmT += .

2

24

4

RmIc = .

Определим кинематические соотношения, необходимые для определения кинетической энергии тел. Вектор скорости точки А направлен перпендикулярно звену АО1 в направлении его вращения, а модуль скорости

1ω=AV lAO 11 ω= .

13

Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно прямой 2BO в направлении вращения звена 4BC . Скорость точки 2C определим с помощью мгновенного центра скоростей 1P звена AB , который лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям в точках A и B . Из треугольника 121 PОО

ββ ltgtgOOPО 52111 == . Расстояние 12PC из треугольника 21CAP

αcos2 122

12212 APACAPACPC −+= или

( ) ( ) ( )( )ltgtgtg

ltgllltgllPC

βαββ

αββ

+−++=

=+⋅−++=

1cos3251025,3

cos55,1255,1

2

2212

Угловая скорость звена АВ

βω

βωω

tgltgl

l

AP

VA

51511

12 +

=+

== .

Скорость центра масс стержня АВ

( ).1cos3251025,351

211222

ββββ

ωω tgtgtgtg

PcVc +−+++

==

Из треугольника 211 OPО

ββ cos

5

cos21

21

lOOOP == ,

а ll

BOOPBP 3cos

5211 −=−=

β .

Скорость точки В

( ) ( )

( ) .cos51

cos35cos

cos3551

1112 ββ

βωβ

ββ

ωωtg

ll

tgBPVB +

−=−⋅+

==

Угловая скорость звена 4BC

( )

( ) βββωω

cos13cos351

23 tgBO

VB

+−== .

Тогда скорость центра масс тела D будет равна

( )

( ) βββωω

cos513cos355 1

4234 tg

lCOVC +

−== ,

( )( ) Rtg

l

PC

Vc

βββωω

cos513cos355 1

244

4

+−==

.

Кинетическая энергия стержня AO1 определяется как

14

21

21

2

1 61

321 ωω ml

mlT == .

Кинетическая энергия стержня АВ

( ) ( )( ) ( )

( )

++−++×

×+

=+

+

++−++

=

75,01cos3251025,3

515112

321

51

1cos3251025,3

21

22

2

221

2

21

22

22

122

βαββ

βω

βω

ββββω

tgtgtg

tg

lm

tg

lm

tg

tgtgtglmT

Кинетическая энергия стрежня 4BC

( )

( )( )

( ) βββω

βββω

22

221

22

123

cos5118

cos3519cos513

cos3519

21

tg

ml

tgmlT

+−=

+−= .

Кинетическая энергия барабана D

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ββ

βω

βββω

βββω

22

2221

2

12

4

2

144

cos516

5,01cos3525

cos5_13cos355

221

cos513cos355

21

tg

Rlm

Rtg

lRm

tg

lmT

++−=

=

⋅−+

+−=

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

−+

++−++

++

=+

+−++

−+

+

++−++

++=

βββαββ

βω

βββω

βββω

βαβββ

ωω

2

2222

12

2

22221

22

221

2

22

2

2212

12

2

coscos35

75,01cos3251025,3511

61

cos515,01cos3525

cos5118

cos3519

75,01cos3251025,3516

1

tgtgtgtg

ml

tg

Rlm

tg

ml

tgtgtgtg

lmmlT

ПРИМЕР 3.3

К оси катка А массы 1m и радиуса 1R привязан конец нерастяжимой нити,

переброшенной через блок В массы 2m и навернутой на катушку C радиуса 3R .

Ось катушки связана с телом D нерастяжимой нитью. Каток катится без проскальзывания вниз по наклонной плоскости, расположенной под углом α к

горизонту и посредством нити приводит в движение катушку C массы 3m , которая катится без проскальзывания вверх по наклонной плоскости. Угол

наклона плоскости к горизонту β , малый радиус катушки 3r . Тело Dмассы

4m движется вверх по наклонной плоскости. Радиус инерции катушки

15

относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости

движения , равен zi 3 . Блок считать сплошным цилиндром. Массой нити

пренебречь. Определить скорость груза А в момент, когда он переместится на величину

1S . В начальный момент времени система находилась в покое. Коэффициент

трения качения цилиндра А о наклонную плоскость - 1δ ; катушки C - 2δ .

Коэффициент трения скольжения груза D о наклонную плоскость равен f . Каток

Аи блок Всчитать сплошными однородными цилиндрами (рисунок 3.3).

