Моделирование и анализ данных книг учета лимитных

заявок:

Активная модель управления очередью

Simulating and analyzing order book data:

The queue-reactive model

Weibing Huang, Charles-Albert Lehalle and Mathieu Rosenbaum

LPMA, University Pierre et Marie Curie (Paris 6)

Kepler-Cheuvreux

Capital Fund Management

December 3, 2013

Перевод Якушевой А.О. для ОАО ИК «Церих Кэпитал Менеджмент»

Краткое содержание

Авторы данной статьи предпринимают попытку, посредством анализа данных из книг учета

заявок ультра-HFT трейдеров, вывести модель, сочетающую в себе функциональные

характеристики их книг заявок с фактическими данными из области менее скоростных

финансовых операций. Для этого исследуемый период времени разбивается на отрезки, в

течение которых тщательно выбранная для сравнения «справочная» цена (обычно средняя

цена) остается неизменной. Внутри этих отрезков, книги учета лимитных заявок

рассматриваются как Марковские процессы, или иначе системы управления очередью.

Фактически, в статье предполагается, что интенсивность потока биржевых приказов зависит от

текущего состояния книги. Тогда, на основе рыночных данных возможно определить область

действия этой модели и ее параметры. Далее, чтобы сформулировать релевантную модель для

всего исследуемого периода, используется стохастический механизм, который позволяет

переключаться с одного периода неизменной справочной цены на другой. Таким образом,

становится возможным не только точно воспроизвести то, как ведет себя фондовый рынок, но

также получить модель, полезную на практике, особенно в качестве симулятора рынка для

анализа транзакционных издержек сложных торговых алгоритмов.

Ключевые термины: книга учета лимитных заявок, микроструктура, данные высокоскоростного

трейдинга, теория очередей, дискретный марковский процесс, эргодичность, волатильность,

механическая волатильность, симулятор рынка ценных бумаг, вероятность выполнения сделки,

анализ транзакционных издержек, рыночное воздействие.

1. Введение

Электронные книги учета лимитных заявок, где участники рынка высылаю свои заявки на

покупку/продажу ценных бумаг посредством системы непрерывных двойных аукционов,

сейчас являются преобладающим механизмом торговли на финансовых рынках. Поэтому

трудно переоценить важность изучения процессов, протекающих в книгах учета, и их

динамики. В самом деле, глубокое понимание этих данных позволяет государственным

органам применять максимально подходящие меры регулирования рынка, маркетмейкерам –

поставлять ликвидность по более низким ценам, а инвесторам – экономить на транзакционных

издержках, попутно повышая и закрывая свои позиции, что в результате приводит к снижению

стоимости оборотных фондов публичных компаний. Более того, становится возможным даже

получать ценные инсайты о характеристиках цен, руководствуясь доступными данными книг

учета.

Среди научных работ по этой теме следует в первую очередь отметить основополагающую

статью Смита и соавторов [Smith et al., 44], где для изучения свойств книг учета лимитных

заявок авторы применяют теорию среднего поля при допущении, что потоки заявок

подчиняются законам независимого распределения Пуассона. Хотя это допущение несколько

противоречит реальным наблюдениям, его простота позволяет вывести множество интересных

формул, некоторые из которых возможно протестировать на рыночных данных. Вслед за

данной работой был предпринят ряд попыток развить идею авторов. Например, в статье [14],

одни из исследователей рассчитали вероятности различных событий в рамках модели,

выведенной Смитом и соавторами. Другие исследовали условия, при которых данная система

остается стабильной [1]. В качестве замены гипотезе независимости по Пуассону, можно

использовать более реалистичную предпосылку о том, что потоки заявок на самом деле -

зависимые точечные процессы. Так, в работе Хьюлетта [Hewlett, 26] автор предлагает

моделировать процесс подачи заявок в рамках точечного процесса самостоятельного выхода

по Хоуксу (Hawkes). Другой исследователь, Лардж, в своей работе [Large, 31] также предлагает

интересный способ использования процессов Хоукса – сформулированная им модель

позволяет воспроизводить свойства кластеризации, имеющие место при размещении заявок на

фондовой бирже. С другой стороны, недостатком этого метода являются числовые погрешности

в оценке параметров, а также более сложная измеримость результатов.

В большинстве случаев, самые интересные подходы были сформулированы в сильной степени

для того, чтобы понять динамику рыночных данных из области высокоскоростного трейдинга.

В некоторых из них во главе угла стоят рыночные данные и фокус на их максимальное

использование, например:

Исследование связи между параметрами размера заявок и частоты их поступления, см.

[11]

Анализ эффектов объемного воздействия на цену (а именно «рыночного воздействия»)

в течение длительных периодов (от нескольких часов до дней), см. [3, 4, 7, 19, 20, 35,

39, 46]

Изучение направления изменения цены ценной бумаги в зависимости от различных

уровней первоначальных заявок в книге учета заявок, см. [13]

Изучение поведения определенной группы агентов на рынке (чаще всего –

высокоскоростных трейдеров), см. [5, 36]

Оценка подходящих параметров высокоскоростной биржевой торговли, см. [17, 25, 27,

42, 48]

Прочие научные работы имеют более теоретический уклон с различными целями

исследования, например:

Понимание оптимального поведения игроков и как оно влияет на динамику развития

рынка, см. [29, 43]

Изучение асимптотических свойств цен активов в совокупности с характеристиками,

обусловленными структурой книги учета заявок, см. [30].

В свою очередь, данная работа призвана более глубоко и детально исследовать заявленную

область. Во-первых, с точки зрения данных, в ней используются не только данные книги учета

заявок первого уровня (цены и количества лучших заявок на продажу и покупку), но также и

параметры всех заявок, размещенных всеми игроками, включая те, которые пока ждут

исполнения, так как их цена на несколько пунктов ниже или выше текущих лимитов книги.

Более того, авторы работы также ставят перед собой цель получить теоретические

инструменты, которые необходимы для понимания рыночных данных, и продемонстрировать

их применимость в регулировании рынка государственными органами. Чтобы передать суть

динамики книги учета заявок, авторы формулируют несколько стохастических моделей и

применяют рациональные статистические методы к рыночным данным, тем самым пытаясь

вывести для них необходимые свойства. Это позволяет им понять, чего не хватает в каждой из

моделей в свете расхождений между реальными данными и полученными при симуляции.

В работе авторы также руководствуются принципом обслуживания в порядке поступления (в

оригинале, правило «first-in-first-out») – согласно ему, книгу учета заявок можно считать

высокоразмерной системой управления очередью, в которой заявки поступают и уходят в

произвольном порядке. В такой системе динамика различных лимитных приказов часто

определяется их «расстоянием» до определенной справочной цены (например, лучшая цена

предложения или спроса, средняя цена, неявная справедливая цена и т.д.). Таким образом,

устанавливаются сильные зависимости между очередями на разных «расстояниях» - объем на

определенном «расстоянии» от справочной цены может переключиться на какое-либо

соседнее значение при изменениях справочной цены. Это одна из причин, по которым

изучение динамики в системах управления очередями является весьма сложной задачей.

Чтобы преодолеть эти затруднения, авторы данной статьи разбили изучаемый временной

период на отрезки, в которые справочная цена остается неизменной, и далее перешли к

формулированию модели. Его можно разбить на два этапа – сначала авторы изучают книги

учета лимитных заявок на временных отрезках с постоянной справочной ценой, а вслед за

этим переходят к исследованию динамики справочной цены.

Таким образом, на первом этапе, основной интерес представляет следующий вопрос – как

смоделировать динамику книги учета заявок в течение периода, когда справочная цена

остается неизменной? И каков ее асимптотический вид, если этот период достаточно

продолжительный? В рамках временных интервалов с постоянной справочной ценой,

предполагается, что динамика системы управления очередью остается неизменной. Такое

предположение позволяет агрегировать данные с этих отрезков, чтобы дальнейшие оценки

были статистически надежными. При этом следует отметить, что такие модели применимы для

активов с большим спредом, чьи периоды неизменной справочной цены достаточно

продолжительны для точной оценки параметров. Для этих активов, справочная цена

выбирается просто как средняя цена, если величина спреда (измеренная в пунктах) является

нечетным числом, или как ее значение на момент перед последним изменением (более

подробные определения приведены в Разделе 2.2)

На локальном уровне, на фондовом рынке есть два вида открытой информации, доступной

игрокам, - исторические данные потоков заявок и текущее состояние книги учета лимитных

заявок. В данном исследовании авторы были более заинтересованы в том, как на решения

игроков влияет информация второго вида. Удивительно, но до сих пор этот вопрос редко

поднимался исследователями. В качестве исключения можно отметить лишь одну интересную

статью [см. 21], в которой в которой воздействие состояния книги учета заявок на динамику

очереди анализируется с помощью частных производных.

Данные книг учета, которые используются в данном исследовании, достаточно просто описать.

Каждый раз, когда трейдер (или трейдинговая система, которой управляет трейдер) посылает

сообщение на сервер торговой площадки, возможны следующие исходы:

1) Размещение новой «выжидающей» (нерыночной) заявки в книге учета (приказ на

покупку по цене ниже, чем лучшая цена предложения, или приказ на продажу по цене

выше, чем лучшая цена спроса). Такой вид заявок называется лимитными приказами.

2) Отмена уже существующей заявки

3) Изменение цены и/или объема в уже существующей заявке

4) Потребление доступной ликвидности (приказ на покупку по цене не ниже, чем лучшая

цена предложения, или приказ на продажу по цене не выше, чем лучшая цена спроса),

или иначе рыночный приказ

В данные, которые исследуют авторы статьи, не включается информация о скрытых пулах

(часть или даже весь объем которых не видны остальным игрокам на рынке). Тем не менее,

отметим, что исход размещения скрытого заказа обычно следующий - как только заявка на

заявленный объем закрывается, если скрытый заказ был выполнен не полностью, добавляется

«новый лимитный приказ» на некоторый объем по той же цене. Поэтому для исследования

авторы выбирали торговые площадки, на которых редко торгуются скрытые пулы.

Предметом исследования являются три из возможных исходов размещения приказа, а именно:

Размещение лимитного приказа

Отмена существующего приказа

Рыночный приказ

Четвертый исход, изменение цены или количества, в данном исследовании не изучается, так

как его можно рассматривать как частный случай остальных трех. Изменение можно

представить или как отмену заявки (если изменение заключается в снижении объема), или

размещение лимитного приказа (если это увеличение объема), или комбинацию отмены и

размещения приказов (если это изменение цены).

В рамках периодов постоянной справочной цены можно отследить динамику

последовательности трех выбранных исходов, используя методику точечных процессов. Здесь

возможно формулировать различные модели, основывающихся на разных предпосылках о

наборе данных, которыми располагают участники рынка для принятия решений. Интенсивность

поступления заявок предполагается зависимой от текущего состояния книги учета заявок. Это

подразумевает, что книга учета сама, по сути, становится непрерывным Марковским

скачкообразным процессом в счетном пространстве состояний, инфинитезимальная

образующая которого может быть оценена из рыночных данных. Кроме того, исследователям

удалось рассчитать асимптотическое распределение книги учета заявок. Реалистичность

подхода авторов можно оценить путем сравнения ожидаемых результатов моделей с

наблюдаемыми. Данная статья содержит две такие иллюстрации – это примеры двух ценных

бумаг с большим спредом на французской фондовой бирже Euronext Paris – акции France

Telecom and Alcatel-Lucent (в Приложении). Их стоит также рассматривать как подробные

примеры того, как, по мнению авторов, можно использовать полученную методику на

практике.

