ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Περιεχόμεναα') κατασκευή μιγαδικών αριθμών

Αν κάτι δεν υπάρχει ήδη έτοιμο τότε το κατασκευάζουμε.β') γεωμετρική σημασία μιγαδικών αριθμών

Πώς αναπαριστάνονται αυτοί οι αριθμοί;γ') φυσική σημασία μιγαδικών αριθμών

Τι πράμα ακριβώς είν' αυτό που φτιάξαμε;

- - - - - - # # # # # # #- - - - - - # # # # # # # - - - - - -# # # # # # # - - - - - -

κατασκευή μιγαδικών αριθμώνΣαν πρώτο βήμα στη συλλογιστική μας ας υποθέσουμε πως αγνοούμε την πράξη της ρίζας,

ακόμα και στις απλές περιπτώσεις, όπως √2, √3 κτλ, αλλά ότι γνωρίζουμε όλους τους ρητούς αριθμούς με τις συνηθισμένες τους πράξεις (συν, πλην, επί και δύναμη). Πώς θα κατασκευάζαμε αυτές τις ρίζες λοιπόν; Πώς θα δείχναμε σε κάποιον τι εννοούμε λέγοντας, ας πούμε √3; Λέμε πως η √3 είναι η λύση της εξίσωσης χ2-3=0, αλλά μπορούμε να πούμε πως είναι λύση και της 2χ2-6=0 ή της χ5-3χ3=0 ή της 7χ6-21χ4=0 ή της χ4+χ3-χ2-2χ-2=0 κτλ, δηλαδή μέσω όλων των εξισώσεων της μορφής Ρ(χ)(χ2-3)=0, όπου Ρ(χ) πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές. Με άλλα λόγια η √3 είναι η κοινή θέση μηδενισμού όλων των πολλαπλασίων του πολυωνύμου χ2-3.

Κάποιος αυστηρός ακροατής της εξήγησής μας θα έλεγε «Μα πώς γίνεται να λέμε ότι το √3 είναι η λύση της εξίσωσης χ2-3=0, αφού αυτή η λύση είναι ένας άρρητος αριθμός (που δεν είναι κλάσμα, δηλαδή), ενώ εμείς τους μόνους που ξέρουμε είναι τους ρητούς αριθμούς; Προϋποθέτετε την ύπαρξή του για να τον θέσετε ως λύση». Η απάντηση σ' αυτόν είναι πως έχει δίκιο! Εμείς θέλουμε να είναι λύση των προαναφερθέντων εξισώσεων ο √3, αυτό δε μας εγγυάται, όμως, ότι αυτή υπάρχει. Άλλο «θέλω» κι άλλο «μπορώ»... Για να το κάνω και πιο σαφές, ας δούμε την εξίσωση 1/χ=0. Μπορεί να μ' αρέσει, μπορεί να θέλω υπερβολικά να πω πως ο 1/0 είναι η λύση αυτής της εξίσωσης, αλλά τα μαθηματικά δε θα με λυπηθούν ώστε να επιτρέψουν την ύπαρξη αυτού του αριθμού. (ΣΗΜΕΙΩΣΗ: η υπερπεπερασμένη αριθμητική επιτρέπει την λύση αυτής, αλλά αυτό είναι άλλο κεφάλαιο, οπότε κρατάμε την αδυναμία μας βάσει των μέχρι τώρα γνώσεών μας).

Εκ πρώτης όψεως η αρχική μέθοδος ερμηνείας της √3 έχει αποτύχει. Δεν είναι εντελώς έτσι, όμως. Αφού δεν γίνεται να θεωρήσουμε την √3 σαν την κοινή θέση μηδενισμού των πολλαπλασίων του χ2-3 τότε θα βαφτίσουμε ως μηδέν το σύνολο όλων των πολλαπλασίων του χ2-3. Είναι το αμέσως καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε! Αντί να πω πως ισχύει χ2-3=0 και 2χ2-6=0 και χ5-3χ3=0 και 7χ6-21χ4=0 και χ4+χ3-χ2-2χ-2=0 κτλ λέω πως = { χ2-3, 2χ2-6, χ5-3χ3, 7χ6-21χ4, χ4+χ3-χ2-2χ-2,...}. Προφανώς όταν λέμε , προς το παρόν, δε ξέρουμε εάν αυτό ταυτίζεται αλγεβρικά ή αλλιώς με το μηδέν (0) που ξέραμε ως τώρα. Προς στιγμή υιοθετούμε ένα παραπλήσιο σύμβολο γιατί απλά ελπίζουμε πως θα καταφέρουμε να δείξουμε ότι όντως έτσι συμβαίνει. Έτσι θα κάνουμε ύστερα και με τους άλλους αριθμούς. Φυσικά, αν καταφέρουμε να ορίσουμε τις πράξεις με τους «καινούριους» αριθμούς (αυτούς με την παχιά γοτθική γραφή) και εάν καταφέρουμε να δείξουμε πως οι «παλιοί» και οι «καινούριοι» έχουν τις αντίστοιχες ακριβώς αλγεβρικές ιδιότητες δε θα υπάρχει κανένας λόγος διαφοροποίησής τους. Ως προς την άλγεβρα δε θα διαφέρουν πουθενά, άρα δε θα έχουμε κανένα λόγο να τα θεωρούμε διαφορετικά. Άλλαξε ο Μανωλιός κι έβαλε τα ρούχα του αλλιώς ένα πράμα!