РЕШЕНИЕ

Рисунок 3.3.

В состав системы входят твердые тела: каток А , блок В , катушка С и груз D , а нити при движении вытянуты. Поэтому сумма работ внутренних сил равна нулю и можно применить теорему об изменении кинетической энергии неизменной механической системы:

∑=− EiATT 12 . (3.2)

16

Вычислим кинетическую энергию механической системы. В начальный

момент времени система находилась в покое, поэтому 01 =Т .

DCBA TTTTT +++=2 (3.3)

Каток А совершает плоскопараллельное движение, поэтому

21

211 2

1

2

1 ωczA IVmT +=

,

где 1V - скорость центра масс катка А.

При качении катка без проскальзывания мгновенный центр скоростей AP расположен в точке качания катка с наклонной плоскостью. Для определения

угловой скорости 1ω катка А рассматриваем 1V как скорость центра масс при

мгновенном вращении катушки вокруг оси, проходящей через точку AP , поэтому

111 RV ω= , откуда

1

11 R

V=ω .

Учитывая, что 2

211Rm

Icz = , найдем

12

121

21

2112

11 4

3

22

1

2

1mV

R

VRmVmT A =⋅+= .

Кинетическая энергия блока B , вращающегося вокруг неподвижной оси z , вычисляется по формуле

2

2

1 ωzB IT = .

2222

1RmI z = ,

где 22R - радиус блока.

22

2224

1 ωRmT B = .

122 VR =ω .

2

124

1VmTB = .

Кинетическая энергия катушки C , совершающей плоскопараллельное движение, вычисляется по формуле

17

23

23 2

1

2

1 ωczCC IVmT +=

(3.4) При качении катушки без скольжения мгновенный центр скоростей сР расположен в точке касания катушки с наклонной плоскостью. Из подобия треугольников (рисунок 3.4) имеем

Рисунок 3.4

3

33

r

rR

Vc

Vk += .

Отметим, что модули скоростей нити с катушкой C и катка A равны

между собой, т.е. 1VVk = , то из пропорции найдем

33

31

rR

rVVc +

= . (3.5)

Для определения угловой скорости C 3ω рассмотрим скорость точки K

при мгновенном вращении катушки вокруг точки cP . Так как

( )33331 rRkPVVk +=== ωω ,

33

13 rR

V

+=ω .

Подставив в формулу (3.4) выражение для cV и 3ω и учитывая, что 233 zx

imI z = , найдем кинетическую энергию катушки C .

( ) ( )( )

( )233

23

23

213

233

212

33233

23

21

3 2

1

2

1

2

1

rR

irVm

rR

Vim

rR

rVmT Z

Zc ++

=+

++

=.

Кинетическая энергия груза D , совершающего поступательное движение, вычисляется по формуле

2

442

1VmТD = .

18

Скорость центра масс груза D равна скорости центра масс катушки С , так как их центры масс связаны нерастяжимой нитью. Следовательно,

33

314 rR

rVVV C +

== .

Тогда

( )233

23

21

42

1

rR

rVmTD +

= .

Подставив значения кинетических энергий тел, входящих в систему, в

формулу (3.2) найдем кинетическую энергию системы 2T в конечный момент времени

( )( ) ( )

( )( ) ( )

++

++

++=

=+

++

+++=

233

234

233

23

233

21

21

233

23

21

4233

23

23

21

32

122

112

223

4

2

1

2

1

4

1

4

3

rR

rm

rR

irmmm

V

rR

rVm

rR

irVmVmVmT

Z

Z

.

Для вычисления работы сил изобразим рисунок 3.3. Внешние силы,

действующие на тела механической системы: 1Gr

- сила тяжести катка A ; 1Nr

-

нормальная реакция наклонной плоскости, смещенная 1δ в направлении движения

тела; 1трF

r

- сила терния при качении катка по наклонной плоскости; 2Gr

- сила

тяжести блока B ; 2Xr

- горизонтальная составляющая реакции оси блока; 2Yr

-

вертикальная составляющая реакции оси на блоке; 3Gr

- сила тяжести катушки;

3трFr

- сила тяжести катушки; 3Nr

- нормальная реакция горизонтальной

плоскости, смещенная в сторону движения катушки на величину 2δ ; 4Gr

- сила

тяжести груза D ; 4Nr

- нормальная реакция наклонной плоскости; 4трF

r

- сила

трения скольжения. Определим сумму работ внешних сил, приложенных к системе, на

заданном перемещении. Работа сил тяжести 1Gr

αsin)( 1111 gSmhGGA ==r

.