Во второй части работы авторы развивают свою концепцию, чтобы в нее вписывались

высокоскоростные характеристики торгуемых активов наряду с их макроскопическими

свойствами (в целом определяемыми как волатильность). В первую очередь авторы исследуют

модель, зависящую исключительно от книги учета заявок, – для этого они допускают

возможность изменения справочной цены (и следовательно переключения очередей) с некой

вероятность , когда одна из лучших очередей полностью исчерпывается, или когда поступает

новый заказ, находящийся в рамках спреда. Важное замечание, касающееся этой модели,

заключается в том, что волатильность цены ограничена сверху. Действительно, интуитивно

понятно, что максимальное значение цены достигается, когда равна 1, то есть если допустить,

что справочная цена изменяется всегда, когда изменяется средняя цена. Авторы определяют

этот уровень как «максимальную механическую волатильность», так как она возникает из-за

колебаний цены, обусловленных произвольным порядком поступления приказов. В реальности,

данный уровень обычно оказывается ниже, чем эмпирическая волатильность, рассчитанная по

рыночным данным. Причина этого довольно проста – реальный рынок развивается не так, как

закрытая физическая система, в которой единственным случайным фактором является

эндогенное взаимодействие между агентами. На него также влияет информация извне, такая

как, например, новости, которые способны повысить волатильность цены. Поэтому, чтобы

учесть эту особенность, авторы статьи добавили в свою модель экзогенное (определяемое

извне) изменение цен. Полученная в итоге модель называется в статье активная модель

управления очередью (в оригинале, «reactive-queue model»)

Так как модель авторов учитывает зависимости, имеющие место в очереди заявок на покупку и

продажу акции в книге учета, она может быть использована для оценки вероятности

исполнения пассивных приказов (более подробно об этом в Разделе 2.6). На самом деле,

модель представляет намного бóльшую пользу для непосредственных игроков на фондовой

бирже, так как дает возможность оценивать рыночное воздействие от размещения приказов.

Для примера, возьмем заявку на покупку – при ее размещении в одной из очередей или ее

реализации в очереди с лучшей ценой спроса, состояние системы корректируется, что в свою

очередь меняет условные законы последующих рыночных событий. Таким образом, становится

возможным оценить потенциальное воздействие трейдинговой стратегии, используя набор

рыночных и лимитных приказов. Чтобы проиллюстрировать это, в Разделе 3 данной статьи

приведены примеры использования подхода авторов в анализе транзакционных издержек

сложных трейдинговых стратегий.

Для понимания читателей, данная работа организована следующим образом: в последующем

Разделе 2 авторы приводят детали своего исследования в рамках периодов постоянной

справочной цены. Они начинают с очень общей концепции динамики книги учета лимитных

заявок и затем выводят три более специфических модели. Первая из них представляет собой

так называемый «процесс рождения и гибели» (в оригинале «Birth and Death process»), в

котором динамика книги заявок является независимой при различных «расстояниях» от

справочной цены. В этих условиях можно асимптотически описать характер поведения книги

заявок. Второй подход представляет собой систему управления очередью, в которой позиции

спроса и предложения независимы, но у двух крайних точек каждой стороны может

наблюдаться некая корреляция. Авторы показывают, что эту модель можно рассматривать как

квазислучай процесса рождения и гибели и допускают, что ее инвариантным распределением

может быть матричное геометрическое решение. В своей третьей модели авторы

предусматривают возможность перекрестных зависимостей между очередями спроса и

предложения. В конце Раздела 2 приводится обзор применения этих моделей к вычислению

вероятностей выполнения заявок. В Разделе 3 авторы переходят к исследованию динамики

справочной цены. В частности, они развивают уже упомянутую выше активную модель

управления очередью, чтобы она была применима на протяжении всего исследуемого периода.

Данный раздел завершает иллюстрация того, как концепция авторов может быть использована

для анализа транзакционных издержек и рыночного воздействия. И в заключение, Раздел 4

содержит выводы и перспективные итоги.

2. Динамика книги учета лимитных заявок при условии постоянной

справочной цены

Для периодов времени, когда справочная цена постоянна, авторы рассматривают три

различные модели для описания книги учета лимитных заказов. На базовом уровне, эти модели

можно представить с помощью общей структуры, которая описывается ниже.

2.1 Общая структура моделей

В общем виде, книга учета лимитных заявок рассматривается как вектор в 2К-мерном

пространстве, где К означает количество доступных лимитных заказов со стороны спроса и

предложения (см. График 1). Справочная цена, названная , обозначает центр вектора, и для

ее определения в следующих секциях авторы берут среднюю цену. Книга учета разделяется на

две части справочной ценой. Первая (левая) часть это сторона спроса [ ], где

означает доступный объем на расстоянии i − 0.5 пунктов влево от справочной цены .

Авторы

График 1. Книга учета лимитных заявок

допускают, что игроки со стороны спроса размещают лимитные приказы на покупку, отменяют

существующие приказы на покупку и размещают рыночные приказы на продажу. Вторая

(правая) часть на графике это, соответственно, сторона предложения [ ], где

означает доступный объем на расстоянии i − 0.5 пунктов вправо от справочной цены .

Игроки с этой стороны могут размещать лимитные приказы на продажу, отменять

существующие приказы на продажу и размещать рыночные приказы на покупку. Рыночные

приказы на покупку или продажу могут потреблять объемы акций в очередях с наилучшей

котировкой (соответственно и ). Эти очереди определяются как непустые

очереди на покупку (продажу) с наибольшей (наименьшей) ценой (при условии, что в них

достаточно объема для реализации заявки, иначе рыночные приказы могут потребить объем и с

последующих очередей).

Авторы обозначают как количество размещенных лимитных заявок с ограничением

объема в , за период [0, t]. Аналогичным образом, является показателем для процесса

отмены лимитных заявок за тот же период. И также авторы вводят показатели и

– для описания процессов потребления рыночных приказов соответственно на покупку и на

продажу. Интенсивности этих четырёх процессов обозначаются соответственно как ,

,

и

. Авторы также принимают за постоянную величину размер заявки при каждом

значении (при этом размеры заявок при разных уровнях ограничения могут отличаться). В

реальности эти размер могут устанавливаться на уровне средних по рынку. Таким образом,

последнее предположение достаточно нереалистично, однако оно существенно снижает

сложность авторской концепции и имеет вторичное значение относительно проблем и задач

данного исследования.

В своей работе авторы хотели бы создать модель, в которой игроки – как и в реальной жизни,

– имели бы возможность корректировать свою стратегию и интенсивность торговли в

соответствии с видимым им состоянием книги учета лимитных заказов. Поэтому они назначают

эти интенсивности зависимыми функциями от состояния книги учета . 2K-мерный процесс

задается как непрерывный Марковский

скачкообразный процесс в счетном пространстве , с размером скачка равным 1. Для

, и , где для и , матрица

инфинитезимальной образующей для процесса X (t) определяется как:

∑

где bestbid(x) и bestask(x) являются показателями лучших очередей на покупку/продажу при

состоянии книги учета заявок х. Таким образом, данная структура предполагает, что участники

рынка в некотором смысле лишены памяти о прошлых событиях. Кроме того, процессы

поступления заявок независимы с учетом состояния книги учета. Эмпирические свойства

данных функций интенсивности будут более подробно разобраны в дальнейших разделах.

Следующим шагом в работе является получение теоретических результатов эргодичности

системы при условии двух очень общих предпосылок:

Предпосылка 1. Интенсивность суммарного потока заявок в системе управления очередью есть

ограниченная функция на пространстве Ω: существует конечное действительное число H > 0,

такое что для любого x Ω,

∑ |

|

[ ]

Предпосылка 2. Существуют положительное целое число и δ > 0, такие что для всех i и

всех x Ω, если ,

Первая предпосылка эквивалентна условию . Она не допускает взрывного

роста внутри системы: скорость поступления/реализации заявок остается ограниченным для

любого данного состоянии книги учета лимитных заявок. Это достаточно реалистично, так как

на рынке существует конечное число игроков и, даже если они в своей работе пользуются

трейдинговыми алгоритмами, минимальное время, которое необходимо им, чтобы принять

решение, ограничено снизу. Вторую же предпосылку можно рассматривать следующим

образом – рыночные игроки в конечном счете размещают меньше лимитных заказов, чем

рыночных и отменяющих заявок.

Далее авторы обозначают как вероятность перехода из состояния x в состояние y в

момент времени t. Напомним, что Марковский процесс в счетном пространстве является

эргодичным, если существует мера вероятности π, которая удовлетворяет условию πP = P (π

называют инвариантной мерой), и для каждого x и y выполняется:

В ходе исследования авторы получили следующие результаты по этому направлению:

Теорема 2.1 При выполнении предпосылок 1 и 2, 2K-мерный Марковский скачкообразный

процесс X является эргодичным. (доказательство теоремы приведено в Приложении)

Данная теорема очень важна, так как по сути означает, что при достижении достаточно

протяженного временного периода исследования, мы начинаем иметь дело фактически с

постоянной, стабильной структурой модели, что позволяет использовать методы статистической

оценки. По большей части, это дает нам понимание асимптотического распределения книги

учета лимитных заказов.

2.2 Описание данных и определение справочной цены

Прежде чем более подробно описывать конкретные модели книг учета заявок, необходимо

дать характеристику данным, на основе которых были сформулированы эти модели.

Использованные данные были получены из массива, принадлежащего французской брокерской

компании Cheuvreux, и датируются январем 2010-мартом 2012 гг. Для каждой торговой

площадки в массиве имеются данные о книге учета лимитных заявок (цены, объемы и

количества заявок) вплоть до пятой лучшей заявки на обеих сторонах (покупки и продажи) для

всех моментов, когда происходили изменяющие состояние книги учета события (размещения

лимитных приказов, отмены приказов, изменения в существующих заявках или рыночные

приказы). Из-за того, что возможна некоторая синхронизация между различными торговыми

площадками, авторы в своем исследовании сосредоточились только на первичном фондовом

рынке. Они также не рассматривали рыночные данные, относящиеся к первому и последнему

часам торгового дня, так как эти периоды обычно имеют специфические черты из-за

особенностей фаз открытия/закрытия аукциона. Авторы изучали две крупные европейские

ценные бумаги (France Telecom и Alcatel-Lucent) и получили для них достаточно похожие

результаты.

Некоторые характеристики этих двух площадок приведены в Таблице 2.2. Как основную

иллюстрацию в ходе данной статьи, авторы выбрали пример площадки France Telecom, с

результатами для второй площадки можно ознакомиться в Приложении. Хотя в этой статье речь

идет только об акциях, инструментарий авторов распространяется и на другие ценные бумаги,

такие как облигации или фьючерсы (среди которых достаточно много активов с большим

спредом).

Акция

Среднее

количество

заявок в день

Среднее

количество

операций в день

Средний размер

спреда (в

пунктах)

France Telecom 159250 7282 1.43

Alcatel-Lucent 129400 8626 1.99

Таблица 2.2 Описание данных

Как уже упоминалось во введении, оценка корректной справочной цены является основой для

определения понятия «расстояния». Действительно, справочная цена позволяет

определить центральную точку книги учета лимитных заявок, а также позиции 2K-мерных

ограничений. В концепции авторов, если задана цена для очереди , i = −K, ..., 1, 1, ..., K , то

выполняется следующее:

Когда спред между ценами покупки и продажи составляет один пункт, и оба имеют

значение больше 0, и справочная цена очевидно является средней ценой в данной

модели. Однако когда спред больше, чем один пункт, существует несколько возможных

значений

и она оценивается с помощью следующего метода: когда размер спреда, измеренный в

количестве пунктов, представляет нечетное число, можно использовать среднюю цену

(обозначенную как ) как оценку справочной цены:

В случае же, когда размер спреда является четным числом, использовать среднюю цену уже

нельзя, так как она сама теперь является возможным уровнем для поступающих заявок. В этой

ситуации для оценки справочной цены используется одна из следующих формул:

или

,

в зависимости от того, какое значение ближе к предыдущему уровню справочной цены.

Необходимо отметить, что для определения справочной цены могут использоваться и более

сложные методы, как, например в работах [17, 41]. Кроме того, хотя оценка справочной цены

может быть важной задачей для активов с малым спредом (для них может существовать

несколько достаточно разных справочных цен, т.к. их спред обычно больше, чем один пункт),

однако для активов с большим спредом, оцененные интенсивности остаются неизменными

даже при использовании различных методов определения справочной цены (так как по сути

это средняя цена ).

2.3 Модель 1: Совокупность независимых очередей

В данном разделе приведена формулировка первой простой модели книги учета лимитных

заявок для временных интервалов с неизменной справочной ценой .

2.3.1. Описание модели

В рамках первой модели авторы принимают предпосылку о независимости очередей с

разными лимитами. Таким образом, интенсивности потоков заявок с разными лимитами

становятся функциями от размеров их собственных очередей. Чтобы добиться независимости

между различными лимитами, авторы также допускают, что рыночные заказы с лимитом

потребляют именно объемы, доступные для этого лимита, не поглощая предварительно

ликвидность, которая может быть доступна с лимитами, более близкими к справочной цене. Это

допущение вполне справедливо для активов с большим спредом – их поток рыночных заказов

почти полностью сосредоточен в областях с лимитами, ближайшими к значению слева и

справа. Авторы также заменяют показатели количества посылаемых рыночных приказов на

покупку/продажу и

на суммарный показатель количества рыночных приказов в

каждый момент . В результате, в данной модели не учитывается принцип «приоритета цены»

- подбора наилучших условий по цене покупки или продажи для рыночных заказов.