Είπαμε, λοιπόν, πως = { Ρ(χ)(χ2-3) | Ρ(χ): πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές}. Αφού προσπαθώ να ταυτίσω με το 0 τα πολλαπλάσια του χ2-3 αναμενόμενο είναι να προσπαθήσω να ταυτίσω με το 1 τα πολυώνυμα που ξεπερνάνε κατά 1 κάποιο πολλαπλάσιο του χ2-3, με το 2 τα πολυώνυμα ξεπερνάνε κατά 2 κάποιο πολλαπλάσιο του χ2-3 κτλ. Ας μη ξεχνάμε πως τα πολλαπλάσια του χ2-3 θεωρήθηκαν ως 0, άρα είναι απόλυτα λογική η αναλογία του 1, του 2, του 3

κτλ με τα πολυώνυμα που ξεπερνάνε κατά 1, 2, 3, κτλ το , δηλαδή κάποιο πολλαπλάσιο του χ2-3. Έτσι έχουμε = { 1+ Ρ(χ)(χ2-3) | Ρ(χ): πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές}, = { 3+ Ρ(χ)(χ2-3) | Ρ(χ): πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές}, = { 3+ Ρ(χ)(χ2-3) | Ρ(χ): πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές} κτλ. Με άλλα λόγια οι αριθμοί είναι πλέον τα υπόλοιπα των πολυωνύμων, διαιρούμενα προς χ2-3.

Δεν είναι μόνο καθαρούς αριθμούς που αφήνει σαν υπόλοιπο η διαίρεση με το χ2-3. Το υπόλοιπο μπορεί να 'ναι και το πολυώνυμο υ(χ)=χ. Δεν είναι καθόλου παράξενο να ορίσω σαν (καινούριο) αριθμό το σύνολο όλων των πολυωνύμων με την ιδιότητα ν' αφήνουν υπόλοιπο χ διαιρούμενα προς χ2-3 κι αυτό για τρεις λόγους. Α) αυτό ακριβώς έκανα και με τους άλλους αριθμούς, δεν κάνω κάτι καινούριο τώρα Β) θα 'ταν τζάμπα δουλειά το να κάνω τις ταυτίσεις ≈ 0, ≈ 1, ≈ 2, ≈ 3 κτλ, εάν επρόκειτο απλά ν' αλλάξω την αναπαράσταση μόνο των ρητών αριθμών, μιας κι αυτούς τους είχα ήδη Γ) οι μέχρι τώρα ταυτίσεις δεν επαρκούν για την εισαγωγή της √3, μιας και καμία δεν την αναπαριστά, άρα ψάχνω κάτι άλλο. Ας θυμηθούμε τώρα ότι αυτό που ψάχναμε αρχικά ήταν η λύση της χ2-3=0, δηλαδή αυτό που ψάχναμε ήταν το χ! Φυσιολογικό είναι να μας περάσει απ' το μυαλό ότι ο καινούριος αριθμός που συζητάμε είναι ο √3. Δηλαδή σκεφτόμαστε μήπως √ = {F(χ) | το F(χ) αφήνει υπόλοιπο χ διαιρούμενο με το χ2-3}. Προς το παρόν ας είναι r = {F(χ) | το F(χ) αφήνει υπόλοιπο χ διαιρούμενο με το χ2-3}, αρκεί να δείξουμε πως ο έχει την ίδια αλγεβρική συμπεριφορά μ' αυτό που φανταζόμαστε ως √3, άρα μπορεί να συμβολιστεί χωρίς συμβολικά άλματα ως √.