Работа нормальной реакции 1Nr

на заданном перемещении равна нулю, перпендикулярные направлению перемещения, работу на этом перемещении не создают.

0)( 1 =NAr

.

19

Так как сила трения приложена в мгновенном центре скоростей, то ее работа при качении катка по наклонной плоскости

0)(1

=трFAr

.

Работа пары сил сопротивления качению катка A

111)( ϕCC MMA −=

r

, (3.6)

где αδδ cos11111GNM C == - момент пары сил сопротивления качению катка

A , 1ϕ - угол поворота катка.

Так как каток A катится без проскальзывания, то угол его поворота

1

11 R

S=ϕ ,

где 1S - перемещение центра 1C катка A . Работа пары сил сопротивления качению на основании формулы (3.6)

αδ cos)(1

1111 R

SgmMA C −=

r

.

Сила тяжести блока B и две составляющие реакции 2Xr

и 2Yr

приложены в неподвижной точке, следовательно,

0)()()( 221 === YAXAGArrr

.

Для определения работы силы тяжести катушки C найдем перемещение центра масс. Так как скорости центров масс катка A и катушки C связаны соотношением (3.5), то после интегрирования по времени при нулевых начальных условиях, получим

33

313 rR

rSSC +

= .

Работа силы тяжести 3Gr

βsin)(33

31333 rR

rSgmhGGA

+−=−=

r

.

Работа нормальной реакции поверхности на перемещение 3CS

0)( 1 =NAr

.

Работа силы трения 3трF

r

при качении катушки равна нулю, так как сила

приложена в мгновенном центре скоростей cP . Работа пары сил сопротивления

качению катушки C

333)( ϕCC MMA −=

r

,

20

где βδδ cos32323GNM C == - момент пары сил сопротивления качению

катушки C , 3ϕ - угол поворота катушки C . Так как катушка катится без скольжения, то угол ее поворота

3

33

r

SC=ϕ ,

где 3CS - перемещение центра масс катушки; 3r - расстояние от центра масс

катушки до мгновенного центра скоростей. Работа пары сил сопротивления качению по формуле (3.7)

βδ cos)(33

1323 rR

SgmMA C +

−=r

.

Работа силы тяжести тела D

βsin)(33

31444 rR

rSgmhGGA

+−=−=

r

.

Работа нормальной реакции поверхности 4N

0)( 4 =NAr

.

Работа силы трения скольжения 4трF

r

444)( SFFA тртр −=

r

.

Так как βcos444fGfNFтр ==

r

, то

βcos)(33

3144 rR

rSgfmFA тр +

−=r

.

Сумма работ внешних сил определяется сложением работ отдельных сил:

βββδ

αδα

cossincos

cossin

33

314

33

314

33

132

33

313

1

11111

rR

rSgfm

rR

rSgm

rR

Sgm

rR

rSgm

R

SgmgSmAE

i

+−

+−

+−

−+

−−=∑

Согласно уравнению (3.2) приравниваем выражения для 2T и ∑ EiA :

( )( ) ( )

( ) ( )

++−

++−

−=

=

++

++

++

33

34

33

233111

233

234

233

23

333

21

21

cossincos1cossin

223

4

rR

frm

rR

rm

RmgS

rR

rm

rR

irmmm

VZ

βββδαδα

21

откуда

( ) ( )

( )( ) ( )

2

233

234

233

23

233

21

33

34

33

233111

122

3

cossincos1cossin

rR

rm

rR

irmmm

rR

frm

rR

rm

RmgS

VZ

++

++

++

++−

++−

−=

βββδαδα

22

Литература

1.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.- М.: Высшая школа, 2006.-416 с. 2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. II.- М.: Высшая школа, 2007.-423 с.

23

Кафедра теоретической механики

Методические указания Теорема об изменении кинетической энергии Юрий Алексеевич Иванов, Лариса Васильевна Колпакова, Людмила Ивановна Погребная ______________________________________________________ Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60x90.1/16 Печ. 1 л. Тираж 200 экз. _______________________________________________________

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), ИК «Синтез» _________________________________________________________ 190013, Санкт-Петербург , Московский пр., 26

24