Потоки ,

и моделируются как независимые точечные процессы

(относительно i). Их интенсивности ,

и являются функциями от соответствующего

размера очереди . Значения интенсивностей при обозначаются как ,

и . С

учетом этих предпосылок, книга учета заказов представляет собой набор 2К-мерных

независимых очередей, каждая из которых представляет собой так называемый «процесс

рождения и смерти». В итоге, для долгосрочного поведения данной системы имеет силу

следующее следствие из теоремы 2.1:

Следствие 2.1 При соблюдении предпосылок 1 и 2, Модель 1 (модель совокупности

независимых очередей) является эргодичной.

Необходимо отметить, что фактически, Предпосылка 1 и условие конечности пространства

∑ ∏[

]

для каждого i (что обеспечено Предпосылкой 2), являются необходимыми и достаточными

условиями эргодичности данной системы управления очередью (что иллюстрируется, например,

в статье [23]).

Для того чтобы использовать данную модель на практике, остается только оценить функции

интенсивностей, что проделано авторами ниже.

2.3.2 Эмпирическое исследование: Модель совокупности независимых очередей

Как неоднократно уточнялось выше, в Модели 1 интенсивности потоков заказов в некоторой

очереди зависят только от доступного объема в этой очереди. Следовательно, их можно

оценить отдельно – для этого авторы приняли решения принять значение К за 3, так как их

числовые эксперименты показали, что для рассматриваемых акций динамика и эмпирическое

распределение для , при i = 3, 4, 5 весьма сходны с динамикой и распределением для .

Авторы также используют это значение К и в дальнейшем моделировании в этой статье.

Методика оценки интенсивностей начинается со следующего шага – авторы определяют как

«событие» любое увеличение или уменьшение размера очереди, типичное событие

обозначается как ω. Для некой очереди , фиксируется время ожидания (измеряемое

количеством секунд) между событием ω и предшествующим ему событием при , тип события

и размер очереди до события . Размер очереди округляется до наименьшего целого

числа, больше или равного количеству, доступному в данной очереди, деленному на средний

размер события (в оригинале «average event size» или AES) для этой очереди. Тип события

может быть:

• при размещении лимитных приказов с лимитом i,

• при отмене лимитных приказов с лимитом i,

• для рыночных приказов с лимитом i.

Как только происходит изменение справочной цены , данные снова фиксируются. Размеры

очередей для акций France Telecom почти всегда (с вероятностью 99%) меньше, чем 50 AES, и

поэтому для каждой очереди существует примерно 3 x 50 параметров, подлежащих оценке. К

счастью, база данных, с которой работали авторы, достаточно мощная по содержанию для

устойчивого оценивания, - она содержит в среднем около 40 000 наблюдений для каждого

размера очереди, и оцененные значения имеют силу на достаточно узких доверительных

интервалах (то есть оценки в значительной мере достоверны).

Имея наборы значений из исторических данных, легко оценить

интенсивности потоков ,

и с помощью метода максимального

правдоподобия:

где «mean» (средняя) означает историческую среднюю величину, а #A – мощность множества А.

На Графиках 2, 3 и 4 показаны оцененные функции интенсивностей, а также отношение

входящих и выходящих потоков , определяемое как:

(

)

Очевидно, что размер очереди увеличивается, когда ρ > 1, и уменьшается, когда ρ < 1. Данные

для и агрегированы в единый набор (путем объединения двух выборок), для того чтобы

оценить интенсивности на расстоянии i − 0.5 пунктов от справочной цены . Доверительные

интервалы на этих графиках рассчитаны с использованием аппроксимации центрального

предела (более подробные детали процесса приведены в Приложении).

График 2. Функции интенсивностей при , France Telecom

В последующих разделах авторы приводят более подробные комментарии к результатам

модели.

Характеристики поведения заявок в точке первого лимита при соблюдении условия

независимости

• Размещение лимитного приказа: на расстоянии 0.5 пунктов от справочной цены ,

интенсивность процесса размещения лимитных приказов является возрастающей функцией от

размера очереди , ограниченная сверху на отметке около 0,75, достигаемого при размере

очереди близком к 15 AES (15 средним размерам события). Значение соответствует

темпу размещения лимитных приказов в рамках спреда цен покупки/продажи и обычно

оказывается намного меньше, чем другие значения . Одно из возможных объяснений такого

малого значения, когда , состоит в следующем, – размещение заявки создает новый

наиболее выгодный лимит, который обычно связан с существенными рисками при величине

спреда более 1 пункта, так как в данном случае положение «справедливой цены» достаточно

неопределенное. Также причиной могут быть временные эффекты структурных связей между

спредом цен покупки/продажи и волатильностью акции. А именно, если широкий спред возник

из-за высоких инвентарных рисков маркетмейкеров, то вероятность размещения лимитного

приказа в рамках спреда весьма мала. Более подробно данная ситуация и отношения между

спредом, волатильностью и инвентарными рисками разобраны в статьях [16, 24, 45, 47].

• Отмена существующего лимитного приказа: интенсивность отмены приказов является

возрастающей выгнутой функцией с асимптотической верхней границей на уровне около 0,9,

достигаемом при размере очереди близком к 20 AES (20 средним размерам события). Для

авторов этот результат оказался удивительным, так как в данном случае скорее стоило ожидать

линейно возрастающей функции. Причиной такого результата также может быть то, что на

данном рынке, где имеет силу правило обслуживания в порядке поступления («first-in-first-

out»), заявки обслуживаются по приоритетности – то есть один приказ, стоящий прежде другого

в очереди, будет обработан первым. Функция приоритетности заявок действительно является

возрастающей в зависимости от размера очереди, и приказы, имеющие более высокий

приоритет, с меньшей вероятностью подвергнутся отмене.

• Потребление ликвидности рыночными приказами: функция этой интенсивности является

экспоненциально убывающей в зависимости от доступного количества . Этот феномен легко

объясняется тем, что, если ликвидности не хватает, игроки стремятся заполучить ее, и наоборот

– бездействуют и ожидают более выгодной цены, если ликвидности достаточно.

График 3. Функции интенсивностей при , France Telecom

Характеристики поведения заявок в точке второго лимита при соблюдении условия

независимости

• Размещение лимитного приказа: на расстоянии 1.5 пунктов от справочной цены

интенсивность процесса размещения приказов становится убывающей функцией от размера

очереди , с ограничением снизу около 0,5, достигаемым при размере очереди близком к 20

AES (20 средним размерам события). Этот интересный результат является эмпирическим

доказательством того, что участники рынка, играющие на участке от 0.5 до 1.5 пунктов до

справочной цены , могут сильно отличаться. Кроме того, эти результаты проливают свет на

очень распространенную на фондовом рынке стратегию – размещение заказов на расстоянии

1.5 пункта от справочной цены, когда размер соответствующей очереди еще мал, что позволяет

трейдеру завладеть приоритетом к исполнению его заявки. Больше деталей этой стратегии

приведены авторами в Разделе 2.4.2.

• Отмена существующего лимитного приказа: интенсивность отмены приказов возрастает при

более резко, чем при . Также при участники рынка еще больше придерживаются

стратегии сохранять свои заявки в книге учета, если размер очереди увеличивается. Это в

первую очередь вызвано тем, что приоритетность исполнения этих заявок растет, если они

остаются в очереди. Другая причина состоит в том, что они менее подвержены влиянию

краткосрочных рыночных трендов, чем заявки размещенные при (так как их ценовой

уровень дальше от справочной цены ).

• Потребление ликвидности рыночными приказами: рыночные приказы могут поступить в

точке , только если (то есть если является очередью с наилучшими условиями по

цене). Вид функции интенсивности близок к тому, что был получен для точки , однако

абсолютные значения функции конечно намного меньше.

График 4. Функции интенсивностей при , France Telecom

Характеристики поведения заявок в точке третьего лимита при соблюдении условия

независимости

• Размещение лимитного приказа: на расстоянии в 2.5 пункта от справочной цены

интенсивность размещения лимитных заявок обладает схожими свойствами с аналогичной

функцией в точке . Тем не менее, здесь участники рынка меньше стремятся повысить

приоритетность своих заявок, когда размер становится больше, чем 5 AES (5 средних

размеров события). За пределами этого значения, интенсивность размещения заявок остается

стабильной на уровне около 0,5.

• Отмена существующего лимитного приказа: приоритетность заявок снижается на расстоянии

2,5 пункта от справочной цены, так как требуется больше времени, чтобы стать точкой

наилучших условий. Таким образом, интенсивность отмены приказов растет практически

линейно для размеров очереди больше, чем 3 AES. Авторы также обнаружили факт достаточно

высокого темпа отмены заявок в случае, когда размер очереди равен одному, что

свидетельствует о том, что игроки быстрее отменяют свои заявки, если они единственные в

очереди.

• Потребление ликвидности рыночными приказами: в редких случаях, рыночные приказы

могут размещаться в точке (при большом размере спреда могут приходить межрыночные

или рыночные приказы). Функция интенсивности продолжает экспоненциально убывать.

2.3.3 Асимптотическое поведение в Модели 1 (модели совокупности независимых

очередей)

В данной главе авторы обращаются к распределению книги учета лимитных заказов. При

условии, что все очереди независимы между собой, и если имеются оценки функций

интенсивности, становится возможным точно вычислить детали инвариантного распределения

книги учета заказов.

Авторы обозначают вероятностное распределение очереди размера как

У этой очереди есть три различных потока приказов: поток размещаемых приказов

интенсивности , пото отмен приказов интенсивности

и поток рыночных

приказов интенсивности .

График 5. Модель 1 (Модель совокупности независимых очередей), инвариантные

распределения , , , France Telecom

Напомним, что отношение входящих и выходящих потоков определяется как

(

)

Под понимается стационарное распределение очереди размера , используя которое,

легко вывести следующие условия:

∏

( ∑ ∏

)

Из полученных формул легко увидеть, что долгосрочное поведение книги учета заказов

полностью определяется вектором ρ. Это означает, что две ценных бумаги с очень разной

динамикой потоков могут иметь одно и то же инвариантное распределение отношений их

входящих и выходящих потоков.

Далее авторы сравнивают асимптотические результаты модели с эмпирическими

распределениями, которые наблюдались для , , . Чтобы вычислить эти

эмпирические законы распределения, они используют выборочную частоту в 30 секунд (то есть

каждые 30 секунд фиксируют состояние книги учета лимитных заказов). Результаты их работы

приведены на Графике 5. На этом же графике приведены асимптотические распределения,

полученные в модели Пуассона, которая допускает неизменный темп размещения лимитных и

рыночных приказов и линейно возрастающую интенсивность отмены (параметры

эстимированы из одних и тех же данных).

Из графика видно, что асимптотические результаты, полученные в Модели 1, почти

соответствуют эмпирическим распределениям книги учета лимитных приказов. Это показывает,

что для объяснения формы книги учета не всегда необходимо проводить специальный,

микроэкономический анализ поведения различных видов рыночных игроков. С точки зрения

понимания характеристик книги заказов, методика среднего поля, используемая авторами, дает

весьма убедительные результаты. В авторской постановке задачи, форма книги учета

существенно определяется взаимодействием между типичными стратегиями участников рынка.

Чем дольше справочная цена остается неизменной, тем лучше эти теоретические

асимптотические результаты соответствуют реальным эмпирическим наблюдениям. Именно

поэтому подход авторов применим к акциям с большим спредом, для которых справочная цена

остается неизменной в течение длительных периодов времени. Акции France Telecom, взятые

в качестве примера, показывают средний спред в 1.43 пункта, и только 2,5% событий в книге

учета приказов для этой ценной бумаги меняют справочную цену. В Приложении к данной

статье авторы приводят аналогичные результаты для другой акции, Alcatel Lucent, чей спред в

среднем составляет 1.99 пункта.

2.4 Модель 2: Две совокупности зависимых очередей

В этой главе авторы развивают Модель 1 (модель совокупности независимых очередей) так,

что ее новая формулировка позволяет изучить зависимости между очередями с различными

лимитами.