Αυτό που δεν έχουμε κάνει είναι να ορίσουμε τις πράξεις μεταξύ των «καινούριων» αριθμών. Αυτό χρειαζόμαστε για να δούμε αν η αναλογία που κάναμε μεταξύ «παλιών» και «καινούριων» αριθμών στέκει ή η συμβολική συγγένεια που υιοθετήσαμε ήταν ανεπίτρεπτη. Προς τούτο ορίζουμε σαν άθροισμα δύο αριθμών το σύνολο που περιέχει τα αθροίσματα των στοιχείων του ενός και του άλλου και ως γινόμενο το σύνολο που περιέχει τα γινόμενα των στοιχείων του ενός και του άλλου. Σαφέστερα, έστω = {f(χ) | το f(χ) αφήνει υπόλοιπο m διαιρούμενο με το χ2-3} και = {g(χ) | το g(χ) αφήνει υπόλοιπο n διαιρούμενο με το χ2-3}. (να υπενθυμίσουμε δω πως τα m και n μπορεί να 'ναι ρητοί αριθμοί ή και πρωτοβάθμια πολυώνυμα) Τότε + = {f(χ)+g(χ) | το f(χ) αφήνει υπόλοιπο m διαιρούμενο με το χ2-3 & το g(χ) αφήνει υπόλοιπο n διαιρούμενο με το χ2-3} · = {f(χ)·g(χ) | το f(χ) αφήνει υπόλοιπο m διαιρούμενο με το χ2-3 & το g(χ) αφήνει υπόλοιπο n διαιρούμενο με το χ2-3}. Με τετριμμένους υπολογισμούς, αν και είναι ρητοί, μπορούμε να δείξουμε πλέον ότι + = {ε(χ) | το ε(χ) αφήνει υπόλοιπο m+n διαιρούμενο με το χ2-3} και · = {ε(χ) | το ε(χ) αφήνει υπόλοιπο m·n διαιρούμενο με το χ2-3}, επομένως συμπεραίνουμε ότι η πρόσθεση (κι ο πολλαπλασιασμός) στους «καινούριους» αριθμούς αντιστοιχεί στην πρόσθεση (και τον πολλαπλασιασμό) των «παλιών» αριθμών που αντιστοιχούν στους «καινούριους» που προσθέτουμε. Δηλαδή + ≈ m+n και · ≈ m·n. Αξίζει να επαναλάβουμε την αρχική μας τοποθέτηση περί ταύτισης των καινούριων αριθμών με τους παλιούς, την ισομορφία, που λέμε στα μαθηματικά, των δύο συνόλων τους. Με απλά λόγια, μόλις συμπεράναμε πως οι «παλιοί» ρητοί και οι «καινούριοι» ρητοί έχουν την ίδια αλγεβρική συμπεριφορά (αν προστίθενται οι μεν τότε προστίθενται και τ' αντίστοιχά τους, αν πολλαπλασιάζονται οι μεν τότε πολλαπλασιάζονται και τ' αντίστοιχά τους), άρα ως προς την άλγεβρα (αυτό μας απασχολεί) είναι ακριβώς το ίδιο πράμα, η μορφή τους είναι μόνο που διαφέρει. Επομένως μπορώ κάλλιστα να αναφέρομαι στο μηδέν και να εννοώ το , στο τρία και να εννοώ το κτλ. Είναι σαν να επικοινωνούσαμε με κάποιον εξωγήινο πολιτισμό και ανταλλάσσαμε μ' αυτόν μαθηματικά κείμενα. Πώς θα συμπεράναμε πχ ότι το σύμβολο «╛» αυτονών αντιστοιχεί στο δικό μας «7», ότι το σύμβολο «╡» αυτόνών αντιστοιχεί στο δικό μας «+» κτλ κτλ; Απλά βλέποντας τις ταυτίσεις στην συμπεριφορά των δύο αλγεβρών θα συμπεραίναμε ότι «╛ = 7», ότι «╡ = +» κτλ. Έτσι ακριβώς κι εδώ! Βλέπουμε τις ταυτίσεις των «παλιών» και των «νέων» αριθμών και πράξεων, οπότε άνετα συμπεραίνουμε ότι πρόκειται για τα ίδια πράματα. Συνοπτικά, το σύνολο με τους «καινούριους» ρητούς είναι το σύνολο των ρητών που ήδη ξέρουμε, απλά μεταμφιεσμένων κάπως.

Επομένως αν με κάποιον ανάλογο τρόπο καταφέρω να κατασκευάσω την √3 τότε θα μπορώ εντελώς με ασφάλεια να τη θεωρήσω υπαρκτό αριθμό.

Αφού η αναλογία «παλιών» και «νέων» αριθμών είναι πλέον εμφανώς σωστή και αυτό που μένει τώρα να δούμε είναι κατά πόσον ισχύει η αναλογία √ ≈ √3. Αρκεί να δειχτεί ότι (√)2-=. Ένα στοιχείο του √ μπορεί να είναι το χ+α(χ)·(χ2-3), ένα άλλο μπορεί να είναι το χ+β(χ)·(χ2-3), άρα ο πολλαπλασιασμός τους θα δώσει το στοιχείο χ2+χ·β(χ)·(χ2-3)+χ·α(χ)·(χ2-3)+α(χ)·(χ2-3)·β(χ)·(χ2-3). Αυτό το στοιχείο μπορεί να γραφεί σαν 3+χ2-3+χ·β(χ)·(χ2-3)+χ·α(χ)·(χ2-3)+α(χ)·(χ2-3)·β(χ)·(χ2-3) (πρόσθεσα κι αφαίρεσα 3), ήτοι σαν 3+(χ2-3)·[1+χ·β(χ)+χ·α(χ)+α(χ)·(χ2-3)·β(χ)], επομένως σαν στοιχείο του ! Έτσι δείξαμε ότι (√)2=, άρα η (√)2-=έπεται άμεσα, λόγω της προηγούμενης παραγράφου. Ο.Ε.Δ.

Με την ίδια ακριβώς διαδικασία μπορούμε να επεκτείνουμε τους πραγματικούς αριθμούς ώστε να συμπεριλαμβάνουν τη λύση της εξίσωσης χ2+1=0. Επανορίζουμε τους πραγματικούς αριθμούς όπως πριν, δηλαδή = {F(χ) | το F(χ) αφήνει υπόλοιπο 5 διαιρούμενο με το χ2+1}, √ = {F(χ) | το F(χ) αφήνει υπόλοιπο √3 διαιρούμενο με το χ2+1}, e = {F(χ) | το F(χ) αφήνει υπόλοιπο e διαιρούμενο με το χ2+1} κτλ. Να κάνουμε σαφές εδώ πως πλέον ξέρουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς, δε χρειάζεται να τους κατασκευάσουμε, δεν εφορμούμε απ' τους ρητούς και πως θέλουμε να τους εμπλουτίσουμε με τη ρίζα του χ 2 +1 , όχι του χ2-3. Τότε i = {F(χ) | το F(χ) αφήνει υπόλοιπο χ διαιρούμενο με το χ2+1}. Όπως πριν μπορεί να δειχθεί ότι 2+=.