2.4.1 Описание модели

Важным элементом, не учтенным в Модели 1, является понятие «наилучшего лимита».

Институциональные трейдеры и брокеры обычно размещают большинство своих лимитных

приказов в рамках таких наилучших лимитов, в то время как многие маркетмейкеры,

арбитражеры и прочие высокоскоростные трейдеры также часто ставят свои приказы в

очереди за пределами этих лимитов. Вследствие этого, динамика при может зависеть не

только от размера очереди в этой точке, но и от того, как этот лимит соотносится с наилучшим,

то есть, не равно ли нулю. Проведенные авторами эмпирические исследования функций

интенсивности при для различных наборов ( , показали существенный сдвиг в

оцененных функциях в точке , когда становится равным нулю. При этом функции

интенсивности при остаются приблизительно одними и теми же при изменениях в

значении .

В продолжение вышесказанного, авторы решили использовать следующие интенсивности для

очереди в : и

(и соответственно и

), которые являются функциями от и

(соответственно, и ). Интенсивности при , i = ±2 становятся функциями только от

. Для ценных бумаг с большим спредом вероятность того, что , i ≥ 3 является наилучшим

лимитом, пренебрежимо мала. Таким образом, можно предположить, что рыночные приказы

размещаются только при и . Это позволяет сохранить условие независимости между

и наборами ( ). Когда (и соответственно ) > 0, интенсивность потребления

рыночных приказов (и соответственно

) является функцией от (и соответственно

), и обозначается как (и соответственно

). Когда (и соответственно ) = 0,

интенсивность (и соответственно

) является функцией от (и соответственно )

и обозначается как (и соответственно

).

В отличие от предпосылок в Модели 1, Модель 2 (или модель двух совокупностей зависимых

очередей) опирается на принцип приоритетности цены при размещении рыночных приказов, а

также на механизм переключения режимов динамики в точке в зависимости от того,

является ли наилучшим лимитом. С другой стороны, в этой модели не учитываются

взаимосвязи между стороной спроса ( , i < 0) и предложения ( , i > 0), которые будут

подробнее изучены в Разделе 2.5. С учетом этих предпосылок, 2K-мерный Марковский процесс

может быть разделен на два идентичных (в теории) 2-мерных Марковских процесса

( и ), и (2K − 4) независимых очередей. Таким образом, вопрос сводится к

изучению 2-мерного непрерывного скачкообразного процесса про Маркову .

2.4.2 Эмпирическое исследование: Модель двух совокупностей зависимых очередей.

Модель 2 является частным случаем общих условий, описанных в секции 2.1. Таким образом,

долгосрочные характеристики модели, сформулированных в рамках общего случае, имеют

место и здесь, и возможна статистическая эстимация параметров модели. Подробные детали

расчетов в этой модели будут даны далее, в секции 2.4.3, а в данной главе авторы начинают с

описания эмпирических свойств модели.

В своем эмпирическом исследовании, авторы ставят перед собой цель – изучить, как участники

рынка принимают решения при в двух различных ситуациях: если = 0 и если > 0. Они

снова используют статистический метод максимального правдоподобия, чтобы оценить

функции интенсивностей ,

, для i = 1, 2. Так как теперь авторы изучают проблему в 2-

мерном пространстве, фиксирование данных для изучения проходит проще – мониторится

время ожидания (в секундах) между событиями, которые происходят при и , тип

события и размеры 2 очередей ( ) перед событием. Допустим, для i 1, 2:

• при размещении лимитных приказов с лимитом i,

• при отмене лимитных приказов с лимитом i,

• для рыночных приказов с лимитом i.

Как только происходит изменение величины справочной цены , запускается процесс

фиксирования данных.

Затем авторы оценивают ,

, ,

, и

с

помощью следующих формул:

Для :

Для :

(∑ )

И вновь динамика при зависит только от размера очереди в этой точке. Следовательно,

оцененные значения очень близки к тем, что были получены в предположении о

независимости (но не имеют в точности тот же вид, так как в Модели 2 немного иной процесс

фиксирования данных) и не приведены здесь. Оцененные функции интенсивностей при

приведены на Графике 6.

График 6: Функции интенсивности при как функции от и , France Telecom

Далее авторы более подробно разбирают получившиеся результаты:

• Размещение лимитного приказа: хотя обе кривые являются убывающими функциями от

размера очереди, динамика лимитных заявок отличается в случаях, когда = 0 и когда >

0.В первом случае ( = 0), интенсивность размещения рыночных приказов очень быстро

достигает своего асимптотического значение 0,8, примерно при 5 AES. Во втором случае ( >

0), функция продолжает опускаться до более низкого асимптотического значения 0,4. В данном

случае ясно видно, что понятие ранга лимита (того, как он соотносится с наилучшим лимитом)

является важным элементом, принимаемым во внимание рыночными игроками перед

принятием решений. Также важным фактором является расстояние до справочной цены .

• Отмена существующего лимитного приказа: темп отмены приказов выше при = 0. Когда

> 0, интенсивность отмены достаточно высока при = 1, как было и в рассмотренном

ранее случае в точке .

• Потребление ликвидности рыночными приказами: рыночные приказы не могут размещаться

в точке , если остаются свободные объемы при (большие межлимитные рыночные

приказы, которые поглощают несколько лимитных заказов, рассматриваются как несколько

рыночных приказов, размещаемых последовательно в течение очень короткого периода

времени). Интенсивность размещения рыночных приказов, если является наилучшим

лимитом, не сильно отличается от точки , но показывает несколько неожиданный растущий

тренд, когда размер очереди становится больше, чем 5 AES.

• Отношение входящих и выходящих потоков: этот показатель является убывающей функцией

от размера очереди при с асимптотическим значением чуть меньше, чем 1. Предпосылка 2

тем самым выполняется.

Интерпретация в терминах рынка: Графики интенсивности размещения рыночных приказов

могут быть истолкованы с позиций просто модели поведения агентов на рынке. Предположим,

мы имеем на рынке два типа трейдеров, - с большим и очень малым временным горизонтом

(или, иначе, долгосрочных и краткосрочных). Долгосрочные трейдеры принимают решения

независимо от состояния книги учета заявок, в то время как вторые тщательно согласовывают

свои решения с имеющейся локальной информацией. Таким образом, можно предположить,

что долгосрочные трейдеры размещают свои заявки в соответствии с гомогенным по времени

Пуассоновским процессом, - в эту когорту попадают институциональные инвесторы,

использующие торговые алгоритмы на основе брокеража и ориентирующиеся в основном на

общую динамику рынка, чем на данные книг учета приказов. В то же время краткосрочные

трейдеры размещают приказы тогда, когда рассчитывают получить прибыль. В результате,

интенсивность размещения лимитных заявок краткосрочными трейдерами падает до нуля,

когда соответствующий размер очереди возрастает до бесконечности, так как уровень

приоритета новой размещенной заявки есть убывающая функция от размера очереди. В самом

деле, при размещении заявки в начале длинной очереди, убытки при простое заявки намного

выше, чем при пересечении спреда для незамедлительного заключения сделки. Эта

характеристика согласуется с теоретическими результатами применения теории поля,

достигнутыми в работе [29]. Наблюдаемая функция интенсивности размещения лимитных

приказов является, в этом случае, суммой убывающей функции (из-за деятельности

краткосрочных трейдеров) и постоянно функции (из-за долгосрочных трейдеров).

Долгосрочные трейдеры чаще всего работают в области около 2 наилучших лимитов, - это

объясняет большее асимптотическое значение, когда = 0, чем когда > 0. Краткосрочные

трейдеры в свою очередь учитывают и «расстояние» до справочной цены, и ранг лимита:

наилучший лимит на расстоянии 0,5 пунктов от очевидно очень отличается для них от

наилучшего лимита на расстоянии 1,5 пункта. Очередь является для них более

привлекательной, если > 0, так как их лимитные приказы в ней меньше подвержены

краткосрочным рыночным шокам (так как частично покрываются очередью ). Типичная

стратегия арбитражеров в этом случае становится следующей: размещать приказы в точке ,

когда размер очереди не слишком велик, ожидать, пока не станет в конечном итоге

наилучшим лимитом, и затем выбирать один из двух вариантов - оставаться в этой очереди,

если ее размер к этому момент достаточно велик, чтобы покрыть риски краткосрочных

рыночных шоков, или отменять заявки, если размер очереди слишком мал. Такие стратегии

игроков являются еще одной причиной убывания функции интенсивности размещения

лимитных заявок, приведенной на Графике 6.

2.4.3 Модель 2 (Модель двух совокупностей зависимых очередей) как квазислучай процесса

рождения и гибели

В этом разделе авторы приводят свои математически выкладки, развивающие Модель 2. Эта

модель принадлежит к особому классу Марковских процессов, так называемых квазислучаев

процесса рождения и гибели. Их асимптотическое поведение может быть изучено с помощью

матричного геометрического метода. Определения квазислучаев процесса рождения и гибели

и пояснения к применяемой методологии даны в приложении к данной статье.

Динамика системы двух очередей ( , ) является уровнезависимой, – то есть ядро перехода

зависит от текущих значений . В итоге, асимптотическое поведение системы достаточно

трудно рассчитать или оценить. Поэтому авторы принимают дополнительную предпосылку,

чтобы избавиться от уровнезависимости в изучаемом процессе. Это позволяет им легко

выразить его инвариантную меру в матричной геометрической форме и численно рассчитать

ее.

Предпосылка 3: (Независимые Пуассоновские потоки в ) Существуют две положительные

константы и , с < , такие, что для k ≥ 1:

График 7: Модель 2 (Модель двух совокупностей зависимых очередей):

общее распределение , , France Telecom

На практике, and берутся как средние значения соответствующих оцененных функций

интенсивности в точке . Допущение постоянной интенсивности процесса размещения заявок

в упрощает динамику на этом уровне, так что она становится очередью вида M/M/1. Также

в результате этого допущения система двух очередей ( , ) перестает быть

уровнезависимым квазислучаем процесса рождения и гибели. При этом авторы отмечают, что,

хотя им и удалось избавиться от уровнезависимости в процессе, взаимосвязь между и

все еще сохраняется из-за разницы между функциями интенсивности в , когда > 0 и когда

= 0.

2.4.4 Асимптотическое поведение в Модели 2 (Модели двух совокупностей зависимых

очередей)

С учетом Предпосылки 3, становятся возможными достаточно простые численные расчеты

инвариантного распределения ( , ). В сущности, квазислучаи процесса рождения и гибели с

конечной фазой (то есть если их набор значений второго измерения, в нашем случае ,

является конечным) достаточно легко поддаются изучению. В случае бесконечной фазы,

необходимо применять методы усечения, чтобы достигнуть приблизительных результатов.

Однако, благодаря специальной структуре генератора в данной модели, остаточно применить

один простой метод усечения, известный как поклеточное приращение, чтобы решить

уравнения для инвариантной меры (приведенные в Приложении). Кроме того, например, в

статье [6] авторы более подробно описывают детали конвергенции данной процедуры и

используемого метода усечения.

Авторы используют инструмент SMCSolver из пакета программ Mathlab, чтобы рассчитать

инвариантную меру. Они берут and , средние значения ( > 0) и

( > 0) +

( > 0). На Графике 7 показано теоретическое общее распределение ( , ) для акций

France Telecom и для сравнения – общее распределение, полученное из эмпирических данных.

Очевидно, что полученные теоретические результаты являются очень хорошей

аппроксимацией реальных показателей..

2.5 Модель 3: Моделирование зависимостей между сторонами покупателей и продавцов

В этой главе авторы представляют третью выведенную ими модель книги учета заявок для

периодов постоянной справочной цены . В этой модели они также вводят зависимость

между сторонами спроса и предложения.

2.5.1 Описание модели

В Моделях 1 и 2 стороны спроса и предложения рассматриваются по отдельности: динамика

при и предположительно является независимой от прочих точек. В этом разделе,

авторы изучают взаимосвязи между очередями спроса и предложения. Во-первых, они вводят в

аппарат модели функцию :

если

если

если

Эта функция разделяет размер очереди на 3 различных области: малую ([0, m]), обычную ((m,

l]) и большую ((l, +∞)). Далее авторы устанавливают m как 33%-ный нижний квантиль и l

как 33%-ный верхний квантиль . Они также предполагают, что игроки в точке

соизмеряют свое поведение не только с размером целевой очереди, но и с тем, каким является

размер противоположной ей очереди, - малым, обычным или большим. Функции и

(и

соответственно и

) моделируются как функции от и . Как и в Модели 1,

авторы предполагают, что рыночные приказы могут поглощать объемы только наилучших

лимитов и посылаются только в точки and . Когда > 0 (и соответственно > 0),

интенсивность потребления рыночных приказов (или

) является функцией от и

(и соответственно и ). Принципы приоритета цены и переключения

режимов при Q±2 сохраняются в данной модели: λ ±2, λ±2 являются функциями от >0

and , и когда = 0 (и соответственно = 0), интенсивность потребления рыночных

приказов (и соответственно

) является функцией от (и соответственно ). С

учетом этих допущений, 2K-мерная задача упрощается до исследования 4-мерного

непрерывного Марковского скачкообразного процесса ( , , , ). Важной чертой этой

модели является то, что очереди не оказывают влияния на динамику при .

Следовательно, необходимо изучить только 3-мерный процесс ( , , ) (или даже 2-

мерный процесс ( , ), если основной интерес состоит в изучении динамики в точках

and ).

Разумеется, можно выбрать и другие исходные точки для анализа, чтобы описать функции

интенсивности при . Например, можно рассматривать их функции от дисбаланса

спроса/предложения первого уровня, определяемого как

, или просто как функции от

величины спреда.

2.5.2 Эмпирическое исследование: Моделирование зависимостей между сторонами

покупателей и продавцов

При соблюдении введенных выше предпосылок, метод, описанный в Разделе 2.4, может быть

применен для оценки функций интенсивности при . Таким образом, следующей задачей

авторов становится эстимация функций интенсивности в точке ( , ). Они рассматривают

интенсивности исходящих потоков ( , ),

( , ), ( , ),

( , ) и интенсивности исходящих потоков

( , ) и ( , ).

Используя свойство симметричности книги учета заявок, можно принять

,

и

. Далее фиксируются показатели времени

ожидания между событиями, которые происходят в или , тип событий и

размеры 2 очередей до события. Положим, для i = 1, −1:

• при размещении лимитных приказов в ,

• при отмене лимитных приказов в ,

• для рыночных приказов в ,

Как только происходит изменение справочной цены , процесс фиксирования данных

начинается заново.

Мы имеем, для

( ) ( )

(∑ ∑ ( ) ( )

)

( )

+

( )

( )

+

( )

( )

+

( )

На Графике 8 авторы приводят оцененные функции интенсивности для акции France Telecom

(m = 3AES, l = 8AES). Расчет доверительных интервалов является более затруднительной

задачей в этой модели и результат, представленные на Графике 8, являются приблизительными

(авторы решили пренебречь возможным пересечением между наборами

( ) ( )

Далее авторы приводят свои комментарии к полученным результатам:

• Размещение лимитного приказа: можно заметить, что темп размещения лимитных заявок

является убывающей функцией от значения противоположного лимита. Форма интенсивности

размещения как функции от размера очереди не зависит от размера противоположной

очереди, но их асимптотические значения явно являются функциями от размера этой очереди.

В частности, когда противоположная очередь мала (синяя кривая), она существенно больше,

чем в остальных двух случаях. Эти результаты согласуются с теоретическими выводами в статье

[29].

График 8: Функции интенсивности при как функции от и , France Telecom

• Отмена существующего лимитного приказа: темпы отмены для различных уровней также

достаточно похожи по форме функций, но имеют различные асимптотические значения. Этот

темп, являющийся «индикатором терпения» игроков, представляет собой убывающую функцию

от уровня ликвидности на противоположной стороне рынка.

• Потребление ликвидности рыночными приказами: мы видим, что при избытке ликвидности в

точке , больше рыночных приказов посылается в точку . В самом деле, в этом случае

транзакции в точке сравнительно дешевы, так как справедливая цена временно находится

ближе к стороне .

2.5.3 Асимптотическое поведение при зависимости между сторонами покупателей и

продавцов

Чтобы описать инвариантное распределение книги учета заявок при зависимости между

сторонами покупателей и продавцов, авторы используют методы симуляции Монте-Карло. Они

рассматривают симуляций на протяжении периодов длиной в секунд. Функции

теоретического и эмпирического совместного распределения и приведены на Графике

9. Как и в Модели 2, форма эмпирического распределения хорошо определяется

теоретическим распределением. Однако, ошибки в оценке вероятности ( , Q−1) = (0, 0) ведут к

переоценке теоретических значений в данном примере.

2.6 Практический пример: вероятность исполнения заявки

Предыдущие модели могут быть использованы для вычисления краткосрочного поведения

некоторых важных связанных с книгой учета заявок показателей. Один из актуальных

примеров такого рода – вероятность исполнения заявки до того, как произойдет изменение

средней цены. Предположим, что в момент времени t = 0, > 0 и > 0. Тогда трейдер

(назовем его А) размещает лимитную заявку на покупку с лимитом и ждет в очереди, либо

пока заявка будет исполнена, либо пока противоположная очередь не будет полностью

исчерпана. Вероятность исполнения заявки может быть рассчитана во всех трех моделях,

рассмотренных в данной статье, с иcпользованием методов Монте-Карло.

График 9: Модель 3 (Модель зависимости между сторонами покупателей и продавцов):

совместное распределение , , France Telecom

Для того чтобы рассчитать эту вероятность, необходимо четко понимать разницу между двумя

типами приказов, размещаемыми в точке : приказы, размещенные до момента времени t =

0, (имеющие более высокий приоритет по сравнению с приказом трейдера А) и приказы,

размещенные после момента t = 0 (имеющие более низкий приоритет). Когда в точку

поступает рыночный приказ, исполняется лимитный приказ с наивысшим приоритетом, и

приказ трейдера А будет исполнен только лишь тогда, когда все приказы, размещенные при

до момента t =0, будут или исполнены, или отменены. Когда в точке происходит

отмена некоего приказа, в данной модели точно не определено, какой именно приказ был

отменен. Поэтому авторы делают две дополнительные предпосылки касательно процесса

отмены приказов.

Предпосылка 4. Когда в происходит отменяющее событие, приказы в имеют одинаковую

вероятность исполнения (за исключением лимитных заявок трейдера А, которые никогда не

отменяются).

Предпосылка 5. Интенсивность процесса отмены заявок в предполагается равной

вместо

, так как заявки, размещенные трейдером А, никогда не

отменяются.

Заявки с меньшей приоритетностью исполнения на самом деле более часто отменяются.

Однако чтобы ввести в модель эту тенденцию, необходимы более подробные рыночные

данные, включающие идентификационные номера размещенных и отмененных заявок,

которых нет в базе данных, используемой авторами. В результате, вероятности исполнения

заявок могут быть переоценены при использовании Предпосылок 4 и 5. Результаты этой

симуляции приведены на Графике 10. В частности, мы видим, что три модели авторов дают

достаточно похожие показатели вероятности.

График 10: Вероятность исполнения заявки на покупку, размещенной при в момент

времени t = 0, France Telecom (последний график соответствует случаю модели Пуассона)

2.7 Выводы к проведенному в Разделе 2 моделированию: система очередей с постоянной

справочной ценой

В предыдущих главах, авторы привели три различных сформулированных ими модели. Модель

1 (модель совокупности независимых очередей) предполагает, что действия участников рынка

при различных лимитах происходят независимо друг от друга. Единственный фактор,

влияющий на решение трейдеров посылать лимитные/рыночные приказы или отменять

существующие заявки, это размер очереди, в которой находятся эти заявки. Это

предположение очень удобно для того, чтобы в исследовании можно было сфокусироваться на

характеристиках очередей на различном расстоянии от справочной цены. Более того, можно

точно рассчитать инвариантные меры для этой модели, и они хорошо аппроксимируют

эмпирические распределения книги учета заявок. Модель 2 (модель двух совокупностей

зависимых очередей) расширяет набор изучаемой информации путем добавления понятия

«наилучшего» лимита, очереди, цены и т.д., и рассмотрения всех показателей относительно них.

Например, в точке участники рынка корректируют свое поведение в соответствии с тем,

пуста ли очередь в точке . Эмпирические результаты показывают очень различное

поведение игроков в этих двух ситуациях. Более того, можно рассмотреть это расхождение

поведения в рамках интерпретации модели в терминах рынка, и существует метод численного

расчета асимптотического распределения книги учета заявок. Модель 3 (модель зависимости

между сторонами покупателей и продавцов) добавляет в теоретический аппарат зависимости

между очередями на стороне спроса и предложения. Для этой модели, эмпирические

результаты, полученные авторами, позволили им понять воздействие формы одной стороны

книги учета заявок на торговую активность другой стороны.

Авторы тестировали свои модели на двух акциях, обладающих большим спредом, (France

Telecom и Alcatel-Lucent). В данном разделе были приведены эмпирические результаты для

акций France Telecom. Комментарии авторов к виду и характеристикам функций

интенсивности этой акции во всех трех моделях также имеют силу для аналогичных функций,

рассчитанных для акции Alcatel-Lucent (в Приложении). В частности, в ходе работы авторы

открыли два достаточно неожиданных эмпирических факта:

сублинейный, возрастающий темп отмены лимитных заявок

убывающий темп размещения лимитных заявок для не «наилучших» лимитов.

Первый факт можно рассматривать как фактор от значения приоритетности заявки, второй же

вероятнее всего связан с существованием на рынке арбитражеров в точках этих вторичных

лимитов.

Также для всех трех моделей были проведены асимптотические исследования, результаты

которых дают веские основания утверждать следующее:

Для ценных бумаг с большим спредом, эмпирическое распределение книги учета заявок

является асимптотическим равновесием, обусловленным различным поведением

участников рынка по отношению к разным состояниям книги учета заявок.

3. Модели, устойчивые во времени: стохастическая книга учета заявок и

динамическая справочная цена

В этой главе авторы задались целью получить модели, которые имеют силу на протяжении

всего периода исследования, а не только когда цена неизменна. Они начинают с

формулирования простой Модели 4, которая является естественным продолжением моделей,

описанных до этого. Она предполагает, что колебания справочной цены полностью

обусловлены взаимодействиями между потоками в книге учета заявок. Авторы показывают, что

такой подход не позволяет моделировать макроскопические свойства цены актива. В

частности, полученная волатильность не вписывается в рамки показателя, имеющегося из

эмпирических данных. Этот любопытный результат позволяет предположить, что

исключительно эндогенная Марковская динамика книги учета заявок, вероятно, не может

привести к установлению реалистичных цен.

Поэтому в итоге авторы решили сформулировать так называемую «активную модель

управления очередью» (Модель 4), в которую они включили недостающие части модели,

основанной исключительно на данных книги учета заявок, а именно экзогенно заданную

информацию. В том числе, авторы показывают, что активная модель управления очередью

способна воспроизводить характеристики динамики цены, связанные как с низко -, так и с

высокоскоростным трейдингом. В заключение, в данной главе даны рекомендации авторов, как

данную модель можно использовать для анализа транзакционных издержек и рыночного

воздействия.

3.1 Модель 4: Модель, основанная исключительно на данных книги учета заявок

В качестве первого шага в формулировании модели, авторы обозначают размер пункта

колебания цены актива. Они предполагают, что справочная цена изменяется с некоторой

вероятностью θ, когда какое-то событие меняет среднюю цену. А именно, предполагается, что

увеличивается (уменьшается) если средняя цена увеличивается (уменьшается). Изменения

справочной цены, таким образом, инициируются одним из следующих событий:

Размещение лимитного приказа на покупку (продажу) в рамках текущего спреда, и

очередь ( ) пуста на момент размещения

Отмена последнего лимитного приказа в наилучшей очереди

Рыночный приказ, который поглощает все доступные объемы в наилучшей очереди

График 11: 10-минутная волатильность и min volatility and коэффициент чередования,

Модель 4, France Telecom

Когда меняется справочная цена , значение немедленно переключается на одно из

соседних значений (справа, если повышается, слева, если понижается). Таким

образом, становится нулем, когда цена повышается, и становится нулем, когда она

понижается. Авторы фиксируют данные книги учета заявок вплоть до третьего лимита (K = 3).