Στο βαθμό που ξέρουμε πως ισχύουν οι αντιστοιχίες ≈ 0, ≈ 1, ≈ 2, π ≈ π, ≈ e, √ ≈ √3 κτλ και στο βαθμό που το κατασκευάστηκε σωστά (άρα υπάρχει) μπορούμε να κάνουμε το βήμα να παριστάνουμε τους αριθμούς της επέκτασης των πραγματικών αριθμών με τον αρχικό συμβολισμό, χωρίς, δηλαδή, τα γοτθικά ή παχιά γράμματα. Έτσι μιλάμε για το 5 (αν και εννοούμε ), για το e (αν και εννοούμε ), για το i (χωρίς να μας απασχολεί το πως προέκυψε). Πλέον οι πράξεις και η συλλογιστική μας επ' αυτών δε χρειάζεται τη γνώση της προέλευσή τους, παρά μόνο τους κανόνες που ισχύουν πάνω τους (τους ήδη υπάρχοντες συν τον i2+1=0). Οι αριθμοί αυτοί για να γεννηθούν χρειάστηκε κάποια διαδικασία, από κει και πέρα δε χρειάζεται ν' ανατρέχουμε στη διαδικασία αυτή συνεχώς για να δούμε κάθε φορά τη συμπεριφορά τους, όπως δε κάνουμε αυτό και στην μελέτη ενός ανθρώπινου όντος.

Τέλος να σημειώσουμε πως οι πραγματικοί αριθμοί, το i, τα γινόμενα των πραγματικών με το i, τα αθροίσματα των πραγματικών με το i και τα αθροίσματα των γινομένων των πραγματικών αριθμών με το i, δηλαδή όλες οι δυνατές πράξεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών και του καινούριου αριθμού i (αποδεικνύεται εύκολα πως η διαίρεση ανάγεται στις προηγούμενες πράξεις), χτίζουν την επέκταση των πραγματικών αριθμών, τους μιγαδικούς αριθμούς. Τους τελευταίους τους συμβολίζουμε με C.

γεωμετρική σημασία μιγαδικών αριθμώνΚάποιος μετά απ' όλα αυτά θα πει «μα δεν είχαμε μάθει πως δεν υπάρχει αριθμός του

οποίου το τετράγωνο να είναι αρνητικός;». Η απάντηση είναι «ναι, το 'χαμε μάθει, αλλά για τους πραγματικούς αριθμούς, τώρα τους έχουμε εμπλουτίσει με έναν επιπλέον αριθμό, τον i». Τι ήταν, όμως, αυτό που μας απαγόρευε την χ2 = -1, ενώ τώρα μας την επιτρέπει; Η διάταξη! Είχαμε εξάγει αυτό το συμπέρασμα θεωρώντας τους αριθμούς τοποθετημένους σε μια ευθεία γραμμή, με τις πράξεις να μετακινούν τη θέση μας μπρος-πίσω πάνω της.

Ας δούμε για ευκολία το κάτω σχήμα:

0 5-10 10-2

#) Βρισκόμαστε στα θετικά, ας πούμε στο 5. Πολλαπλασιάζοντας με θετικό αριθμό, ας πούμε τον 2, η θέση μας παραμένει θετική (10). Πολλαπλασιάζοντας με αρνητικό αριθμό, ας πούμε τον -2, η θέση μας μεταφέρεται στ' αρνητικά (-10).#) Τώρα ξεκινάμε απ' τ' αρνητικά, έστω απ' το -2. Πολλαπλασιάζοντας με θετικό αριθμό, εδώ τον 5, η θέση μας παραμένει στ' αρνητικά (-10). Πολλαπλασιάζοντας με αρνητικό αριθμό, έστω τον -5, η θέση μας μεταφέρεται στα θετικά (10).Τι παρατηρούμε δηλαδή; Ότι ο πολλαπλασιασμός με θετικό αριθμό αυξάνει (ή μειώνει, ανάλογα με το αν πολλαπλασιάζαμε με αριθμό μικρότερο ή μεγαλύτερο του 1) την απόσταση της θέσης μας απ' το 0, χωρίς όμως να της αλλάζει περιοχή (αν ήμασταν στα θετικά θα μέναμε στα θετικά, αν ήμασταν στ' αρνητικά θα μέναμε στ' αρνητικά), ενώ ο πολλαπλασιασμός με αρνητικό αριθμό αυξάνει (ή μειώνει) την απόσταση της θέσης μας απ' το 0, αλλάζοντάς της όμως περιοχή (αν ήμασταν στα θετικά πάμε στα αρνητικά, αν ήμασταν στ' αρνητικά πάμε στα θετικά). Αν λαμβάνουμε υπόψιν μόνο τους θετικούς αριθμούς και τους εκ διαμέτρου αντίθετούς τους (αρνητικοί) τότε αναγκαστικά χ2 >0 μιας και Α) αν είσαι στα θετικά και δεν αλλαξοπορήσεις (+ επί +) Β) αν είσαι στ' αρνητικά κι αλλαξοπορήσεις (- επί -) τότε και στις δύο περιπτώσεις καταλήγεις πάντα στα θετικά.