Значение , когда цена повышается (и, соответственно, , когда цена снижается)

берется из его инвариантной меры (напомним, что эмпирические исследования авторов

показали, что на практике распределения , для i = 3, 4, 5, очень похожи). С процессом

переключения очередей в модели необходимо обращаться достаточно аккуратно – средние

размеры событий могут быть различными для разных очередей. Так, когда становится ,

его новое значение необходимо перенормировать с помощью отношения между двумя

средними размерами событий при и . Проще говоря, средние размеры событий в разных

очередях в данном исследовании должны быть равными.

При соблюдении этих предположений, динамику рынка можно теперь представить в виде (2K +

1)-мерного Марковского процесса: в счетном пространстве ,

где обозначает доступные объемы актива при

различных лимитах. Отметим также, что можно легко вывести матрицу инфинитезимальной

образующей для этого процесса.

Модель 4 называют моделью, основанной исключительно на данных книги учета заявок, так как

в ней колебания цены полностью определяются динамикой книги учета заявок. Существует и

противоположная точка зрения по этому подходу – согласно ей, необходимо рассматривать

динамику как экзогенный процесс, вокруг которого формируется книга учета заявок.

Уровень волатильности здесь можно выбирать произвольно, но и в рамках первого подхода к

моделированию этот уровень был неявно задан. В самом деле, в нашем случае, когда мы

получаем эстимированные функции интенсивности, волатильность очевидно является

возрастающей функцией от θ. Таким образом, ее уровень ограничен интервалом [0, σ(θ = 1)],

где σ(θ = 1) обозначает уровень волатильности, когда θ = 1.

Модель 1 (модель совокупности независимых очередей) призвана описывать динамику книги

учета заявок при неизменной справочной цене (и очень схожие результаты получаются

при симуляциях с использованием Моделей 2 или 3).В левой части Графика 11 можно увидеть

оценки симулированных волатильностей для различных значений θ и сравнить их со средней

достигнутой волатильностью акции France Telecom (волатильность рассчитывалась каждый

день и потом усреднялась за весь период). Существенный разрыв между (θ = 1) (13 bp) and

(19 bp) предполагает, что одной лишь динамики книги учета заявок недостаточно для

воспроизведения наблюдаемого уровня волатильности. Более пристальный взгляд на эти

результаты показывает, что модель достаточно хорошо аппроксимирует среднюю частоту

изменений цены, и меньший уровень волатильности вызван главным образом сильным

обратным поведением цены в рамках модели, основанной исключительно на данных книги

учета заявок. Это обратное поведение вызвано частыми обратными изменениями в балансе

спроса и предложения после изменения справочной цены. В правой части Графика 11, авторы

рассчитывают отношение обратной средней (в оригинале, «mean-reversion ratio») (

, где это число удлинений в движении цены , а это количество изменений. Отметим,

что в данном случае рассчитывается отношение обратной средней для , а не для цены в

сделке, как часто полагают. Отношение обратное средней η является убывающей функцией от

θ, и ее значение (θ = 1) = 0.08 намного меньше, чем полученное эмпирическим путем

= 0.39.

3.2 Модель 5: Активная модель управления очередью

В данной главе авторы приводят свою последнюю модель, названную «активной моделью

управления очередью» (Модель 5). Эта модель может быть использована вместе с любой

другой из трех моделей из Раздела 2, чтобы воспроизвести поведение книги учета заявок в

течение всего изучаемого периода. В основном она позволяет исследователям достичь

корректных уровней волатильности.

Ключевым аспектом, определяющим динамику цены, является форма книги учета заявок сразу

после изменения цены, которая сильно зависит от отношения обратной средней для

конкретной ценной бумаги и, следовательно, от ее волатильности.

В рамках модели, основанной только на данных книги учета заявок, длинные очереди за

пределами двух наилучших лимитов создают барьеры, которые не допускают дальнейших

изменений цены в том же направлении и отбрасывают цену назад к ее предыдущему уровню.

Таким образом, в Модели 4 наблюдаются сильные колебания цены. Чтобы преодолеть эту

проблему, авторы предполагают, что ценовой процесс обособлен не только динамикой книги

учета заявок, но и неким экзогенным фактором (движением). Поэтому достигнутая в

реальности волатильность считается общим результатом «механической» волатильности

вследствие временных колебаний книги учета заявок и «информационной» волатильности из-

за экзогенной информации. Или, точнее, авторы предполагают, что с вероятностью ,

состояние книги учета заявок получается из ее инвариантного распределения вокруг новой

справочной цены, когда происходит изменение . Параметр можно понимать как

процент от изменения цены из-за заданной извне информации, в случае чего участники рынка

очень быстро перекорректируют свои потоки заявок в соответствии с новой справочной ценой,

как будто новое состояние книги учета заявок было получено из ее инвариантного

распределения. Похожий подход был использован в исследовании Конта и соавторов (Cont et

al., [13]), в котором они принимают значение за 1 и, чтобы используют эмпирически

оцененные распределения очередей сразу после изменения цены вместо инвариантного

распределения, чтобы воспроизвести состояние книги учета заявок.

Далее авторы выверяют вероятность воспроизведения книги учета и вероятность

изменения справочной цены θ, используя 10-минутное стандартное отклонение изменения

цены (волатильность) и отношение обратное средней η. На Графике 12 авторы приводят

изображения поверхности 10-минутной волатильности и η для различных значений этих двух

параметров. На первый взгляд, два графика достаточно похожи.

Траектории симулированных цен спроса и предложения в Модели 5 изображены на Графике

13 (два параметра θ = 0.2 and = 0.7 откалиброваны для акции France Telecom), вместе с

траекторией изменения цен спроса/предложения , полученной из наблюдений (France

Telecom, 1 марта 2013, 14:30-15:00).

График 12: 10-минутная волатильность и отношение обратной средней, France Telecom

График 13: Траектория изменений наилучших цен спроса/предложения, активная модель

управления очередью, France Telecom

3.3 Пример применения моделей на практике: анализ данных размещения заявок

В общей авторской формулировке оптимального заключения сделки, период торговли

(совершения сделки) разделяется на небольшие интервалы (по 5-10 минут), и рабочий

алгоритм в начале каждого интервала определяет, какой объем ценных бумаг будет реализован

за этот промежуток времени. Эта проблема, часто обозначаемая как «проблема расписания

заявок» (в оригинале “order scheduling problem”) , активно исследуется в научной литературе

(например, в работах [2, 8, 10]). В реальной жизни возникает также другой момент, связанный с

оптимизацией торгового процесса, - так называемая «проблема размещения заявок» (в

оригинале “order placement problem”). По сути, она становится актуальной азу после расчета

объемов акций, реализуемых в каждый период, - как теперь алгоритму следует размещать

заказы? Эту вторую проблему можно рассматривать как микроструктурную версию первой, но

ее решение намного более сложное, так как на подобной временной шкале невозможно

использовать законы Броуновского движения для описания динамики цены. Более того,

приоритетность положения в очереди приобретает большое значение так же, как и другие

микроструктурные элементы целевого актива (размер пункта изменения цены, состояние книги

учета заявок, скорость торговли). В некоторых статьях различные авторы обращаются к

проблеме оптимального выбора типов заявок (в частности, должны это быть лимитные или

рыночные приказы), как в статье [32], или изучают вопрос поиска наилучшей позиции для

размещения заказа (см. работу [24]). Тем не менее, тактика размещения заказов, к которой

трейдеры прибегают на практике, зачастую намного более сложна. Например, игроки могут

скрывать свои торговые намерения, разделяя свои торговые объемы на меньшие потоки даже

внутри одного интервала времени. Также они могут начать с пассивной стратегии, высылая

лимитные приказы, и затем переключиться на рыночные, когда изменятся условия рынка или

пройдет последний момент, когда они еще могут позволить себе не торговать рыночные

приказы.

Норма пополнения (скорость, с которой накапливаются заявки), относительная

производительность (средняя цена по сделкам в сравнении со средней рыночной ценой) и

профиль рыночного воздействия (средний сдвиг цен вследствие размещения заявок), - вот три

важнейших фактора, которые необходимо иметь в виду при проведении анализа размещения

заказов. Результаты анализа тактик размещения заказов очень часто сложно получить,

особенно когда они обладают динамическим характером (например, когда игрок корректирует

свое поведение на бирже в соответствии с некими условиями рынка). Существует очень мало

количественных инструментов, пригодных для такого анализа, и очень часто необходимо

использовать рыночные симуляторы, которые могли бы воспроизводить все события, имеющие

место в книге учета заявок. Количество симуляций ограничено количеством доступных

исторических дней, и чаще всего в таких симуляторах не учитывается рыночное воздействие. В

модели авторов, напротив, количество симуляций не ограничено, а также содержатся

аналитические инструменты для исследования рыночного воздействия различных сложных

тактик размещения заказов.

Авторы обозначают как общий объем ценной бумаги, подлежащий реализации в рамках

сделок, и как M – количество подпериодов торговли. Согласно стратегии расписания заявок,

существуют четкие инструкции относительно порядка исполнения сделок во время каждого

подпериода. Объем актива, реализуемый в каждой сделке, обозначается, как ( и

∑ ). Отличия между двумя стратегиями расписания заявок можно

проанализировать путем изучения различий их векторов распределения заявок [

]. В то же время, определение тактики расписания заявок намного менее четкое и

универсальное. Грубо говоря, эту тактику можно рассматривать как заранее предопределенную

процедуру управления заявками, обеспечивающую исполнение сделки на целевой объем

актива в течение торгового периода. Далее авторы приводят два примера простых тактик

расписания заявок с целевым объемом и торговым периодом [0, T].

«Сделано-забыто» (в оригинале “Fire and forget”)

В начале торгового периода (t = 0) размещается лимитный приказ в очереди с наилучшими

условиями (наилучшая очередь спроса для приказа на покупку, наилучшая очередь

предложения для приказа на продажу). При изменении средней цены необходимо отменить

лимитный приказ и разметить рыночный приказ на противоположной стороне на весь

остающийся объем (если он есть). И в конце торгового периода (t = T) необходимо послать

приказы на весь остающийся объем на противоположную сторону, чтобы завершить

исполнение сделки.

«Держись наилучшего» (в оригинале “Pegging to the best”)

В начале торгового периода (t = 0) следует разместить лимитный приказ в очереди с

наилучшими условиями, а затем «держаться» его: если наилучшая цена меняется, необходимо

отменить существующий приказ и переразместить приказ на все оставшиеся объемы в новую

очередь с наилучшими условиями. Если наш приказ остались единственными в очереди с

наилучшими условиями, необходимо отменить его и переразместить заявки на остающиеся

объемы в новообразовавшуюся очередь с наилучшими условиями. В момент времени t = T

(конец торгового периода) на все оставшиеся объемы актива посылаются заявки на

противоположную сторону книги учета, чтобы завершить исполнение сделки.

В силу того, что тактика расписания заявок часто формируется для сделок на целевые объемы,

заданные какой-либо стратегией расписания заявок, при сравнении двух тактик необходимо

иметь в виду текущую стратегию, а также ценовые бенчмарки. Другие параметры также могут

иметь значение при сравнении, например, общий объем актива в сделке и количество

подпериодов торговли M. Для упрощения процесса анализа, авторы провели симуляцию

размещения приказа на покупку объемом (с единицей измерения AES при ), при

количестве подпериодов торговли M=20 и длиной каждого подпериода в 10 минут (то есть

итого исполнение сделки занимает 3 часа 20 минут). Авторы в своем анализе концентрируют

внимание на двух бенчмарках: взвешенной по объему средней цене (далее, для простоты,

просто «взвешенная средняя цена»; в оригинале VWAP от «volume weighted average price») и

цене на момент поступления заявки (для сделки, начинающейся в момент времени t = 0).

Кроме того, считается, что два типа стратегий расписания заявок частично отражают

многообразие оптимальных торговых схем:

Линейное расписание ( ), используется вместе с бенчмарком взвешенной

средней цены,

Экспоненциальное расписание (

), используется с

бенчмарком .

В заключение, авторы обращают внимание, что в данном случае продолжают действовать

очевидные модификации Предпосылок 4 и 5, видоизмененные, чтобы соответствовать новой

постановке задачи.

3.3.1 Анализ тактической деятельности

Удовлетворительность деятельности при исполнении сделки на фондовой бирже часто

измеряется показателем проскальзывания цены, определяемым (для приказа на покупку) как

Для понимания эффектов тактики размещения заявок, влияющих на показатель

проскальзывания цены, авторы определяют теоретическое проскальзывание цены при

определении расписания как:

∑

,

График 14: Симуляция результатов применения тактик

где обозначает среднюю цену транзакции в i-ый торговый подпериод, взвешенную по

объему.