Είδαμε ότι η χ2 >0 προκύπτει αν θεωρήσουμε όλους τους αριθμούς να βρίσκονται δεξιά ή αριστερά του 0. Συμπερασματικά το i βρίσκεται κάπου αλλού. Πού, όμως; Εδώ αξίζει να ξανακοιτάξουμε προσεκτικότερα τις μετακινήσεις μας που αναφέραμε στις προηγούμενες παραγράφους με τις διέσεις (#). Προς τούτο θα κάνουμε ένα καινούριο σχήμα:

Τη θέση μας τη δείχνει το βελάκι του σχήματος. Πολλαπλασιάζοντας με θετικό αριθμό το μήκος απ' το βελάκι αυξομειωνόταν και το βελάκι εξακολουθούσε να δείχνει δεξιά. Πολλαπλασιάζοντας με αρνητικό αριθμό πάλι το μήκος άλλαζε, αλλά μαζί του άλλαζε και η φορά απ' το βελάκι. Είχε στραφεί 180º κι έδειχνε πλέον προς τ' αριστερά. Δε χρειάζεται σχήμα για να καταλάβουμε ότι ξεκινώντας απ' το -2 αν πολλαπλασιάζαμε με θετικό αριθμό η φορά απ' το βελάκι θα παρέμενε αναλλοίωτη, ενώ αν πολλαπλασιάζαμε μ' αρνητικό το βελάκι θα έστριβε 180º.

Για να μπορέσουμε να «κρατηθούμε» πάνω στην ευθεία, δηλαδή να μείνουμε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, χρειάστηκε ο πολλαπλασιασμός να στρίβει το βελάκι μόνο κατά 0º ή 180º. Αφού τώρα με τον πολλαπλασιασμό επί i θέλουμε να ξεφεύγουμε απ' την ευθεία λογικό είναι να υποθέσουμε πως αυτός ο πολλαπλασιασμός αντιστοιχεί σε στροφή διαφορετική των 0º ή 180º. Ας δούμε σε πόσες μοίρες αντιστοιχεί! Έστω θ η ζητούμενη γωνία και ρ η απομάκρυνσή μας απ' το 0. Βρισκόμαστε αρχικά στο 1. Πολλαπλασιάζουμε επί i, άρα βρισκόμαστε στο i (αφού 1·i=i), έχουμε στρίψει κατά θ κι έχουμε απομακρυνθεί απ' το 0 ρ φορές. Ξαναπολλαπλασιάζουμε επί i και βρισκόμαστε πλέον στο -1 (αφού i·i=-1), έχουμε στρίψει κατά θ (συνολικά, απ' την αρχική μας θέση στρίψαμε 2θ) κι απομακρυνθήκαμε ρ φορές απ' το 0 (συνολικά έχουμε απομακρυνθεί ρ2 φορές). Πολλαπλασιάζουμε ξανά επί i και πλέον η θέση μας είναι στο -i (αφού -1·i=-i), ενώ έχουμε στρίψει πάλι κατά θ (συνολικά πλέον έχουμε στρίψει 3θ) κι έχουμε απομακρυνθεί ρ φορές πάλι (συνολικά απομακρυνθήκαμε ρ3 φορές). Πολλαπλασιάζοντας για μια φορά ακόμα επί i καταλήγει η θέση μας στο 1 (αφού -i·i=-(-1)=1), έχουμε στρίψει πάλι κατά θ (οπότε συνολικά στρίψαμε κατά 4θ) και η απόστση επιμηκύνθηκε άλλες ρ φορές (συνολικά πλέον ρ4 φορές). Κοντολογίς, πολλαπλασιάσαμε 4 φορές επί i και καταλήξαμε να κάνουμε μια πλήρη στροφή (ξεκινώντας απ' το 1 καταλήξαμε στο 1).

0 5-10 10-2

Η συνολική γωνία που κάναμε λόγω του πολλαπλασιασμού ήταν 4θ, επομένως 4θ=360º. Άρα θ=90º. Εν κατακλείδι ο πολλαπλασιασμός επί i στρέφει το βελάκι κατά 90º και συμπερασματικά το i βρίσκεται στην ίδια απόσταση με το 1 απ' το 0 (αφού το μήκος αυξήθηκε κατά ρ κάθε φορά, ήτοι κατά ρ4=1 συνολικά, άρα ρ=1), αλλά στραμμένο 90º. Έτσι το σχήμα μας έχει ως εξής:

Με απλές αλγεβρικές πράξεις μπορούν να βρεθούν και αριθμοί που στρίβουν το βελάκι και για μοίρες διαφορετικές των 0º, 90º και 180º. Για παράδειγμα ο μιγαδικός αριθμός συν120º+iημ120º όταν πολλαπλασιάσει κάποιον αριθμό τονε στρέφει κατά 120º, ενώ ο 3συν2º+3iημ2º τονε στρέφει κατά 2º κι ύστερα τον επιμηκύνει 3 φορές. Για να τ' αντιληφθούμε αρκεί ν' ακολουθήσουμε την προηγούμενη συλλογιστική στην πρώτη περίπτωση για 3 φορές (360º/120º) και στη δεύτερη για 180 φορές (360º/2º). Επιπλέον ο πρώτος βρίσκεται κάπου στο 2ο τεταρτημόριο των αξόνων που σχηματίσαμε και ο δεύτερος στο 1ο. Το ίδιο μπορούμε να συμπεράνουμε και με διαφορετικές επιλογές επιμηκύνσεων ή στροφών. Άρα συμπεραίνουμε πως οι μιγαδικοί αριθμοί υπάρχουν διάχυτοι στο επίπεδο. Αυτό ήταν αναμενόμενο μιας και όταν λέμε πχ 3-2i εννοούμε τη θέση στην οποία καταλήγουμε αν στη μετακίνηση 3 μονάδων δεξιά ακολουθήσει μετακίνηση -2 μονάδων προς τα πάνω (δηλαδή 2 μονάδων προς τα κάτω). Αλλά αυτό θα το δούμε καλύτερα στην επόμενη παράγραφο που θ' ασχοληθούμε με την πρόσθεση.

Την πρόσθεση δεν αναφέραμε κι αυτό γιατί ίσως να 'ναι το απλούστερο κομμάτι. Προσθέτοντας δύο πραγματικούς αριθμούς αυτό που κάνουμε ουσιαστικά είναι να βάλουμε την αρχή από το βελάκι του ενός στη μύτη απ' το βελάκι του άλλου. Εκεί όπου καταλήγει η δεύτερη μύτη είναι τ' αποτέλεσμα. Ουσιαστικά αυτό συμβαίνει γιατί πρόσθεση δύο αριθμών είναι όταν η δράση του δεύτερου αριθμού αρχινά από κει που τελειώνει η δράση του πρώτου. Ε, ακριβώς αυτό ζητάμε να συμβαίνει και στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών! Το άθροισμα να είναι ο συμψηφισμός των δύο δράσεων, δηλαδή η δράση του δεύτερου αριθμού να αρχινά από κει που τελειώνει η δράση του πρώτου. Πρακτικά μιλώντας, άθροισμα δύο μιγαδικών είναι η κατάληξη των βελών εάν εκεί που τελειώνει το ένα αρχίζει το άλλο [ας θυμηθούμε το συμπέρασμα περί της θέσης του 3-2i (πρόσθεση του μιγαδικού 3 με τον μιγαδικό -2i) στην προηγούμενη παράγραφο]. Αυτό σημαίνει πως προσθέτουμε δυο μιγαδικούς προσθέτοντας τα βελάκια τους με τους κανόνες του διανυσματικού λογισμού που μάθαμε στη β' λυκείου.

Τώρα να συνοψίσουμε τα συμπεράσματά μας: Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι αριθμοί Α) που

1

i

-1

-i

0

ξεφεύγουν απ' την ευθεία κι εξαπλώνονται στο επίπεδο Β) που πολλαπλασιαζόμενος ένας απ' αυτούς μ' έναν άλλον στρέφεται ο πρώτος κατά στροφή ίση με την γωνία του δεύτερου με τον πραγματικό άξονα και αυξομειώνεται η απόσταση του πρώτου απ' το 0 ανάλογα με την απόσταση του δεύτερου απ' το 0 Γ) που το άθροισμά τους είναι το διανυσματικό άθροισμα των συντεταγμένων τους.

Ανακεφαλαιώνοντας, ας μην μας παραξενεύει η διαφορετική γραφή των μιγαδικών αριθμών ανά περίπτωση. Στον πολλαπλασιασμό, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς, αναφερόμαστε σε στροφές κι επιμηκύνσεις, άρα η φυσική σημασία ενός πολλαπλασιασμού μιγαδικών μπορεί να φανεί μόνο αν αυτοί είναι γραμμένοι στη μορφή ρ(συνθ+iημθ). Στην πρόσθεση αναφερόμαστε σε συνισταμένες δυνάμεις, άρα λογικό είναι να μας είναι πιο εύχρηστοι στη μορφή x+yi. Άλλη δουλειά η μία, άλλη η άλλη, οπότε διαφορετικές οι ανάγκες και οι απαιτήσεις τους.

Κλείνοντας θα μπορούσαμε να θέσουμε το ερώτημα «μα χρειαζόταν όλη αυτή η ιστορία της πρώτης ενότητας, ενώ μπορούσαμε να ξεμπερδέψουμε με την απλή παρουσίαση της γεωμετρικής τους ερμηνείας;». Η απάντηση είναι αρνητική. Όχι, δε γινόταν αυτό γιατί δε μας εξασφαλίζει κανείς πως θα μπορούν να συνυπάρχουν οι κανόνες της άλγεβρας με τις ιδιότητες Α, Β και Γ που παρουσιάσαμε. Για να μη φανώ μαθηματικά υποχόνδριος να επισημάνω πως για τον χώρο 3 διαστάσεων κάτι τέτοιο δεν μπορεί να συμβεί. (ΣΗΜΕΙΩΣΗ: ο αμέσως μεγαλύτερης διάστασης χώρος για τον οποίον ισχύει η συλλογιστική μας είναι ο χώρος 4 διαστάσεων). Η πρώτη ενότητα ήταν απαραίτητη για τη γέννηση των μιγαδικών αριθμών, η δεύτερη απλώς μας δείχνει έναν επιπλέον τρόπο σύλληψής τους.