Теоретическое проскальзывание цены при определении расписания измеряет качество

стратегии расписания заявок и не учитывает при анализе случайный фактор, влияющий на

цены в сделках и возникающий вследствие выбора тактики размещения заявок. При этом в

вычислении теоретического проскальзывания цены учитывается рыночное воздействие, так

как, очевидно, на в каждом подпериоде влияет исполнение сделки.

Авторы проделали 1000 симуляций для каждой пары (стратегия расписания заявок; тактика

размещения заявок) и использовали метод сглаживания ядра (как, например, в статье [12]),

чтобы оценить функцию плотности распределения для и (для обоих

бенчмарков и VWAP). Результаты приведены на Графике 14. В этих симуляциях

использовались функции интенсивности для акций France Telecom, а также два параметра θ =

0.2 и = 0.7, которые были определены в Разделе 3.2.

Как видно из Графика 14, распределения показателя проскальзывания цены при одной и той

же стратегии расписания заявок могут быть различными, если используются две изучаемые

тактики размещения заявок. Тактика «Держись наилучшего» дает более хорошие результаты,

чем тактика «Сделано-забыто», если сочетается со стратегией линейного расписания заявок и

бенчмарком VWAP. И наоборот, тактика «Сделано-забыто» работает лучше, чем вторая, если

используется вместе с экспоненциальной стратегией и с учетом цены на момент поступления

заявки . Другое интересное заключение состоит в том, что две изучаемые тактики

размещения заявок могут иметь принципиально разные рыночные воздействия. Важно

отметить, что в авторской постановке задачи лимитные заявки меняют баланс спроса и

предложения и воздействуют на динамику потока заявок, следовательно, они могут

производить рыночное воздействие так же, как и рыночные приказы. При постоянном

преследовании очереди с наилучшими условиями до тех пор, пока не будет реализован

намеченный объем актива, тактика «Держись наилучшего» позволяет достичь более высокой

нормы пассивного исполнения сделок (представляющей собой объем актива в пассивно

исполненных сделках, поделенный на общий реализованный объем актива). Таким образом, в

каждом торговом подпериоде данная тактика позволяет получить более высокую взвешенную

среднюю цену VWAP по сравнению с рыночной. Однако, в то же время, эта тактика обладает

намного бόльшим воздействием, чем тактика «Сделано-забыто», так как в ней приказы дольше

остаются в очереди. Это отличие приобретает еще бόльшее значение, когда в рамках сделки

торгуются значительные объемы ценных бумаг. Данный факт объясняет, почему при

использовании тактики «Держись наилучшего» теоретическое проскальзывание цены более

неблагоприятно, чем при использовании второй тактики и с учетом цены на момент

поступления заявки .

3.3.2 Характеристики рыночного воздействия

В данном разделе авторы переходят к более подробному изучению характеристик рыночного

воздействия для двух тактик, которые были рассмотрены в предыдущих главах.

Стоит напомнить, что у тактики размещения заявок есть два описывающих ее параметра: длина

торгового периода T и объем , подлежащий реализации в рамках сделки. В приведенном

далее анализе авторы берут значение T за 10 минут, а значение колеблется в рамках от 1 до

60 AES (средних размеров события). Авторы обозначают как рыночное воздействие

Тактики с целевым объемом в момент времени , определяемое как:

.

Авторы проделали 1000 симуляций для каждого значения в рамках от 1-60 AES и 1-600

секунд соответственно.

Профили рыночного воздействия двух изучаемых тактик приведены на Графике 15. В

соответствии с параболическим законом (см. статьи [20, 22, 46] для примеров), кривая

рыночного воздействия является вогнутой как по времени, так и по объему. Отметим также, что

в авторской постановке задачи не наблюдается понижения цены. На самом деле, в

соответствии с предпосылками Марковского процесса, динамика цены остается прежней и

после конечного момента времени T. Можно также заметить, что воздействие тактики

«Сделано-забыто» является моментальным и зависит только от общего объема , подлежащего

реализации в рамках сделки, в то время как тактика «Держись наилучшего» представляет

собой прогрессивный процесс и зависит как от общего объема , так и от длительности

периода t. Таким образом, вторая тактика лучше показывает себя при ведении дел с малыми

объемами. Когда же необходимо заключить сделку, связанную с большим объемом актива,

тактика «Сделано-забыто» становится более подходящим выбором, так как теперь издержки

рыночного воздействия перевешивают выгоды пассивного исполнения приказа.

4 Перспективы моделей

Используя подход активной очереди (Модель 5), авторам удалось построить рыночную модель,

позволяющую воспроизводить фактические данные книги учета заявок и ценовой динамики

для трейдинговых операций, совершающихся на различных скоростях (относящихся к областям

низко-, средне- и высокоскоростного трейдинга). Более того, этот подход также весьма полезен

для практикующих специалистов, например, как рыночный симулятор или как инструмент для

комплексного анализа транзакционных издержек. Но, тем не менее, существует множество

способов развить и дополнить изыскания авторов.

В модели авторов, рассудительность игроков на рынке определяется предположением, что их

среднее поведение зависит от состояния книги учета заявок. Однако в данной статье не

рассматривается другой важный публичный источник информации – исторические данные о

потоке заявок. Эти потоки обычно считаются автоматически коррелированными, исходя из

результатов многочисленных научных работ, и способ введения этого свойства в модель

авторов данной статьи все еще остается открытым вопросом.

Другим возможным направления для развития в данной области мог бы стать поиск более

изящных объяснений формы оцененных функций интенсивности: авторы считают, что некая

основанная на рыночных терминах и трендах модель могла бы теоретически воспроизвести

данные повторяющиеся закономерности динами книги учета заявок, а также предоставить

более основательное объяснение природы этих кривых. Было бы также интересно

использовать методы параметрического оценивания для снижения количества параметров в

данных функциях интенсивности, что в частности было бы полезно для изучения зависимостей

между различными очередями. Форму этих функций необходимо выбирать очень тщательно,

чтобы она качественно аппроксимировала эмпирические интенсивности и была легко

интерпретируема.

График 15: Профиль рыночного воздействия

5. Приложение

5.1 Доказательство Теоремы 2.1

В первую очередь необходимо вспомнить определение миниатюрного множества (см. статью

[37])

Определение 5.1 Непустое множество (Борелевское σ-поле от ) можно считать

миниатюрным, если существует вероятностная мера в промежутке (0, ∞) и ненулевая мера

в , которые удовлетворяют норме для всех (при этом Марковская

функция перехода определяется как: ∫ ).

Для Марковского процесса в счетном пространстве возможно доказать следующую лемму:

Лемма 5.1. Если X(t) является неприводимым Марковским процессом в счетном пространстве ,

то любой конечный набор является миниатюрным.

Доказательство. Авторы начинают рассуждение с иллюстрации того факта, что множество из

одного элемента является миниатюрным. Это очевидно, если выбрать в качестве

меры Дирака при t=1, и для Марковской функции перехода для x в момент времени t = 1.

Мера не равна нулю, так как процесс X(t) является неприводимым (см. Теорему 3.2.1 в

статье [40]). Тогда миниатюрность каждого конечного набора является прямым результатом

Предположения 5.5.5 в статье [38], которое гласит, что объединение двух миниатюрных

множеств также является миниатюрным.

Теперь авторы готовы предоставить доказательство Теоремы 2.1, основная идея которого

состоит в том, чтобы найти функцию Ляпунова и миниатюрное множество , такие что

условия сдвига Фостера-Ляпунова остается в силе для всех . Для удобства обозначений,

2k-мерный вектор иногда обозначается как , где это

элемент на позиции и представляет 2K – 1 элементов , которые не находятся на позиции

.

Доказательство: (Теорема 2.1) Легко заметить, что при условии выполнения Предпосылку 1,

процесс X(t) является неприводимым и не попадает под определение процесса с

неограниченно возрастающими средними (Теоремы 2.7.1 и 3.2.1 в статье [40]). Для

доказательства позитивности процесса, авторы выбрали функцию Ляпунова ‖ ‖

(евклидова стандартная вторая норма). Для , мы имеем

нижеследующее выражение (для простоты, введем новое обозначение , задаваемое как:

, если является наилучшим лимитом со стороны спроса или предложения, и 0 в любом

другом случае.

∑ ( )

∑ [ (

) (

) ⁄ (

) ]

∑ [ (

) (

) ⁄ (

) ]

При условии выполнения Предпосылки 2, сумма

∑ [ (

) (

) ⁄ (

) ]

ограничена сверху неким конечным числом . Более того, выражение

∑ [ (

) (

)]

ограничено сверху неким конечным числом в силу Предпосылки 1. Определив

и

задав конечное множество , авторы приходят к тому, что для

и ,

∑ ( ) .

Тогда, используя Теорему 4.2 из статьи [37] и учитывая тот факт, что это замкнутое

миниатюрное множество (согласно Лемме 5.1), X(t) является положительно рекуррентным по

Харрису и имеет конечное инвариантное распределение. Тогда, в силу Теоремы 3.6.2,

доказанной в статье [40], процесс X(t) сходится к своему равновесию и поэтому обладает

свойством эргодичности.

5.2 Вычисление доверительных интервалов

При условии независимости очередей, согласно центральной предельной теореме, с

асимптотической вероятностью 95% мы имеем следующее:

[

√

√ ]

[

√

√

√

√ ],

где для простоты выкладок введем обозначение

.

Таким образом, с вероятностью как минимум 90% имеет силу следующее:

[

√

√

( )

√

√

√

( )

√

]

Аналогичные результаты возможно рассчитать для ,

и . При этом авторы отмечают, что

соответствующая вероятность для доверительного интервала для составляет 80%, а не 90%,

как в расчетах выше.

Метод, который авторы предлагают использовать для расчета доверительных интервалов в

условиях двух наборов зависимых очередей, весьма похож на описанный выше. При

существовании зависимости между сторонами спроса и предложения расчет доверительных

интервалов является намного более трудоемкой задачей. И в силу этого авторы прибегают к

приближенным вычислениям, не принимая во внимание возможные пересечения между двумя

наборами очередей: и .

5.3 Квазислучай процесса рождения и гибели

Определение 5.2 (Квазислучай процесса рождения и гибели, из статьи [33]): Квазислучай

процесса рождения и гибели представляет собой двумерный Марковский процесс в счетном

пространстве , где первый элемент называется уровнем

процесса, и второй элемент называется фазой процесса. Параметр может быть как

конечным, так и бесконечным. Скачкообразное движение внутри процесса может происходить

только между ближайшими соседями, что означает, что вероятность скачка с уровня напрямую

на уровень или равна нулю. Когда переходы в рамках квазислучая

процесса рождения и гибели являются независимыми от уровня, он называется

уровненезависмым квазислучаем процесса рождения и гибели, а в остальных случаях,

соответственно, уровнезависимым.

Легко заметить, что Марковский процесс действительно является уровнезависимым

квазислучаем процесса рождения и гибели со счетными фазами. Матрица его

инфинитезимальной образующей обладает следующей формой:

[

]

,

где матрица

содержит переходы с уровня на уровень , матрица

содержит переходы с уровня на уровень , и матрица

содержит переходы

внутри уровня . Точнее говоря, элемент из матрицы

представляет собой норму

перехода из состояния к состоянию , элемент из

матрицы

является нормой перехода из состояния к состоянию

, и элемент из матрицы

является нормой перехода из состояния к

состоянию .

Авторы помечают функции интенсивности для , когда , специальным значком ~. Для

матрицы

б мы имеем следующее:

,

,

[

]

,

и для :

[

]

Авторы обозначают как [ ] стационарное распределение этого процесса

(уровнезависимого квазислучая процесса рождения и гибели), а также вводят следующие

обозначения:

[ ],

[ ]

В таком случае мы имеем:

5.4 Матрично-геометрическое решение

При выполнении условия уровненезависимости (Предпосылка 3), матрицы не зависят от

верхних индексов, и инвариантное распределение системы двух очередей предполагает

специфическую форму, называемую «матрично-геометрической формой». Чтобы

проиллюстрировать этот факт, авторы сначала вводят три вспомогательные матрицы U, G и R.