φυσική σημασία μιγαδικών αριθμώνΠλέον μπορούμε να κάνουμε διάφορες συλλήψεις περί του τι αναπαριστάμε μ' αυτούς τους

καινούριους αριθμούς. Ας δούμε κατ' αρχάς τους πραγματικούς αριθμούς. Οι πραγματικοί αριθμοί αφορούν μεγέθη τα οποία διαμερίζονται σε δύο κατηγορίες αντίθετες εννοιολογικά και συγκοινωνούσες μεταξύ τους ποσοτικά. Αν το καλοσκευτούμε δεν πρόκειται για εντελώς άσχετες κατηγορίες, αλλά συγγενικές εννοιολογικά (ως αντίθετες) και ποσοτικά (αφού με κατάλληλη αφαίρεση ή πρόσθεση μεταβαίνουμε απ' τα θετικά στ' αρνητικά και τ' αντίστροφο). Επί παραδείγματι η απόδοση μιας επιχείρησης (κερδίζω ή χάνω). Άλλο παράδειγμα είναι η θέση μου ως προς την επιφάνεια της θάλασσας (πόσο πάνω ή κάτω απ' αυτήν βρίσκομαι). Κι άλλο ακόμα παράδειγμα είναι η θερμοκρασία ενός αντικειμένου (πόσο υψηλότερη ή χαμηλότερη είναι απ' το σημείο τήξης του νερού).

Οι μιγαδικοί, εφόσον δεν αναπτύσσονται στην ευθεία, δεν αρκούνται να περιγράψουν ποσότητες εξαρτώμενες από μία παράμετρο μονάχα, αλλά περιγράφουν μεγέθη εξαρτώμενα από παραμέτρους οι οποίες δεν επικοινωνούν μεταξύ τους με ποσοτικές αλλαγές. Πχ η κίνηση ενός πεζού σε μια πλατεία (μπρος-πίσω, δεξιά-αριστερά). Άλλο παράδειγμα είναι η αισθητική παρουσία ενός ανθρώπου (εξωτερική εμφάνιση η μία παράμετρος, η ευστροφία το άλλο).

Ας δούμε ένα παράδειγμα πιο πρόσφορο για ανάλυση και τα άλλα προκύπτουν με εύκολη γενίκευση. Θα δούμε τους πραγματικούς αριθμούς σαν τη δύναμη που ασκείται σ' ένα αντικείμενο. Θετική δύναμη έχουμε όταν σπρώχνουμε το αντικείμενο (έστω), άρα αρνητική όταν τραβάμε το αντικείμενο (βλ σχήμα)

θετική δύναμη

αρνητική δύναμη

Πρόσθεση: Αν θέλω να προσθέσω δύο δυνάμεις τότε ουσιαστικά θέλω να τις αντικαταστήσω από μία, η οποία να επηρεάζει το αντικείμενο με τον τρόπο που θα το επηρέαζε η δεύτερη δύναμη αν επενεργούσε πάνω στο αποτέλεσμα της πρώτης. Έτσι προκύπτουν οι γνωστοί κανόνες που ξέραμε απ' την α' γυμνασίου (για να προσθέσω δύο ομόσημους αριθμούς προσθέτω τις απόλυτες τιμές τους και βάζω το κοινό τους πρόσημο κτλ).Πολλαπλασιασμός: Ενισχύω τη δύναμη τόσες φορές όσες φορές υποδεικνύει ο πολλαπλασιαστής, στρέφοντας τη φορά όπως υποδεικνύει το πρόσημό του. Έτσι προκύπτουν οι γνωστοί κανόνες που ξέραμε απ' την α' γυμνασίου (- επί - = + κτλ).

Αναφερόμενοι στις δυνάμεις οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν ως εξής:

Πλέον το αντικείμενο δεν το τραβάμε μόνο δεξιά-αριστερά, αλλά και πάνω-κάτω. Να σημειωθεί πως εδώ δε μας απασχολεί το μέτρο της δύναμης, αλλά ο ακριβής προσδιορισμός της πορείας της και γι' αυτό θ' απαιτηθεί η χρήση μιγαδικής αρίθμησης. Αυτό μπορεί να ειπωθεί με δύο τρόπους: Α) F = -12+5i, δηλαδή τραβάμε με δύναμη έντασης 12 και σηκώνουμε με δύναμη έντασης 5 Β) F = (13, 180º-20º) = (13, 160º), δηλαδή ασκούμε δύναμη έντασης 13 υπό γωνία 160º με το οριζόντιο επίπεδο. Τη συνέχεια μπορούμε να τη φανταστούμε εύκολα:Πρόσθεση: Όπως πριν «αν θέλω να προσθέσω δύο δυνάμεις τότε ουσιαστικά θέλω να τις αντικαταστήσω από μία, η οποία να επηρεάζει το αντικείμενο με τον τρόπο που θα το επηρέαζε η δεύτερη δύναμη αν επενεργούσε πάνω στο αποτέλεσμα της πρώτης». Τι συμβαίνει αν προσθέσω δύο «μιγαδικές» δυνάμεις; Πολύ απλά στο αποτέλεσμα της πρώτης θα ασκηθεί η δεύτερη και θα καταλήξουμε στο άθροισμά τους. Λογικά στο αντικείμενο θα ασκηθεί τόση δύναμη προς τα πάνω

20º

πάνω -κάτω

αριστερά-δεξιά

-12

5i

Το βέλος έχει μήκος 13

F 160º

όση είναι και το αλγεβρικό άθροισμα των κατακόρυφων δυνάμεων και τόση δύναμη προς τα δεξιά όση είναι και το αλγεβρικό άθροισμα των οριζόντιων δυνάμεων. Εποπτικά μιλώντας ας πούμε ότι εξετάζουμε το καραβάκι του σχήματος:

Τα ρεύματα της θάλασσας το σπρώχνουν με ταχύτητα uθάλασσα=2+3i και ο άνεμος με ταχύτητα uάνεμος=-1+6i, άρα το καΐκι ταξιδεύει με ταχύτητα uσυνισταμένη=uθάλασσα+uάνεμος=1+9iΠολλαπλασιασμός: Όπως πριν «ενισχύω τη δύναμη τόσες φορές όσες φορές υποδεικνύει ο πολλαπλασιαστής, στρέφοντας τη φορά όπως υποδεικνύει το πρόσημό του». Να σημειωθεί εδώ πως δεν πολλαπλασιάζω τις δυνάμεις μεταξύ τους, όπως δεν τις πολλαπλασίαζα και πριν... Άρα ας μην προβληματιστούμε για το ποια η φυσική σημασία του uθάλασσα·uάνεμος, όπως απαξιούμε τον προβληματισμό στο ερώτημα «ποια η φυσική σημασία του “πλήθος μαθητών Α2 επί πλήθος μαθητών Γ1”;». Πολλαπλασιάζω μία δύναμη με έναν αριθμό κι αυτή η πράξη παράγει μια άλλη δύναμη. Το ποια είναι η δύναμη που παράγεται εξαρτάται απ' τον αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε την αρχική. Αν είναι πραγματικός αριθμός ισχύουν οι τάδε μετασχηματισμοί, αν είναι μιγαδικός ισχύουν οι δείνα. Εδώ δε μπορούμε να κάνουμε τυφλή εφαρμογή του κανόνα των πραγματικών αριθμών, χωρίς καμιά αλλαγή κι αυτό απλά και μόνο γιατί δεν είναι μόνο το πρόσημο ο παράγοντας που καθορίζει την κατεύθυνση της δύναμης. Αυτό που καθορίζει την κατεύθυνση της δύναμης είναι η γωνία του διανύσματος με το θετικό τμήμα του «πραγματικού» άξονα. Άρα ο κανόνας γίνεται ως εξής «ενισχύω τη δύναμη τόσες φορές όσες φορές υποδεικνύει ο πολλαπλασιαστής, στρέφοντας τη φορά όπως υποδεικνύει η γωνία του με τον θετικό πραγματικό άξονα».

Πλέον είναι φανερός ότι ο ρόλος των μιγαδικών αριθμών δεν είναι ασήμαντος, πόσο μάλλον αδικιολόγητος. Όσο εμβαθύνει κανείς στα μαθηματικά και τη φυσική θα τους βρίσκει μπροστά του. Θα τους βρει ως εργαλεία ή ως απλοποιητές εκφράσεων στα μαθηματικά· στις πραγματικές ακολουθίες, στις εξισώσεις, στη γεωμετρία, στη θεωρία αριθμών, στην ανάλυση... Θα τους βρει σε πραγματικές εφαρμογές· κινήσεις ρευστών, κβαντομηχανική, κύματα... Οι αριθμοί αυτοί υπάρχουν στο βαθμό που τους αντιμετωπίζουμε σωστά. Ο αριθμός 3,7 δεν έχει νόημα αν αφορά το πλήθος των μαθητών μιας τάξης (εν αντιθέσει με τον 8 πχ), αλλά δεν τον θεωρούμε καθόλου εξωτικό ή ανύπαρκτο όταν μετράμε μήκη, δυνάμεις, χρόνο κτλ και ούτε τον θεωρούμε υποδεέστερο σαν αριθμό απ' τον 8. Έτσι κι ο αριθμός 5+2i δεν θα πρέπει να θεωρηθεί μαθηματικό εξάμβλωμα επειδή δεν εφαρμόζεται στις ίδιες ακριβώς περιοχές που εφαρμόζεται ο 3,7 ή ο 8, αλλού εφαρμόζεται και λειτουργεί περίφημα.

uάνεμος

uθάλασσα

uσυνισταμένη Οι ταχύτητες δεν δείχνουνπάνω-κάτω και δεξιά-αριστερά,

αλλά βόρια-νότια και ανατολικά δυτικά.Τα καΐκια δεν πετάνε