Они задают следующие условия:

[ ]

Где - это время первого перехода с уровня n на уровень n − 1. И в результате, R это

наименьшее неотрицательное решение нелинейного матричного уравнения:

Мы имеем следующие уравнения для трех данных матриц:

Достаточно известным фактом о положительно рекуррентном уровненезависимом квазислучае

процесса рождения и гибели является то, что его инвариантное распределение может быть

записано в «геометрической форме»:

,

При значении вектора таком что:

(∑ [ ] ) ,

Где

является скоростью снижения .

Следующая ниже теорема из статьи [28] объединяет эргодичность для квазислучая процесса

рождения и гибели с приведенными в тексте теорему уравнениями и является основой для

применения матрично-геометрического метода.

Теорема 5.1 (Постановка задачи с двумя наборами зависимых очередей: Уровненезависимый

квазислучай процесса рождения и гибели): При условии выполнения Предпосылки 3, 2-мерный

Марковский процесс является положительно рекуррентным и имеет инвариантное

распределение [ ] [ ] если и только если существует мера

вероятности , такая что

∑[ ]

В этом случае мы приходим к следующему:

⁄

5.5 Средний размер события (Average event size или AES)

Средний размер события AES для очереди определяется как средний размер всех событий

(включая размещение лимитных приказов, отмены и сделки) в точке , в то время как

показатель среднего размера сделки (в оригинале Average trade size или сокращенно ATS)

рассчитывается только на основе размеров торговых сделок. В Талице 2 авторы показывают

оценочные значения среднего размера события AES на различных расстояниях от справочной

цены и значения среднего размера сделки ATS, для акций France Telecom и Alcatel-

Lucent.

Акция Средний размер

сделки (ATS)

Средний размер

события (AES)

при

Средний размер

события (AES)

при

Средний размер

события (AES)

при

France

Telecom 637 836 1068 1069

Alcatel-Lucent 2340 3033 3451 3528

Таблица 2: Средние размеры события и сделки (AES и ATS, в кол. акций)

Средний размер события является возрастающей функцией от расстояния до справочной цены

, что предполагает, что участники рынка предпочитают работать с более крупными

приказами, когда целевая очередь находится дальше от справочной цены.

5.6 Результаты анализа для акций Alcatel-Lucent

В данном разделе авторы для сравнения приводят результаты их работы с данными акций

Alcatel-Lucent, которые они анализировали аналогичным France Telecom образом.

График 16: Функции интенсивностей при , Alcatel Lucent

График 17: Функции интенсивностей при , Alcatel Lucent

График 18: Функции интенсивностей при , Alcatel Lucent

График 19: Функции интенсивности при как функции от и , Alcatel Lucent

График 20: Функции интенсивности при как функции от и , Alcatel Lucent

График 21: Распределение очереди, Alcatel Lucent

График 22: Модель 2 (Модель двух совокупностей зависимых очередей): общее

распределение , , Alcatel Lucent

График 23: Модель 3 (Модель зависимости между сторонами покупателей и продавцов):

совместное распределение , , Alcatel Lucent

Библиографические ссылки

[1] F. Abergel, A. Jedidi. «Математический подход к моделированию книги учета заявок», изд.

«Econophysics of Order-driven Markets», страницы 93–107. Springer, 2011.

[2] R. Almgren, N. Chriss. «Оптимальное заключение портфельных сделок», изд. «Journal of

Risk»,3(2): страницы 5–39, 2000.

[3] R. Almgren, C. Thum, E. Hauptmann, H. Li. «Прямая оценка воздействия на рынок фондовых

акций», изд. «Risk», 18: страницы 57–62, Июль 2005.

[4] E. Bacry, J.-F. Muzy. «Модель Хоукса и ее применение к высокоскоростной динамике цен и

сделок», препринт, 2013.

[5] M. Baron, J. Brogaard, A. Kirilenko. «Торговые выгоды высокоскоростных трейдеров», 2012

[6] N. Bean, G. Latouche. «Аппроксимации квазислучаев процессов рождения и гибели с

бесконечными пакетами заявок», изд. «Advances in Applied Probability», 42(4): страницы 1102–

1125, 2010.

[7] N. Bershova, D. Rakhlin. «Нелинейное рыночное воздействие крупных торговых сделок:

Изучение данных поток заявок со стороны спроса», препринт, 2013

[8] D. Bertsimas, A. W. Lo, P. Hummel. «Принципы оптимального контроля издержек заключения

торговых сделок для портфельных инвестиций», изд. «Computing in Science and Engg.», 1(6):

страницы 40–53, 1999.

[9] D. Bini, B. Meini, S. Steff´e, B. Van Houdt. «Структурированное руководство по Марковским

цепям: Алгоритмы», 2006

[10] B. Bouchard, N.-M. Dang, C.-A. Lehalle. «Принципы оптимального контроля трейдинговых

алгоритмов: Подход общего импульсного контроля», изд. «SIAM Journal on Financial

Mathematics», 2(1): страницы 404–438, 2011.

[11] J.-P. Bouchaud, J. D. Farmer, F. Lillo. «Как рынки постепенно принимают изменения в

структуре спроса и предложения», препринт, 2008

[12] A. W. Bowman, A. Azzalini. «Прикладные техники сглаживания в анализе данных: подход

Кернеля с иллюстрациями из S-Plus», изд. «Oxford University Press», 1997

[13] R. Cont, A. De Larrard. «Динамика цен на Марковском рынке лимитных приказов», изд.

«SIAM Journal on Financial Mathematics», 4(1): страницы 1–25, 2013.

[14] R. Cont, S. Stoikov, R. Talreja. «Стохастическая модель динамики книги учета заявок», изд.

«Operations research», 58(3): страницы 549–563, 2010.

[15] R. Davies. «Директива о рынках финансовых инструментов и эволюция конкурентной

среды», 2008

[16] K. Dayri, M. Rosenbaum. «Фондовые активы с большим спредом: Неявный спред и размер

пункта изменения цены», препринт, 2012

[17] S. Delattre, C. Y. Robert, M. Rosenbaum. «Оценка эффективной цены по данным потока

фондовых приказов: Подход с использованием Броуновского процесса Кокса», изд. «Stochastic

Processes and Their Applications», 123(7): страницы 2603–2619, 2013.

[18] Z. Eisler, J.-P. Bouchaud, J. Kockelkoren. «Цена актива и влияние на нее событий книги

учета заявок: Рыночные приказы, лимитные приказы и отмены заявок», изд. «Quantitative

Finance», 12(9): страницы 1395–1419, 2012.

[19] R. F. Engle, R. Ferstenberg, J. R. Russell. «Измерение и моделирование издержек и рисков

заключения торговых сделок», изд. «The Journal of Portfolio Management», 38(2): страницы

14–28, Ноябрь 2012.

[20] J. D. Farmer, A. Gerig, F. Lillo, H. Waelbroeck. «Как эффективность определяет рыночное

воздействие», изд. «Quantitative Finance», планируется к выходу

[21] A. Gareche, G. Disdier, J. Kockelkoren, J.-P. Bouchaud. «Описание Фоккера-Планка к

динамике очереди для фондовых активов с большим спредом», препринт, 2013

[22] J. Gatheral. «Нединамический арбитраж и рыночное воздействие», изд. «Quantitative

Finance», 10(7): страницы 749–759, 2010.

[23] D. Gross, C. M. Harris. «Фундаментальные основы теории очередей», изд. «Wiley New York»,

1998

[24] O. Gu´eant, C.-A. Lehalle, J. Fernandez-Tapia. «Управление инвентарными рисками:

решение проблем маркет-мейкеров», изд. «Mathematics and Financial Economics», сентябрь

2012

[25] T. Hayashi and N. Yoshida. «О ковариационной оценке не синхронно наблюдаемых

диффузионных процессов», изд. «Бернулли», 11(2): страницы 359–379, 2005.

[26] P. Hewlett. «Кластерный анализ поступления приказов, ценового влияния и оптимизации

торговых траекторий», 2006

[27] M. Hoffmann, M. Rosenbaum, N. Yoshida. «Оценка опережающе-запаздывающих

параметров из не синхронизированных данных», изд. «Bernoulli», 19(2): страницы 426–461,

2013.

[28] D. Kroese, W. Scheinhardt, and P. Taylor. «Спектральность тандемной сети Джексона,

рассмотренной в рамках квазислучая процесса рождения и гибели», изд. «Annals of Applied

Probability», страницы 2057–2089, 2004.

[29] A. Lachapelle, J.-M. Lasry, C.-A. Lehalle, P.-L. Lions. «Эффективность процесса

ценообразования в присутствии высокоскоростных участников рынка: анализ взаимодействия

в свете теории среднего поля», май 2013.

[30] P. Lakner, J. Reed, S. Stoikov. «Высокоскоростная асимптотика книг учета лимитных

приказов», изд. «Technical report», июль 2013

[31] J. Large. «Измерение гибкости электронной книги учета лимитных приказов», изд. «Journal

of Financial Markets», 10(1): страницы 1–25, февраль 2007.

[32] S. Laruelle, C.-A. Lehalle, G. Pages. «Оптимальный выбор приказов между пулами

ликвидных средств: Использование стохастических алгоритмов», изд. «SIAM Journal on

Financial Mathematics», 2: страницы 1042–1076, 2011.

[33] G. Latouche, V. Ramaswami. «Введение в матричные аналитические методы

стохастического моделирования», выпуск 5, Сиам, 1999

[34] C.-A. Lehalle, S. Laruelle, R. Burgot, S. Pelin, M. Lasnier. «Рыночная микроструктура на

практике», изд. «World Scientific publishing», 2013

[35] F. Lillo, J. D. Farmer, R. N. Mantegna. «Эконофизика: обобщенная кривая для функции

ценового воздействия», изд. «Nature», 421(6919): страницы 129–130, 2003.

[36] A. J. Menkveld. «Высокоскоростной трейдинг и новые маркетмейкеры», изд. «Social

Science

Research Network Working Paper Series», декабрь 2010

[37] S. P. Meyn, R. L. Tweedie. «Стабильность Марковских процессов III: Критерий Фостера-

Ляпунова для непрерывных процессов», изд. «Advances in Probability», страницы 518–548,

1993.

[38] S. P. Meyn, R. L. Tweedie. «Марковские цепи и стохастическая стабильность», изд.

«Cambridge University Press», 2009

[39] E. Moro, J. Vicente, L. G. Moyano, A. Gerig, J. D. Farmer, G. Vaglica, F. Lillo, R. N.Mantegna.

«Рыночное воздействие и торговый профиль крупных биржевых заявок на рынках ценных

бумаг», август 2009

[40] J. R. Norris. «Марковские цепи», изд. «Cambridge university press», 8, 1998

[41] C. Y. Robert, M. Rosenbaum. «Новый подход к изучению динамики данных

ультравысокоскоростного трейдинга: Модель с зонами неопределенности», изд. «Journal of

Financial Econometrics», (2): страницы 344–366, март 2011.

[42] C. Y. Robert, M. Rosenbaum. «Волатильность и ковариационная оценка в условиях

эндогенности микроструктурного шума и торговых периодов», изд. «Mathematical Finance»,

22(1): страницы 133–164, 2012.

[43] I. Rosu. «Динамическая модель книги учета лимитных приказов», изд. «Review of

Financial Studies», 22(11): страницы 4601–4641, 2009.

[44] E. Smith, D. J. Farmer, L. Gillemot, S. Krishnamurthy. «Статистическая теория

непрерывного двойного аукциона», изд. «Quantitative Finance», 3(6): страницы 481–514, 2003.

[45] H. R. Stoll. «Выведение компонентов бид/аск спреда: Теория и эмпирические тесты», изд.

«Journal of Finance», 44(1): страницы 115–34, март 1989.

[46] B. Toth, Y. Lemperiere, C. Deremble, J. De Lataillade, J. Kockelkoren, J.-P. Bouchaud.

«Аномальное ценовое воздействие и критическая природа ликвидности на финансовых

рынках», изд. «Physical Review X», 1(2):021006, 2011.

[47] M. Wyart, J.-P. Bouchaud, J. Kockelkoren, M. Potters, M. Vettorazzo. «Отношение между

бид/аск спредом, воздействием и волатильностью на рынках фондовых приказов», изд.

«Quantitative Finance», 8(1): страницы 41–57, 2008.

[48] L. Zhang, P. A. Mykland, Y. Aıt-Sahalia. «История о двух временных шкалах: определение

интегрированной волатильности на основе искаженных данных высокоскоростной фондовой

торговли», изд. «Journal of the American Statistical Association», 2005.